文档内容
专题 02 圆周角定理
目录
A题型建模・专项突破
题型一、利用圆周角定理求角..................................................................................................................................1
题型二、利用圆周角定理证明..................................................................................................................................4
题型三、半圆（直径）所对的圆周角是直角........................................................................................................11
题型四、90°的圆周角所对的弦是直径...................................................................................................................14
题型五、已知圆内接四边形求角度........................................................................................................................18
B综合攻坚・能力跃升
题型一、利用圆周角定理求角
1.如图，在 中， ， ， 为 上的点， ，则 的度数是 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理
【分析】本题考查圆周角定理，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
2.如图， 是 的直径， 是 的弦，若 ，则 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理
【分析】本题主要考查了圆周角定理．根据 是 的直径，得出 ，进而得出 ，
最后根据圆周角定理，即可求解．【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
3.如图，点A，B，C在量角器的外圈上，对应的刻度分别是外圈 ， 和 ，则 的度数为
．
【答案】 /115度
【知识点】三角形内角和定理的应用、圆周角定理
【分析】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
根据题意补全图形，可得 ， ，由圆周角定理可知 ， ，再
利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图，点O为外圈所对的圆心，连接 、 、 ，
由题意得， ， ，
由圆周角定理可知， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
4.已知，如图，在 中， ，以腰 为直径作半圆O，分别交 于点D，E．
(1)求证： ；(2)若 ，求圆弧 所对的圆心角的度数．
【答案】(1)见解析
(2)圆弧 所对的圆心角的度数为 ．
【知识点】三线合一、圆周角定理
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线
是解题的关键．
（1）连接 ，根据直径所对的圆周角是直角可得 ，再利用等腰三角形的三线合一性质，即
可解答；
（2）连接 ，利用 ， ，得到 ，再利用圆周角定理即可解答．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 是半 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴圆弧 所对的圆心角的度数为 ．
题型二、利用圆周角定理证明
5．如图，在 中，直径 弦 于点 ， 于点 ，交 于点 ，连接 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是圆周角定理，垂径定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理，根据题意作出辅助
线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
（1）先根据圆周角定理得出 ，由全等三角形的判定定理 得出 ，故可得
出结论．
（2）先根据 的长，设 ，连接 ，在 中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论．
【详解】（1）证明： 与 是同弧所对的圆周角，
，
， ，
，
，
，
，
在 与 中，
，
，
；
（2）解： ， ，
，
又 ，
设 ，则 ， ， ，
连接 ，则 ，
是直角三角形， ， ， ，，解得 ，
．
6．如图， 是 的直径， 于 ， 平分 交 于点 ，交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)作 ，垂足为 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定
理是解题的关键．
（1）由 得到 ，由直径所对的圆周角等于 可得出 ，即
，由角平分线的定义可得出 ，即可得到 ，根据同弧所
对的圆周角相等得出 ，进而可推出 ，即可得证；
（2）由（1）知， ，根据等边对等角得出 ，根据等腰三角形三线合一的性质可得
出 ， 的值，进一步求出 ， ，再利用勾股定理即可求出 ．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，即 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ；
（2）解：由（1）知， ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ， ，
∴圆的半径 ，
∴ ，
在 中．
， ，
∴ ，
即 的长为 ．
7．如图， 是 的直径， 是弦， 与 相交于点E，连接 ， ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三线合一定理，
正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接 ，由直径所对的圆周角是直角得到 ，再证明
