文档内容
专题04 直线与圆的位置关系重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）
题型一 判断直线和圆的位置关系
题型二 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围
题型三 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
题型四 根据直线与圆的位置关系确定交点个数
题型五 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离
题型六 求直线平移到与圆相切时运动的距离
题型七 利用直线与圆的位置关系求最值
题型八 直线与圆的位置关系综合
知识点一、直线和圆的位置关系
1. 设 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系 图形 定义 性质及判定
r O
相离 直线与圆没有公共点 直线 与 相离
d l
r 直线与圆有唯一公共点，直线叫做
相切 O 直线 与 相切
d l 圆的切线，公共点叫做切点
r 直线与圆有两个公共点，直线叫做
相交 O 直线 与 相交
d
l 圆的割线
从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：
直线和圆的位置关系 相交 相切 相离
公共点个数
圆心到直线的距离 与半径 的关系
公共点名称 交点 切点 —
直线名称 割线 切线 —【经典例题一 判断直线和圆的位置关系】
【例1】（23-24九年级上·山东聊城·期中）在 中， ， ， ，若以C点为圆心、
以13为半径画 ，则直线 与 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【答案】C
【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系和勾股定理，先根据题意可求出斜边 的长，再
过点C作 于点 ，设 ，则 ，根据勾股定理列出关于 长的等式，求得 的
长，再根据勾股定理求得 的长，与 半径相比较，即可得到直线 与 的位置关系．
【详解】解： ， ， ，
，
如图，过点C作 于点 ，设 ，则 ，
此时有 ，即 ，
解得： ，此时 ，
半径为13， ，
直线 与 的位置关系是相交，
故选：C．
1．已知 的半径是一元二次方程 的一个根，圆心O到直线l的距离 ，则直线 与
的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交【答案】B
【分析】本题考查一元一次方程的解法，直线与圆的位置关系等知识与方法，求出一元一次方程
的解并且判断圆心 到直线 的距离 与 的半径 之间的大小关系是解题的关键．
设 的半径为 ，解一元一次方程 得 ， ，则 ，所以 ，可知直线 与
圆 相离，于是得到问题的答案．
【详解】解：设 的半径为 ，
解一元一次方程 得 ， ，
∵ 的半径是一元二次方程 的一个根，
∴ ，
∵圆心 到直线 的距离 ，
∴ ，
∴直线 与 相离，
故选：B．
2．已知直线 经过点 ，将直线向上平移 个单位，若平移后得到的直线与半径为6
的 相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直
角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．
【详解】解：把点 代入直线 得，
，
；
由 向上平移 个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为 ，
设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B， 如图所示当 时， ；当 时， ，
， ，
即 ， ；
在 中， ，
过点O作 于D，
，
，解得 ，
由直线与圆的位置关系可知 ，解得
故答案为：
【点睛】此题主要考查直线与圆的关系，一次函数图象的平移，关键是根据待定系数法、勾股定理、直线
与圆的位置关系等知识解答．
3．已知： 中， ，以点C为圆心，作半径为 的圆.问：
(1)当R为何值时， 和直线 相离？
(2)当R为何值时， 和直线 相切？
(3)当R为何值时， 和直线 相交？【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系．根据题意画出图形，过点C作 于点D，由勾股定理
求出 的长，再求出 的长，根据直线与圆的三种位置关系进行解答即可．
【详解】（1）解：过点C作 于点D，
∵ 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴当 ， 和直线 相离；
（2）解：当 时， 和直线 相切；
（3）解：当 时， 和直线 相交．
【经典例题二 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围】
【例2】（2024·山东菏泽·一模）在直角三角形 中， ， ， ，以点C为圆心作
，半径为 ，已知直线 和 有交点，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，作 于D，由勾股定理求出 ，由三角形
的面积求出 ，可得以C为圆心， 为半径所作的圆与斜边 只有一个公共点，即可得直线 和
有交点， 的取值范围．
【详解】解：作 于D，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ 的面积 ，
∴ ，即圆心C到 的距离 ，
∴以C为圆心的⊙C与直线 有交点，则 的取值范围是： ．
故选：D．
1．在 中， ， ， ．若 与 相离，则半径为r满足（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，勾股定理和含30度直角三角形的性质，
根据含30度直角三角形的性质和勾股定理得到 和 的长度，再根据 与 相离可知半径小于点C
到 的距离，即可进行求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴
∴ ，
∵
4
∴ ，解得：AC= ❑√3，
3
∴
设点C到 的距离为h，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵若 与 相离，
∴
故选：C．
2． 中， 是 的中点，以点 为圆心作 ，若 与边 有且仅有一
个交点，则 的半径 应满足 ．
【答案】r=1或
【分析】本题考查含30°角的直角三角形的性质，直线和圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系是解题
的关键．
过点D作 的垂线，垂足为E，过点A作 于点F，连接CD，根据30°角所对的直角边等于斜边
的一半可以得到 ， ，利用勾股定理求出CD长，分为相切和当B在圆内
部，点C在 上或在 外分类讨论即可解题．
【详解】过点 作 的垂线，垂足为 ，过点 作 于点 ，连接CD，，
，
∵ 是AB的中点,
，
， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
当 ，即 r=1时， 与边 有且仅有一个交点，
当 在圆内部，点 在 上或在 外时，即 时, 与边 也有且仅有一个交点，
∴当r=1或 ， 与边 有且仅有一个交点，
故答案为：r=1或 ．
3．如图，在 中， ， ， ， 的中点为点 .以点 为圆心， 为半径作
.
