文档内容
第二十四章 圆
专题15 圆重难点题型专训（十大题型）
【题型目录】
题型一 圆的基本概念辨析
题型二 求圆中弦的条数
题型三 求过圆内一点的最长弦
题型四 圆的周长和面积问题
题型五 点与圆的位置关系
题型六 三角形的外接圆
题型七 确定圆的条件
题型八 圆中角度的计算
题型九 圆中线段长度的计算
题型十 求一点到圆上点距离的最值
【知识梳理】
一、圆
（1）圆的定义
1．在一个平面内，线段 绕它固定的一个端点 旋转一周，另一个端点 所形成的图形叫圆．这个固
定的端点 叫做圆心，线段 叫做半径．以 点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
点拨：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。
（2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。
（3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径
确定圆
的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。
（2）点和圆的位置关系
点和圆的 点到圆心的距离与半径的关系
图示
位置关系 文字语言 符号语言
圆内各点到圆心的距离都小于半径， P A
点在圆内 点 在圆内 r
到圆心的距离小于半径的点都在圆内 O
圆内各点到圆心的距离都等于半径， A P
点在圆上 点 在圆上 O
到圆心的距离等于半径的点都在圆上 r圆内各点到圆心的距离都大于半径， A P
点在圆外 点 在圆外 O
到圆心的距离大于半径的点都在圆外 r
点拨：（1）利用 与 的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以
确定 与 的数量关系。
（2）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。
（3）弦、弧、圆心角
1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径
的2倍．
2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以 为端点的弧记作\s\up6(⌒)，读作弧AB．在同圆或
等圆中，能够重
合的弧叫做等弧．
3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做
优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧．
4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．
5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
6．顶点在圆心的角叫做圆心角．
名称 概念 注意 图示
直径是圆中最长的
弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦 ”
弦不一定是直径
直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径 ” 但弦不一定是直径
C
圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条
弧、 直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆； B
半圆是弧，但弧不
半圆、 大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的 O
一定 A
劣孤、 ；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右
是半圆
优弧
图中
等圆只和半径的大
能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个
等圆 小有关，和圆心有
圆是等圆；反过来，等圆的半径相等
位置有关
长度相等的孤不一
等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤
定是等孤
【经典例题一 圆的基本概念辨析】【例1】（2023春·安徽·九年级专题练习）圆O的直径 ，点C是圆O上一点（不与点A、B重
合），作 于点D，若 ，则 的长是（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【分析】分两种情况画出图形，由勾股定理求出 ，则可得出答案．
【详解】解：当点D在 上，如图，连接 ，
圆O的直径 ，
，
，
，
，
；
当点D在线段 上时，如图，
同理可得出 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，圆的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）如图，在锐角三角形 （ ）中，分别以点B，C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线 ，与 交于点M；再分别以点
A，C为圆心，按相同的操作作直线l，与 交于点N，与 交于点O．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确
的是（ ）
结论Ⅰ：点O为 的内心；
结论Ⅱ：连接 ， ，则 一定比 短．
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对，Ⅱ不对 D．Ⅰ不对，Ⅱ对
【答案】D
【分析】由题意的作图可得直线 是 的垂直平分线，直线 是 的垂直平分线，点O是两垂直平分
线的交点，根据垂直平分线的性质即可判断结论Ⅰ；过点O作 于点P，连接 ，根据垂直平分
线的性质得到 ，进而 ，根据三角形的中位线定理可得 ，从而 ，又在
中， ，因此 ，据此可判断结论Ⅱ．
【详解】由题意的作图可得直线 是 的垂直平分线，直线 是 的垂直平分线，点O是两垂直平分
线的交点，
∴点O到三角形三个顶点A、B、C的距离相等，
∴点O是三角形的外心．
故结论Ⅰ错误；
过点O作 于点P，连接 ，
∵点O到三角形三个顶点A、B、C的距离相等，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵直线 是 的垂直平分线，直线 是 的垂直平分线，
∴点M是 的中点，点N是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ．
故结论Ⅱ正确．
故选：D
【点睛】本题考查垂直平分线的判定与性质，三角形的中位线定理，三角形边的关系．理解题意，熟练掌
握垂直平分线的作图是解题的关键．
2．（2023·四川眉山·校考三模）如图，矩形 的边 ，点E是 的中点，点F是 上
一动点（不与B、C重合），把 沿 对折，使点B与点N重合，则线段 的最小值为
．
【答案】 /
【分析】连接 ，利用勾股定理求得 的长度，由折叠的性质可得 ，则点 在以 为圆心，
以 长为半径的圆上，即可求解．
【详解】解：连接 ，如下图：∵点E是 的中点
∴
由勾股定理可得：
由折叠的性质可得， ，
∴点 在以 为圆心，以 长为半径的圆上
∴点 在线段 上时， 有最小值，最小值为
故答案为：
【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，确定点 的运动轨迹是解题的关键．
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知：如图，在正方形 中， 、 分别是 、 的中点．