得到 ，由三线合一定理即可证明结论；
（2）由三线合一定理得到 ，由勾股定理得到 ，设 ，则
，由勾股定理得 ，解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图所示，连接 ，∵ 是 的直径，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：如图所示，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，即 的半径为5．
8．如图1， 的高 ， 交于点 ，延长 交 外接圆 于点 ，连接 ．(1)求证： ；
(2)如图 ，连接 ， ，若 平分 ，求 的值；
(3)在（2）的条件下，如图 ，延长 交 于点 ，连接 ， ，若 ，求 的面积．
【答案】(1)见解析；
(2) ；
(3) ．
【分析】 根据直角三角形的两个锐角互余，可证 ，根据圆周角定理可证 ，
从而可得 ，根据等腰三角形的三线合一定理可证结论成立；
过点 作 ， ，延长 交 于点 ，连接 ，可证四边形 是正方形，利
用 可证 ，根据全等三角形的性质可证 ，从而可知 ，利
用圆周角定理可知 ，从而可证 是等腰直角三角形，所以可知 ，根据在
同圆或等圆中同弧或等弧所对的弦相等，可得 ，可得： ；
过点 作 ，连接 ，可得 和 是等腰直角三角形，从而可得：
，所以可得点 、 、 在以点 为圆心的圆上，所以有 ，根据
等腰三角形的三线合一定理可得： ，根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，可
证 是 的垂直平分线，所以可得 是等腰直角三角形且 ，根据三角形的面积公式即
可求出结果．
【详解】（1）证明： 是 的高，
，
，
是 的高，
，
，
，又 ，
，
，
，
又 ，
；
（2）解：如下图所示，过点 作 ， ，延长 交 于点 ，连接 ，
，
四边形 是矩形，
平分 ，
，
四边形 是正方形，
，
在 和 中， ，
，
，
，
，
，
又 ，
，
又 ，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
，
即 ；（3）解：如下图所示，过点 作 ，连接 ，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
又 ，
是等腰直角三角形，
，
，
点 、 、 在以点 为圆心的圆上，
，
，
，
，
，
，
， ，
是 的垂直平分线，
，
是等腰直角三角形，
，
．题型三、半圆（直径）所对的圆周角是直角
9.如图，在 中， 为直径， 为圆上一点， 的角平分线与 交于点 ，若 ，
．
【答案】
【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，先根据
圆的性质得到 ， ，再由三角形内角和定理得到 ，则
由角平分线的定义可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 为直径，
∴ ，
∴ ，
∵ 的角平分线与 交于点 ，
∴ ，
故答案为： ．
10.如图， 是 的直径，弦 ，若 ，则 ．【答案】65
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、半圆（直径）所对的圆周角是直角、直角三角形的两个锐角互
余
【分析】本题考查圆周角定理，平行线的性质，直角三角形的特征，根据直径所对的圆周角是直角，再利
用平行线的性质得到 ，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解： 是 的直径，
，
， ，
，
，
故答案为：65．
11.如图，点 ， ， ， 在 上， 是 的直径， ，则 的度数是 ．
【答案】 /40度
【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角
【分析】本题主要考查了圆周角定理．熟练运用圆周角定理的推论是解题的关键．连接 ，根据圆周角
定理的推论可得 ，进而 ，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
是 的直径，
，
，
，
，故答案为： ．
12.如图，四边形 是半圆 的内接四边形， 是直径， ．
(1)设 的半径为r，用含r的代数式表示线段 ．
(2)若 ，求 的半径．
【答案】(1)
(2)5
【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、与三角形中位线有关的求解问题、半圆（直径）所
对的圆周角是直角
【分析】（1）根据圆周角定理求出 ，再根据勾股定理求解即可；
（2）连接 交 于点E，根据垂径定理易得 ， ，根据三角形中位线定理求出 ，
由（1）知， ，在 中，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：连接 ，
是直径，
，
， ，
；
（2）解：连接 交 于点E，
，
， ，又 ，
是 的中位线，
，
，
在 中， ，
即 ，
解得： ， （舍去），
的半径为5．
【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、中位线定理，掌握并灵活运用相关知识是解题的
关键．
题型四、90°的圆周角所对的弦是直径
13.如图， 是正方形 内一点，满足 ，连接 ，若 ，则 长的最小值为 ．
【答案】 /
【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、圆周角定
理
【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理和圆周角定理，根据题意得到点 的运动轨迹，结合圆的性
质得到 最小时的情形，再利用正方形的性质和勾股定理求解，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，
勾股定理和圆周角定理的应用．
【详解】如图，
∵ ，
∴点 在以 中点 为圆心， 为直径的圆上，
则 长的最小时，点 三点共线，∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
在 中， ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
故答案为： ．
14.如图，在正方形 中， ，点 是对角形 上的一个动点，且不与端点 重合，连接 ，
过点 作 ，垂足为 ，连接 ．则 的最小值是 ．
【答案】 /