（1）当 时，点 在 ______， 在 ______（填“上、内、外”）；
（2）若 与线段 只有一个公共点，求 的取值范围.【答案】（1）内，外；（2）2＜r≤4或r= ．
【分析】（1）根据勾股定理得 ，从而得r= ,进而即可得到答案；
（2）分两种情况：①当 与直线 相切时，②当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，分别求出r的范
围，即可．
【详解】（1）∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ 的中点为点 ，
∴r=CM= = ,
∵2＜ ＜4，
∴点 在 内， 在 外，
故答案是：内，外；
（2）①当 与直线 相切时， 与线段 只有一个公共点，设切点为D，连接CD，则CD⊥AB，
∵在Rt 中， ，
∴r= ，
②当点A在圆内，点B在圆外或圆上时， 与线段 只有一个公共点，此时，2＜r≤4．
综上所述： 的取值范围：2＜r≤4或r= ．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握当r=d时，点在圆上，当r＜d时，点在圆外，当r＞d时，
点在圆内，是解题的关键．
【经典例题三 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】【例3】（2024·河南许昌·二模）如图，平面直角坐标系中， 经过三点 ，点D
是 上的一动点．当点 D 到弦 的距离最大时，点D 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点P作 于点E，作 于点F，延长 交 于点D，此时
点 D 到弦 的距离最大，利用垂径定理，勾股定理计算即可．
本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握直线与圆的位置关
系，勾股定理，垂径定理是解题的关键．
【详解】解：∵点 ,
∴ ,
过点P作 于点E，作 于点F，延长 交 于点D，此时点 D 到弦 的距离最大，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴点 D 到弦 的距离最大为 ，
∴点D的坐标为 ，
故选A．．
1．如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两
点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】连接OP，PC，OC，根据OP+PC≥OC，求出OP的最小值，根据直角三角形的性质得到
AB=2OP，计算得到答案．
【详解】解：连接OP，PC，OC，
∵OP≥OC-PC=2，
∴当点O，P，C三点共线时，OP最小，最小值为2，
∵OA=OB，∠APB=90°，
∴AB=2OP，当O，P，C三点共线时，AB有最小值为2OP=4，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了几何问题的最值，掌握三角形两边和大于第三边，两边差小于第三边，得到点
O，P，C三点共线时，OP最短是解题的关键．
2．如图，在直角梯形 中， ，E是 上一定点， ．
点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，
且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】根据题意可得 的最小值为圆P与 相切，切点为M； 最大值为圆 与圆E内切，切点为
Q，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题．
【详解】解：根据题意可知： 的最小值为圆P与 相切，切点为M，如图所示：
∴ ，
在直角梯形 中，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
最大值为圆 与圆E内切，切点为Q，
∴ ，当 时，此时圆P与线段 开始有2个交点，不符合题意，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
则 长度的取值范围是 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直角梯形，解决本题的关键是掌握直线与
圆的位置关系，圆与圆的位置关系．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10cm，P为BC的中点，动点Q从点P出发，
沿射线PC方向以 cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t秒．
（1）当t=2.5s时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由．
（2）已知⊙O为Rt△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．
【答案】（1）相切，证明见解析；（2）t为 s或 s
【分析】（1）直线AB与⊙P关系，要考虑圆心到直线AB的距离与⊙P的半径的大小关系，作PH⊥AB于
H点，PH为圆心P到AB的距离，在Rt△PHB中，由勾股定理PH，当t=2.5s时，求出PQ的长，比较
PH、PQ 大小即可，
（2）OP为两圆的连心线，圆P与圆O内切r -r =OP, 圆O与圆P内切，r -r =OP即可．
O P P O
【详解】（1）直线AB与⊙P相切．理由：作PH⊥AB于H点，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10，∴AB=2AC=20，BC= ，
∵P为BC的中点
∴BP=
∴PH= BP= ，
当t=2.5s时，PQ= ，
∴PH=PQ= ∴直线AB与⊙P相切 ，
（2）连结OP，
∵O为AB的中点，P为BC的中点，
∴OP= AC=5，
∵⊙O为Rt ABC的外接圆，
∴AB为⊙O△的直径，
∴⊙O的半径OB=10 ，
∵⊙P与⊙O相切 ，
∴ PQ-OB=OP或OB-PQ=OP 即 t-10=5或10- t =5，
∴ t= 或t= ，
故当t为 s或 s时，⊙P与⊙O相切．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆相切时求运动时间t问题，关键点到直线的距离与半径是
否相等，会求点到直线的距离，会用t表示半径与点到直线的距离，抓住两圆相切分清情况，由圆心在圆O内，没有外切，只有内切，要会分类讨论，掌握圆P与圆O内切r -r =OP, 圆O与圆P内切，r -r =OP．
O P P O
【经典例题四 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】
【例4】（17-18九年级下·全国·单元测试）已知⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点
个数为（ ）
A．0 B．l C．2 D．法确定
【答案】C
【分析】先根据题意判断出直线与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：∵⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为5cm，6cm＞5cm，
∴直线l与⊙O相交，
∴直线l与⊙O有两个交点．
故选：C．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d＜r
时，直线与圆相交是解答此题的关键．
1．（23-24九年级上·全国·期末）已知， 中， ，斜边 上的高为 ，以点 为圆心，
为半径的圆与该直线 的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直
线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【详解】解：∵5cm＞4.8cm，
∴d> r.
