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专题 02 实际问题与一元二次方程
与增长率有关的列方程
1．（23-24八年级下·山东德州·期末）“绿色电力，与你同行”，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，
我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2022年新能源汽车年销售量为700万辆，预计2024年新能源汽
车年销售量将达到1537万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，根据题意可列方程为 ．
2．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）随着我国人口的负增长，新建住房数量不断增加，许多城市商品房
的价格不断下降，某城市一楼盘商品房经过连续两次降价，销售单价由原来的 万元/ 降到现在的
万元/ ，设该楼盘商品房销售单价平均每次降价的百分率为 ，则可列方程为 ．
3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，
第一个月新建了400个充电桩，第三个月新建了600个充电桩．设该市新建充电桩个数的月平均增长率为
x，根据题意，可列出方程为 ．
传播问题
1．（23-24八年级下·山东威海·期末）某市举行中学生足球联赛，每两个队之间都要进行一场比赛，共要
比赛66场．若有 支球队参赛，则可列方程 ．
2．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个主干长出的支干数量是 个．
3．（23-24九年级上·北京·期末）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就
会有144台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染 台电脑．
古代问题
1．（23-24八年级下·福建福州·期末）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图
注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程 ，即 为例说明，记载
的方法是：构造如图1，大正方形的面积是 ，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的
面积，即 ，因此 ．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则
这个方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24九年级上·辽宁营口·期末）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个
数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”，意思是：一块矩形田地的面积
为864平方步，只知道它的长与宽共60步．问它的长比宽多（ ）步？
A．15 B．12 C．20 D．6
3．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一
十钱，遣人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价
钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为 株，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）（古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短. 记得立契时，长阔争一
半. 今问俊明公，此法如何算. 意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少. 只记得在
立契约的时候说过，宽是长的一半. 现在请你帮他算出它的长是 步. （一亩 步 ）
数字问题
1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位
数字大 ，则这个两位数为（ ）
A．25 B．36 C．25或36 D． 或
2．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）有一个两位数，个位上数字和十位上数字之和为6，这个
两位数是这个两位数的个位上数字与十位上数字之积的3倍，则这个两位数为（ ）
A．24 B．15 C．24或15 D．42或51
3．（23-24九年级上·河北保定·期末）一个两位数，个位数字比十位数字大2，十位数字2倍的平方恰好等
于个位数字与十位数字互换位置的新数，则这个两位数为 ．
增长率与销售问题的综合
1．（23-24九年级上·山西晋中·期末）栖霞某旅游景点的超市以每件 元的价格购进某款果都吉祥物摆件，
以每件 元的价格出售．经统计， 月份的销售量为 件， 月份的销售量为 件．
(1)求该款吉祥物摆件 月份到 月份销售量的月平均增长率；
(2)从 月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈游客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价 元，月销售
量就会增加 件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达 元？2．（23-24八年级下·重庆江北·期末）为传承端午文化，2024年的端午节期间全国各地举行了丰富多彩的
赛龙舟活动．某商家以每套75元的价格购进一批龙舟训练比赛服装，定价每套120元进行售卖．
(1)经统计，3月份该服装销售量为256件，5月份该服装销售量为400件．求该服装销售量的月平均增长率；
(2)今年端午节在6月份，此段时间龙舟比赛服的销量将有大幅提升，但端午节过后销量又会下滑，为了在
6月份端午期间扩大销量减少库存，商家决定对龙舟比赛服进行降价促销．经过调研，在5月份的销售数
量基础上每降价5元，销量将提高15件，商家将比赛服的售价定为多少时，才能获得13350元的利润．
3．（23-24八年级下·山东烟台·期末）“爱在烟台，难以离开”，醉美所城里在2024年“五一”小长假期
间，接待游客达2万人次，预计在2026年“五一”小长假期间，接待游客 万人次，一家特色小面店希
望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖
10元，平均每天将销售60碗；若价格每提高1元，则平均每天少销售4碗．
(1)求出2024至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率；
(2)为了更好地维护烟台形象，物价局规定每碗售价不得超过15元，则当每碗售价定为多少元时，店家才
能实现每天利润360元？
4．（23-24八年级下·山东泰安·期末）近几年，汉服的火爆“出圈”，引得不少年轻人为之心动，它已然
成为当下的一种流行趋势．随着群体的喜爱，受众的普及，汉服市场也在不断扩大，某汉服专卖店统计了
近三年店内汉服的销售量，2021年销售量为3000套，2023年销售量为4320套，且从2021年到2023年销
售量的年平均增长率相同．
(1)求该款汉服销售量的年平均增长率；