【知识点】用勾股定理解三角形、90度的圆周角所对的弦是直径、根据正方形的性质求线段长、求一点到
圆上点距离的最值
【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，勾股定理，正方形的性质；取 的中点 ，连接 ，依
题意得出 在 为直径的 上运动，进而勾股定理求得 ，根据 的最小值为 ，
即可求解．
【详解】解：如图所示，取 的中点 ，连接 ，
∵
∴ ，
∴ 在 为直径的 上运动，
∵在正方形 中， ，
∴
∴
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
15.如图，点 为等边 的边 上的一个动点， ，过点 作 于点 ， 交边AB于点 ，当过 ， ， 三点的圆面积最小时，则 ．
【答案】 /
【知识点】y=ax²+bx+c的最值、已知圆内接四边形求角度、等边三角形的判定和性质、90度的圆周角所对
的弦是直径
【分析】设 为经过 三点的圆的圆心，设 与 交于点 ，连接 ，设 ， 则
，进而得出 ，勾股定理求得 ，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，设 为经过 三点的圆的圆心，设 与 交于点 ，连接 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴
设 ， 则 ，
∴
∴
∴ ，
∵
∴
∵
∴ 是 的直径，
∵ 是圆内接四边形，
∴ ，∴ ，则 是等边三角形
∴ ，则
∴
在 中，
在 中，
∵ 是 的直径，
∴当 取得最小值时， 的面积最小，
∴当 时， 的面积最小，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直角所对的弦是直径，二次函数的性质，等边三角形的性质，
含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；熟练掌握以上知识是解题的关键
16.如图，四边形 内接于 ，分别延长 ， ，使它们相交于点E， ，且 ．
(1)求证： ．
(2)若 ，点C为 的中点，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、已知圆内接四边形求角度、等腰三角形的性质和判定、用勾股
定理解三角形
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，圆的基本性质等；
（1）根据圆内接四边形的性质得 ，再根据等边对等角可得∠E＝∠DCE，再根据等量代换，
即可求解；
（2）连接 ，根据 的圆周角所对的弦是直径得出 为 的直径，由等角对等边得 ，
根据勾股定理得 ，即可求解；
掌握相关的性质，能由 找出连接 的辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明： 四边形 内接于 ，
∴ ，∵
，
，
，
；
（2）解：如图，连接 ，
，
∴ ，
是 的直径，
，
，
，
点C为 的中点，
，
在 中，
，
的半径为 ．
题型五、已知圆内接四边形求角度
17.如图，四边形 内接于 ，点E在 的延长线上．若 ，则 的度数是
．
【答案】 /160度【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度
【分析】本题考查圆内接四边形性质，以及圆周角定理，根据平角的的定义求出 ，利用圆内接四边
形对角互补得到 ，最后根据圆周角定理即可求得 ．
【详解】解： ，
，
，
，
，
故答案为： ．
18.如图， 的内接四边形 ，E为 延长线上一点．若 ，则 的度数为
．
【答案】 /119度
【知识点】已知圆内接四边形求角度
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角解答．
【详解】解： 四边形 是 的内接四边形， 是四边形 的一个外角，
，
故答案为： ．
19.如图，四边形 是 的内接四边形， 是 的直径，连接 ，若 ， ，
则 °.
【答案】60
【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理．先根据 是 的直径得出 ，故可
得出 ，由 可知 ，故可得出 ，故
，根据 可知 ，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．
【详解】解： 是 的直径，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 是 的内接四边形，
，即 ，
．
故答案为：60．
20.如图，四边形 的四个顶点都在 上， 平分 ，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形性质，掌握圆内接四边形的对角互补
是解题的关键；
（1）根据圆周角定理得到 ，在证 ，根据圆周角定理得结论；
（2）根据圆内接四边形的性质和勾股定理即可解答；
【详解】（1） 平分 ，
，
，，
，
，
（2） 四边形 的四个顶点都在 上， ，
，
又 ，
，
又 ，
是等边三角形，
， ．
设 交 于点E，
则
在 中，
，即 ，
解得：
故
即 的半径为6．
一、单选题
1．如图，在 中， 是直径， ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，三角形内角和．
先根据直径所对的圆周角是直角得到 ，再根据三角形内角和计算即可．
【详解】解：∵ 是直径，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故选：C．
2．如图， 内接于 ，连接 、 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，解题关键是熟练掌握圆周角定理．
根据圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可求解．
【详解】解： ， ，
．
故选： ．
3．如图，四边形 为 的内接四边形， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质以及圆心角与圆周角的关系，解题的关键是利用圆内接四边形的对角互补求出相关圆周角的度数，再结合圆心角与圆周角的倍数关系求解．
先根据圆内接四边形对角互补，由 求出 的度数；再依据同弧所对的圆心角是圆周角的2
倍，得到 与 的关系，进而求出 的度数．
【详解】解：∵四边形 为 的内接四边形，
∴ （圆内接四边形的对角互补）．
∵ ，
∴ ．
∵ 和 分别是 中弧 所对的圆心角和圆周角，