∴圆与该直线AB的位置关系是相离，交点个数为0，
故选A．
【点睛】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系，关键是掌握d与r的大小关系所决定的直线与圆
的位置关系．
2．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）已知 的半径是一元二次方程 的一个根，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与 有 个交点．
【答案】0
【分析】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系，解出方程根据圆的半径大于0舍去方程得负
数根，根据“圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆无交点；圆心到直线的距离等于半径，则直线与圆
相切，有一个交点；圆心到直线的距离小于半径，则直线与圆有两个交点”得到结果，是解题的关键．
【详解】解：解 ，可得 ，
的半径是一元二次方程 的一个根，
圆的半径为3，
圆心O到直线l的距离为4，
直线l与 有0个交点，
故答案为：0．
3．（2020·广东·一模）在平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（-3，4），以半径r在坐标平面内作圆，
（1）当r 时，圆O与坐标轴有1个交点；
（2）当r 时，圆O与坐标轴有2个交点；
（3）当r 时，圆O与坐标轴有3个交点；
（4）当r 时，圆O与坐标轴有4个交点；
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或5；（6） 且
【分析】分别根据直线与圆相切、相交的关系进行逐一解答即可．
【详解】解：（1） 圆心 的坐标为 ，
当 时，圆 与坐标轴有1个交点；
（2） 圆心 的坐标为 ，
当 时，圆 与坐标轴有2个交点；
（3） 圆心 的坐标为 ，
当 或5时，圆 与坐标轴有3个交点；
（4） 圆心 的坐标为 ，
当 且 时，圆 与坐标轴有4个交点．
故答案为：（1） ；（2） ；（3） 或5；（6） 且 ．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解答此题时要考虑到圆过原点的情况，这是此题易遗漏的地
方．
【经典例题五 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】
【例5】（23-24九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中， 的半径为2，点P的坐标
为 ，若将 沿y轴向下平移，使得 与x轴相切，则 向下平移的距离为（ ）
A．1 B．5 C．3 D．1或5
【答案】D
【分析】分圆P在 轴的上方与 轴相切和圆P在 轴的下方与 轴相切两种情况分别求解即可．
【详解】解：当圆P在 轴的上方与 轴相切时，平移的距离为 ，
当圆P在 轴的下方与 轴相切时，平移的距离为 ，
综上所述， 向下平移的距离为1或5．
故选：D．
【点睛】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键．
1．如图， 中， ， ， ，半径为 的 与 ， 相切，当 沿边 平移至与 相切时，则 平移的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接OA，OB，OC，设此时点O到AC的距离为h，根据S =S +S +S ，求出
ABC AOC BOC AOB
△ △ △ △
S ，即可求出h，即可得到答案．
AOC
△
【详解】当 与AB，BC相切时，如图，连结OA，OB，OC，
设此时点O到AC的距离为h，
∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，
∴AB= =10，
∴S =S +S +S ，
ABC AOC BOC AOB
△ △ △ △
∴ AC·BC=S + （AB+BC）×1，
AOC
△
∴ ×6×8=S + ×（8+10）×1，
AOC
△
∴S =24-9=15= AC·h= ×6×h，
AOC
△
∴h=5，
∴ 的平移距离为5-1=4，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的面积，勾股定理，掌握知识点是解题关键．2．如图，直线 相交于点O， ，半径为 的 的圆心在射线 上，开始时，
．如果 以 /秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当 的运动时间 （秒）满足条件
时， 与直线 相交．
【答案】 /
【分析】首先分析相切时的数量关系，则点 到 的距离应是1，根据 所对的直角边是斜边的一半，
得 ；分两种情况：当点 在 上时，需要运动 秒；当点 在 上时，需要运动
秒，因为在这两个切点之间的都是相交，继而得出答案．
【详解】解： ，
当点P在 上 与 相切时，需要运动 秒；
当点P在 上 与 相切时，需要运动 秒；
在这两个点之间的都是相交，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是直线和圆的位置关系，解决时注意考虑相交的临界条件，掌握直线和圆的位置关系
是解题关键．
3．如图甲，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为 个单位长度，点P
为直线y＝﹣x+6上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD．
