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专题 02 圆的切线的证明的三种类型
类型一：见半径，证明垂直
类型二：连半径，证明垂直
类型三：作垂直，证明半径
类型一：见半径，证明垂直
1．如图，AB是 O的直径，∠B＝45°，AC＝AB，AC是 O的切线吗？（写出详细的过程）
⊙ ⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】解：AC是 O的切线．
证明如下：
⊙
∵∠B＝45°，AC＝AB，
∴∠C＝45°，
∴∠BAC＝90°，
而AB是 O的直径，
∴OA⊥AC，
⊙
所以AC是 O的切线．
2．如图，AB为 O的直径，C是 O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB＝∠A．
⊙
（1）CD与 O相切吗？如果相切，请你加以证明；如果不相切，请说明理由．
⊙ ⊙
（2）若CD与 O相切，且∠D＝30°，BD＝10，求 O的半径．
⊙
⊙ ⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）CD与 O相切．
证明：∵AB为 O的直径，C是 O上一点，
⊙
⊙ ⊙∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠OCB＝90°；
∵∠A＝∠OCA，且∠DCB＝∠A，
∴∠OCA＝∠DCB，
∴∠OCD＝90°，
∴CD是 O的切线．
（2）在Rt△OCD中，∠D＝30°；
⊙
∴∠COD＝60°，
∴∠A＝30°，
∴∠BCD＝30°，
∴BC＝BD＝10，
∴AB＝20，
∴r＝10．
3．如图，AB为 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD的延长线交于点F，且∠AFB＝
∠ABC．
⊙
（1）求证：直线BF是 O的切线．
（2）若CD＝2❑√3，OP＝1，求 O的半径．
⊙
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵∠AFB＝∠ABC，
而∠ADC＝∠ABC．
∴∠AFB＝∠ADC，
∴CD∥BF，
∵CD⊥AB，
∴BF⊥AB，
∴直线BF是 O的切线；
（2）解：连接OC，如图，
⊙
∵AB⊥CD，
1
∴CP＝DP= CD=❑√3，
2
在Rt△OCP中，OC=❑√OP2+CP2=❑√12+(❑√3) 2=2，
即 O的半径为2．
⊙4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，∠DBC＝∠BAC， O经过A、B、D三点，连
接DO并延长交 O于点E，连接AE，DE与AB交于点F．
⊙
（1）求证：CB是 O的切线；
⊙
（2）求证：AB＝EB；
⊙
【答案】（1）CB是 O的切线；
（2）AB＝EB；
⊙
【解答】（1）证明：在 O中，OB＝OD，∠BAC＝∠BED，
∴∠ODB＝∠OBD，
⊙
∵∠DBC＝∠BAC，
∴∠DBC＝∠BED，
∵DE是 O的直径，
∴∠DBE＝90°，
⊙
∴∠ODB+∠BED＝90°，
∴∠OBD+∠DBC＝90°，
∴OB⊥BC，
∵OB是 O的半径，
∴CB是 O的切线；
⊙
（2）证明：在 O中，∠ABD＝∠AED，
⊙
由（1）得：∠DBC＝∠BED，
⊙
∴∠ABD+∠DBC＝∠AED+∠BED，
∴∠ABC＝∠BEA，
∵DE是 O的直径，
∴∠EAC＝90°，
⊙
∵∠ACB＝90°，
∴∠EAC+∠ACB＝180°，∴AE∥BC，
∴∠ABC＝∠BAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴AB＝EB；
5．已知：△ABC内接于 O，过点A作直线EF．
⊙
（1）如图①，AB为直径，要使EF为 O的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）：
① AB ⊥ EF ；② ∠ ABC ＝∠ EAC ；③ ⊙ ∠ BAE ＝ 90 ° ．
（2）如图②，AB是非直径的弦，∠CAE＝∠B，求证：EF是 O的切线．
（3）如图③，AB是非直径的弦，∠CAE＝∠ABC，EF还是 O的切线吗？若是，请说明理由；若不
⊙
是，请解释原因．
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：当AB⊥EF或∠BAE＝90°可判断EF为 O的切线；
当∠ABC＝∠EAC，∵AB为直径，
⊙
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠CAB＝90°，
∴∠EAC+∠CAB＝90°，
∴AB⊥EF，
∴EF为 O的切线；
故答案为AB⊥EF、∠BAE＝90°、∠ABC＝∠EAC；
⊙
（2）证明：如图2，作直径AD，连接CD，
∵AD为直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠D+∠CAD＝90°，
∵∠D＝∠B，∠CAE＝∠B，∴∠CAE＝∠D，
∴∠EAC+∠CAD＝90°，
∴AD⊥EF，
∴EF为 O的切线；
（3）如图3，作直径AD，连接CD，BD，
⊙
