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专题 03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训
（2个知识点+10大题型+4大拓展训练+自我检测）
题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值
题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值
题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值
题型四 利用根与系数的关系求参数的值
题型五 构造一元二次方程求代数式的值
题型六 利用根与系数的关系判断根的情况
题型七 根的代入与根与系数的关系结合问题
题型八 根与系数的关系中新定义问题
题型九 根与系数关系的多结论判断问题
题型十 根与系数关系与几何图形结合
拓展训练一 利用根与系数关系判断说法正误综合
拓展训练二 利用根与系数关系求参综合
拓展训练三 根与系数关系的新考法
拓展训练四 一元二次方程根与系数关系的综合
知识点一、一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程 （ ）的两根为 那么，就有
比较等式两边对应项的系数，得
①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．
因此，给定一元二次方程 就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数 满足①与②，
那么这两数 必是一个一元二次方程 的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．
利用根与系数的关系，我们可以不求方程 的根，而知其根的正、负性．
在 的条件下，我们有如下结论：
当 时，方程的两根必一正一负．若 ，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若 ，则此
方程的正根小于负根的绝对值．
当 时，方程的两根同正或同负．若 ，则此方程的两根均为正根；若 ，则此方程的两根
均为负根．⑴ 韦达定理（根与系数的关系）：
如果 的两根是 ， ，则 ， ．(隐含的条件： )
⑵ 若 ， 是 的两根(其中 )，且 为实数，当 时，一般地：
① ，
② 且 ，
③ 且 ，
特殊地：当 时，上述就转化为 有两异根、两正根、两负根的条件．
⑶ 以两个数 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是： ．
⑷ 其他：
① 若有理系数一元二次方程有一根 ，则必有一根 ( ， 为有理数)．
② 若 ，则方程 必有实数根．
③ 若 ，方程 不一定有实数根．
④ 若 ，则 必有一根 ．
⑤ 若 ，则 必有一根 ．
⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面：
① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；
② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；
③ 已知方程的两根，求作方程；
④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；
⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一
元二次方程的两根，以便利用韦达定理；
⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的 ．一些考试中，往往利用这一
点设置陷阱．
【即时训练】
1．（24-25九年级上·江苏南京·期末）下列一元二次方程中，两根之和是6的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系解答即可．本题考查一元二次方程根与系数的关系，两根之和
等于 ，两根之积等于 ，解题的关键是理解熟记以上知识点．
【详解】解：由题意可知：
A. ，两根之和为 ；故不符合题意；B. ，两根之和为 ；故符合题意；
C. ，两根之和为 ；故不符合题意；
D. ，两根之和为 ；故不符合题意．
故选：B
2．（24-25八年级下·江苏南京·期末）一元二次方程 的两个根分别为 、 ，则
．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握这个关系是关键．当然本题也可直接解方程来求
解．
由一元二次方程根与系数的关系带入即可求得．
【详解】解：由根与系数的关系得： ； ；
∴
故答案为： ．
知识点二、一元二次方程根与系数的关系应用
1.已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数
2.求与两个根有关的代数式的值
3.不解方程，判定根的符号
除了以上几种应用外，利用根与系数的关系还可以求出关于 、 的对称式的值，涉及到的变形如下：
；
；
； ；
；
；
；
；
；
.
【即时训练】
3．（24-25九年级上·重庆江津·阶段练习）已知关于 的方程 ．
(1)求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若 斜边长 ，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求 的周长．
【答案】(1)见解析
(2) 的周长为 ．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系．
（1）根据一元二次方程根的判别式的意义证明即可；
（2）利用根与系数的关系求得 ， ，再利用完全平方公式得到 ，求得
，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴无论 取何值，方程总有实数根；
（2）解：∵边长b，c恰好是这个方程 的两个根，∴ ， ，（ ）
∵ 斜边长 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
整理得 （负值舍去），
∴ ，
∴ 的周长为 ；
∴ 的周长为 ．
4．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知： 的两边 的长是关于x的方程
的两个实数根．
(1)当m为何值时，四边形 是菱形？求出这时菱形的边长；
(2)若 的长为3，那么 的周长是多少？
【答案】(1)当m为2时，四边形 是菱形；1
(2)8
【分析】（1）利用菱形的性质及根的判别式，可得出关于m的一元二次方程，解之可求出m的值，将m
的值代入原方程，解之即可得出方程的解，即菱形的边长；
（2）将 代入原方程，可求出m的值，进而可得出原方程为 ，利用根与系数的关系，可
求出 的长，再利用平行四边形的周长计算公式，即可求出 的周长．
【详解】（1）∵ 为菱形，
∴ ，
∴关于x的方程 有两个相等的实数根，
∴ ，解得： ，
∴当m为2时，四边形 是菱形．
将 代入原方程得 ，即 ，
解得： ，∴这时菱形的边长为1．
（2）将 代入原方程得 ，解得： ，
∴原方程为 ，
又∵ 的两边 的长是关于x的方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ 的周长是 ．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式、配方法解一元二次方程、平行四边形的性质以及菱形
的判定与性质，解题的关键是：（1）利用菱形的性质及根的判别式 ，求出m的值；（2）利用根与
系数的关系，找出 的长．
【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】
【例1】（2025·天津·模拟预测）方程 的两根为 、 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程
的两个根 ， ，满足 ， ．
根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可．
【详解】解：∵ 、 是方程 的两根，．
故选：A．
1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）设 是关于 的一元二次方程 的两个不同实数根，
则 的值是（ ）
A． B．4 C．7 D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，由一元二次方程 中 ，
代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程根与系数的关系求解是解决问题的关键．
【详解】解： ，
， ， ，
；
故选：C．
2．（24-25九年级上·广西钦州·期中）已知 是一元二次方程 的两根，且 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根
时， ， ．掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键．直接利用根与系数的关系
即可得到答案．
【详解】解：∵ 是一元二次方程 的两根，
∴ ，
故答案为：
3．（24-25九年级上·北京朝阳·期中）已知 ， 是方程 的两个实数根：(1)填空： ______； ______．
(2)求代数式 的值．
【答案】(1)1， ；
(2)3．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及运用完全平方公式求值，熟知这些知识点是正确解题
的关键．
（1）设 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 ，
．
（2）根据完全平方公式的变形，即可求解．
【详解】（1）解：方程 中， ，
， ．
故答案为：1， ．
（2）解： ，
故答案为：3．
4．（24-25九年级上·全国·课后作业）不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
．
【分析】（1）（2）是一般式，先根据判别式确定根的情况，再利用韦达定理即可；（3）(4)先整理成一般式，再根据判别式确定根的情况，然后利用韦达定理即可．
【详解】解：（1）∵ ，
且 ，
∴ ；
（2）∵ ，
且 ，
∴ ；
（3）方程化为 ，
∵ ，
且 ，
∴ ；
（4）方程化为 ，∵ ，且 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握相关公式是解决本题的关键．
【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】
【例2】（2025九年级上·全国·专题练习）已知 和 是方程 的两个根，则
的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟记相关结论：若一元二次方程