（1）判断四边形OCPD的形状并说明理由．
（2）求点P的坐标．
（3）若直线y＝﹣x+6沿x轴向左平移得到一条新的直线y＝﹣x+b，此直线将⊙O的圆周分得两段弧长之
1
比为1：3，请直接写出b的值．
（4）若将⊙O沿x轴向右平移（圆心O始终保持在x轴上），试写出当⊙O与直线y＝﹣x+6有交点时圆心O的横坐标m的取值范围．（直接写出答案）
【答案】（1）四边形OCPD为正方形，见解析；（2）P点坐标为(2，4)或(4，2)；（3）b的值为 或
；（4）
【分析】（1）根据切线的性质得OC⊥PC，PD⊥PD，加上PC⊥PD，则可判断四边形OCPD为矩形，然后
利用OC＝OD可判断四边形OCPD为正方形；
（2）利用正方形的性质得 ，利用勾股定理建立方程，解方程即可得出结论；
（3）利用直线y＝﹣x+b将⊙O的圆周分得两段弧长之比为1：3可得到直线y＝kx+b与坐标的交点A和
1 1
点B为⊙O与坐标的交点，然后讨论：当点A和点B都在坐标轴的正半轴上或当点A和点B都在坐标轴的
负半轴上时，易得b的值为± ；
（4）先确定A点和B点坐标，再判断△OAB为等腰直角三角形，则∠ABO＝45°，然后讨论：当圆移动到
点O 时与直线AB相切，作OM⊥AB，如图丙，根据切线的性质得OM＝ ，利用等腰直角三角形的性
1 1 1
质得求出O 与O' 的坐标，于是根据直线与圆的位置关系可得到⊙O与直线y＝﹣x+6有交点时圆心O的横
1 2
坐标m的取值范围．
【详解】解：（1）四边形OCPD为正方形．
理由如下：连接OC、OD，易知OC⊥PC，OD⊥PD，
又PC⊥PD，
∴四边形OCPD为矩形，
又OC＝OD，
∴四边形OCPD为正方形．（2）连接OP，
为正方形，
，
在直线 上，
设 ，
由 得： ，
解得： 或 ．
点坐标为 或 ．
（3）平移后的新直线A′B′交圆于A′B′，分得的两段弧长之比为1：3，
分得的劣弧是圆周的 ，
直线AB与x轴夹角为 ， ，
，
当 为 圆周时，直线与坐标轴的交点恰好是 与坐标轴的交点，
当AB平移到 位置时， ；
当AB平移到 位置时， ，
的值为 或 ．（4）如图，⊙O沿x轴向右平移过程中分别在⊙O 处，⊙O 处与直线y＝﹣x+6相切，
1 2
则圆在O落在O，O 之间均满足题意，
1 2
在 处相切时， 为等腰直角三角形，
， ．
，同理，在 处相切时， ，
，
当 与直线 有交点时，圆心O的横坐标m的取值范围为 ．
【点睛】此题是圆的综合题：涉及了正方形的判定、切线的性质和圆心角、弧、弦的关系；理解坐标与图
形的性质，理解一次函数图象上点的坐标特征；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
【经典例题六 求直线平移到与圆相切时运动的距离】【例6】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中， 与x轴分别交于A、B两点，
点 的坐标为 ， ．将 沿着与y轴平行的方向平移，使得 与x轴相切，则平移的距离
为（ ）
A．1 B．1或2 C．3 D．1或3
【答案】D
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问
题是关键．作 于点 ，由垂径定理即可求得 的长，根据勾股定理即可求得 的长，再分点
向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可．
【详解】解：连接 ，作 于点 ，由垂径定理得：
，
在直角 中，由勾股定理得： ，
即 ，
，
的半径是2．
将 向上平移，当 与 轴相切时，平移的距离 ；
将 向下平移，当 与 轴相切时，平移的距离 ．
故选：D1．如图，在平面直角坐标系中， 与x轴分别交于A、B两点，点 的坐标为 ， ．将
沿着与y轴平行的方向平移，使得 与x轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．1或2 C．3 D．1或3
【答案】D
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问
题是关键．作 于点 ，由垂径定理即可求得 的长，根据勾股定理即可求得 的长，再分点
向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可．
【详解】解：连接 ，作 于点 ，由垂径定理得：
，
在直角 中，由勾股定理得： ，
即 ，
，
的半径是2．
将 向上平移，当 与 轴相切时，平移的距离 ；
将 向下平移，当 与 轴相切时，平移的距离 ．
故选：D
2．如图，直线 、 相交于点 ， ，半径为 的 的圆心在直线 上，且与点 的
距离为 ．如果 以 的速度，沿由A向B的方向移动，那么 秒种后 与直线 相切．【答案】4或8
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线
的性质和直角三角形的性质．
分类讨论：当点 在当点 在射线 时 与 相切，过 作 与 ，根据切线的性质得到
，再利用含 的直角三角形三边的关系得到 ，则 的圆心在直线 上向右
移动了 后与 相切，即可得到 移动所用的时间；当点 在射线 时 与 相切，过 作
与 ，同前面一样易得到此时 移动所用的时间．
【详解】解：当点 在射线 时 与 相切，如图，
过 作 于 ，
，
，
，
的圆心在直线 上向右移动了 后与 相切，
移动所用的时间 （秒 ；
当点 在射线 时 与 相切，如图，
过 作 与 ，
，，
，
的圆心在直线 上向右移动了 后与 相切，
移动所用的时间 （秒 ．
故答案为4或8．
3．已知：直线 经过点 .
