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专题 04 相似三角形的基本模型（A 字型）
【模型说明】
“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应
角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．
图1 图2 图3
1）“A”字模型
条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝.
2）反“A”字模型
条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝.
3）同向双“A”字模型
条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔
【例题精讲】
例1．（基本模型1）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求 的值．
例2．（基本模型2）（1）如图，在 中，点 、 、 分别在 、 、 上，
且 ， 交 于点 ，求证： ．（2）如图， 中， ，正方形 的四个顶点在 的边上，连结 ，
分别交 于 ， 两点．
①如图，若 ，直接写出 的长；
②如图，求证： ．
例3．（培优综合）如图，在 中，点 是 边上的一点，且 ，连接
并取 的中点 ，连接 ，若 ，且 ，则 的长为
．
例4．（与函数综合）如图，函数 （ 为常数， ）的图象与过原点O的直线相交于A、B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分
别交x轴、y轴于C、D两点，连接BM分别交x轴、y轴于点E、F．若 ，则
．
例5．（最值问题）如图，矩形 ABCD 中， ， ，AC 为对角线，E、F 分别
为边 AB、CD 上的动点，且 于点 M，连接 AF、CE，求 的最小值是
．
【变式训练1】．如图，P为 的边 上的一点，E，F分别为 ， 的中点，
， ， 的面积分别为S，S，S．若 ，则 的值是（ ）
1 2
A．24 B．12 C．6 D．10
【变式训练2】．如图，在 中， ，D是 上一点，点E
在 上，连接 交于点F，若 ，则 ＝ ．【变式训练3】．如图，∠MPN=90°，边长为6的正方形ABCD的顶点A、B分别在边
PM、PN上移动，连接PC，Q为PC上一点，且PQ=2QC，则线段BQ长度的最小值为
．
【变式训练4】．如图， ABO的顶点A在函数y＝ （x>0）的图象上，∠ABO＝90°，过
△
AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若 ANQ的面积为1，则k
的值为（ ）
△
A．9 B．12 C．15 D．18
【变式训练5】．如图，把边长为 ， 且 的平行四边形 对折，
使点 和 重合，求折痕 的长．
课后训练
1．如图， ， ， 分别交 于点G，H，则下列结论中错误的是
（ ）A． B． C． D．
2．在矩形ABCD中， ， ，点E 是AD上一动点，过点E作EF∥BD交AB于
F，将△AEF沿EF折叠，点A的对应点 落在△BCD的边上时，AE的长为 ．
3．如图，在三角形 中，点D为边 的中点，连接 ，将三角形 沿直线 翻
折至三角形 平面内，使得B点与E点重合，连接 、 ，分别与边 交于点H，
与 交于点O，若 ， ， ，则点A到线段 的距离为
．
4．在平面直角坐标系中，已知 ， ，点 是 轴正半轴上一动点，以
为直角边构造直角 ，另一直角边交 轴负半轴于点 ， 为线段 的中点，则
的最小值为 ．
5．已知，平行四边形 中，点 是 的中点，在直线 上截取 ，连接
， 交 于 ，则 ．
6．如图，正方形 边长为 ，点 是 上一点，且 ，连接 ，过 作
，垂足为 ， 交对角线 于 ，将 沿 翻折得到 ， 交对
角线 于 ，则 ．7．一块直角三角形木板的面积为 ，一条直角边 为 ，怎样才能把它加工成一
个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明
哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．
8．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且
AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所
在直线与射线CA交于点G．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG；
（2）当α≠60°时，
①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG；
②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长．9．在等腰三角形 中， ，作 交AB于点M， 交AC于点
N．
（1）在图1中，求证： ；
（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作 交CM于点E，作 交BN
于点F，
求证：① ；
② ．
10．在矩形 中， ， ，点 是边 上一点， 交 于点 ，
点 在射线 上，且 是 和 的比例中项．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，当点 在线段 之间，联结 ，且 与 互相垂直，求 的长；
（3）联结 ，如果 与以点 、 、 为顶点所组成的三角形相似，求 的长．11．如图， 中，点D在 边上，且 ．
（1）求证： ；
（2）点E在 边上，连接 交 于点F，且 ， ，求 的
度数．
（3）在（2）的条件下，若 ， 的周长等于30，求 的长．