的两个根为 ，则 ， ，利用根与系数的关系得出 ，
再利用 ，即可求解．
【详解】解：∵ 是方程 的两个根，
根据根与系数的关系，有 ，
又∵ 是方程 的根，
∴ ，
代入原式可得： ，
利用 ，
故原式 ，
故答案为： D．
1．（24-25八年级下·广西百色·期中）已知m，n是方程 的两个实数根，则
的值是（）
A．2025 B．2028 C．2030 D．4048
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用方程根的定义将高次项降次，结合根与
系数的关系求解．
【详解】解：∵ 是方程 的实数根，
∴ ．
代入所求表达式：
由根与系数的关系，方程 的两根之和为： ，
∴ ．
故选：B．2．（24-25八年级下·安徽亳州·阶段练习）设 分别为一元二次方程 的两个实数根，
则 ．
【答案】2025
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，代入求值，理解并掌握一元二次
方程的解的含义，代入求值的方法是解题的关键．
根据一元二次方程的根，可得 ，根据根与系数的关系得 ，将代数式变形得
，代入求值即可．
【详解】解：设 分别为一元二次方程 的两个实数根，
原式 ．
故答案为： 2025．
3．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程 的两根为 ，则 的值为
．
【答案】10
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次
方程 的两根为 ， ，则 ．
先根据题意得到 ， ，则将 变形为 ，即可求
解．
【详解】解：∵一元二次方程 的两根为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：10．4．（24-25九年级上·云南红河·期中）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握根的判别式和根与系数之间的关系，是解
题的关键：
（1）求出判别式的符号进行判断即可；
（2）根据根与系数的关系进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴
；
∴无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）由题意，得： ，
∴ ．
【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】
【例3】（2025·河南平顶山·三模）已知a和b是方程 的两个解，则 的值为
（ ）
A．2025 B． C．2028 D．2030
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，由一元二次方程根的定义得
①，由根与系数的关系得 ②，然后由 整理可得答案．【详解】∵a和b是方程 的两个解，
∴ ①，
②，
得， ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
1．（24-25九年级上·四川眉山·期末）已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查根的定义及根与系数的关系由题意得 ， ，将代数式变形后再代
入求解即可．
【详解】解：∵方程 的两根分别为 、 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴
．
故选：A．2．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）若 、 是方程 的两个实数根，则
的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程 的根与系数的关系和一元二次方程的解，记住
， 是解答此题的关键．
根据题意可得 ， ，再将 变形为 ，再代入
求解即可．
【详解】解：∵ 、 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴
∴
，
故答案为： ．
3．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）已知 、 是方程 的两个实根，则 的值是
．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系得 ， ，
将原式变形，整体代入计算即可【详解】解：∵ 、 是方程 的两个实根，
∴ ， ，
∴ ，
∴
，
故答案为： ．
4．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）已知 ， 是一元二次方程 的两根，求 的
值为
【答案】100
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程
的两个实数根 ， 和系数 ， ， ，有如下关系： ， ，由题
意得出 ， ，从而得出 ，求出 ，整体代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵ 、 是一元二次方程 的两根，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
∴
．
故答案为： ．
【经典例题四 利用根与系数的关系求参数的值】
【例4】（24-25八年级下·陕西西安·期末）若方程 的两根之积为 ，则 的值是（ ）
A．-1 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，判别式，掌握知识点是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两根之积等于常数项除以二次项系数．结合题目条件建立方程
求解，并验证判别式是否非负．【详解】解：对于方程 ，设其两根为 和 ，根据根与系数的关系，根的积为 ．
题目给出根的积为 ，因此有：
解得：
验证判别式：
当 时， ，方程有实根，符合条件．
故选B．
1．（2025·河北邢台·三模）已知关于 的一元二次方程 ，其中一根是另一根的3倍，则
的值为（ ）
A． 或1 B． 或 C． D．1
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握根与系数的关系．
先设 ， ，根据根与系数的关系得到 ，解这个方程，求出 的值，再求得：
， ，从而可得 ，求出 ．
【详解】解：设 关于 的一元二次方程 的两个根，
∵其中一根是另一根的3倍，
∴设 ， ，
，
解得： ， ，
∴ ，，
故选：D．
2．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知 是关于 的一元二次方程 的两个实数根．
若 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记两个关系式是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系得到 ，代入求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程 的两个实数根分别为 ，
，
，
，
．
故答案为： ．
3．（24-25八年级下·北京·期末）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数
根．
(1)求实数 的取值范围；
(2)设 ， 是方程的两个根且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系、解一元二次方程、解一元一
次不等式等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到关于m的不等式，即可求出答案；
（2）根据根与系数关系得到 ，代入 ，解关于m的一元二次方程，并根据（1）确定m的值，求解即可．
【详解】（1）解：∵方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： ；
（2）解：∵ ， 是方程的两个根，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∵ ，
∴ ．
4．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知关于 的一元二次方程 （ 为常数）．
(1)当 时，该方程根的判别式 _____；
(2)求证：无论 取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(3)若该方程有两个实数根 ，且 ，求 的值．
【答案】(1)13
(2)见解析
(3) ，
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，解一元二次方程；
（1）首先得到方程，然后根据判别式求解即可；（2）证明出 即可；
（3）首先由根与系数的关系得到 ， ，然后将 展开整体代入求
解即可．
【详解】（1）解：当 时，
∴
∴ ；
（2）证明：
，
无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（3）解：由根与系数的关系，得 ， ．
，
．
，即 ．
解得 ， ．
【经典例题五 构造一元二次方程求代数式的值】
【例5】（2025·四川南充·二模）如果实数 、 （ ）分别满足 ，
，则 的值等于（ ）A． B． C． D．2025
【答案】C
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟练的构建一元二次方程的解本题的关键．
由 ，可得 ，可得 ，可得 ， 是方程
的两个根， ， ，从而可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，而 ， ，
∴ ， 是方程 的两个根，
∴ ， ，
∴ ；
故选：C．
1．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）实数 、 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意可得实数 、 可以看做是关于的方程 的两个不同的实数根，则由根与系数的关系可得 ，则 ，据此可得
．
【详解】解：∵实数 、 满足 ，
∴实数 、 可以看做是关于 的方程 的两个不同的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
故选：A．
2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）实数a，b，c满足 ．
（1）当 时，则 ；
（2）实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是根据式子特点，构造一元二次方程：
（1）把 代入两个式子，进行求解即可；
（2）根据 ，得到 ，得到 为一元二次方程 的两