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠CAE＝∠ABC，
∴∠DAE+∠DAC＝∠ABD+∠DBC，
而∠DAC＝∠DBC，
∴∠DAE＝∠ABD＝90°，
∴AD⊥EF，
∴EF为 O的切线．
⊙
类型二：连半径，证明垂直
1．如图，四边形ABCD内接于 O，BD是 O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平
分∠BDE．
⊙ ⊙
（1）求证：AE是 O的切线；
（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求 O的半径．
⊙
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接OA，∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA＝∠EDA，
∴∠OAD＝∠EDA，
∴EC∥OA，
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE，
∵点A在 O上，
∴AE是 O的切线；
⊙
（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F，
⊙
∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°，
∴四边形AOFE是矩形，
∴OF＝AE＝4cm，
又∵OF⊥CD，
1
∴DF= CD＝3cm，
2
在Rt△ODF中，OD=❑√OF2+DF2=5cm，
即 O的半径为5cm．
2．如图，AB是 O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP＝CB．
⊙
（1）求证：BC是 O的切线；
⊙
（2）若 O的半径为3，OP＝1，求BC的长．
⊙
⊙【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接OB，如图，
∵OP⊥OA，
∴∠AOP＝90°，
∴∠A+∠APO＝90°，
∵CP＝CB，
∴∠CBP＝∠CPB，
而∠CPB＝∠APO，
∴∠APO＝∠CBP，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∴∠OBC＝∠CBP+∠OBA＝∠APO+∠A＝90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是 O的切线；
⊙
（2）解：设BC＝x，则PC＝x，
在Rt△OBC中，OB＝3，OC＝CP+OP＝x+1，
∵OB2+BC2＝OC2，
∴32+x2＝（x+1）2，
解得x＝4，
即BC的长为4．
3．如图，△ABC内接于 O，∠B＝60°，CD是 O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是 O的切线；
⊙ ⊙
（2）若PD＝1，求 O的直径．
⊙
⊙【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接OA，
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
又∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是 O的切线．
（2）设该圆的半径为x．
⊙
在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，
∴PO＝2OA＝OD+PD，又∵OA＝OD，
∴1+x＝2x，
解得：x＝1
∴OA＝PD＝1，
所以 O的直径为2．
⊙
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的 O分别交AC、BC于
点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E．
⊙
13
（1）若 O的半径为 ，AC＝10，求BN的长；
2
（2）求⊙证：NE与 O相切．
⊙【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1所示，设AC交 O于点M．连接DM、DN．
⊙
∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，
∴CD＝AD＝BD．
∵CD是 O的直径，
∴∠DMC＝∠DNC＝90°
⊙
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形OMDN是矩形．
∴CM＝DN．
∵∠DMC＝90°，
∴DM⊥AC．
又∵CD＝AD，
1 1
∴CM= AC= ×10=5．
2 2
∴DN＝5．
13
∵ O的半径为 ，
2
∴B ⊙ D＝CD＝13．
在Rt△BDN中，由勾股定理得BN=❑√BD2−N D2=❑√132−52=12．
（2）如图2所示，连接ON、DN．由（1）知CD＝BD，∠CND＝90°．
∴BN＝CN．
又∵OC＝OD，
∴ON∥BD．
又∵NE⊥DB，
∴NE⊥ON．
∴NE与 O相切．
5．如图，以线段 AB为直径作 O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交 O于点D，过点D作直线