∴ （同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）．
∴ ．
故选：B．
4．如图， 内接于 ， 是 的直径， 是 上一点，连接 ， ，若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．根据直径所对的圆周角为直角，
得 ，由同弧所对的圆周角相等，得 ，即可求解．
【详解】解： 是 的直径，
，
在 中， ，
是 所对的圆周角，
，
故选：C．
5．如图，在四边形 中， ，对角线 和 交于点E，若 ，则
长的最小值为（ ）A．6 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，先证明A，B，C，D四点共圆，得到 为直径，取 的中
点即圆心O，得到当弦 时， 取到最小值，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图， ．
∴A，B，C，D四点共圆， 为直径，取 的中点即圆心O，
当弦 时， 取到最小值，
∵ ，直径 ．
∴半径 ，
∴ ．
在 中， ．
∴ ．
故选B．
二、填空题
6．如图， 是 的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线 的两侧， ，则
．
【答案】【分析】本题考查了圆周角定理，连接 ，则 ，又 是 的直径，则
，然后用角度和差即可求解，掌握圆周角定理的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
7．如图， 是 的直径，D在弦 的延长线上， ， 的延长线交 于点E，若
，则 的度数为 ．
【答案】 /25度
【分析】本题考查圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理和线段
垂直平分线的性质是解答的关键．
根据圆周角定理求出 ， ，进而求出 是 的垂直平分线，再根据线段垂直平分线
的性质及等腰三角形的性质求出 ，最后根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：如图，连接AC，
∵ 是 的直径，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
8．如图， 为 的直径，且 ， 为 上异于 的一点．现将劣弧 沿直线 折叠，若
弧 与直径 交于点 ， ，则 的长 ．
【答案】
【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作辅助线是解题的关键．
作 交 于点 连接 ，交 的延长线于点 ，连接 ，得到 ，继而得到，
，推出 关于 对称，求出 ，得到 ，即可得到
答案．
【详解】解：如图，作 交 于点 ，连接 ，交 的延长线于点 ，连接 ，
，
，
，
，
，
，
为 的直径，关于 对称，
， ， ，
，
，
，
，
故答案为：
9．如图，点 为正方形 内部一点， ， ，点 为 边上一点，且 ，连
接 、 ，则 面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图 ，连接 ，证明 ，可得 ，则点 在以 为直径
的圆上，因为 面积中底边 是定值，其高最小时，面积最小，如图 ，当 运动到 处时 达
到最小，根据三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：如图 ，连接 ，
∵四边形 是正方形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴点 在以 为直径的圆上，
如图 ，取 中点 为圆心，以 为直径作圆 ，过点 作 交圆 于点 ，交 于点 ，
∴弧 为 点的运动轨迹，当 运动到 处时 达到最小为： ，
此时 ，
∴ 面积的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查正方形的性质，三角形的面积，三角形全等的性质和判定， 的圆周角所对的弦是直
径等知识，确定 的面积最小值时点 的位置是解题的关键．
10．如图，正方形 中， ，点 为正方形 内部一点，连接 ， ， ，且
，当 为等腰三角形时， 的长为 ．
【答案】 或
【分析】由已知可得 ，即得点 在以 为直径的圆上，再分 ， 和
三种情况解答即可求解，
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴点 在以 为直径的圆上，
∵ 为等腰三角形，
当 时，点 为正方形对角线 的中点，如图，
∵ ，
∴ ；
当 时，如图，过点 作 于 ，则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，如图，仅当点 和点 重合时 ，
∵点 为正方形 内部一点，
∴此种情况不符合；综上， 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，点和圆的关系，圆周角，等腰三角形的定义全等三角形的判定和性质，
勾股定理等，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
三、解答题
11．如图，在 中， ，以 为直径的 分别交 ， 于点D，E．
(1)若 ，求 的度数．
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接 ，先根据圆周角定理的推论得到 ，进而可知 是 的垂直平分线，
再根据垂直平分线的性质结合等边对等角即可求出 的度数；
（2）由题意可知四边形 是 的内接四边形，可得 ，根据等边对等角结合三角形内角
和求出 ，最后根据三角形外角的性质即可求出 的度数．
【详解】（1）解：连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，∵ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵以 为直径的 分别交 ， 于点D，E，
∴四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的一个外角，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，垂直平分线的判定和性质，等边对等角，内接四边形的判定和性
质，三角形内角和，三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