(1)线段 与 有何关系．说明理由；
(2)延长 、 交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上．说明理由．
【答案】(1) 且 ，证明见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明 ，证据全等三角形的对应边相等，以及直角三角形的两锐角互余即可
证明 相等且互相垂直；
（2）证明 ，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得 ， ， ， 四点
到 的距离相等，即可证得四点共圆．【详解】（1）解： 且 ．
证明： 、 分别是 、 的中点，
， ，
，
又 ， ，
，
， ，
在直角 中， ，
，
，
；
（2）连接 ．
， ， ，
，
，
在直角 中， ，
，
，
， ， ， 在以 为圆心、 长为半径的圆上．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【经典例题二 求圆中弦的条数】
【例2】（2023秋·江苏·九年级专题练习）点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数
为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】试题分析：弦是连接圆上任意两点的线段，根据定义作答．
解：由图可知，点A、B、E、C是⊙O上的点，
图中的弦有AB、BC、CE，一共3条．
故选B．
考点：圆的认识．
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点 ， ， ，点 ， ， 以及点 ， ， 分别在一条
直线上，则圆中弦的条数为 （ ）
A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
【答案】A
【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有 ， 共2条．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键．
2．（2023秋·九年级课时练习）如图，圆中有 条直径， 条弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，
劣弧有 条．【答案】 1 3 4 4
【详解】圆中有AB一条直径，AB、CD、EF三条弦，圆中以A为一个端点的优弧有四条，劣弧有四条，
故答案为1，3，4，4．
3．（2023·浙江·九年级假期作业）如图， 是 内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要
求画图．
（1）在图1中，画山一条与 相等的弦；
（2）在图2中，画出一个与 全等的三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连结CO并延长交 于E，连接BO并延长交 于D，连结ED，再证 BOC≌△DOE
（SAS），可得BC=DE； △
（2）连结AO并延长交 于A′，OA=OA′，连结BO并延长交 于B′，OB=OB′，连结CO并延长交
于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证 BOC≌ B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证
BOA≌ B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同△理可证△AOC≌ A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应
△相等判定△方法可证 ABC≌ A′B′C′（SSS）． △ △
【详解】解：（1）△如图1，△DE为所作；
连结CO并延长交 于E，连接BO并延长交 于D，连结ED，
∵OB=OD=OE=OC，
在 BOC和 DOE中，
△ △，
∴ BOC≌ DOE（SAS），
∴△BC=DE；△
（2）如图2， A′B′C′为所作．
连结AO并延长△交 于A′，OA=OA′，连结BO并延长交 于B′，OB=OB′，连结CO并延长交 于
C′，OC=OC′，
在 BOC和 B′OC′中，
△ △
，
∴△BOC≌△B′OC′（SAS），
∴BC=B′C′；
同理可证 BOA≌△B′OA′（SAS），
∴AB=A′B′△，
同理可证 AOC≌△A′OC′（SAS），
∴AC=A′C△′，
在 ABC和 A′B′C′中，
△ △
，
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性
质与三角形全等判定与性质是解题关键．
【经典例题三 求过圆内一点的最长弦】
【例3】（2023春·九年级课时练习）若 的直径长为 ，点 ， 在 上，则 的长不可能是
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据直径是最长的弦即可求解．
【详解】解：∵若 的直径长为 ，点 ， 在 上，
∴ 的长不可能是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的相关概念，掌握直径是最长的弦是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·浙江·九年级专题练习） 、 是半径为 的 上两个不同的点，则弦 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆的基本性质可直接进行求解．
【详解】∵圆中最长的弦为直径，∴ ．
∴故选D．
【点睛】本题主要考查弦的概念，正确理解圆的弦长概念是解题的关键．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，平面直角坐标系xOy中，M点的坐标为(3，0)，⊙M的半径为
2，过M点的直线与⊙M的交点分别为A，B，则 AOB的面积的最大值为 ，此时A，B两点所在直
线与x轴的夹角等于 °． △
【答案】 6 90
【分析】由于AB为⊙M的直径，则AB为定值4，要使 AOB的面积的最值，则O点到AB的距离最大，
△
而O点到AB的距离最大为OM的长，根据三角形面积公式可得到 AOB的面积的最大值= ×4×3=6，同
△
时得到此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于90°．
【详解】解：∵AB为⊙M的直径，
∴AB＝4，
当O点到AB的距离最大时， AOB的面积的最大值，即AB⊥x轴于M点，
而O点到AB的距离最大为OM△的长，
∴△AOB的面积的最大值＝ ×4×3＝6，
∠AMO＝90°，即此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于90°．
故答案为：6，90．
【点睛】本题考查了圆的认识：过圆心的弦叫圆的直径．也考查了坐标与图形的性质．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图所示， 为 的一条弦，点 为 上一动点，且
，点 ， 分别是 ， 的中点，直线 与 交于 ， 两点，若 的半径为7，求
的最大值.【答案】 的最大值为 .
【分析】由 和 组成 的弦 ，在 中，弦 最长为直径14，而 可求，所以
的最大值可求.
【详解】连结 ， ，
∵ ∴
∴ 为等边三角形，
∵点 ， 分别是 ， 的中点
∴ ，∵ 为 的一条弦
∴ 最大值为直径14 ∴ 的最大值为 .
【点睛】利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题.