(2)若该专卖店打算以进价为100元/套的价格购进一批汉服，经在市场中测算，当售价为130元/套时，年
销售量为2000套，若在此基础上售价每上涨1元/套，则年销售量将减少20套，为使年销售利润达到
72000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该款汉服的实际售价应定为多少元？
5．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）冬季来临，小李在某景区门口出售秘制“羊肉汤”，每碗成本价6元，
当每碗售价定为8元时，每天可售出200碗．小李想提高售价，获得更大利润，经调查发现：售价每碗每
提高1元，每天将少售出10碗，经物价部门批准，每碗“羊肉汤”的售价不得超过20元．设每碗“羊肉
汤”的售价为x（元），每天销量为y（碗）．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)要使每天获利960元，每碗售价应为多少元；
(3)每天的利润能否达到1320元，若能达到，每碗售价为多少元，若不能达到，请说明理由．与图形有关的综合问题
1．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图是一张面积为 的矩形宣传广告单，它的上、下、左、右
空白部分的宽度都是 ．若印刷部分（矩形）的一边为 ，印刷面积为 ，求矩形宣传广告单
的长和宽．
2．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1，张爷爷用30m长的隔离网在一段15m长的院墙边围成矩形
养殖园，已知矩形的边 靠院墙， 和 与院墙垂直，设 的长为xm．
(1) 的长为 米；
(2)如图2，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网．已知两道隔离
网与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到 ？若能，求出 的长；若不能，请说明理由．
3．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）某农场计划建造一个长方形养牛场，为充分利用现有资源，该长方
形养牛场一面靠墙（墙的长度为15米），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为 的
长方形，已知栅栏的总长度为48米，设较小长方形的宽为 米（如图），栅栏厚度不计．
(1)若长方形养牛场的总面积为144平方米，求此时 的值；
(2)养牛场的总面积是否有可能达到180平方米？若有可能，求出 的值；若不可能，请说明理由．
4．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）实验基地有一长为10米的墙 ，研究小组想利用墙 和长37米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为1米的门．
(1)小徐按图1的方案围成矩形种植园（ 为墙 的一部分），当矩形种植园的面积为 时，求出
矩形种植园一边 的长．
(2)小祝按照图2的方案围成矩形种植园（墙 为边 的一部分），能否围成面积为 的矩形种
植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，请说明理由．
5．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长 ，
宽 的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚
度忽略不计）
(1)若剪去的正方形的边长为 ，则纸盒底面长方形的长为___________ ，宽为___________ ；
(2)若纸盒的底面积为 ，请计算剪去的正方形的边长；
(3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，
再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为
，请计算剪去的正方形的边长．
6．（23-24八年级下·山东威海·期末）有一块长 ，宽 的矩形纸片．(1)如图1，如果在纸片的四个角裁去四个边长相等的小正方形（阴影部分）后，将其折成无盖长方体盒子．
若折成的盒子的底面积为 ，求裁去的小正方形的边长；
(2)若需要制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，小颖设计了如图2的裁剪方案（阴影部分为裁
剪下来的边角料），其中左侧的两个阴影部分为正方形，右侧的两个阴影部分为矩形，问能否折出底面积
为 的有盖盒子（接缝忽略不计）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由．
动态几何综合问题
1．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，已知长方形 的边长 ， ，某一时刻，
动点 从点 出发沿 方向以 的速度向点 匀速运动；同时，动点 从点 出发沿 方向以
的速度向点 匀速运动，当点 到达点 时，两点同时停止运动，问：
(1)经过多长时间， 的长为 ？
(2)经过多长时间， 的面积等于长方形 面积的 ？
2．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图所示， 中， ．点P从点A开始
沿 边向B以 速度移动，点Q从B点开始沿 边向点C以 的速度移动．(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后， 的长度等于 ？
(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段 能否将 分成面积 的两部分？若能，求出运动时间；
若不能说明理由．
3．（23-24八年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系 中，点 在直线 上．
(1)直线 与 轴的交点坐标为________；
(2)矩形 的顶点 分别 轴， 轴上．
①当 ， 时，求矩形 的面积；
②若使矩形 的面积为4的点 恰好有4个，试求 的取值范围．
4．（23-24九年级上·吉林·期末）如图 ，矩形 纸片， ， ，动点 ， 分别从点
同时出发，均以 的速度，点 沿 方向，到终点 停止运动：点 沿 方向，到终
点 停止运动，连接 ，将矩形 在 左下方的部分纸片沿 折叠得到如图 ，设点 运动的时间
为 ，重叠部分图形的面积为 ．
(1)当点 落到 边上时，求 的值；
(2)求 与 的函数关系式，并写出 的取值范围；
(3)当 时，若 以 为腰的等腰三角形，直接写出 的值．5．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点， ，
，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以 的速度向点B移动，一直到点B为止，点
Q以 的速度向点D移动，设移动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，P，Q两点间的距离最小？最小距离是多少？
(2)连接 ．
①当 为等腰三角形时，求t的值；
②在运动过程中，是否存在一个时刻，使得 ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
