文档内容
专题02 实际问题与一元二次方程
7大高频考点概览
考点01 动态几何问题
考点02 营销问题
考点03 传播问题
考点04 握手循环赛问题
考点05 销售问题
考点06 增长率问题
考点07 其它问题
考点01 动态几个问题
地 城
一、选择题
1．（24-25九年级上·广西桂林·期末）如图，在 中， ， ， ，点
沿 边从点 出发向终点 以 的速度移动；同时点 沿 边从点 出发向终点 以 的速度
移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当 的面积为 时，点 运动的时间是
（ ）
A． B． 或 C． D． 或
二、非选择题
2．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在 中， ，动点P
从点A出发沿 边以 的速度向点B匀速移动，同时点Q从点B出发沿 边以 的速度向点
C匀速移动，当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当 的面积为 时，点
P，Q运动的时间为 秒．3．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，矩形 中， ， ，动点P从点A出发，
以每秒 的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点C出发，以每秒 的速度向点D匀速移动，当其
中一点到达终点时停止，同时另一点也随之停止移动．
(1)经过多少时间时，四边形 为矩形；
(2)经过多少时间时，四边形 的面积为 ；
(3)经过多少时间时，点P和点Q之间的距离是 ．
4．（24-25九年级上·全国·期末）在矩形 中， ， ，点P从点A开始沿 边以
的速度移动，点Q从点C开始沿 边以 的速度移动，如果点P、Q分别从点A、C同时出发，
当其中有一点到达点B或点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
(1)当t为何值时，点P、Q之间的距离为 ；
(2)连接 、 ，当t为何值时， 为直角三角形．
5．（24-25九年级上·广东东莞·期末）在 中， ， ， ，一动点P从点C出发沿 方向以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，另一动点Q从点A出发沿 C方向以每秒8
个单位长度的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，同时停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时， 是等腰直角三角形？
(2)当 时，求t的值；
(3)在运动过程中，线段 能平分 的面积吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
6．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图所示，在 中， ， ， ，点
从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，如
果点 、 分别从 、 同时出发．
(1)几秒钟后， 的面积等于 ？
(2) 的面积可能等于 吗？为什么？
7．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，在 中， ， ， ，点P从点A
开始沿边 向点B以 的速度移动，点Q从点B开始沿边 向点C以 的速度移动．如果点
P，Q分别从点A，B出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．(1)经过多长时间， 的面积等于 ？
(2) 的面积会等于 面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．
8．（24-25九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在 中， ， ， ，动点P
从点C出发，沿 方向运动，动点Q同时从点B出发，沿 方向运动，如果点P，Q的运动速度均为
．
(1)运动几秒时，点P，Q相距 ？
(2) 的面积能等于 吗？为什么？
考点02 营销问题
地 城
一、非选择题
1．（24-25九年级上·江西新余·期末）某商场将进价为 元的商品以 元出售，平均每天能售出 个，
调查表明：这种商品的售价每上涨 元，其销售量就减少 个，为了实现每天 元的销售利润，这种商品
的售价应定为多少元？
2．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，
小红、小亮去某商场买“弗里热”纪念品后的对话如下：
小红：该商场每个“弗里热”纪念品的进价是20元．小亮：当该商场每个“弗里热”纪念品的售价为30元时，每周可售出500个，售价每上涨1元，平均每周
的销售量就减少10个．
根据他们的对话，解决下面的问题：
(1)若每个“弗里热”纪念品的售价上涨3元，则该商场平均每周可以获得销售利润________元．
(2)若该商场计划一周的利润达到8000元，又要尽可能让顾客得到实惠，则每个“弗里热”纪念品的售价
应定为多少元？
3．（24-25九年级上·广东佛山·期末）中国新能源汽车市场异常火爆，销量持续攀升．某汽车销售公司以
每辆18万元的价格购入一批新能源汽车进行销售．当定价为26万元每辆时，平均每周能卖出10辆．现公
司计划开展让利销售，市场调研表明：售价每降低1万元，平均每周能多卖出2辆．若要每周的销售利润
达到84万元，且尽可能给顾客更多优惠，则每辆汽车的售价应定为多少？
4．（24-25九年级上·河南周口·期末）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为
40元的商品进行直播销售，如果按每件50元销售，每天可卖出500件．通过市场调查发现，单件商品的