【经典例题四 圆的周长和面积问题】
【例4】（2023春·山东泰安·九年级校考期中）如图两个半径都是 的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A
开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径
上不断爬行，直到行走 后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ）
A．D点 B．E点 C．F点 D．G点
【答案】A【分析】先求出蚂蚁爬行一圈所走的路程，再根据停下来时重复的圈数和余数，进而求解即可．
【详解】解：根据题意，每段长度为四分之一的圆周长，即 ，又知绕行8段为一循环，
则爬行一圈的路程为 ，
∵ ， ，
∴行走 后才停下来，那一个点为D点，
故选：A．
【点睛】本题考查圆的周长，图形类规律探究，解答的关键是理解题意，能根据爬行一圈的路程得出重复
的圈数，再由余数确定最终的位置．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方
形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍
【答案】B
【分析】设OB=x，则OA=3x，BC=2x，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解．
【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC，
∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，
∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x，∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积= =2x2，
∴9πx2÷2x2= ，即：圆的面积约为正方形面积的14倍，
故选B．
【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，
是解题的关键．
2．（2023秋·浙江绍兴·七年级统考期末）一座圆形花坛的半径为 ，中间雕塑的底面是边长为 的正
方形．如图，这个花坛的实际种花面积为 （ 取 ，结果精确到个位）．
【答案】
【分析】根据圆的面积减去正方形的面积即可求解．
【详解】解：依题意，这个花坛的实际种花面积为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求圆的面积，掌握圆的面积公式是解题的关键．
3．（2023秋·上海徐汇·六年级上海市徐汇中学校考期末）某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问
号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆的半径均为2，请计算图中阴影部分的周长
和面积．
【答案】阴影部分的周长为 ，阴影部分的面积为
【分析】根据圆的周长和面积公式分别求出阴影的周长和面积，再进行运算即可．
【详解】解：；
.
答：阴影部分的周长为 ，阴影部分的面积为 ．
【点睛】本题考查了圆的面积、周长公式的运用；能够熟练运用公式，并正确化简计算是解题的关键．
【经典例题五 点与圆的位置关系】
【例5】（2023秋·九年级课时练习）已知 的半径为 ，A为线段 的中点，当 时，点A
与 的位置关系是（ ）
A．点A在 内 B．点A在 上
C．点A在 外 D．不能确定
【答案】A
【分析】根据中点得到 ，结合点与圆的关系直接判断即可得到答案；
【详解】解：∵A为线段 的中点， ，
∴ ，
∴点A在 内，
故选A；
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，掌握利用点与圆心的距离d与圆的半径r的大小关系来判断点与圆
的位置关系是解题的关键．点与圆的位置关系：点到圆心的距离小于半径在圆内，等于半径在圆上，大于
半径在圆外．
【变式训练】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知在平面直角坐标系中，P点坐标为 ，若以原点O为圆心，
半径为 画圆，则点P与 的位置关系是（ ）
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定
【答案】B
【分析】先求出 ，根据 的半径为5，即可判断点P与 的位置关系．
【详解】解：∵点P的坐标是 ，
∴ ，
而 的半径为5，
∴ 等于圆的半径，
∴点P在⊙O上．
故选：B．
【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断是解题的关键．
2．（2023秋·九年级课时练习）已知 的半径 ，点 到圆的最近距离为 ，则点 到圆的最远距
离为 ；若点 到 的最近距离为 ，则点 与圆的位置关系是 （填“在圆外、在
圆上或在圆内”）．
【答案】 或 在圆外
【分析】根据 的半径 ，点 到圆的最近距离为 ，可知点 分两种情况，一种情况在圆内，一
种在圆外；根据点 到 的最近距离 ， 的半径 ，可以判断点 与圆的位置关系．
【详解】解： 的半径 ，点 到圆的最近距离为 ，
点 在圆内或者圆外，
当点 在圆内时，点 到圆的最远距离为： ；
当点 在圆外时，点 到圆的最远距离为： ；
当点 到 的最近距离 ， 的半径 ， ，
此时点 在圆外；
故答案为： 或 ，点 在圆外．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是明确点到圆的距离的最近与最远与半径的关系．
3．（2023·山西晋城·统考一模）阅读与思考
下面是一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
“三点共线模型”及其应用
背景知识：通过初中学习，我们掌握了基本事实：两点之间线段最短．根据这个事实，我们证明了：三角形两边的和大于第三边．根据不等式的性质得出了：三角形两边的差小于第三边．
知识拓展：如图，在同一平面内，已知点 和 为定点，点 为动点，且 为定长（令 ），可
得线段 的长度为定值．我们探究 和两条定长线段 ， 的数量关系及其最大值和最小值：当动
点 不在直线 上时，如图 ，由背景知识，可得结论 ， ．
当动点 在直线 上时，出现图 和图 两种情况．在图 中，线段 取最小值为 ；在图 中，
线段 取最大值为 ．
模型建立：在同一平面内，点 和 为定点，点 为动点，且 ， 为定长（ ），则有结论
≥ ， ．当且仅当点 运动至 ， ， 三点共线时等成立．
我们称上述模型为“三点共线模型”，运用这个模型可以巧妙地解决一些最值问题．
任务：
(1)上面小论文中的知识拓展部分．主要运用的数学思想有 ；（填选项）
A．方程思想 B．统计思想 C．分类讨论 D．函数思想
(2)已知线段 ，点 为任意一点，那么线段 和 的长度的和的最小是 ；
(3)已知 的直径为 ，点 为 上一点，点 为平面内任意一点，且 ，则 的最大值是
；