（1）求 的值；
（2）将该直线向上平移 个单位，若平移后得到的直线与半径为6的 相离（点 为坐标原
点），试求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）利用待定系数法解答；
（2）得出平移后得到的直线，求出A、B点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关
系的判定解答．
【详解】（1）因为直线 经过点 ，
所以 ，
即 ，
故答案为
（2）由（1）及题意知，平移后得到的直线 所对应的函数关系式为 ，设直线 与 轴、
轴分别交于点 、 （如图所示），当 时， ；当 时， .
所以 ， ，即 ， .
在 中， .
过点 作 于 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，解得 .
依题意得： ，
解得 ，
即 的取值范围为 .
【点睛】此题主要考查待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识．
【经典例题七 利用直线与圆的位置关系求最值】
【例7】（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，M是边AB上一动
点（不含端点），将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM．当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，
则△CDP的面积为 ；DP的最大值为 ．
【答案】 10 2❑√5
【分析】（1）根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解；（2）结合勾股定理分析可得，当AP最大时，DP即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定
AP的最值，从而求得DP的最大值．
【详解】解：由题意可得△CDP的面积等于矩形ABCD的一半，
1 1
∴△CDP的面积为 AB⋅AD= ×4×5=10，
2 2
在Rt△APD中，PD=❑√AD2+AP2，
∴当AP最大时，DP即最大，
由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线CN与圆相切时，AP最大，此时C、N、M
三点共线，如图：
由题意可得：AD=ND，∠MND=∠BAD=∠B=90°，
∴∠NDC+∠DCN=90°，∠DCN+∠MCB=90°，
∴∠NDC=∠MCB
∵AD=BC，
∴DN=BC，
∴△NDC≌△BCM，
∴CN=BM=❑√CD2−DN2=3，
∴AP=AB−BP=2，
在Rt△APD中，PD=❑√AD2+AP2=❑√42+22=2❑√5，
故答案为：10，2❑√5．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性
强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，分析点的运动轨迹，证明三角形全等是解决问题的关键．1．如图，矩形 中， ， ，点 是矩形 内一动点，且 ，连接 ， ，
则 面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得出点 在 为直径的圆，在矩形内的半圆上运动，则点 到 的最短距离为 ，进
而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：∵ ，点 是矩形 内一动点，
∴点 在 为直径的圆，在矩形内的半圆上运动，
∵矩形 中， ， ，
∴ ，
如图所示，取 的中点 ，则
∴点 到 的最短距离为 ，
∴ 面积的最小值为 ，
故选：C．2．如图， 的半径为 ，直线 与 相离，过点 作 于点 ，垂足为 ，且 ，点 是
上一动点，过点 作 于点 ，垂足为 ，则 的最大值是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，二次根式的非负性，勾股定理，矩形的性质；分 和
两种情况讨论，设 ，得出 关于 的函数关系式，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，过点 作 于点 ，
∴
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，
∴
∴∵ ，
∴当 时， 最大，最大值为 ；
当 时，如图所示，
同理可得 ，则
∴当 最大时， 最大
∵
∴当 时，即 时， 最大
最大值为 ，
综上所述， 的最大值为 ，
故答案为： ．
3．如图， 的半径是5，点 在 上． 是 所在平面内一点，且 ，过点 作直线 ，使
．
（1）点 到直线 距离的最大值为 ；
（2）若 ， 是直线 与 的公共点，则当线段 的长度最大时， 的长为 ．
【答案】（1）7；（2） ．【分析】（1）当点 在圆外且 三点共线时，点 到直线 距离的最大，由此即可得；
（2）先确定线段 是 的直径，画出图形，再在 中，利用勾股定理即可得．
【详解】解：（1）如图1， ，
当点 在圆外且 三点共线时，点 到直线 距离的最大，
此时最大值为 ，
故答案为：7；
（2）如图2， 是直线 与 的公共点，当线段 的长度最大时，线段 是 的直径，
，
，
， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
【经典例题八 直线与圆的位置关系综合】
【例8】（23-24九年级上·江苏南通·开学考试）如图，已知直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以 为圆心，1为半径的圆上一动点，连结 、 ．则 面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出A、B的坐标，根据勾股定理求出 ，求出点C到 的距离，即可求出圆C上点到 的
最大距离，根据面积公式求出即可．
【详解】解：∵直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A点的坐标为 ，B点的坐标为 ， ，