售价每增加1元，日销售量减少10件，若将每件商品提价后定为x元，日销售量设为y件．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)为了使每天的销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则售价应定为多少元？
5．（24-25九年级上·四川泸州·期末） 元旦节期间，水果店某种水果进价是每千克22元，该水果的销售
情况是：销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千
克．如果水果店每天要想获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每
千克多少元合适？
6．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，
一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市
场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个．
(1)若单价涨5元，每周的利润是多少？
(2)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？
7．（24-25九年级上·四川成都·期末）杭州亚运会期间，某旗舰店以相同的价格购进了两批亚运会吉祥物
毛线玩具玩偶套装，第一批100套，售价108元；第二批150套，售价98元，两批全部售出，该旗舰店共
获利10500元．
(1)求玩偶套装的进价是多少元？
(2)该店以相同的价格购进第三批玩偶套装200套，当每套售价为90元时，第一天卖出80套．随着亚运会
接近尾声，该玩偶开始滞销，店家决定降价促销，通过调查发现每件下降5元，在第一天的销量基础上增加10套．第二天按某一固定价格出售，销售结束时，当天卖出的玩偶获利2000元．求第二天销售结束后
还剩余多少套玩偶套装？
考点03 传播问题
地 城
一、选择题
1．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有64人患了流感，假设每轮
传染中平均每人传染了x个人，下列说法正确的有（ ）
A．第1轮后有 个人患了流感
B．第2轮又增加 个人患了流感
C．依题意可列方程
D．不考虑其他因素经过三轮一共会有512人感染
2．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮
传染中平均一个人传染了x个人，对于甲、乙、丙三人的说法，下列判断正确的是（ ）
甲：第1轮后有 个人患了流感；乙：第2轮又增加 个人患流感；丙：依题意可列方程
A．甲错，丙对 B．甲对，乙错 C．甲对，丙错 D．乙和丙都对
3．（24-25九年级上·广东汕头·期末）在一次聚餐上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯66次，则参加
聚餐的人数为（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
4．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）某校有一位同学感染了流感，经过两次感染后，全校共有144人染
上了流感．设每一次感染中，平均一个人传染给了x人，列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）九年级毕业之际，在毕业晚会上同学们互赠照片以表留念，每人给
其他同学送一张照片，一共送出110张照片．设晚会上有 人，则可列方程为（ ）
A． B．C． D．
6．（24-25九年级上·四川泸州·期末）小明在研学实践中发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个
支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 ，则这种植物每个支干长出的小分支个数
是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
二、非选择题
7．（24-25九年级上·全国·期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 人患了流感，设每轮平均一
个人传染 个人，列方程得 ，因此每轮平均一个人传染了 个人．
8．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送72张贺卡，设该小组
共有 人，则可列方程
考点04 握手循环赛问题
地 城
一、选择题
1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排
28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·全国·期末）学校要组织篮球邀请赛，赛制采用双循环制（每两队之间要进行两场比
赛）．计划安排 场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？设邀 个球队参赛，根据题意列方程正确的是（
）
A． B．
二、非选择题
3．（24-25九年级上·天津河北·期末）某校九年级若干个班级组织一次足球比赛，各班均组队参赛，赛制
为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排 场比赛，则九年级参赛的班级个数为 ．
4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）有 人参加了一次聚会，每两人都握了一次手，所有人共握手66次，
则可以列出关于 的方程： ．
5．（24-25九年级上·四川泸州·期末）参加一次商品交易会活动的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了 份合同，请问共有多少公司参加此次商品交易会？