⊙
DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
⊙ ⊙
（1）求证：直线DE是 O的切线；
（2）求证：AB＝AM；
⊙
（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答；
（3）BF＝2．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是 O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是 O的切线．
⊙
（2）证明：∵线段AB是 O的直径，
⊙
∴∠ADB＝90°，
⊙
∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°，
∵∠DAM＝∠DAB，
∴∠M＝∠ABM，
∴AB＝AM．
（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，
∴∠BAM＝60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°，
∵∠DEM＝90°，ME＝1，
∴∠EDM＝30°，
∴MD＝2ME＝2，
∴BD＝MD＝2，
∵∠BDF＝∠EDM＝30°，
∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD＝2．
类型三：作垂直，证明半径
1．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，过点O作OD⊥AB于点D，以点O为圆心，OD的
长为半径作 O．求证：AC是 O的切线．
⊙ ⊙【答案】见解析．
【解答】证明：连接OA，作OF⊥AC于F，如图，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，
∵OD⊥AB，
∴OF＝OD，
∴AC是 O的切线．
⊙
2．如图，点O在∠APB的平分线上， O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB与 O相切；
⊙
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接OC，作OD⊥PB于D点．
∵ O与PA相切于点C，
∴OC⊥PA．
⊙
∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB，
∴OD＝OC．
∴直线PB与 O相切；
3．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的 O与BC相切于点M．
⊙
⊙求证：CD与 O相切．
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，
∵ O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC，
⊙
又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，
∴OM＝ON，
∴ON为 O的半径，
∴CD与 O相切．
⊙
⊙
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的 D与AC相交于
点E．
⊙
（1）求证：BC是 D的切线；
（2）若AB＝5，BC＝13，求CE的长．
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：过点D作DF⊥BC于点F，
∵∠BAD＝90°，BD平分∠ABC，
∴AD＝DF．
∵AD，DF是 D的半径，DF⊥BC，
∴BC是 D的切线；
⊙
（2）解：∵∠BAC＝90°．
⊙
∴AB与 D相切，
∵BC是 D的切线，
⊙
∴AB＝FB．
⊙∵AB＝5，BC＝13，
∴CF＝8，AC＝12．
在Rt△DFC中，
设DF＝DE＝r，则
r2+64＝（12﹣r）2，
10
解得：r= ．
3
10 16
∴CE＝12﹣2× = ．
3 3
5．如图，BD是∠ABC的角平分线，点O是BD上一点， O与AB相切于点M，与BD交于点E、F．
（1）求证：BC是 O的切线；
⊙
（2）连接EM，若EM∥BC，求∠ABC的度数．
⊙
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）60°．
【解答】（1）证明：连接OM，过点O作ON⊥BC于N，如图所示：
∵点O为 O的圆心，AB为 O的切线，切点为M，
∴OM为 O的半径，且OM⊥AB，
⊙ ⊙
∵BD为∠ABC平分线，点O为BD上的点，且OM⊥AB，ON⊥BC，
⊙
∴ON＝OM，
即ON为 O的半径，
∴BC是 O的切线；
⊙
⊙（2）解：设∠ABE＝ ，
∵BD为∠ABC平分线，
α
∴∠ABE＝∠CBE＝ ，∠ABC＝2∠ABE＝2 ，
∵EM∥BC，
α α
∴∠MEB＝∠CBE＝ ，
∵OE＝OM，
α
∴∠MEB＝∠OME＝ ，
∴∠MOB＝∠MEB+∠OME＝2 ，
α
∵OM⊥AB，
α
∴∠MOB+∠MBE＝90°，
即2 + ＝90°，
∴ ＝30°，
α α
∴∠ABC＝2 ＝60°．
α
α