个根，根据根的判别式，列出不等式求出 的范围即可．
【详解】解：（1）把 代入 ，得：
，
∴ ，
∴ ；故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ 可以看作是一元二次方程 的两个根，
∴ ，
解得： ；
故答案为： ．
3．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）阅读材料：
材料：若关于 的一元二次方程 的两个根为 ，则 ， ．如：一
元二次方程 的两个实数根分别为 ，则 ；又如：一元二次方程
的两个实数根分别为 ，则 ， ．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题．
(1)一元二次方程 的两个根分别为 ，则 ___________， ___________；
(2)已知一元二次方程 的两根分别为 ，求 的值；
(3)若实数 满足 ，且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查韦达定理，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据题意中的公式进行计算即可；（2）先求出 ，再根据题意求出 与 的值即可得到答案；
（3）根据 即可得到答案．
【详解】（1）解：一元二次方程 的两个根分别为 ，则 ，
，
故答案为： ；
（2）解： 一元二次方程 的两根分别为 ，
， ，
，
；
（3）解：实数 满足 ，且 ，
则 是 的解，
故 ， ，
，
，
．
4．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）材料1：法国数学家弗朗索瓦•韦达在著作《论方程的识别与订
正》中提出一元二次方程 （ ， ）的两根 ， 有如下的关系（韦达定理）：
， ；材料2：如果实数m、n满足 、 ，且 ，则可利用根的定义构造一元二次方程
，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)已知一元二次方程 的两根分别为 ， ，则 ， ．
(2)已知实数a，b满足： ， ，则 ．
(3)若 ， 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，且 ，则k的值为 ．
【答案】(1)1，
(2)
(3)
【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式．
（1）根据根与系数的关系解答；
（2）根据题意，得到实数 ， 是方程 的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可；
（3）根据根与系数的关系，得到 ， ，整体代入 ，求得 或 ，再
根据根的判别式求解即可．
【详解】（1）解：①∵一元二次方程 的两根分别为 ， ，
∴ ， ，
故答案为：1， ；
（2）解：∵实数a，b满足： ， ，
∴ ， 是方程 的解，
∴ ， ，
；
故答案为： ；（3）解：∵ ， 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
当 时， ，方程没有实数根，
此情况舍去；
当 时， ，方程有两个不相等实数根，
此情况符合题意；
∴k的值为 ，
故答案为： ．
【经典例题六 利用根与系数的关系判断根的情况】
【例6】（2025九年级上·全国·专题练习）关于方程 的根的说法错误的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．两实数根的和为
C．两实数根的积为 D．两实数根的平方和为2
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程判别式与根的个数的关系，以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握
根与系数的关系是解题的关键．
选项A通过计算根的判别式来判断；选项B利用根与系数的关系计算根的和来判断；选项C利用根与系数
的关系计算根的积来判断；选项D利用根与系数的关系计算平方和来判断．【详解】选项A：判别式
∵ Δ > 0，方程有两个不相等的实数根，选项A正确；
选项B：根的和为 ，选项B正确；
选项C：根的积为 ，选项C正确；
选项D：设方程两根为m、n，则平方和为 = = = =
= ．
∴选项D中“平方和为2”错误，正确答案应为 ，故选项D错误．
综上，错误的说法是D．
1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于 的一元二次方程 ，则下列判断中不
正确的是（ ）
A．若方程有一根为1，则
B．若 异号，则方程必有解
C．若 ，则方程两根互为相反数
D．若 ，则方程有一根为0
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的相关概念，熟练掌握一元二次方程的定义和解法是关键.
将 代入方程即可判断A，利用根的判别式可判断B，将 代入方程，根据直接开平方法解方程即可
判断C，将 代入方程，可判断D.
【详解】A．若方程有一根为1，把x=1代入原方程，则 ，故A正确；
B．若a、c异号，则 ，∴方程必有解，故B正确；C．若 ，方程变为 ，若方程有解，则 ，此时两根和为0，互为相反数，但若 、
同号，方程无实数根，故C错误；
D．若 ，则方程变为 ，必有一根为0．故D正确．
故选：C．
2．（25-26九年级上·全国·课后作业）有理数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，则下列关于一
元二次方程 的根的说法正确的是（ ）
A．两根都是正数
B．两根都是负数
C．两根一正一负，正根的绝对值较大
D．两根一正一负，负根的绝对值较大
【答案】C
【详解】由题图可知，
．
设方程的两根为 ．
由根与系数的关系，得 ，
两根一正一负，正根的绝对值较大．
3．（2025·山东聊城·三模）若关于x的方程 的一个根是3，则另一个根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握若方程 的两个实数根分
别为 、 ，则 ， ．设方程的另一个根为 ，得到 ，即可求解．
【详解】解：设方程的另一个根为 ，
则 ，
解得： ，故答案为： ．
4．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）已知关于 的一元二次方程 ，其中 ， ，
分别为 三边的长．
(1)若 是等边三角形，求方程的根；
(2)若 是直角三角形，且 为斜边长，试判别方程根的情况．
【答案】(1) ，
(2)有两个相等的实数根
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，解一元二次方程，根与系数的关系，勾股定理：
（1）根据等边三角形的性质可得 ，原方程变形为 ，即可求解；
（2）根据勾股定理可得 ，再利用一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【详解】（1）解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴方程变为 ，即：，
解得： ， ；
（2）解：∵ 是直角三角形， 为斜边，
∴ ，
∴ ，
∴方程有两个相等的实数根．
【经典例题七 根的代入与根与系数的关系结合问题】
【例7】（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知 和 是方程 的两个解，则
的值为（ ）
A． B．2025 C． D．2025
【答案】C
【分析】本题考查了根与系数的关系的运用，由根与系数的关系可以求出 ，，然后 变形为 ，再整体代入可以求出其值．
【详解】解：∵ 和 是方程 的两个解，
∴ ， ，
∴ ，
∴
，
故选：C．
1．（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）若 ， 是方程 的两个实数根，则 的值
为（ ）
A．2024 B．2025 C． D．4048
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由 ， 是方程 的两个实数根，得
到 ， ，进而即可求解，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
∴
，
故选：B．2．（2025·四川成都·模拟预测）若 是一元二次方程 的两个根，则
．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程 ，若它的两
个实数根为 ， ，则 ， ”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
根据一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的根的定义可得 ，
，再代入计算即可得．
【详解】解：∵ 是一元二次方程 的两个根，
∴ ，
∴ ， ，
∴
，
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知 和 是方程 的两根，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查根与系数之间的关系，根据根与系数之间的关系，得到 ，将代数式利用完全平方公式进行变形后，利用整体代入法进行计算即可．
【详解】解：∵ 和 是方程 的两根，
∴ ，
∴
．
4．（2025·江苏扬州·二模）已知关于 的方程： ，其中 是常数．
(1)求证：不论 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若 、 是此方程的两个根，当 时，求代数式 的值．
【答案】(1)见解析
(2)2015
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解的定义，正确变
形、灵活应用整体思想是解题关键；
（1）证明方程的判别式大于0即可；
（2）当 时，原方程为 ，根据一元二次方程根与系数的关系和方程解的定义可得
，然后把所求式子变形后再整体代入求解即可．
【详解】（1）证明：∵
，
∴不论 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：当 时，原方程为 ，
∵ 、 是此方程的两个根，
∴ ，∴
∴
．
【经典例题八 根与系数的关系中新定义问题】
【例8】（2025·河北邯郸·二模）定义一种运算： ，如： ．
若 ，则所有满足条件的实数 的和为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据定义可得 ，
即 ，再利用判别式可证明原方程有两个不相等的实数根，则由根与系数的关系可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴原方程有两个不相等的实数根 ，
∴ ．
故选：B．1．（2025·四川凉山·模拟预测）对于任意实数a，b，定义一种新运算“⊙”：
