文档内容
专题 02 垂径定理及其推论重难点题型专训
（2个知识点+12大题型+3拓展训练+自我检测）
题型一 圆心角概念辨析及简单运算
题型二 求圆弧的度数
题型三 根据垂径定理求半径
题型四 根据垂径定理求长度
题型五 根据垂径定理求角度
题型六 根据垂径定理求面积
题型七 利用垂径定理求平行弦问题
题型八 利用垂径定理求同心圆问题
题型九 利用垂径定理求解其他问题
题型十 垂径定理的推论
题型十一 利用弧、弦、圆心角的关系求解
题型十二 利用弧、弦、圆心角的关系求证
拓展训练一 垂径定理综合
拓展训练二 垂径定理的实际应用
拓展训练三 垂径定理中的最值问题
知识点一、圆的对称性
（1）对称中心
圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。
将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周绕圆
心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。
1. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
2. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量
都分别相等。
3. 将整个圆分为 等份，每一份的弧对应 的圆心角，我们也称这样的弧为 的弧。圆心角的度数和
它所对的弧的度数相等．
（2）对称轴
经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图
形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。【即时训练】
1．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平
分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④等弧所对的弦相等．其中正确
的有（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．①②④
2．（24-25九年级上·江西南昌·单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）：
（1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等．
（2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等．
（3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等．
（4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等．
知识点二、垂径定理
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
几 何 语 言：
垂径定理的几个基本图形：
垂径定理在基本图形中的应用：2．其它正确结论：
⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等．
3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推
三．
注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径．
4．常见辅助线做法：
⑴过圆心，作垂线，连半径，造 ，用勾股，求长度；
⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
【即时训练】
1．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图， 是 的直径，弦 于点E，如果 ，则
的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图， 是 的直径，弦 ，垂足为点E，连接 ，若
，则 等于 ．【经典例题一 圆心角概念辨析及简单运算】
【例1】（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，在 中，弦 的长为6，圆心O到 的距离
，则 的半径长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
1．（2025·广西防城港·模拟预测）目前，体育运动已成为了青少年成长路上的“健康必修课”．为了促进
青少年身心健康全面发展，某校成立了铅球兴趣小组．爱好铅球的苏阳同学在一次掷铅球时，铅球落地后
在水平地面上砸出一个坑，经过坑的最低点 的竖直截面如图所示（点 、 、 均在 上，且
于点 ），已知坑的最大深度 为 ，则铅球的半径 为（ ）A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图为球形灯笼的截面图，过圆心的直线 垂直弦 于点 ，
，则 的半径为 ．
3．（2025·广西南宁·模拟预测）圆底烧瓶是化学实验中常用的反应容器．图1是一个装有液体的圆底烧瓶
（厚度忽略不计），图2是它的侧面示意图．若烧瓶中液体水平宽度 为 ，竖直高度 为 ，
则 的半径为 ；
4．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在 中，直径 垂直弦 于点E．
(1)求证： ；
(2)若 , ，求 的半径．【经典例题二 求圆弧的度数】
【例2】（2025·山东日照·模拟预测）如图，已知直线 交⊙O于A，B两点， 是 的直径，作
的角平分线交 于点D，过D作 ，垂足为E，且 ， ，则 的长等于
（ ）
A．4 B．6 C． D．
1．（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图，一个隧道的横截面是以O为圆心的圆的一部分，点D是
中弦 的中点， 经过圆心O交 于点C，若路面 ，净高 ，则此圆的半径 的长
为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）如图， 是 的直径， 于点 ，连接 ．若 ，
，则 的长为 ．3．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图， 的半径为3，点 是弦 延长线上的一点，连接
，若 ， ，则弦 的长是 ．
∴
4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图， ， 交 于点C，D， 是半径，且
于点F．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 直径的长．
【经典例题三 根据垂径定理求半径】
【例3】（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，点 ， ， 在 上，若 ，
，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，OE⊥AC，垂足为
E，BD＝2OE．若∠BOD＝110°，则∠A的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
2．（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，点A、B、C在⊙O上，弦AC与半径OB互相平分，那么
∠OAC的度数为 度．
3．（2025九年级·安徽·模拟预测）如图， 为 的直径， ， 为 上的两点，且 为 的中点，
若 ，则 的度数为 ．4．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图1，在 中，直径 垂直弦 于点G， ，连接
交 于点F．
(1)若 ， ，求 的长；
(2)连接 ，如图2，若 ，求 的度数．
【经典例题四 根据垂径定理求长度】
【例4】（24-25九年级上·山东德州·期中）如图， 是 的直径，弦 于 ，连接 ，过点
作 于 ，若 ， ，则 的面积是（ ）
A． B．
C． D．
1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在位于 轴右侧且半径为6的 ，从 的位置沿直线向上平移，交直线 于 点，且 是 与 轴的一个公共点，若 ，则四边形 的
面积是（ ）
A．42 B．64 C．68 D．48
2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中） 的直径 ，弦 ，且 于E，则 的
面积 .