(4)如图4， ，矩形 的顶点 、 分别在边 、 上，当 在 边上运动时， 随
之在 上运动，矩形 的形状保持不变．其中 ， ．运动过程中，求点 到点 的最大
距离．
【答案】(1)C
(2)10
(3)2
(4)
【分析】（1）根据上面小论文中的分析过程，体现了分类讨论思想；
（2）根据两点之间线段最短可得出答案；（3）由点和圆的位置关系可知点 在圆上，由直径的定义可得出答案；
（4）取 的中点 ，连接 、 、 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得
，利用勾股定理列式求出 ，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得 过点 时最大．
【详解】（1）解：上面小论文中的知识拓展部分．主要运用的数学思想有分类讨论思想，
故答案为：C；
（2）解：如图所示：线段 与 的和最小是 ．
故答案为： ；
（3）解：∵ 的直径为 ， ，
∴点 在圆上，
∵点 为 上一点，
∴ 直径时， 有最大值，即 ，
故答案为：2；
（4）解：如图，取 的中点 ，连接 、 、 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
根据三角形的三边关系， ，
∴当 过点 时，等号成立， 的值最大，最大值为 ．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，点和圆的位置关系，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的性质，正确理解题意是解题的关键．
【经典例题六 三角形的外接圆】
【例6】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图所示， 的三个顶点的坐标分别为 、 、
，则 外接圆半径的长为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】三角形的外心是三边垂直平分线的交点，设 的外心为M，由B，C的坐标可知M必在直线
上，由图可知线段 的垂直平分线经过点 ，由此可得 ，过点M作 于点D，连
接 ，由勾股定理求出 的长即可．
【详解】解：设 的外心为M，
、 ，
M必在直线 上，
由图可知，线段 的垂直平分线经过点 ，
，
如图，过点M作 于点D，连接 ，中， ， ，
由勾股定理得： ，
即 外接圆半径的长为 ．
故选D．
【点睛】本题考查求三角形外接圆的半径，能够根据网格和三角形顶点坐标判断出 外心的位置是解
题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·全国·九年级专题练习）如图， 是等边三角形 的外接圆，若 的半径为2，则
的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点O作OH⊥BC于点H，根据等边三角形的性质即可求出OH和BH的长，再根据垂径定理求出
BC的长，最后运用三角形面积公式求解即可．【详解】解：过点O作OH⊥BC于点H，连接AO，BO，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵O为三角形外心，
∴∠OAH=30°，
∴OH= OB=1，
∴BH= ，AH=-AO+OH=2+1=3
∴
∴
故选：D
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，并
能进行推理计算是解决问题的关键．
2．（2023·广东东莞·模拟预测）如图，点D是等边 内部一动点， ，连接 ，若
，则 的长度最小值是 ．
【答案】
【分析】根据等边三角形的性质和 ，求得 ， ，如图，作
的外接圆 ，连接 、 、 、 ，根据圆周角定理可得 ，从而求得，再根据等腰三角形的性质可得 ， ，再根据垂直平分线的
判定可得 垂直平分 ，从而可得 ，再由直角三角形的性质可得 ，设
，则 ，在 中，利用勾股定理求得 ，则 ， ，再由
三角形三边关系可得当点A、D、O在一条直线上时， 最小，即可求解．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
如图，作 的外接圆 ，连接 、 、 、 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，解得： ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴当点A、D、O在一条直线上时， 最小，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外接圆、等腰三角形的性质、圆周角定
理、勾股定理、三角形三边关系、垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键 ．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）[探索发现]有张形状为直角三角形的纸片， 小俊同学想用些大小不
同的圆形纸片去覆盖这张三角形纸片，经过多次操作发现，如图1,以斜边AB为直径作圆，刚好是可以把
Rt△ABC覆盖的面积最小的圆，称之为最小覆盖圆.
[理解应用]
我们也可以用一些大小不同的圆覆 盖锐角三角形和钝角三角形，请你通过操作探究解决下列问题
(1)如图2.在 中， ∠A=105° ，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆(不写作法，保留作图
痕迹) .
（2）如图3,在 中，∠A=80° ，∠B=40° ，AB= ，请求出△ABC的最小覆盖圆的半径
[拓展延伸]
（3）如图4,在 中，已知AB=15， AC=12, BC=9，半径为1的 在 的内部任意运动，则
覆盖不到的面积是
【答案】（1）见解析；（2）r=2；（3） .
【分析】（1）由题意，这个三角形的最小覆盖圆就是三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心在每条边的垂直平分线上，又因三角形的三条垂直平分线必交于一点，故只需作两条边的垂直平分线，其交点即为圆心
O，连接OC，则OC为半径，画图（见解析）即可；
（2）如图（见解析）， 的最小覆盖圆为 的外接圆，由已知条件可得 ，则圆心角
；连接OA、OB，过O作 ，由等腰三角形的性质可得
，在 中利用勾股定理求解即可；
（3）由已知条件可 是直角三角形，利用 的面积减去圆的面积即可得.
【详解】（1）由题意，这个三角形的最小覆盖圆就是三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心在每条边的垂
直平分线上，又因三角形的三条垂直平分线必交于一点，故只需作两条边的垂直平分线，其交点即为圆心
O，连接OC，则OC为半径，画图如下：
（2）如图， 的最小覆盖圆为 的外接圆
连接OA、OB，过O作
（圆周角定理）
，则 是等腰三角形
在 中，
由勾股定理得：
解得：故 的最小覆盖圆的半径为2；
（3）
是直角三角形
又
故所求的面积为 .
【点睛】本题考查了三角形外接圆的性质，理解题意，将其转化为三角形外接圆问题是解题关键.