，若关于x的方程 ，已知该方程的两个根为 ， ，则 的值
为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，根据新定义运算法则，结合
，得出方程 ，整理该方程，得出 ，再根据根与系数的关系，
得出答案即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ．
故选：A．
2．（2025·海南海口·模拟预测）定义新运算： ．若方程 的两个根为 和 ，
则 ．
【答案】
【分析】本题考查了定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，理解定义新运算的方法，掌握根与系数
的关系是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系得到 ，由定义新运算得到 ，代入
计算即可求解．
【详解】解：∵方程 的两个根为 和 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（24-25九年级下·广东汕头·期中）对于字母m、n，定义新运算 ，若方程
的解为a、b，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到
，，根据新运算，列出代数式，整体代入法求值即可．
【详解】解：∵方程 的解为a、b，
∴ ，
∵ ，
∴
．
故答案为：10．
4．（24-25九年级上·四川成都·期中）定义：如果关于 的一元二次方程 有两个实数
根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程 的两
个根 ， ，则方程 是“倍根方程”．已知关于 的二次方程 （
为常数）是“倍根方程”，则 的值为 ．【答案】 或
【分析】设这个方程的两个根分别为 和 ，根据一元二次方程的根与系数的关系可求出 或 ，
再分别代入 即可求解．
【详解】解：设这个方程的两个根分别为 和 ，
则 ， ，
消去 得 ，则 ，
解得 或 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
综上， 的值为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，理解“倍根方程”的概念是解题关键．
【经典例题九 根与系数关系的多结论判断问题】
【例9】（2025·河北廊坊·一模）已知关于y的一元二次方程 的两根分别为 ， ，则下列
说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．方程有两个实数根
【答案】B
【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系．由题意可知 ，， ，由此即可判断各个选项的正误．
【详解】解：∵关于y的一元二次方程 的两根分别为 ， ，
∴ ，
即方程有两个不相等的实数根，
∴ ，故A、D正确，
由根与系数的关系可知， ， ，
故C正确，B不正确，
故选：B
1．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）关于一元二次方程 的根的说法，正确的是（ ）
A．有两个相等实数根 B．没有实数根
C．两根之和为 D．两根之积为
【答案】B
【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数，结合根的判别式 可得出 ，进而可得
出该方程没有实数根．
【详解】解：由题意可知： ，
∴方程没有实数根，则不存在两根之和，两根之积，
故选：B．
2．（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）已知一元二次方程 和它的两个实数根为
，下列说法：
①若a，c异号，则方程 一定有实数根；
②若 ，则方程 一定有两异实根；③若 ，则方程 一定有两实数根；
④若 ，由根与系数的关系可得
其中正确的结论是：（ ）
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．②③
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是先通过根的判别式判断一
元二次方程根的情况，若 ， ， 是一元二次方程 的两根时， ，
．当a、c异号时， ，则根据判别式的意义可对①进行判断；当 时， ，可判断
方程 一定有两异实数根，则可对②进行判断；当 时，则 ，则根据判
别式的意义可对③进行判断；若 ，计算出 ，根据根与系数的关系，对④进
行判断．
【详解】解：∵ ，
∴当a、c异号时， ，
∴ ，
∴此时方程 一定有实数根，故①正确；
当 ，若a、c异号时，则 ，此时方程 一定有两个不相等的实数
根，若a、c同号或c为0时，则 ，此时方程 一定有两个不相等的实根，
故②正确；
若 时， ，则方程 一定有两实数根，故③正确；
若 ， ，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴ ，故④错误．综上分析可知：正确的有①②③．
故选：B．
3．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）对于一元二次方程 ，下列说法：
①若 ，则 ；
②若方程 有两个不相等的实数根，则方程 必有两个不相等的实数根；
③若c是方程 的一个根，则一定有 成立；
④若 是一元二次方程 的根，则 ；
⑤若方程 两根为 且满足 ，则方程 ，必有实数根
， ．其中，正确的是（ ）
A．②④⑤ B．②③⑤ C．①②③④⑤ D．①②④⑤
【答案】D
【分析】一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 ；有两个相等的实
数根，则 ；没有实数根，则 ；
若一元二次方程 的两个根为 ，则 ．
【详解】解：①若 ，则 是一元二次方程 的解
∴ ，故①正确；
②∵方程 有两个不相等的实数根
∴
∴
∴方程 必有两个不相等的实数根，故②正确；
③∵c是方程 的一个根
∴
当 时，无法得出 ，故③错误；
④∵ 是一元二次方程 的根∴
∴ ，故④正确；
⑤∵方程 两根为
∴
∴方程 可化为：
即：
∴
∴ 或 ，故⑤正确；
综上分析可知，正确的是①②④⑤．
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．熟记相关结论是解题关键．
4．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知一元二次方程 的两个实数根为 ， ，下
列说法：①若a，c异号，则方程 一定有实数根；②若 ，则方程 一定
有实数根；③若 ， ， ，由根与系数的关系可得 ，其中结论正确的个数有
（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】当a、c异号时， ，则根据根的判别式的意义可对①进行判断；当 时，则，则根据根的判别式的意义可对③进行判断；若 ， ， ，计算出 ，则
可对④进行判断．
【详解】解： ，
当a、c异号时， ，所以 ，所以此时方程 一定有实数根，所以①正确；
若 时， ，则方程 一定有两实数根，所以②正确；
若 ， ， ， ，所以方程没有实数根，所以③错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时，
， ．也考查了根的判别式．
【经典例题十 根与系数关系与几何图形结合】
【例10】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）若菱形 的对角线 ， 的长分别为关于 的一元二
次方程 的两个根，且 ，则 的值为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了根与系数的关系，菱形的面积，先利用方程得到 ，再利用菱形的面积
等于对角线乘积除以2，即可解答，熟知菱形的面积等于对角线乘积除以2是解题的关键．
【详解】解： 菱形 的两条对角线 的长分别是关于x的方程 的两根，
，
∵菱形的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．故选：C．
1．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）平行四边形两邻边长分别为 的两根，则其周长为
．
【答案】
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和，即可确定出平行四边形的周长．
【详解】解：设方程 的两根分别为a，b，
由根与系数关系得：a+b=6，
∵平行四边形两邻边长分别为 的两根，
∴其周长为： ，
故答案为： ．
【点晴】本题考查了根与系数的关系，以及平行四边形的性质，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是
解本题的关键．
2．（24-25九年级上·河北沧州·期末）若关于x的一元二次方程 的两根为 ( )．
(1)求k的取值范围；
(2)若 是一个矩形两条邻边长且矩形的对角线的长为 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由题意得： ，
解得： ；
（2）解：设方程的两根为 ，则 ，
由题意得： ，
∴ ，即： ，
解得： ，且符合 ，
综上所述： ．
3．（24-25九年级上·江西赣州·期末）已知关于x的方程 ．
(1)求证：k取任何实数值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若 斜边长 ，另两条边长b，c恰好是这个方程的两个根，求 的周长．
【答案】(1)见解析
(2) 的周长为 ．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系．
（1）根据一元二次方程根的判别式的意义证明即可；
（2）利用根与系数的关系求得 ， ，再利用完全平方公式得到 ，求得
，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴无论 取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵边长b，c恰好是这个方程 的两个根，
∴ ， ，（ ）
∵ 斜边长 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
整理得 ，即 ，
（负值已舍），
∴ ，
∴ 的周长为 ；∴ 的周长为 ．
4．（2025·四川绵阳·一模）已知关于 的方程 ；
(1)求证：方程总有实数根；
(2)若方程的两根 为直角三角形的两边长，且 ，求 的值及该直角三角形的周长．
【答案】(1)见解析
(2) 或 ，周长为
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是根据根的判别式、韦达定理和勾股定理
来解答．
（1）先求出方程的判别式的结果； 再根据 方程有实数根； 即可证明.