3．（2025·广东珠海·模拟预测）如图， 是 的外接圆， 交 于点E，垂足为点D，
， 的延长线交于点F，若 ， ，则 的面积是 ．
4．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图， 是 的一条弦，点 是 的中点，连接 并延长交
劣弧 于点 ，连接 ， ．若 ， ，求 的面积．
【经典例题五 根根据垂径定理求角度】
【例5】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面
宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（ ）A．1.2 m B．1.4 m C．1.6 m D．1.8 m
1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为
5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
2．（2025·黑龙江·模拟预测）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF
=4，那么AD = ．
3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图， 是 的弦， 长为8， 是 上一个动点（不与 、
重合），过点 作 于点 ， 于点 ，则 的长为 ．4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，
仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1) ， 均为格点，且 经过 ， 两点，作出 的中点 ；
(2) ， 均为格点，且 ， ， 均在圆上，作出 的中点 ；
(3) ， ， ， 四点都在圆上，且 ，作出 的中点 ；
(4) ， 均是 上的点，且 ， 都在格线上，在圆上作一点 ，使得 是 的中点．
【经典例题六 根据垂径定理求面积】
【例6】（2025·重庆·模拟预测）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，
AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cmA．5 B．4 C． D．
1．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置
在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯
底有水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6 B． C． D．
2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在⊙O中，弦 的长为4，圆心 到弦 的距离为2，则
的度数为 ．
3．（24-25九年级·浙江杭州·）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形 的边 和 分别是
两圆的弦，则矩形 面积的最大值是 ．
4．（2025·广西钦州·模拟预测）综合与实践
【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出
一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”．【实践探究】设直线 与“环花”从左到右依次交于点 ， ， ， ．
(1)如图2，当直线 经过中心 时，请直接写出线段 与 的数量关系；
(2)如图3，当直线 不经过中心 时，请证明（1）中的结论仍然成立；
【问题深化】
(3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点 是这两个菱形对角线的公共交点，
且 ， ， ， 四点均在对角线 上），类似地形成了“方花”，直线 不经中心 时，与
“方花”从左到右依次交于点 ， ， ， ，求 的值．
【经典例题七 利用垂径定理求平行弦问题】
【例7】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图， 是 的直径， 为弦， 于点E，则下列
结论中不成立的是（ ）
A． B． C． D．1．（24-25九年级上·四川广安·期末）往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若
水面宽 ，则水的最大深度为（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
2．（2025·宁夏·模拟预测）如图， 是圆 的弦， ，垂足为点 ，将劣弧 沿弦 折叠交于
的中点 ，若 ，则圆 的半径为 ．
3．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别是
AC、BC上的一点，且DE=6 ，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为 ．4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）小明同学在做一道题时需要找出已知弧线所在圆的圆心，他在
弧上描出了三个点 ，并连接了 和 ，请你用尺规作图法，帮小明继续完成，找出该弧所在圆
的圆心 ．（保留作图痕迹，不写作法）
【经典例题八 利用垂径定理求同心圆问题】
【例8】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，在半径为5的 中，点 是弦 的中点， 长为
3，则 弦 长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 中， ，以 为直径的 交
于点 ，交 的延长线于点 ，若点 在 的垂直平分线上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，⊙O的半径为5，弦 ，B是 的中点，连接 ，则
的长为 ．3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 ，点 是这段弧所在圆的
圆心， ，点 是 的中点， ，且 ，则这段弯路所在圆的半径为
m．
4．（24-25九年级上·河北承德·阶段练习）如图，在 中，弦 与半径 交于点 ．
(1) 的半径为5， ， ，垂足为E，则 ______．
(2)在 中， ， ， ，则 ______．
(3) 的半径为5， ，垂足为E， ，则弦 =______．
(4) ， ，弦 ，求 的半径．【经典例题九 利用垂径定理求解其他问题】
【例9】（2025·广东广州·模拟预测）如图， 是 的直径， ， ，则 的度数
是（ ）
A． B． C． D．
1．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，已知 为 的直径，点C为圆上的一点，且 所对的圆心角
度数是 所对的圆心角度数的 ，则 所对的圆心角度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图， 是直径， ， ， 的