【经典例题七 确定圆的条件】
【例7】（2023秋·九年级课前预习）下列说法中，真命题的个数是（ ）
①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形
内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆；
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】①根据圆的确定，进行判断即可；②根据三角形的定义进行判断即可；③直角三角形的外心在斜
边上，锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，进行判断；④根据三角形的
外心是三条边的中垂线的交点，进行判断即可；⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
【详解】解：①任何三角形有且只有一个外接圆，是真命题；
②任何圆有无数个内接三角形，原说法错误，是假命题；
③三角形的外心不一定在三角形内，是真命题；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，是假命题；
⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，是假命题；
综上，真命题的个数为2个；
故选B．
【点睛】本题考查三角形的外接圆和圆的确定．熟练掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形
的外心是三角形三边的中垂线的交点，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·九年级课时练习）如图， 、 为⊙O的切线，切点分别为A、B， 交 于点C，
的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）
A． 为等腰三角形 B． 与 相互垂直平分
C．点A、B都在以 为直径的圆上 D． 为 的边 上的中线
【答案】B
【分析】连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，证明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，
∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出 为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角三
角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据△BPA为
等腰三角形，可判断D；无法证明 与 相互垂直平分，即可得出答案．
【详解】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，∵B，C为切点，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OPB≌Rt△OPA，
∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，
∴ 为等腰三角形，故A正确；
∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，
∴PM=OM=BM=AM
∴点A、B都在以 为直径的圆上，故C正确；
∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，
∴△OBC≌△OAC，
∴∠OCB=∠OCA=90°，
∴PC⊥AB，
∵△BPA为等腰三角形，
∴ 为 的边 上的中线，故D正确；
无法证明 与 相互垂直平分，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运
用是解题关键．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形 中， 为 的中点， 为 边上的任意一点，
把 沿 折叠，得到 ，连接 ．若 ， ，当 取最小值时， 的值等于
．
【答案】
【分析】点 在以 为圆心 为半径的圆上运动，当 、 、 共线时时，此时 的值最小，根据折叠
的性质，得出 ，再根据全等三角形的性质，得出 ， ，再根据勾股定理求出，根据折叠的性质，可知 ，再根据线段之间的数量关系，得出 ，再利用勾股定理，
列出方程，解出即可得出答案．
【详解】解：如图所示，点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，当 、 、 共线时时，此时
的值最小，
根据折叠的性质， ，
， ，
是 边的中点， ，
，
，
，
．
由折叠可知： ，
，
在 中，根据勾股定理得：
，
，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短的综合运用，
熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知等边 的边长为8，点P是 边上的一个动点（与点A、B
不重合）．
（1）如图1．当 时， 的面积为 ；
（2）直线l是经过点P的一条直线，把 沿直线l折叠，点B的对应点是点 ．①如图2，当 时，若直线 ，求 的长度；
②如图3，当 时，在直线l变化过程中．请直接写出 面积的最大值．
【答案】（1） ；（2）① ；②
【分析】（1）先根据等边三角形的边长为8，计算等边△ABC的面积，由同高三角形面积的比等于对应底
边的比，可得△PBC的面积；
（2）①如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．证明△PEB是等边三角形，求出OB即可
解决问题；
②如图3中，过点P作PH垂直于AC，当B'、P、H共线时，△ACB′的面积最大，求出PH的长即可解决
问题．
【详解】解：（1）如图1中，
∵等边△ABC的边长为8，
∴等边△ABC的面积= ，
∵PB=3AP，
∴△BPC的面积为 ；
故答案为：12 ；
（2）①如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O，∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°，
∴△PEB是等边三角形，
∵PB=5，且B，B′关于PE对称，
∴BB′⊥PE，BB′=2OB，
∴∠PBO=30°，
∴OP= PB= ，OB= ，
∴BB′=5 ；
②如图3中，过点P作PH垂直于AC，
由题意可得：B'在以P为圆心半径长为6的圆上运动，
当HP的延长线交圆P于点B′时面积最大，
在Rt△APH中，∵AB=8，PB=6，
∵PA=2，
∵∠PAH=60°，∴AH=1，PH= ，
∴BH=6+ ，
∴S ACB = ×8×（6+ ）=4 +24．
′的最大值
△
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质和判定，轴对称变换，勾股定理，含30°的直
角三角形的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属
于中考压轴题．
【经典例题八 圆中角度的计算】
【例8】1（2023·甘肃白银·校考三模）如图，A、B、C是圆O上的三点，且四边形 是平行四边形，
交圆O于点F，则 等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到 为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得
到答案．
【详解】解：
连接 ，如图所示，∵四边形 是平行四边形，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆内半径相等，平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用，掌握等腰
三角形的三线合一是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·四川广元·统考一模）如图， 为 的直径， 是 的弦， 、 的延长线交于点E，
已知 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 ，根据等腰三角形的判定和性质，得到 ，再根据三角形外角的性质，