（2）根据根与系数的关系求出方程两根的值和 的值，再由勾股定理求出直角三角形的斜边长，进而得
到直角三角形的周长．
【详解】（1）由 得到 ，
，
，
∴不论 为任何实数，方程总有实数根.
（2）解：根据题意得 ，，
解得 或 ，
直角三角形的斜边为：
所以直角三角形的周长为： ．
【拓展训练一 利用根与系数关系判断说法正误综合】
1．（2025·重庆江津·一模）已知整式 ，其中 ， ， ， ， ，
均为自然数．则下列说法，正确的个数为（ ）
①若 ，则 ；
② ， ， ， ， ， 中必有两个数的差是5的倍数；
③当 时，该方程存在5个实数解记为 ， ， ， ， ，若存在整数 ，使 ，且
， ，则 存在最大值为25．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【分析】表示出当 时，当 时 的值，再进行加法运算即可判断①；令 ，则
，令 ，则 ，表示出， ，结合题意即可判断②；由题意结
合一元二次方程的解以及一元二次方程根与系数的关系得出 ，即 ，从而得出
，计算即可判断③，从而得解．
【详解】解：①当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
∴由 可得： ，
∴ ，故①错误；
②令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
∴ ， ，
∵ ， ， ， ， ， 均是自然数，
∴ ， 均为整数，
∴ 与 必有一个为5的倍数，
∴ ， ， ， ， ， 中必有两个数的差是5的倍数，所以②正确；
③由题意，得 ， ， ， ， 为方程 的五个解，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴当 或 时， 有最大值25，
∵ ，
∴当 时， 的最大值为25，
所以③正确，
综上所述，正确的有②③，共 个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整数的混合运算，代数式求值，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关
系，正确计算是解此题的关键．
2．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）已知实数a，b，c，m，n，其中 ，满足 ， ．
则以下说法：① ；②若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数；③关于x的一元二次方
程 的两根为 ，n．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，因式分解的应用和整式的混合运算．①根据题意，
可得 ， ，将其代入原式中，再利用公式法与提公因式法进行因式分解，可得原式
，根据a，m，n是实数，可知 ，即可得 ；②若m,n都为整数，其
可能情况有：m，n都为奇数；m，n为整数，且其中至少有一个为偶数，分别进行论证讨论即可．③根据
根与系数的关系，将 变形得 ，进而可得结论．【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴
，
∵a，m，n是实数，
∴ ，
∴ ，即①正确；
若m，n都为整数，其可能情况有以下两种：
当m，n都为奇数时，则 必为偶数，
又∵ ，
∴ ，
∵a为奇数，
∴ 必为偶数，这与b为奇数矛盾；
当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则 必为偶数，
又∵ ，
∴ ，
∵a为奇数，
∴ 必为偶数，这与c为奇数矛盾；
综上所述，若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数．即②正确；∵ ， ，
∴ ， ，
∴关于x的一元二次方程 的两根为 ，n．即③正确．
故选：D．
3．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一
个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有
(填序号)．
①方程 是倍根方程；
②若 是倍根方程：则 ；
③若 满足 ，则关于 的方程 是倍根方程；
④若关于 的一元二次方程 是倍根方程，则必有 ．
【答案】①③④
【分析】本题考查了“倍根方程”的概念，根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键．
①根据倍根方程定义即可得到方程 是倍根方程；②解方程求得方程的根，然后根据倍根方
程的定义得到 或 即 或 ，则 ；③根据
已知条件得到 ，解方程 得到方程的根即可判断；④利用“倍根方程”的根与系数的
关系判断即可．
【详解】解：① ，
，
解得： ，
方程 是倍根方程；
故①正确；
②解方程 ，解得：
是倍根方程，
或 即 或
，
故②不正确；
③ ，
解方程 得：
，
故③正确；
④设方程 的根为 ，
关于 的方程 是倍根方程，
令 ，
；故④正确．
故答案为：①③④．【拓展训练二 利用根与系数关系求参综合】
4．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》
中提出一元二次方程 的两根 有如下的关系（韦达定理）：
；
材料2：如果实数m、n满足 、 ，且 ，则可利用根的定义构造一元二次方程
，将m、n看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)已知实数m、n满足 、 ，求 的值．
(2)已知实数a、b、c满足 、 ，且 ，求c的最大值．
【答案】(1)2或
(2)1
【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
（1）当 时，直接代入计算即可；当 时，根据题意，得到实数m，n是方程 的两个
根，根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）把a、b可以看成方程 的根，根据根的判别式得出 ，然后根
据不等式的性质，立方根的定义求解即可。
【详解】（1）解：当 时， ；
当 时，根据题意，得到实数m，n是方程 的两个根，
∴ ， ，∴ ，
综上， 的值为2或 ；
（2）解：∵实数a、b、c满足 、 ，
∴a、b可以看成方程 的根，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴才的最大值为1.
