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专题 02 圆的切线的证明的三种类型
类型一：见半径，证明垂直
类型二：连半径，证明垂直
类型三：作垂直，证明半径
类型一：见半径，证明垂直
1．如图，AB是 O的直径，∠B＝45°，AC＝AB，AC是 O的切线吗？（写出详细的过程）
⊙ ⊙
2．如图，AB为 O的直径，C是 O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB＝∠A．
（1）CD与 O相切吗？如果相切，请你加以证明；如果不相切，请说明理由．
⊙ ⊙
（2）若CD与 O相切，且∠D＝30°，BD＝10，求 O的半径．
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⊙ ⊙
3．如图，AB为 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD的延长线交于点F，且∠AFB＝
∠ABC．
⊙（1）求证：直线BF是 O的切线．
（2）若CD＝2❑√3，OP＝1，求 O的半径．
⊙
⊙
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，∠DBC＝∠BAC， O经过A、B、D三点，连
接DO并延长交 O于点E，连接AE，DE与AB交于点F．
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（1）求证：CB是 O的切线；
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（2）求证：AB＝EB；
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5．已知：△ABC内接于 O，过点A作直线EF．
⊙（1）如图①，AB为直径，要使EF为 O的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）：
① ；② ；③ ．
⊙
（2）如图②，AB是非直径的弦，∠CAE＝∠B，求证：EF是 O的切线．
（3）如图③，AB是非直径的弦，∠CAE＝∠ABC，EF还是 O的切线吗？若是，请说明理由；若不
⊙
是，请解释原因．
⊙
类型二：连半径，证明垂直
1．如图，四边形ABCD内接于 O，BD是 O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平
分∠BDE．
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（1）求证：AE是 O的切线；
（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求 O的半径．
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⊙
2．如图，AB是 O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP＝CB．
（1）求证：BC是 O的切线；
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⊙（2）若 O的半径为3，OP＝1，求BC的长．
⊙
3．如图，△ABC内接于 O，∠B＝60°，CD是 O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是 O的切线；
⊙ ⊙
（2）若PD＝1，求 O的直径．
⊙
⊙
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的 O分别交AC、BC于
点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E．
⊙
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（1）若 O的半径为 ，AC＝10，求BN的长；
2
（2）求⊙证：NE与 O相切．
⊙
5．如图，以线段AB为直径作 O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB 交
O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点
⊙
F．连接BD并延长交AC于点M．
⊙（1）求证：直线DE是 O的切线；
（2）求证：AB＝AM；
⊙
（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．
类型三：作垂直，证明半径
1．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，过点O作OD⊥AB于点D，以点O为圆心，OD的
长为半径作 O．求证：AC是 O的切线．
⊙ ⊙
2．如图，点O在∠APB的平分线上， O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB与 O相切；
⊙
⊙3．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的 O与BC相切于点M．
求证：CD与 O相切．
⊙
⊙
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的 D与AC相交于
点E．
⊙
（1）求证：BC是 D的切线；
（2）若AB＝5，BC＝13，求CE的长．
⊙
5．如图，BD是∠ABC的角平分线，点O是BD上一点， O与AB相切于点M，与BD交于点E、F．
（1）求证：BC是 O的切线；
⊙
（2）连接EM，若EM∥BC，求∠ABC的度数．
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