得到 ，利用三角形内角和定理，得到 ，即可求出 的度数．
【详解】解：连接 ，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三
角形等边对等角的性质是解题关键．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形 中， ， ，M，N分别是 ，
上的动点，连接 ， 交于点E，且 ．
（1） ．
（2）连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /90度 2
【分析】（1）由 ， 推出 ，最后利用矩形的性
质即可得解；
（2）先确定E点的运动路径是个圆，再利用圆的知识和两点这间线段最短确定 最短长度，然后利用勾
股定理即可得解．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ，
∴
.∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为 ．（2）∵ ，点E在以 为直径的圆上，设 的中点为O，则当O，E，C三点共线时， 的
值最小，此时
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为2．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，最短距离，圆等知识的应用，熟练掌握其性质是解决此题的
关键．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ，C为 上一点，连接 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 的面积与 的面积之比为 ，求 的值．
【答案】(1)∠BOC的度数为50°
(2)
【分析】（1）设 ，先根据等边对等角和三角形内角和定理得到，再根据 建立方程求解即可；
（2）过C作 于H，设 ，根据三角形面积之比求出 ，则由勾股定理得
，进而得到 ，再利用勾股定理求出 的长即可得到答案．
【详解】（1）解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：过C作 于H，设 ，
∵ 的面积与 的面积之比为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股可得 ，在 中，由勾股可得 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，正确作出辅助线构
造直角三角形是解题的关键．
【经典例题九 圆中线段长度的计算】
【例9】（2023·全国·九年级专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交
点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得 的外心为O，求 的长度为何（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到 ，从而确
定B、C的位置，然后利用勾股定理计算即可．
【详解】解：∵ 的外心为O，
，
，
，
、 是方格纸格线的交点，
、 的位置如图所示，．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图， 是 的直径，弦 于点 ．若 ，则
的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】连接 ，由勾股定理得， ，从而即可得到 ，最后由
计算即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接 ，
，
，弦 于点 ，
，
是 的直径，
，
，故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的相关概念进行计算是解题的关键．
2．（2023春·贵州铜仁·九年级校考阶段练习）如图，在矩形 中， ， ，M是 边上
的一点，将 沿 对折至 ，连接 ，当 的长最小时，则 的长是 ．
【答案】
【分析】由翻折可得 ，故可确定点 的轨迹，即可求解．
【详解】解：由题意得：
故点 在以点 为圆心， 为半径的圆弧上运动，如图所示：
设 则
在 中， ，
∴
解得：故答案为：
【点睛】本题考查动点轨迹问题．矩形的性质，勾股定理的应用，确定点 的轨迹是解题关键．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， ，在射线 上顺次截取 ， ，
以 为直径作 交射线 于 、 两点．求：
(1)圆心O到 的距离．
(2)求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过 点作 于 ，如图，根据含 度的直角三角形三边的关系求出 即可；
（2）连接 ，如图，利用勾股定理计算出 和 即可得答案．
【详解】（1）解：过 点作 于 ，如图，
，
，
，
在 中， ，，
即圆心 到 的距离为 ；
（2）解：连接 ，如图，
，
∴在 中， ，
在 中， ，
．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形、勾股定理及圆的概念，解本题的关键在熟练掌握 度角所
对的直角边等于斜边的一半的性质．
【经典例题十 求一点到圆上点距离的最值】
【例10】（2023秋·江苏·九年级专题练习）在同一平面内，已知 的半径为2，圆心O到直线l的距离为
3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】过点 作 于点 ，连接 ，判断出当点 为 的延长线与 的交点时，点 到直线
的距离最大，由此即可得．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，连接 ，， ，
当点 为 的延长线与 的交点时，点 到直线 的距离最大，最大距离为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的性质，正确判断出点 到直线 的距离最大时，点 的位置是解题关键．
【变式训练】
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平行四边形 中， ， ， ， 是
边的中点， 是线段 上的动点，将 沿 所在直线折叠得到 ，连接 ，则 的最
小值是（ ）
A． B．6 C．4 D．
【答案】D
【分析】如图， 的运动轨迹是以E为圆心，以 的长为半径的圆．所以，当 点落在DE上时， 取
得最小值．过点D作 交 延长线于G，解 ,得 ， ，
进一步求得 ，从而解得 ．
【详解】解：如图， 的运动轨迹是以E为圆心，以 的长为半径的圆．所以，当 点落在DE上时，
取得最小值．过点D作 交 延长线于G，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵E是 的中点， ，
∴ ，
∴
∴
由折叠的性质可知
∴ ．
故选D．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、平行四边形的性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点 在何
位置时， 的值最小，是解决问题的关键．
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形 中， ，动点P在矩形的边上沿
运动．当点P不与点A、B重合时，将 沿 对折，得到 ，连接 ，则在点
P的运动过程中，线段 的最小值为 ．【答案】 /
【分析】根据折叠的性质得出 在A为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点P在 上时，当
点P在 上时，当P在 上时，即可求解．
【详解】解：在矩形 中， ，
∴ ， ，
如图所示，当点P在 上时，
∵ ，
．∴ 在A为圆心，2为半径的弧上运动，
当A， ，C三点共线时， 最短，
此时 ，
当点P在 上时，如图所示，此时 ，
当P在 上时，如图所示，此时 ，
综上所述， 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的