6．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）在一次公司年会上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，一
共握了36次手．求这次会议到会的人数．
7．（24-25九年级上·吉林·期末）某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共
比赛21场，求参加比赛的球队有多少支？
考点05 销售问题
地 城
一、选择题
1．(24-25九年级上·重庆市·期末)某超市一件商品经过两次降价，售价由原来的每件40元降价到每件25元，
已知两次降价的百分率相同，则每次降价百分率为多少？设每次降价的百分率为 ，则可列出的方程是
（ ）
A． B．
C． D．
二、非选择题
2．(24-25九年级上·内蒙古赤峰市·期末)企鹅塔祖尼是第9届女足世界杯的吉祥物，塔祖尼造型的玩偶非常
畅销．某特许经销店销售一种塔祖尼造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量
（件）与每件售价 （元）之间存在一次函数关系 （其中 ，且 为整数）．
(1)当每件售价为10元时，每天的销售量是 件；
(2)若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，求每件玩偶的售价为多少元？
(3)设该商店销售这种玩偶每天获利 （元），当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大
利润是多少元？
3．(24-25九年级上·重庆市·期末)某文具店购进了一批A，B两种型号的笔袋，16个A型笔袋8个 型笔袋
需要花费640元，10个A型笔袋20个 型笔袋需要花费700元．
(1)求 两种型号的笔袋进价各是多少元？
(2)在销售过程中，为了尽可能多的减少 型笔袋的库存，文具店老板决定对A型笔袋进行降价销售，当销
售单价为40元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，问将每个A型笔袋降价多少元
时，每天售出 型笔袋的利润为240元？
4．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每
降价1元，商场平均每天可多售出4件．
(1)若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？
(2)每件衬衫降价多少元，利润最大是多少？
5．（24-25九年级上·山西长治·期末）中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》将以“巳巳如意，生生
不息”为主题，“巳巳如意”是对每个人新年万事如意的祝愿，而“生生不息”则象征着文化的传承与生
命力的延续，某服装零售市场购进一批印有“巳巳如意”图案的拜年套装出售，成本价为每套100元，当
售价为每套180元时，平均每周能售出500套．为尽快回拢资金，市场决定降价销售，经调研发现，若该
套装的销售单价每降低5元，每周就能多售出50套．
(1)若该市场希望每周出售该套装获得利润36000元，则该套装的销售单价应该定为多少元？
(2)当该套装的销售单价定为多少元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润？最大利润为多少元？．
6．（24-25九年级上·广东东莞·期末）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，
共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200
元时，每天可售出60辆：单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，
但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
(1)若每辆轮椅降价x元，则每天可多售出______辆轮椅，则y与x的函数关系式为：______
(2)每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
7．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为 元/千克，日销售
量为 千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设日销售量为 千克，售价为 元/千
克（ 且为正整数），
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)若政府将销售价格定为不超过 元/千克．设每日销售额 元，求 关于 的函数表达式，并求 的最
大值和最小值；
(3)市政府每日给农户补贴 元后（ 为正整数），发现最大日收入（日收入=销售额+政府补贴）还是不超
过 元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于 元，请直接写出所有符合题意的 值： ．
8．（24-25九年级上·河南开封·期末）许昌假发闻名世界，是展示中国制造魅力的一张名片．某商店销售
一款假发制品，每顶假发成本为25元，根据销售经验，可知假发销售单价为50元时，平均每天可销售
340顶，假发销售单价每降低1元，平均每天可多销售20顶．春节期间，店家决定进行降价促销活动．
(1)当假发销售单价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家实现平均每天8800元的利润？
(2)当销售单价定为多少时，该商店每天的利润最大，最大利润为多少？考点06 增长率问题
地 城
一、选择题
1．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，