5．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）已知关于x的方程 有两个实数根 、 ．
(1)求 的取值范围；
(2)是否存在正数 的值使等式 成立，如果存在，请求出 的值，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在
【分析】本题主要考查根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据题意得到 ，进行计算即可；
（2）根据根与系数的关系得到 ，代入进行计算即可．
【详解】（1）解：关于x的方程 有两个实数根 、 ，
，
解得 ；（2）解：由题意可得： ，
，
，
故 ，
即 ，
解得 （均舍去）
故不存在．
6．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）【动手操作】（1）尺规作图：在平面直角坐标系中，以 为圆心，
适当长为半径作圆，交 的轴的正半轴于点 ，交 的轴的正半轴于点 ，再分别以点 、 为圆心，适
当长为半径作弧，两弧在第一象限内交于点 ；
【自主探索】（2）在（1）的条件下，解方程： ；
【拓展延伸】（3）根据一元二次方程 的求根公式，可以得到 ，
．在此基础上通过直接计算得到 ， ．这就是一元二次方程“根与系数
的关系”（我们还可以用如下的方法推导：由于方程 的两个根分别是 ， ，可把
方程写为 ，可得 ，结合“多项式相等”知识，
， ，即 ， ．若一元三次方程 存在三个根
、 、 ．请你求出有三个根的条件下，一元三次方程根与系数的关系？
【答案】（1）图见解析；（2） ， ；（3） ， ，
【分析】本题考查尺规作图、角平分线的性质、解一元二次方程、解一元高次方程，得到点P坐标规律，
以及利用类比方法求解是解答的关键．（1）根据题中叙述画出图形即可；
（2）先由（1）中画图过程得到点P在 的平分线上，则 ，原方程化为 ，然后解方
程即可求解；
（3）类比一元二次方程中根与系数的推导过程求解即可．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）根据作图过程，点P在 的平分线上，又点 在第一象限内，
∴ ，
∴方程 化为 ，即 ，
解得 ， ；
（3）由于一元三次方程 存在三个根 、 、 ，
∴把方程可以写为 ，
整理，得 ，
∴ ， ， ，
解得： ， ， ．
【拓展训练三 根与系数关系的新考法】7．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：如果关于x的一元二次方程 有两个
实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程
的两个根是 ，则方程 是“根差2方程”．
(1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）；
① ，② ，③ ；
(2)已知关于x的方程 （a是常数）是“根差2方程”，求a的值；
(3)若关于x的一元二次方程 和 都是“根差2方程”，（ ）试求
m、n间的数量关系．
【答案】(1)①②
(2)7或
(3)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程、根与系数的关系、完全平方公式等知识点，熟练掌握根与系数
的关系是解题的关键．
（1）分别求出各方程的解，然后进行判断即可；
（2）由根与系数的关系可得 ，再根据“根差2方程”的定义可得 ，即
，然后根据完全平方公式得到关于a的方程求解即可；
（3）根据（2）可得： 、 ，即
，然后化简即可解答
【详解】（1）解：① 的解为 ， ，则该方程为“根差2方程”；
② 的解为 ， ，则该方程为“根差2方程”；
③ 的解为 ， ，则该方程不是“根差2方程”；
故答案为：①②．（2）解：设关于x的方程 的解为 ，则 ，
∵关于x的方程 （a是常数）是“根差2方程”，
∴ ，即 ，
∴ ，解得： 或 ．
（3）解：∵关于x的一元二次方程 和 都是“根差2方程”，
∴ ， ，
∴ ，
∵
∴ ．
8．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）定义：已知 ， 是关于x的一元二次方程 的
两个实数根，若 ，且 ，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程
的两根为 ， ，因 ， ，所以一元二次方程
为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断：一元二次方程 _____“限根方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若关于x的一元二次方程 是“限根方程”，且两根 、 满足 ，
求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程 是“限根方程”，求m的取值范围．
【答案】(1)是
(2)k的值为9
(3) 或【分析】本题考查了根与系数的关系，也考查了解一元二次方程．
（1）先利用因式分解法解方程得到 ， ，然后根据“限根方程”的定义进行判断；
（2）先利用根与系数的关系得 ， ，再利用 得到
，则可求得 ， ，然后分别利用因式分解法解方程，最后利用“限根方
程”的定义确定 的值；
（3）利用因式分解法解方程得到 或 ，再根据“限根方程”的定义得到 时 ，
当 时， ，然后解关于 的不等式即可．
【详解】（1）解： ，
，
或 ，
所以 ， ，
， ，
所以一元二次方程 为“限根方程”，
故答案为：是；
（2）解：根据根与系数的关系得 ， ，
，
，即 ，
解得 ， ，
当 时，方程化为 ，
解得 ， ，， ，
方程 是“限根方程”，
当 时，方程化为 ，
解得 ， ，
，
方程化 不是“限根方程”，
综上所述， 的值为9；
（3）解： ，
，
或 ，
解得 或 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ，
综上所述， 的取值范围为 或 ．
9．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）定义：已知 ， 是关于x的一元二次方程 的
两个实数根，若 ，且 ，则称这个方程为“限根方程”．比如，一元二次方程
的两根为 ， ，因 ， ，所以一元二次方程
为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断：一元二次方程 _______“限根方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若关于x的一元二次方程 是“限根方程”，且方程的两根 、 满足
，求k的值；(3)若关于x的一元二次方程 是“限根方程”，求m的取值范围．
【答案】(1)是
(2)5
(3) 或
【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系，正确理解“限根方程”的定义是
解题关键．
（1）先利用因式分解法求出方程的解，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得；
（2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得 ， ，代入
可求出 的值，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得；
（3）先利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“限根方程”的定义可得 ，且 ，然后分两
种情况：① 和② ，根据“限根方程”的定义列出不等式组，解不等式组即可得．
【详解】（1）解： ，
，
或 ，
，
∵ ，且 ，
∴一元二次方程 是“限根方程”，
故答案为：是．
（2）解：∵ 、 是关于 的一元二次方程 的两根，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，整理得： ，
∴ ，
解得 或 ，
①当 时，方程为 ，
由（1）可知，这个方程是“限根方程”，
∴ 符合题意；
②当 时，方程为 ，
解得 ，
∵ ， ，
∴方程 不是“限根方程”，
∴ 不符合题意，舍去，
综上， 的值为5．
（3）解： ，
，
解得 或 ，
∵关于 的一元二次方程 是“限根方程”，
∴这个方程有两个不相等的负实数根，
∴方程根的判别式 ， ，且 ，
解得 ，且 ，
①当 时，则 ，
∵关于 的一元二次方程 是“限根方程”，
∴ ，解得 ，符合题设；
②当 时，则 ，
∵关于 的一元二次方程 是“限根方程”，
∴ ，
解得 ，符合题设，
综上， 的取值范围为 或 ．
【拓展训练四 一元二次方程根与系数关系的综合】
10．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）阅读材料，解答问题：
【材料1】
为了解方程 ，如果我们把 看作一个整体，然后设 ，则原方程可化为
，经过运算，原方程的解为 ．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做
换元法．
【材料2】
已知实数m，n满足 ，且 ，显然m，n是方程 的两个不相等的
实数根，由一元二次方程根与系数的关系可知： ， ．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了 的数学思想方法，若实数a，b满足
，则 的值为 ；
用换元法解方程： ．(2)间接应用：
已知实数m，n满足： ，则 的值
(3)拓展应用：
已知实数x，y满足： ，求 的值
【答案】(1) 整体（或转化、化归）；5；
(2)2或
(3)6
【分析】本题考查了换元法解方程和一元二次方程根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键．