即 ， ，
由勾股定理得： ，
过C作 于M，连接 ，
则由三角形面积公式得： ，
∴ ，
∴ ，∴圆C上点到直线 的最大距离是： ，
∴ 面积的最大值是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的面积，直线与圆的位置关系，点到直线的距离的应用，解此题的关键是求出
圆上的点到直线AB的最大距离，属于中档题目．
1．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，已知直线 的解析式是 ，并且与 轴、 轴分别
交于 ， 两点．一个半径为3的 ，圆心 从点 开始以每秒2个单位长度的速度沿着 轴向下运
动，当 与直线 相切时，则该圆运动的时间为（ ）
A．3秒或8秒 B．8秒 C．3秒 D．6秒或16秒
【答案】A
【分析】由直线 的解析式可确定 和 ，由此可得 以及 ；由题可知，当
在直线 上方与直线 相切时，圆心到直线的距离为 ，则由 即可求解此时 的长度，进而求
解运动时间； 在直线 下方与直线 相切时的求解方法同上．
【详解】解：如图，共有两种相切方式，由直线 的解析式 ，可得 和 ，则 ， ，
当 在直线 上方与直线 相切时， ，则 ，即C点的运动距离为
，则运动时间为 ；
当 在直线 下方与直线 相切时， ，则 ，即C点的运动距离为
，则运动时间为 ；
故选择：A．
【点睛】本题首先要注意分类讨论，考查了运用切线的性质和三角函数等知识解决问题．
2．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，以OA为
直径在x轴上方作半圆，直线l的解析式为 ，若直线l与半圆只有一个公共点，则t的值是
．
【答案】 /
【分析】本题考查圆的切线，一次函数的图象和性质，直线l与x轴的夹角为 ，与半圆相切时，与半圆
只有一个公共点，画出示意图，求出直线l与x轴的交点坐标，即可求解．
【详解】解：如图，当直线l： 与半圆相切时，与半圆只有一个公共点，设圆心为B，切点为C，直线l与x轴的交点为D，连接 ，
点A的坐标为 ，
点B的坐标为 ，
，
直线l与半圆相切，
，
直线l： 与x轴的夹角为 ，
是等腰直角三角形，
，
，
点D在x轴的负半轴，
点D的坐标为 ，
将 代入 ，得 ，
解得 ．
故答案为： ．
3．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在矩形 中， ， ，P是边 上一点，过点
A、B、P、作(1)圆心O在 上吗？为什么？
(2)当 时，判断 与 的位置关系；
(3)当 与 相切时，求 被 截得的弦长．
【答案】(1)圆心O在 上，理由见详解
(2) 与 相离，理由见详解
(3)
【分析】此题主要考查切线的判定与性质及矩形的性质等知识点的综合运用．
（1）根据 是圆周角，则 是圆的直径；
（2） 与 相离，可以说明 到圆心的距离大于半径．
（3）因为 与 相切，则 是梯形 的中位线．在直角 中根据勾股定理就可以得到．
【详解】（1）解：圆心O在 上，理由如下：
在矩形 中 ，
根据 的圆周角所对的弦是直径，则圆心O在 上；
（2）过圆心 作 交 、 于点 、 ；
，
, ,
, ,
四边形 是矩形，
，
，，
与 相离；
（3）连接 ，交 于点 ，
是直径，
，
又 ，
，
是 的中点，
是 的中点，
，
又
，
与 相切， 为切点，设 ，则 ，
在直角 中， ，
，
解得： ．
，即 被 截得的弦长为 ．1．（2024·湖北·模拟预测） 的三边 ， ， 的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，
为半径作圆，则该圆与直线 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形面积公式、直线与圆的位置关系，先由勾股定理逆定理判断
出 为直角三角形，且 ，设斜边 上的高为 ，根据等面积法求出 ，即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴ 为直角三角形，且 ，
设斜边 上的高为 ，则 ，
∴ ，
∴以顶点A为圆心， 为半径作圆，则该圆与直线 的位置关系是相切，
故选：C．
2．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知 的半径是一元二次方程 的一个根，
圆心O到直线l的距离 ，则直线l与 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【答案】D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程以及直线与圆的位置关系．掌握“ 时直线与圆相交，
时直线与圆相切， 时直线与圆相离”是解题的关键，先求出一元二次方程的解，然后分两种情况讨
论即可得解．
【详解】解：由 得，
，
解得 ， ，
∴ 或 ．
∵圆心O到直线l的距离 ，∴当 时， ，则直线l与 相切，
当 时， ，则直线l与 相交，
∴直线l与 的位置关系是相交或相切．
故选：D．
3．（23-24九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中， 的半径为2，点P的坐标为
，若将 沿y轴向下平移，使得 与x轴相切，则 向下平移的距离为（ ）
A．1 B．5 C．3 D．1或5
【答案】D
【分析】分圆P在 轴的上方与 轴相切和圆P在 轴的下方与 轴相切两种情况分别求解即可．
【详解】解：当圆P在 轴的上方与 轴相切时，平移的距离为 ，
当圆P在 轴的下方与 轴相切时，平移的距离为 ，
综上所述， 向下平移的距离为1或5．
故选：D．
【点睛】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键．
4．（2024·上海·模拟预测）如图，在梯形 中， ， ， ， ，如
果以CD为直径的圆与梯形 各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么AD长的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线AB和
圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联
系，得到答案．
【详解】解：根据题意，得圆必须和直线AB相交，设直线AB和圆相切于点E，
连接 ，则 ， ，
又∵ ，
∴此时 ．
根据梯形的中位线定理，得 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线要和圆相交，则 ．
故选D．
5．（2023·上海虹口·二模）如图，在矩形 中，对角线 与BD相交于点 ， ， ．分
别以点 、 为圆心画圆，如果 与直线AD相交、与直线CD相离，且 与 内切，那么 的半
径长 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点 作 ，勾股定理求得 ，进而根据平行线分线段成比例得出
，根据题意，画出相应的图形，即可求解．
【详解】解：如图所示，当圆O与AD相切时，过点 作 ，
∵矩形 中，对角线 与BD相交于点 ， ， ．
∴ ， ， ， ，
∴
∴ ，
则 ；
当圆O与CD相切时，过点 作 于点 ，如图所示，则
则
∴ 与直线AD相交、与直线CD相离，且 与 内切时， ，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置
关系，根据题意画出图形是解题的关键．
6．（23-24九年级上·广东广州·期中）在 中， ， ， ，若以 点为圆心，
为半径所作的圆与斜边 只有一个公共点，则 的范围是 ．
【答案】 或
【分析】本题需要分两种情况进行讨论： 圆与斜边 相切时， 点 在圆内部、点 在圆上或圆外时．
首先根据勾股定理求出斜边 的长，再根据圆与斜边 的位置关系与公共点数量之间的联系进行分类讨
论．其中，圆与斜边 相切时的半径 的长可利用三角形的面积公式求出．
【详解】解：如图，在 中，根据勾股定理， ，
分两种情况：
圆与斜边 相切时，
连接圆心 与切点 ，
根据切线的性质可知： ，
，
，
即 ；
点 在圆内部、点 在圆上或圆外时，
此时 ，
即 ，
，
此时以 点为圆心， 为半径所作的圆与斜边 只有一个公共点；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，切线的性质，三角形的面积公式，直线与圆的位置关系等知识点，运
用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
7．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）在 中， ， ， ．以点 为圆心，
为半径的圆作⊙C，若边 与⊙C只有一个公共点，则半径r的取值范围为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若 ，则直线与圆相交；若 ，则直线与圆相切；若
，则直线与圆相离．
此题注意考虑两种情况，因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有
一个交点在斜边上.
【详解】解：过点 作 于点 ，∵在 中， ， ， ，
，
，
如图，当 与和 相切时，则 的半径为 ；
当 和 相交，且只有一个交点在斜边上时，则 ．
故半径r的取值范围是 或 ．
故答案为 或 ．
8．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系 中，对于直线 ： ，给出如下定义：若直线 与某个
圆相交，点 的坐标为 ，若 的半径为 ，直线 关于 的“圆截距”的最小值为 ，则
的值为 ．【答案】
【分析】如图所示，设直线 与 交于 ，过点 作 于 ，连接 ，先证明当点 与点
重合时， 最小，即此时 最小，再由 求出 ，可得 ，解得 ．
【详解】解：如图所示，设直线 与 交于 ，过点 作 于 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴当 最小时， 最大.
∵ ，
∴当点 与点 重合时， 最大，∵直线 关于 的“圆截距”的最小值为 ，即 ，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，垂径定理，一次函数与几何综合，勾股定理等等，正确理
解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．
9．（23-24九年级上·新疆塔城·期末）如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0， ），
，点P的坐标为 ， 与y轴相切于点O，若将 沿x轴向左移动，当 与该直线相
交时，横坐标为整数的点P的坐标 ．
【答案】（-2,0）（-3,0）（-4,0）
【分析】先分别求得 与直线l相切时点P的坐标，然后再判断 与直线l相交时点P的横坐标x的取
值范围，即可求得坐标为整数的点P的坐标．
【详解】如图， 与 分别切AB于D、E．
由 ， ，易得 ，则A点坐标为 ．
连接 、 ，则 、 ，则在 中， ，
同理可得， ，则 的横坐标为 ， 的横坐标为 ，
当 与直线l相交时，点P的横坐标x的取值范围为 ，
横坐标为整数的点P的坐标为 、 、 ．故答案为：(-2，0)、(-3，0)、(-4，0)．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，分别求得 与直线l相切时点P的坐标是解题的关键．
10．（23-24九年级·全国·单元测试）已知 是以坐标原点为圆心，半径为1，函数 与 交于点 、
，点 在 轴上运动，过点 且与 平行的直线与 有公共点，则 的范围是 .
【答案】 ，且x≠0
【分析】由题意得 有两个极值点，过点P与⊙O相切时， 取得极值，作出切线求解即可.
【详解】将OA平移至PD的位置，使PD与圆相切，连接OD如下图所示：
1 1
由题意得，
故可得 ，即 的极大值为 ，
同理当点P在y轴左边时也有一个极值点P，此时 取得极小值
2综上可得 的范围为： ，且x≠0
故填： ，且x≠0
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，找出两个极值是关键.