度数是 ．
3．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图，在 中， ，以点C为圆心，为半径的圆分别交 于点D、点E，则弧 的度数为 ．
4．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，在直径为20的 中， 与 是互相垂直的两条弦，垂足
为点F．已知 ，求OF的长．
【经典例题十 垂径定理的推论】
【例10】（24-25九年级上·天津北辰·期末）如图， ，则 的是（ ）．
A． B． C． D．
1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百
分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：当任务完成的百分比为 时，线段 的长度记为 ．下列描述正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
2．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，在⊙O中，弧AB＝弧BC＝弧CD，连接AC，CD，则AC
2CD（填“＞”、“＜”或“＝”）
3．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在⊙O中， = ，则下列结论中：①AB=CD；
②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④ = ，正确的是 填序号．
4．（24-25九年级上·河南郑州·期末）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分
别相等”．
定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在 中
垂足为 ， 垂足为 ， 和 都是弦心距．
实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、
两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题：如图②， 是 的平分线上一点，以点 为圆心的圆与角的两边分别交于 ．
(1)求证： ；
(2)若角的顶点 在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．
【经典例题十一 利用弧、弦、圆心角的关系求解】
【例11】（24-25九年级上·福建泉州·期中）下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B．
C． D．
1．（2025·广东惠州·模拟预测）如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计）A为入口，F，G为出
口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF，弯道为以点O为圆心的一段弧，且 ， ， ，
所对的圆心角均为90°，甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出，
其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法正确的是
（ ）A．甲车从F口出，乙车从G口出
B．甲车驶出立交桥时，乙车在 上
C．甲乙两车同时在立交桥上的时间为10s
D．图中立交桥总长为140m
2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图， 是 的直径， ， ，则
的度数为 ．
3．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中
心分别为 、 ，且 恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为 ，点 在小量角器对应的刻
度为 ，则点 在大量角器上对应的刻度为 ．（只考虑小于 的角）
4．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，圆心角 ．(1)判断 和 的数量关系，并说明理由；
(2)若 ，求 的度数．
【经典例题十二 利用弧、弦、圆心角的关系求证】
【例12】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知正五边形ABCDE内接于 O，则劣弧AB的度数是
（ ） ⊙
A．45° B．60° C．72° D．90°
1．（2025·山东聊城·模拟预测）如图，AB，CD是 的弦，延长AB，CD相交于点P．已知 ，
，则 的度数是（ ）A．30° B．25° C．20° D．10°
2．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在 中，已知 ，则弧 的度数是
．
3．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线
表示折痕，则弧 的度数是
4．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在 中， ，以点C为圆心， 为半径的圆交
于点D，交 于点E．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的长．【拓展训练一 垂径定理综合】
1．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广
泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图1，其数学模型为如图2所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面
跨径 米， 为圆上一点， 于点 ，且 米，则门洞的半径是多少？
【分析】过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，由垂径定理得 (米)，再
证四边形 是 ，则 米， (米 ，设该圆的
半径长为 米，然后由题意列出方程或方程组，解方程(组)可得 _米．
2．（24-25九年级上·全国·课后作业）在学习了垂径定理后，同学们开始探索用直尺和圆规来平分一条已
知弧的方法，老师请小亮同学做如下四等分圆弧问题的操作：
请利用直尺和圆规四等分
小亮的作法如下：
①连接 ；②作 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ；
③分别作线段 ，线段 的垂直平分线 ， ，交 于 ， 两点．
那么 ， ， 三点把 四等分．
(1)小明否定了小亮四等分 作法的正确性，请你帮小明简要说明判断小亮作法错误的理由；
(2)请你利用直尺和圆规四等分所给的 （仿照小亮，写出简要的作法步骤，保留作图痕迹）．
3．（2025九年级·安徽·专题练习）利用勾股定理或垂径定理解决下列问题：