（1）仿照题意利用换元法解方程即可；
（2）仿照题意利用韦达定理进行求解即可；
（3）设 ，则可得 ，进一步得到 ，再证明 ，
推出 ，由 ，可得 ，即 ．
【详解】（1）解： 材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了整体的数学思想方法，
令 ，则 ，
，
解得 ， （舍），
，
故 的值为5；
，
，
令 ，则 ，，
解得 ， （舍），
，
解得 ；
（2） 实数m，n满足： ，
当 时， ，
当实数m，n是方程 的两个不相等的实数根，
，
，
的值为2或 ；
（3）设 ，
，
，
，
整理得 ，
，
，
，
，
，
，．
11．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）阅读材料：
阅读材料：材料：若一元二次方程 的两个根为 ，则 ，
(1)材料理解：一元二次方程 的两个根为 ，则 ， ．
(2)类比探究：已知实数m，n满足 ， ． ．
(3)思维拓展：已知实数s、t分别满足 ， ，且 ，求 的值．
【答案】(1) ；
(2)2或
(3)
【分析】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式
的混合运算顺序和运算法则．
（1）直接根据根与系数的关系可得答案；
（2）分类讨论，当 时， ，当 时，由题意得出 、 可看作方程 的解，
据此知 ， ，将其代入计算可得；
（3）把 变形为 ，实数 和 可看作方程 的两根，根据根与系数
的关系求出 ， ，代入所求代数式计算即可．
【详解】（1）解：根据根与系数的关系得 ， ；
故答案为： ； ；
（2）解：当 时，符合题意，则 ，
当 时，
， ，、 可看作方程 的两个根，
， ，
，
故答案为：2或 ；
（3）解： 两边同时除以 变形为 ，
则实数 和 可看作方程 的两根，
， ，
．
12．（24-25九年级上·江苏南京·期中）类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．
学习再现：
设一元二次方程 的两个根分别为 和 ，
那么 ，
比较系数得 ， ．
类比推广：
（ ）设 的三个根分别为 ， ， ，求 的值．
问题解决：（ ）若 的三个根分别为 ， ， ，则 的值是______．
拓展提升：
（ ）已知实数 满足 ，且 ，求正数 的最小值．
【答案】（ ） ；（ ） ；（ ）
【分析】（ ）根据学习材料得
，据此即可求解；
（ ）结合（ ）的结果，再根据 即可求解；
（ ）由题意可得 ， ，进而得 是方程 的两根，由 和 可得
，即得 ，进而可得 ，据此即可求解；
本题考查了一元二次方程根和系数的关键，一元二次方程根的判别式，多项式的乘法运算，掌握一元二次
方程中根与系数的关系以及多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：（ ）根据学习材料提示得，
，
，
，
∴ ， ，
∴ 的值为 ；
（ ）∵ 的三个根分别为 ， ， ，
又∵ ， ，
∴ ， ，∴ ，
故答案为： ；
（ ）∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 是方程 的两根，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴正数 的最小值为 ．
1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知方程 的一个根是6，则它的另一个根是（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知：若 是一元二次方程的两个根，则 ， ．根据一元二次方程根与系数的关系可得出 ，
计算即可．
【详解】解：设方程的另一个根为 ，
根据根与系数的关系可得： ，
解得： ，
则它的另一个根是 ．
故选：A．
2．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若 、 是一元二次方程 的两个根，则 的值是
（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程 的两个实
数根 ， 和系数 ， ， ，有如下关系： ， ，由此即可得解．
【详解】解：∵ 、 是一元二次方程 的两个根，
∴ ，
故选：D．
3．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）若m，n是关于x的方程 的两个根，则 的
值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系， 是一元二次方程 的两根
时， ．先根据一元二次方程根与系数的关系求出 ，再代入化简后的代数式进行计算即可．
【详解】解： m，n是关于x的方程 的两个实数根，
∵
，
∴
，
∴
故选：A．
4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）若m，n为方程 的两根，则
的值（ ）
A．1 B． C． D．4049
【答案】B
【分析】本题主要考查了方程的解、根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握根与系数的关系成为解
题的关键．根据方程的解以及根与系数的关系可得 、 、 ，再对所求
代数式变形，最后代入计算即可．
【详解】解：∵m，n为方程 的两根，
∴ 、 、
∴ ， ，
∴
，
故选：B．
5．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实
数根，且满足 ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系．根据方程满足 ，可得
是方程 的根，再由方程有两个相等的实数根，结合根与系数的关系解答即可．
【详解】解：∵方程 满足 ，
∴ 是方程 的根，
∴ 成立， 不成立，故A选项符合题意；C选项不符合题意；
∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，B，D选项不符合题意；
故选：A．
6．（2018·广东深圳·一模）已知 、 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题题考查了一元二次方程根与系数的关系，单项式乘以多项式，由 、 是方程
的两个实数根，则 ， ，然后将原始变形并结合一元二次方程根与系数的关系分析计算
即可，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
【详解】解：∵ 、 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴，
故选： ．
7．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知 ，且有 及 ，则
的值为（ ）
A． B． C．3 D．2018
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意可求出 ，进而可得
是关于t的方程 的两个实数根，则由根与系数的关系可求出 ，据此可得答案．
【详解】解：当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 且 ，
∴ 是关于t的方程 的两个实数根，∴ ，
∴ ，
故选：C．
8．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知一元二次方程 的两个实数根为 ， ，
下列说法：①若 ，则方程 必有一个根为1；②若 ，则方程
一定有两不相等的实数根；③若方程 有两个不相等的实数根，则方程 也一定
有两个不相等实数根；④若 ， ， ，由根与系数的关系可得 ， ，其中结论
正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【答案】A
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是先通过根的判别式判断一
元二次方程根的情况，若 ， ， 是一元二次方程 的两根时， ，
．当 时， ，则根据根的意义可对①进行判断；当 时， ，可判断方程
一定有两异实数根，则可对②进行判断；若 ，则方程为一元一次方程，只有一个实数
解；可对③进行判断；若 ，计算出 ，方程没有实数根，据此对④进行判断．
【详解】解：①当 时， ，所以方程 必有一个根为 ，故①正确．
②当 ，
若a、c异号时，则 ，此时方程 一定有两个不相等的实数根，
若a、c同号或c为0时，则 ，此时方程 一定有两个不相等的实根，故
②正确；
③∵若方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴此时方程若 ，则 一也一定有两个不相等实数根，若 ，则方程为一元一次方程，只有一个实数解；故③不准确；
④若 ， ，
∴方程没有的实数根，故④错误．
综上分析可知：正确的有①②．共2个。
故选：A．
9．（2025·江苏苏州·中考真题）已知 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，其中
，则 ．
【答案】
【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到 ，结合 ，进行求解即可，熟
练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵ 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ．
10．（2025·江苏盐城·三模）若关于 的一元二次方程 的两个解是 ， ，则