关键．
3．（2023·河北衡水·统考二模）如图， 和 均为边长为 的等边三角形，点 在边 上，
是 的中点，作点 关于 的对称点 ，连接 和 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)求 的最小值；
(3)若 与 垂直，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出 ，即可得证；（2）根据题意得出点 在以 为圆心， 为半径的圆上，进而勾股定理求得 的长，当 在线段 上
时， 取得最小值，即可求解；
（3）根据题意作出图形，延长 交 于点 ，得出 ， ，勾股定理求得
，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 和 均为边长为 的等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：∵ ， 是 的中点，
∴ ，
∵点 关于 的对称点 ，
∴ ，
∴点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
连接 ，如图所示，
∵ 是 的中点， 是等边三角形
∴ ，
∴ ，
当 在线段 上时， 取得最小值，
∴ 的最小值为
（3）解：如图所示，延长 交 于点 ，∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆外一点到圆上的距离，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，菱形的
判定，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【重难点训练】
1．（2023秋·九年级课时练习）直角三角形的两条直角边长分别是 ， ，则这个直角三角形的外
接圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用勾股定理计算出直角三角形的斜边，然后根据直角三角形的斜边为它的外接圆的直径得到
这个三角形的外接圆的半径．
【详解】解：直角三角形的斜边 ，
因为直角三角形的斜边为它的外接圆的直径，所以这个三角形的外接圆的半径为 ，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形外接圆的性质，熟练运用勾股定理计算直角三角形的未知边．注意：直角
三角形的外接圆的半径是其斜边的一半．
2．（2023春·山东泰安·九年级校考期中）如图中 外接圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点，分别作垂直平分线，交点为外心，再过外心
分别向 轴， 轴的垂线，确定坐标．
【详解】解： 外接圆圆心的坐标为 ．
故选C．【点睛】本题考查三角形的外接圆的定义．本题解题的关键是作图找出三角形的外心．
3．（2023·吉林长春·统考一模）如图，点P是 外一点，分别以O、P为圆心，大于 长为半径作圆
弧，两弧相交于点M和点N，直线 交 于点C，再以点C为圆心，以 长为半径作圆弧，交 于
点A，连接 交 于点B，连接 ．若 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，根据作图痕迹，直线 垂直平分 ， ，利用线段垂直平分线性质和等腰三
角形的等边对等角求得 ， ，再利用三角形的外角性质和三角形的
内角和定理求得 即可．
【详解】解：连接 ，根据作图痕迹，直线 垂直平分 ， ，
则 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查基本尺规作图-作垂线、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，得到直线 垂直平分 是解答的关键．
4．（2023·上海·模拟预测）如图，在 中， ， ， ，点 在边 上，
， 的半径长为3， 与 相交，且点B在 外，那么 的半径长r可能是（ ）
A．r＝1 B．r＝3 C．r＝5 D．r＝7
【答案】B
【分析】连接 交 于 ，根据勾股定理求出 ，求出 和 ，再根据相交两圆的性质和点与圆
的位置关系得出r的范围即可得答案．
【详解】解：如图，连接 交 于 ，则 ，
在 ，由勾股定理得： ＝ ＝ ＝5，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵使 与 相交，且点B在 外，
∴ 的半径长r的取值范围为：2＜r＜4，
∴只有选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和
点与圆的位置关系的内容是解此题的关键．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 的半径为4，圆心 的坐标为 ，点P是 上的任
意一点， ，且 、 与 轴分别交于 、 两点，若点 、点 关于原点 对称，则 的最
大值为（ ）
A．13 B．14 C．12 D．28
【答案】D
【分析】由 中 知要使 取得最大值，则 需取得最大值，连接 ，并延长交 于
点 ，当点 位于 位置时， 取得最大值，据此求解可得．
【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵点 、点 关于原点 对称，
∴ ，
∴ ，
若要使 取得最大值，则 需取得最大值，
连接 ，并延长交 于点 ，当点 位于 位置时， 取得最大值，
过点 作 轴于点 ，
则 、 ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选：D．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得
出 取得最小值时点 的位置．
6．（2023秋·浙江·九年级专题练习）一个直角三角形的两条边长是方程 的两个根，则此直
角三角形的外接圆的直径为 ．
【答案】6或
【分析】先解方程求出方程的两个根，再根据较大的根为斜边和直角边，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解： ，
，
解得： ，
①当直角边分别为2，6时，
斜边为： ，
∵直角三角形的外接圆的直径即为直角三角形斜边的长，
∴此时直角三角形外接圆的直径为 ，
②当斜边为6时，
此时直角三角形外接圆直径为6．
故答案为：6或 ．
【点睛】本题考查解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圆．解题的关键是正确的求出一元二次
方程的根，注意分类讨论．
7．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末） 中， 、 、 ，则 外接圆圆心坐标
为 ．【答案】
【分析】先画出图形，证明 ，可得 的外心是斜边 的中点，从而可得答案．
【详解】解：如图，∵ 、 、 ，
∴ ，
∴ 的外心是斜边 的中点，
∴外接圆的圆心坐标为： ，即 ；
故答案为：
【点睛】本题考查的是坐标与图形，求解直角三角形的外心坐标，熟记直角三角形的外心是斜边的中点是
解本题的关键．
8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，E是边长为4的正方形 的边 上的一个动点，F是以
为直径的半圆上的一个动点，连接 ， ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】延长 到点G，使得 ，设半圆的圆心为点O，连接 交 于点M，交半圆于点N，
则 的最小值是 ，根据 用勾股定理计算即可．【详解】延长 到点G，使得 ，设半圆的圆心为点O，连接 交 于点M，交半圆于点N，
则 的最小值是 ，
∵E是边长为4的正方形 的边 上的一个动点，F是以 为直径的半圆上的一个动点，
∴ ， ，
过点O作 于H，
∵边长为4的正方形 ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
当点F与点N重合，点E与点M重合时， 最小，
且 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，线段和最小原理，圆的最值性质，熟练掌握线段和最小原理，圆的最
值性质，是解题的关键．
9．（2023·河南焦作·统考二模）如图，在 中， ， ， ，正方形 的边