11．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四边形 内接于 ， 是 的直径， 平分
， 于点E．
(1)判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ，求直径 的长．
【答案】(1)直线 与 相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）连接 ， ，根据角平分线的定义得到 ，根据等腰三角形的性质得到
，根据全等三角形的性质得到 ，得到 ，根据垂径定理
得到 ，根据圆周角定理得到 ，根据平行线的性质得到 ，根据切线的判定定理
即可得到结论；
（2）设 ， 交于 ，根据矩形的性质得到 ，求得 ，根据勾股定理即可得到
结论．
【详解】（1）解：直线 与 相切，
理由：连接 ， ，平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
是 的直径，
，
，
，
，
是 的半径，
与 相切；
（2）解：设 ， 交于 ，
，
四边形 是矩形，
，
，，
，
故直径 的长为 ．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，矩形的判
定及性质，正确作出辅助线是解题的关键．
12．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知： 中， ，以点C为
圆心，作半径为 的圆.问：
(1)当R为何值时， 和直线 相离？
(2)当R为何值时， 和直线 相切？
(3)当R为何值时， 和直线 相交？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系．根据题意画出图形，过点C作 于点D，由勾股定理
求出 的长，再求出 的长，根据直线与圆的三种位置关系进行解答即可．
【详解】（1）解：过点C作 于点D，
∵ 中， ，
∴ ，
∴ ，∴当 ， 和直线 相离；
（2）解：当 时， 和直线 相切；
（3）解：当 时， 和直线 相交．
13．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）已知点 和直线 ，则点 到直线
的距离证明可用公式 计算．
例如：求点 到直线 的距离．
解：因为直线 ，其中
所以点 到直线 的距离为： ．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)求点 到直线 的距离；
(2)已知 的圆心 坐标为 ，半径 为2，判断 与直线 的位置关系并说明理由．
【答案】(1)
(2) 与直线 的位置关系为相切，理由见解析
【分析】
本题考查了一次函数的综合题：熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、切线的判定方法；提高阅读理解
能力．
（1）根据点 到直线 的距离公式直接计算即可；
（2）先利用点到直线的距离公式计算出圆心 到直线 ，然后根据切线的判定方法可判断 与直线 相切．
【详解】（1）解： 直线 ，其中 ， ，
点 到直线 的距离为： ；
（2）解： 与直线 的位置关系为相切．理由如下：
圆心 到直线 的距离为： ，
的半径 为2，即 ，
与直线 相切．
14．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）已知：如图，在 中， ，
动点 从点 出发，沿着 的方向运动一周，以 为圆心， 为半径作圆．
(1)若 分别与 相切．
①利用直尺和圆规作 （不写作法，保留作图痕迹）；
②求出此 时的值；
(2)当 时，设 在运动的过程中与 三条边的公共点个数为 ，那么 的最小值是___________，
最大值是___________．
【答案】(1)①见解析，②
(2)
【分析】（1）①根据角平分线的判定定理及切线的判定，作 的角平分线交 于 ，所作 即满
足条件；
②利用面积法，即 ，即可求得半径；
（2）根据各边与圆的位置关系即可得到结果．【详解】（1）①如图：作 的角平分线交 于 ，则 即为所求；
②因为 ，
所以 ，
即： ，
所以
（2）
如图，当点O在 上时，最多4个公共点，最少2个公共点；当点O在 上时，最多4个公共点，最少
2个公共点；当点O在 上时，最多3个公共点，最少2个公共点；则m的最小值是2，最大值是4．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了作角平分线，切线的判定，角平分线珠判定定理，勾股定理，直线与圆的位置关系等
知识，正确作图是关键．
15．（23-24九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系 中，A、B为平面内不重合的两个点，若Q
到A、B两点的距离相等，则称点Q是线段 的“似中点”．
(1)已知 ， ，在点 、 、 、 中，线段 的“似中点”是点
___________：(2)直线 与x轴交于点M，与y轴交于点N．
①求在坐标轴上的线段 的“似中点”；
②若 的半径为2，圆心P为 ， 上存在线段 的“似中点”，请直接写出t的取值范围．
【答案】(1)E，G
(2)① 或
②
【分析】（1）分别求出各点到点A，B的距离，根据定义判断即可；
（2）①先求出点 ， ，再根据勾股定理求出 ，可求出 ，可确定“似中点”的位
置，分两种情况求出坐标即可；②作出图形，G，K分别是 ， 与 垂直平分线相切的切点，连接
， ，则 ， ，则 ， ，再求出线段长，然后根据直角三角形的性质求出
， ，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵点 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点D不是线段 的“似中点”；
∵点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点E是线段 的“似中点”；
∵点 ，
∴ ， ，∴ ，
∴点F不是线段 的“似中点”；
∵点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点G是线段 的“似中点”．
故答案为：E，G；
（2）解：①直线 ，当 时， ；当 时， ，
∴点 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
所求的点H是 的垂直平分线l与坐标轴的交点，如图所示．
∴ ， ．
当“似中点” 在x轴上时， ，则 ；
当“似中点” 在y轴上时， ，则 ．
所以 ， ；
②如图所示，G，K分别是 ， 与 垂直平分线相切的切点，连接 ， ，则 ， ，
则 ， ．∵ ， ， 的半径为2， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴当 时， 上存在线段 的“似中点”．
【点睛】本题主要考查了新定义的理解，两点之间的距离公式，圆的切线的性质，勾股定理，含 直角
三角形的性质，线段垂直平分线的性质定理，理解“到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直
平分线上”是解题的关键．