的值是
【答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系：若 是一元二次方程 的两根时，
， ．也考查了一元二次方程的解．先根据 分别是关于 的一元二次方程
的两个根，得 ， 再利用整体代入的方法计算．
【详解】∵关于 的一元二次方程 的两个根是 ， ，∴ ，
∴
故答案为： ．
11．（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知 ， 是方程 的两个实数根，则代数式
的值是 ．
【答案】4049
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握根与系数关系
是解题的关键．先由根与系数的关系求出 ，再利用完全平方公式得到
，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据根与系数的关系得 ，
，
故答案为：4049．
12．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x的方程 （m为正整数）的两根分别
记为 ， ，如：当 时，方程的两根记为 ， ，则
．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，由一元二次方程根与系数的关系得出
， ，从而得出 ，由此规律计算即可得解，熟练掌握
以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵关于x的方程 （m为正整数）的两根分别记为 ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴
，
故答案为： ．
13．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）小明学习了韦达定理之后，发现若一元二次方程
有两个实数根 ， ，则方程可化为 ，将等式左边展开后可得
，与原方程系数比较，就不难得到根与系数的等量关系．
小明接着思考，那么若一元三次方程 有三个实数根 ， ， ，则这三个根之
和、三个根之积与原方程系数之间是否存在类似的等量关系？
请你帮助小明解决问题：若方程 的三个实数根为 ， ， ，则 的值为
．
【答案】
【分析】本题考查了一元三次方程根与系数的关系，整式的乘法，掌握知识点的应用是解题的关键．
根据一元三次方程 有三个实数根 ， ， ，则有
，然后得出 ， ，
，再根据根与系数的关系即可求解．【详解】解：∵一元三次方程 有三个实数根 ， ， ，
∴ ，
∴
，
∴ ， ， ，
∵ 的三个实数根为 ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
14．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知方程 ，求 的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系
，得到 ，将 变形为 ，再整体代入计算即可解
答．
【详解】解：根据题意： ，
，
，
．15．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)当m为何值时，方程有两个实数根；
(2)若 、 是方程的两根，且 ，求m的值．
【答案】(1) 且
(2)
【分析】本题考查根与系数关系，根的判别式，解题的关键是：
（1）根据不等式组解决问题即可；
（2）构建方程求解即可．
【详解】（1）解： 一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得 且 ，
且 时方程有两个实数根；
（2） 、 是方程的两根，
， ．
，
，
，
经检验， 的值为 ．
16．（24-25九年级上·江苏南京·期中）定义：设 是方程 的两个实数根，若满足
，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程 是“和谐方程”．(1)下列方程是“和谐方程”的是 ．
① ；② ；③ ．
(2)若方程 是“和谐方程”，求m的值．
(3)若方程 为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系．
【答案】(1)②③
(2)
(3) （或 ）
【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，正确理解题意是解题的
关键．
（1）根据根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解；
（2）根据根与系数的关系结合新定义建立方程，再解方程即可；
（3）根据根与系数的关系结合新定义求解即可．
【详解】（1）解：① ，则
∴ ，
∴不满足 ，故不是“和谐方程”；
② ，
∴
满足 ，故是“和谐方程”；
③
解得： ，
∴ ，∴满足 ，故是“和谐方程”；
故答案为：②③；
（2）解：∵ ，
∴ ．
∵方程 是“和谐方程”，
∴
∴ ．
即 ．
解得： ；
（3）解：对于 ，
则
∵方程 为“和谐方程”，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 （或 ）．
17．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知关于 的方程 ．
(1)说明：无论 取何值，方程总有实数根；
(2)若方程的两个实数根 、 满足 ，求 的值．
【答案】(1)见详解
(2) 的值为 或 ．
【分析】本题考查了一元二次方程 的根与系数以及根的判别式 ：当 ，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根．
（1）先计算判别式得到 ，根据非负数的性质得 ，然后根据判别式的意义即可得到方程总有
两个实数根；
（2）根据 ，再结合 ，得出 ，代入数值
进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意， ，
，
，
即 ，
无论 取何值，方程总有实数根；
（2）解：∵关于 的方程 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
解得 或 ，
∴ 的值为 或 ．
18．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知：平行四边形 的两边 、 的长是关于x的方程
的两个实数根，
(1)试说明：无论m取何值方程总有两个实数根．
(2)若 的长为2，那么平行四边形 的周长是多少？
【答案】(1)见解析
(2)【分析】本题考查了一元二次方程的相关知识，平行四边形的性质．
（1）根据根的判别式证明即可；
（2）先由 的长为2求出 ，进而可知原方程为 ，根据根与系数的关系求出 、
的和，即可求出平行四边形的周长.
【详解】（1）证明：∵ ，
∴无论m取何值方程总有两个实数根；
（2）解：∵ 、 的长是关于x的方程 的两个实数根， 的长为2，
∴ ，
解得： ，
即 ，
∴ 、 的和 ，
∵平行四边形 ，
∴ ， ，
∴平行四边形 的周长 ．
19．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：不论m取何值，该方程都有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两个根分别为 ，且 ，若 ，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2) 或
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系， ( 为常数)的
根的判别式 ，当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．一元二次方程根与系数的关系：若 是一元二次方程
的两根， ， ，掌握以上知识是解题的关键．
（1）计算一元二次方程根的判别式 ，即可得证；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知条件列出方程，得到 ，解方程即
可求解．
【详解】（1）解：
∴
．
∴不论 取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）∵ 的两个根分别为 ，且 ，
∴ ，
∵
∴
即
∴
解得： 或 ．
20．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》
中提出一元二次方程 的两根 有如下的关系（韦达定理）：；
材料2：如果实数m、n满足 、 ，且 ，则可利用根的定义构造一元二次方程
，将m、n看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)已知实数m、n满足 、 ，求 的值．
(2)已知实数a、b、c满足 、 ，且 ，求c的最大值．
【答案】(1)2或
(2)1
【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
（1）当 时，直接代入计算即可；当 时，根据题意，得到实数m，n是方程 的两个
根，根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）把a、b可以看成方程 的根，根据根的判别式得出 ，然后根
据不等式的性质，立方根的定义求解即可。
【详解】（1）解：当 时， ；
当 时，根据题意，得到实数m，n是方程 的两个根，
∴ ， ，
∴ ，
综上， 的值为2或 ；
（2）解：∵实数a、b、c满足 、 ，∴a、b可以看成方程 的根，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴才的最大值为1.