2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.22万元和3.69万元．设2020年至2022年全国居民人
均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．(24-25九年级上·广西南宁·期末)小州热爱研究鸟类，每年定期去湿地公园观鸟． 年他观测到的鸟
有 种， 年他观测到的鸟有 种，设小州从 年到 年观测鸟的种类数量的年平均增长率为
，依据题意可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．(24-25九年级上·内蒙古赤峰市·期末)某工厂今年1月份的产值为25万元，2月份和3月份的总产值为
62万元．若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．(24-25九年级上·北京市海淀区·期末)近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2021年出口量为31万辆，
2023年出口量为120.3万辆．设新能源汽车出口量的年平均增长率为 ，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、非选择题
5．（24-25九年级上·全国·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，
且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础
上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到
实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
6．（24-25九年级上·江苏镇江·期末） 年我国经济回暖向好，粮食产量约为 万亿斤，中国碗装了
更多中国粮 根据国家统计局网站信息可知 年我国粮食产量约为 万亿斤．（参考数据：
， ）
(1)求这两年粮食产量的平均增长率；（结果精确到 ）
(2)以这两年的粮食产量平均增长率，预测 年我国粮食产量能否突破 万亿斤？
7．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）某小商品批发市场的某件商品在今年9月份一共销售了3万件，销
售量逐月增加，11月份一共销售了3.63万件，已知该商品月销售量的月平均增长率相同．求9月份到11
月份该商品月销售量的月平均增长率．
8．（24-25九年级上·山东青岛·期末）沧州金丝小枣又名西河红枣，因干枣剥开时有金黄丝相连，入口甜
如蜜，外形如珠似玑，故称金丝小枣，是中国国家地理标志产品．2022年至2024年沧州某地的金丝小枣
种植面积由5000亩增加到7500亩．设2022年至2024年金丝小枣种植面积的年平均增长率为 ，则可列
方程为 ．
9．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）某商品售价为 元，两次降价后售价为 元，若设每次降价的百
分率为 ，则依据题意可列方程 ．
考点07 其他问题
地 城
一、选择题
1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）2024年巩义市职工篮球联赛已落下帷幕，比赛采用单循环制，任意
两个参赛队伍之间都要进行一场比赛，该联赛共进行了153场比赛．若共有 支队伍报名参赛，则根据题
意可列出方程为（ ）
A． B．
2．（24-25九年级上·湖南长沙·期末） 月 日，“竣越杯” 湖南省青少年篮球超级联赛在长沙市六中开幕，本届赛事采取了主客场的赛制进行，即每两个队之间要进行两场比赛．最终，来自各地的多支本
土校园篮球劲旅在为期一个月的时间内展开了 场比赛．若设共有 支本土校园篮球劲旅参加比赛，则
满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，
全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·河南周口·期末）图1为2025年1月份的日历表，如图2，某同学任意框出了其中的
四个数字，如果框出的4个数中，最大数 与最小数的积为588，那么根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、非选择题
5．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）建国70周年阅兵式中，三军女兵方队共352人，其中领队2人，方
队中，每排的人数比排数多11，则女兵方队共有 排．
6．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在某校运动会入场式的彩排中，国旗护卫队的20名学生排成了4行
5列的矩形方阵，为了表演的需要，又增加了22名学生，与之前的学生一起排成一个新的矩形方阵．与原方阵相比，新方阵增加的行数和增加的列数相同．求新方阵增加了多少列？
7．（24-25九年级上·陕西西安·期末）某大剧院举办文艺演出，其收费标准如下：
购票人数 收费标准
不超过30人 350元/人
超过30人 每增加1人，每张票的单价减少5元，但单价不低于280元
某公司组织一批员工去大剧院观看此场演出，若共支付12000元的购票费用，求观看演出的员工的人数．
8．(24-25九年级上·广西南宁·期末)广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章．现需将
一幅长为6米，宽为4米的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，如图所示．设边饰的
宽度为x米．
(1)请用含x的式子分别表示挂画的长和宽；
(2)若整幅挂画的面积是48平方米，求锦缎边饰的宽度．