（1）如图， 是 的弦， 是 的中点．连接 并延长交 于点 ．若 ，则
的半径是 ．
（2）如图，弦 直径 于点 ．若 ，则 ．（3）如图， 是 的直径，弦 ，垂足为点 ．若 ，则 的直径为 ．
（4）如图，在 中， 于点 ．若 ，则 的长为 ．
【拓展训练二 垂径定理的实际应用】
1．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，一座拱桥呈圆弧形，它的跨度 ，拱高
．
(1)求圆弧所在圆的半径 的长；
(2)当水位上涨至跨度只有 时，必须采取紧急措施，若水位上涨至离拱顶 ，即 ，此时是否
需采取紧急措施？
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在 中， ，圆O的圆心在 内部，与 的边
顺时针分别交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段 上），射线 交边 于点P．如果 ；(1)求证： ．
(2)连接 ，求证： ．
3．（2025·浙江宁波·模拟预测）根据背景素材，探索解决问题．
测算石拱桥拱圈的半径
某数学兴趣小组
测算一座石拱桥
拱圈的半径（如
图1），石拱桥由
侧面为矩形的花
素材 岗岩叠砌而成，
1 上、下的花岗岩
错缝连接（花岗
岩的各个顶点落
在上、下花岗岩
相应边的中点，
如图2）．
通过观察发现
A，B，C三个点
都在拱圈上，A
是拱圈的最高点
素材
（不在花岗岩的
2
顶点处），B，C
两个点都是花岗
岩的顶点（如图
3）．
如果没有带测量
工具，可以用身
体上的“尺子”
来测，比如前臂
素材 长（包括手掌、
3 手指）（如图
4），利用该方法
测得一块花岗岩
的长和高（如图
5）．
解决问题任务 通过观察计算，得到B，C两点之间的水平距离为 肘，铅
获取数据
1 垂距离（高度差）为 肘．
任务
分析计算 通过观察、计算，得到石拱桥拱圈的半径为 肘．
2
任务 若水平面位于点C处，一艘宽6肘，水面之上的高为7肘的
预测判断
3 货船是否能顺利通过此石拱桥？请说明理由．
注：在测量、计算时，都以“肘”为单位．
【拓展训练三 垂径定理中的最值问题】
1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在 中， 是弦 上的一个动点，连接 ，过点
作 交 于点 ．
(1)试说明当点 在 的什么位置时， 的长取得最大值？
(2)若 ，求 长的最大值．
2．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个
定点， ， 是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M．
(1)当 时，求四边形 的面积；(2)当AB变化时，求四边形 的面积的最大值．
3．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图所示， 是 的直径， ， 是 的两条弦，
于点M， 于点N， ．
(1)求 的长；
(2)若点P为 上的动点，请确定点 P 的位置，使得 的值最小，并求出最小值
1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列命题正确的是（ ）
A．平分弦的直线必垂直于弦 B．平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧
C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D．垂直于弦的直线平分弦
2．（25-26九年级上·西藏林芝·期中）如图， 是 的弦，若 ，则弦 所对的圆心角为（
）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，已知 、 、 、 是圆上的点， ， 、 交于
点 ，则下列结论正确的是（ ）．A． B． C． D．
4．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图， 的半径 长为4，将 沿 折叠， 恰好经过
的中点 ，且 ，则折痕 长为（ ）
A． B． C．4 D．
5．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）小明为了测量铁球的半径，将铁球放入如图所示的工件槽内，并测
得 ， （点 ， 均在 上），铁球的半径 ，则铁球的半径是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）若弦长等于半径，则弦所对弧的度数是 ．
7．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在 中，若 ， ，则 的度数为
．8．（2025·四川内江·模拟预测）如图， 是 的弦．半径 于点D，且 ．则
的长是 ．
9．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中， ．则经过A、
B、C三点的圆弧所在圆的圆心 的坐标为 ．
10．（2025·江苏宿迁·模拟预测）传统的七巧板是从我国宋代的“燕几图”演变而来的，嘉琪同学用边长
为 的正方形纸板做出如图1所示的七巧板，拼接成小鱼图案（外轮廓是轴对称图形）并把图案放到圆
中，如图2所示， 三点在圆上，圆的半径是 ．
11．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在 中，直径 ， ， ，求 的半径．12．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图， 交 于点C，D， 是半径，且
于点F．求证： ．
13．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图， 是 的两条弦， 与 相交于点 ，
．求证： ．
14．（2025·吉林长春·模拟预测）在等边 中， ，以A为圆心，2为半径画 的 ．(1)【特例感知】如图①，当点D、E分别在 上时， 与 的数量关系为 ．（不需要证明）
(2)【一般探究】如图②，将图①中的扇形 绕点A转动，在旋转过程中，上述（1）的数量关系还存在
吗？请说明理由．
(3)【思维拓展】如图②，在扇形 旋转过程中，当点B、E、D三点共线时， 的长为 ．
15．（2025·江苏泰州·模拟预测）综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对圆中的变换进行了如下
探究．
问题背景：
（1）如图1， 半径为4，弦 ，求圆心 到弦 的距离；
问题迁移：
（2）如图2，在以点 为圆心的两个同心圆中， 是大圆的弦，将 平移一定的距离得到对应线段 ，
若线段 的两个端点恰好在小圆上，连接 ， ．
①求证：四边形 是矩形；
②已知大圆半径为4，小圆半径为3， ，若圆心 在四边形 的内部．求四边形 的边
的长度；
问题拓展：
（3）如图3，大圆半径为4，小圆半径为3，弦 ，点 在小圆上，在平面上存在点 ，将弦
先关于直线 翻折，再将翻折后的线段沿着直线 所在方向平移 个单位，得到线段 ，若 恰好
是小圆的弦，求 的取值范围．
