文档内容
专题04 直线与圆的位置关系重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）
题型一 判断直线和圆的位置关系
题型二 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围
题型三 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
题型四 根据直线与圆的位置关系确定交点个数
题型五 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离
题型六 求直线平移到与圆相切时运动的距离
题型七 利用直线与圆的位置关系求最值
题型八 直线与圆的位置关系综合
知识点一、直线和圆的位置关系
1. 设 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系 图形 定义 性质及判定
r O
相离 直线与圆没有公共点 直线 与 相离
d l
r 直线与圆有唯一公共点，直线叫做
相切 O 直线 与 相切
d l 圆的切线，公共点叫做切点
r 直线与圆有两个公共点，直线叫做
相交 O 直线 与 相交
d
l 圆的割线
从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：
直线和圆的位置关系 相交 相切 相离
公共点个数
圆心到直线的距离 与半径 的关系
公共点名称 交点 切点 —
直线名称 割线 切线 —【经典例题一 判断直线和圆的位置关系】
【例1】（23-24九年级上·山东聊城·期中）在 中， ， ， ，若以C点为圆心、
以13为半径画 ，则直线 与 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
1．已知 的半径是一元二次方程 的一个根，圆心O到直线l的距离 ，则直线 与
的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交
2．已知直线 经过点 ，将直线向上平移 个单位，若平移后得到的直线与半径为6
的 相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为 ．
3．已知： 中， ，以点C为圆心，作半径为 的圆.问：
(1)当R为何值时， 和直线 相离？
(2)当R为何值时， 和直线 相切？
(3)当R为何值时， 和直线 相交？
【经典例题二 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围】
【例2】（2024·山东菏泽·一模）在直角三角形 中， ， ， ，以点C为圆心作
，半径为 ，已知直线 和 有交点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．1．在 中， ， ， ．若 与 相离，则半径为r满足（ ）
A． B． C． D．
2． 中， 是 的中点，以点 为圆心作 ，若 与边 有且仅有一
个交点，则 的半径 应满足 ．
3．如图，在 中， ， ， ， 的中点为点 .以点 为圆心， 为半径作
.
（1）当 时，点 在 ______， 在 ______（填“上、内、外”）；
（2）若 与线段 只有一个公共点，求 的取值范围.
【经典例题三 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】【例3】（2024·河南许昌·二模）如图，平面直角坐标系中， 经过三点 ，点D
是 上的一动点．当点 D 到弦 的距离最大时，点D 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
1．如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两
点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
2．如图，在直角梯形 中， ，E是 上一定点， ．
点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，
且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 ．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10cm，P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以 cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t秒．
（1）当t=2.5s时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由．
（2）已知⊙O为Rt△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．
【经典例题四 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】
【例4】（17-18九年级下·全国·单元测试）已知⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点
个数为（ ）
A．0 B．l C．2 D．法确定
1．（23-24九年级上·全国·期末）已知， 中， ，斜边 上的高为 ，以点 为圆心，
为半径的圆与该直线 的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）已知 的半径是一元二次方程 的一个根，圆心O
到直线l的距离为4，则直线l与 有 个交点．
3．（2020·广东·一模）在平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（-3，4），以半径r在坐标平面内作圆，
（1）当r 时，圆O与坐标轴有1个交点；
（2）当r 时，圆O与坐标轴有2个交点；
（3）当r 时，圆O与坐标轴有3个交点；
（4）当r 时，圆O与坐标轴有4个交点；【经典例题五 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】
【例5】（23-24九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中， 的半径为2，点P的坐标
为 ，若将 沿y轴向下平移，使得 与x轴相切，则 向下平移的距离为（ ）
A．1 B．5 C．3 D．1或5
1．如图， 中， ， ， ，半径为 的 与 ， 相切，当 沿边 平
移至与 相切时，则 平移的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，直线 相交于点O， ，半径为 的 的圆心在射线 上，开始时，
．如果 以 /秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当 的运动时间 （秒）满足条件
时， 与直线 相交．3．如图甲，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为 个单位长度，点P
为直线y＝﹣x+6上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD．
（1）判断四边形OCPD的形状并说明理由．
（2）求点P的坐标．
（3）若直线y＝﹣x+6沿x轴向左平移得到一条新的直线y＝﹣x+b，此直线将⊙O的圆周分得两段弧长之
1
比为1：3，请直接写出b的值．
（4）若将⊙O沿x轴向右平移（圆心O始终保持在x轴上），试写出当⊙O与直线y＝﹣x+6有交点时圆
心O的横坐标m的取值范围．（直接写出答案）
【经典例题六 求直线平移到与圆相切时运动的距离】
【例6】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中， 与x轴分别交于A、B两点，
点 的坐标为 ， ．将 沿着与y轴平行的方向平移，使得 与x轴相切，则平移的距离
为（ ）
A．1 B．1或2 C．3 D．1或31．如图，在平面直角坐标系中， 与x轴分别交于A、B两点，点 的坐标为 ， ．将
沿着与y轴平行的方向平移，使得 与x轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．1或2 C．3 D．1或3
2．如图，直线 、 相交于点 ， ，半径为 的 的圆心在直线 上，且与点 的
距离为 ．如果 以 的速度，沿由A向B的方向移动，那么 秒种后 与直线 相切．
3．已知：直线 经过点 .