长为1，将正方形 绕点C旋转一周，点G为 的中点，连接 ，则线段 的取值范围是 ．
【答案】【分析】如图所示，连接 ，先根据正方形的性质和勾股定理求出 ，再根据题意可知点G在以
点C为圆心，半径为 的圆上运动，故当点G在线段 上时， 最小，此时点G与点 重合，当点C
在线段 上时， 最大，此时点G与 重合，利用勾股定理求出 ，则
，即可得到 ．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵四边形 是边长为1的正方形，点G为 的中点，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴在正方形 绕点C旋转一周的过程中，点G在以点C为圆心，半径为 的圆上运动，
∴当点G在线段 上时， 最小，此时点G与点 重合，当点C在线段 上时， 最大，此时点G
与 重合，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．【点睛】本题主要考查了圆外一点到圆上一点距离的最值问题，正方形的性质，勾股定理，正确确定点G
的运动轨迹是解题的关键．
10．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，在直角坐标系中，已知点 、点 ， 的半径为5，点
C是 上的动点，点P是线段 的中点，那么 长的取值范围是 ．
【答案】
【分析】如图，在y轴上取一点 ，连接 ， ，由勾股定理求出 ，由三角形中位线
定理求 ，当C在线段 上时， 的长度最小值 ，当C在线段 延长线上时，
的长度最大值 ，即可求解．
【详解】解：如图，在y轴上取一点 ，连接 ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∵点P是 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
当C在线段 上时， 的长度最小值为： ，
当C在线段 延长线上时， 的长度最大值为： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是圆外一点到圆上点距离的最值，三角形中位线定理，勾股定理等知识，添加恰当的
辅助线是解答本题的关键．
11．（2023·浙江衢州·校考一模）如图， 为圆O的直径，点C，D在圆O上， 与 交于点E，
， ，连接 ， ．求证：
(1) ；
(2)四边形 是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析【分析】（1）由已知条件根据全的三角形的判定即可证明；
（2）首先根据平行四边形的判定证明四边形 是平行四边形，然后根据一组邻边相等的平行四边形
是菱形即可证明．
【详解】（1）证明：在 和 中，
∵ ，
∴ ；
（2）∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形．
∵ ，
∴四边形 是菱形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、菱形的判定、圆的性质，掌握全等三角形的判定和特殊平
行四边形的判定是解题的关键．
12．（2023秋·山西大同·九年级大同一中校考期末）工人师傅后在一个上表面是直角三角形的器具上面安
装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示．
(1)请用尺规作图在图上作出该图；
(2)测量直角三角形的两直角边 ， ，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅
计算出所需要正方形板的最小面积是多少?
【答案】(1)见详解
(2)【分析】（1）分别作线段 , 的垂直平分线，交 于点O，以O为圆心， 长为半径画圆即可；
（2）利用勾股定理求出 ，即为所需正方形的版的最小边长，即而求出面积；
【详解】（1）即为所作
（2）∵ ， ，
∴
∴所需要正方形板的最小面积是
【点睛】此题主要考查了外接圆的作法和勾股定理等知识，作垂直平分线和得出 是解题关键．
13．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在 中， ，点D、E在 上， ，过
A，D，E三点作 ，连接 并延长，交 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图所示，连接 ，先证明 ．得到 ，再由
得到 垂直平分 ，即可证明 ；
（2）利用三线合一定理得到 ．则 ．求出 ．设半径为r，则 ．在中，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接 ，
∵ ．
∴ ．
又∵ ．
∴ ．
∴ ，
又∵ ．
∴ 垂直平分 ，
∴ ．
（2）∵ ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
设半径为r，则 ．
在 中， ，
∴ ，
解得 ．
∴ 的半径长为 ．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质和判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
14．（2023·上海长宁·统考二模）如图1，点E、F分别在正方形 的边 、 上， 与 交于
点G．已知 ．
(1)求证： ；
(2)以点G为圆心， 为半径的圆与线段 交于点H，点P为线段 的中点，联结 ，如图2所示，
求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先根据正方形的性质证明 ，再证明 ，再根据等角的余角相
等即可得出结论；
（2）根据圆的知识证明 垂直平分 ，再根据等腰三角形的性质与判定即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形， ，
，
∵ ， ，
∴ ，
故 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即
∴ ；
（2）由题意可知： ，且（1）有： ，
∴ 垂直平分 ，故 ，
在 中， ， ，∴ ，在 中， ，P为线段 的中点， ，
故 ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是圆的知识、正方形的性质、全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，
掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
15．（2023·浙江台州·统考一模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大
圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分
布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如 ）始终垂直于水平线l．
(1) _______°；
(2)若 的半径为10，小圆的半径都为1；
①当圆心H到l的距离等于 时，求OH的长；
②求证：在旋转过程中， 的长为定值．
【答案】(1)60
(2)① ；②见解析
【分析】（1）将 平均分6份即可；
（2）①设 的挂点为K，过点H作 于点T，先证四边形 是矩形，再用勾股定理解
即可；②先证 是等边三角形，再证 是平行四边形，可得 ．
【详解】（1）解： ，
故答案为：60；
（2）①解：如图，设 的挂点为K，过点H作 于点T，挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l，
K，H，T在同一直线上，
圆心H到l的距离等于 ，
，
， ，
，
四边形 是平行四边形，
又 ，
四边形 是矩形，
，
，
；
②证明：如图所示，连接 ， ，
由（1）知 ，
又 ，
是等边三角形，
，
小圆的半径都为1，挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l，， ，
四边形 是平行四边形，
，
的长为定值．
【点睛】本题考查圆的基本知识，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性
质，勾股定理等，解题的关键是根据题意抽象出数学模型．