（1）求 的值；
（2）将该直线向上平移 个单位，若平移后得到的直线与半径为6的 相离（点 为坐标原
点），试求 的取值范围.
【经典例题七 利用直线与圆的位置关系求最值】
【例7】（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，M是边AB上一动
点（不含端点），将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM．当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，
则△CDP的面积为 ；DP的最大值为 ．1．如图，矩形 中， ， ，点 是矩形 内一动点，且 ，连接 ， ，
则 面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图， 的半径为 ，直线 与 相离，过点 作 于点 ，垂足为 ，且 ，点 是
上一动点，过点 作 于点 ，垂足为 ，则 的最大值是 ．
3．如图， 的半径是5，点 在 上． 是 所在平面内一点，且 ，过点 作直线 ，使
．
（1）点 到直线 距离的最大值为 ；
（2）若 ， 是直线 与 的公共点，则当线段 的长度最大时， 的长为 ．【经典例题八 直线与圆的位置关系综合】
【例8】（23-24九年级上·江苏南通·开学考试）如图，已知直线 与x轴、y轴分别交于A、B两
点，P是以 为圆心，1为半径的圆上一动点，连结 、 ．则 面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，已知直线 的解析式是 ，并且与 轴、 轴分别
交于 ， 两点．一个半径为3的 ，圆心 从点 开始以每秒2个单位长度的速度沿着 轴向下运
动，当 与直线 相切时，则该圆运动的时间为（ ）A．3秒或8秒 B．8秒 C．3秒 D．6秒或16秒
2．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，以OA为
直径在x轴上方作半圆，直线l的解析式为 ，若直线l与半圆只有一个公共点，则t的值是
．
3．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在矩形 中， ， ，P是边 上一点，过点
A、B、P、作
(1)圆心O在 上吗？为什么？
(2)当 时，判断 与 的位置关系；
(3)当 与 相切时，求 被 截得的弦长．
1．（2024·湖北·模拟预测） 的三边 ， ， 的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，
为半径作圆，则该圆与直线 的位置关系是（ ）A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是
2．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知 的半径是一元二次方程 的一个根，
圆心O到直线l的距离 ，则直线l与 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
3．（23-24九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中， 的半径为2，点P的坐标为
，若将 沿y轴向下平移，使得 与x轴相切，则 向下平移的距离为（ ）
A．1 B．5 C．3 D．1或5
4．（2024·上海·模拟预测）如图，在梯形 中， ， ， ， ，如
果以CD为直径的圆与梯形 各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么AD长的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·上海虹口·二模）如图，在矩形 中，对角线 与BD相交于点 ， ， ．分
别以点 、 为圆心画圆，如果 与直线AD相交、与直线CD相离，且 与 内切，那么 的半
径长 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
6．（23-24九年级上·广东广州·期中）在 中， ， ， ，若以 点为圆心，
为半径所作的圆与斜边 只有一个公共点，则 的范围是 ．
7．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）在 中， ， ， ．以点 为圆心，
为半径的圆作⊙C，若边 与⊙C只有一个公共点，则半径r的取值范围为 ．
8．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系 中，对于直线 ： ，给出如下定义：若直线 与某个
圆相交，点 的坐标为 ，若 的半径为 ，直线 关于 的“圆截距”的最小值为 ，则
的值为 ．
9．（23-24九年级上·新疆塔城·期末）如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0， ），
，点P的坐标为 ， 与y轴相切于点O，若将 沿x轴向左移动，当 与该直线相
交时，横坐标为整数的点P的坐标 ．10．（23-24九年级·全国·单元测试）已知 是以坐标原点为圆心，半径为1，函数 与 交于点 、
，点 在 轴上运动，过点 且与 平行的直线与 有公共点，则 的范围是 .
11．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四边形 内接于 ， 是 的直径， 平分
， 于点E．
(1)判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ，求直径 的长．
12．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知： 中， ，以点C为
圆心，作半径为 的圆.问：
(1)当R为何值时， 和直线 相离？
(2)当R为何值时， 和直线 相切？
(3)当R为何值时， 和直线 相交？
13．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）已知点 和直线 ，则点 到直线
的距离证明可用公式 计算．例如：求点 到直线 的距离．
解：因为直线 ，其中
所以点 到直线 的距离为： ．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)求点 到直线 的距离；
(2)已知 的圆心 坐标为 ，半径 为2，判断 与直线 的位置关系并说明理由．
14．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）已知：如图，在 中， ，
动点 从点 出发，沿着 的方向运动一周，以 为圆心， 为半径作圆．
(1)若 分别与 相切．
①利用直尺和圆规作 （不写作法，保留作图痕迹）；
②求出此 时的值；
(2)当 时，设 在运动的过程中与 三条边的公共点个数为 ，那么 的最小值是___________，
最大值是___________．
15．（23-24九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系 中，A、B为平面内不重合的两个点，若Q
到A、B两点的距离相等，则称点Q是线段 的“似中点”．
(1)已知 ， ，在点 、 、 、 中，线段 的“似中点”是点
___________：
(2)直线 与x轴交于点M，与y轴交于点N．
①求在坐标轴上的线段 的“似中点”；②若 的半径为2，圆心P为 ， 上存在线段 的“似中点”，请直接写出t的取值范围．