12．如图， 是半圆 的直径， 、 是半圆 上的两点，且 ， 与 交于点 ．
(1)求证： 为 的中点．
(2)若 ＝ ， ＝ ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理以及等腰三角形的性质．熟练
掌握圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质是解此题的关键．
（1）根据已知可得 ，根据垂径定理，即可求解；
（2）根据勾股定理求得 ，进而根据（1）的结论可得 是 的中位线，求得 ，进而求得 ，
即可求解．
【详解】（1）证明： 是半圆 的直径，
＝ ，
，
，
，
是半圆 的半径，
为 的中点；（2）解：由（1）可知， ＝ ，
是半圆 的直径，
＝ ＝ ＝ ＝ ，
由（ ）可知， 为 的中点，
是 的中位线，
＝ ＝ ，
＝ ﹣ ＝ ﹣ ＝ ，
即 的长为 ．
13．如图， 内接于 于 ，交 于另一点E， 交 于 ，已知 ，
．
(1)求证： ．
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆内接三角形相关性质、全等三角形判定与性质以及勾股定理的应用，解题关键是通过
作辅助线，利用圆的性质找到角与边的关系，进而证明三角形全等和计算线段长度．
（1）连接 ，先由 推出 ，进而得到角相等关系，再结合已知 ，利用 判定
定理证明 ，从而得出 ．
（2）延长 交 于 ，连接 、 ，通过角的等量代换得到 ，结合 得出 ，
再根据已知边长和直径所对圆周角是直角，利用勾股定理求出直径 ，进而得到 的长．
【详解】（1）证明：如图，连接， ，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解：如图，延长 交 于 ，分别连接 ，
， ， ，
，
，
，
，
， ，
，
是直径，
由勾股定理，得 ，
．
14．如图，四边形 内接于 ，对角线 是 的直径， 平分 ，连接 并延长交
于点 ，连接 并延长交 延长线于点 ．(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明 ， ， ，可得
，从而可得结论；
（2）连接 ，由（1）知 ，可得 ，证明 ，
再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明： 是 的直径，
，
又 平分 ，
，
，
，
是 的直径，
，
，
四边形 内接于 ，
，
，
；
（2）解：连接 ，由（1）知 ，
，是 的直径，
，
在 中，由勾股定理得 ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，弧，弦，圆心角
之间的关系的应用，圆的内接四边形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
15．如图， 是等边三角形 的外接圆， 是 上一点．
(1)填空： ______度， ______度；
(2)求证： ．
(3)若 ，求四边形 的面积．
【答案】(1)60；60
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的
性质，圆的内接四边形的性质，能够熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键．
（1）根据等边三角形性质得出 ，然后根据圆周角定理即可得出答案；
（2）延长 至E，使 ，连接 ，如图所示：证明 ，可得 ，证明
是等边三角形，即可得出结论．
（3）过点E作 于点F，求解 ， ，可得 ，进
一步求解即可.
【详解】（1）解：∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，
故答案为： ， ；
（2）证明：延长 至E，使 ，连接 ，如图所示：∵四边形 为 的内接四边形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ,
∴ 是等边三角形，
∴ ；
（3）解：过点E作 于点F，
∵ 是等边三角形， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
16．如图， 是 的直径，点 在 上，过点 作 交 于点E，G为 上的一点，连接
交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ，连接 ．(1)求证： ．
(2)设 ．
①求证： ．
②若 ，求 和 的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析，②
【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌
握相关知识点，是解题的关键：
（1）连接 交 于H，垂径定理得到 为 中垂线，得到 ，等边对等角，结合圆周角定理，
等量代换，即可得出结论；
（2）①圆周角定理结合三角形的内角和定理，推出 ， ，垂径定理得到
，进而得到 ，根据角的和差关系，得到 ，
即可；②证明 ，得到 关于 对称，得到 ，根据
，即可得出结论．
【详解】（1）解：连接 交 于H，
是 的直径， ，
为 中垂线，
∴ ，
，
，
；
（2）① ，，
，
，
，
，
为 中垂线，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
，
，即 ．
②
关于 对称，
，即 ，
，
，即 ．
17．如图1，四边形 内接于 ， 平分 ．在 的延长线上取一点 ，使得 ，
交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求证： ， ， 三点共线；
(3)如图2，连接 并延长 交 延长线于点 ，连接 ，若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)5．【分析】（1）由等腰三角形的性质得 ，由圆的内接四边形的性质得 ，结合
三角形内角和定理得 即可得证；
（2）连接 ，可得 ，由圆的基本性质得 是 的直径，即可得证；
（3）连接 ， ，过点 作 于点 ，等腰三角形的判定及性质得 ，
，由菱形的判定方法得四边形 是菱形，由菱形的性质得 ，
等腰三角形的判定及性质得 ，由勾股定理得 ，由正方形的判定方
法得菱形 是正方形，可得 是 的直径，即可求解．
【详解】（1）证明： ，
，
四边形 内接于 ，
，
，
，
，
平分 ，
，
， ，
，
；
（2）证明：连接 ，
由（ ）得 ，
，
，
，
是 的直径，
， ， 三点共线；
（3）解：连接 ， ，过点 作 于点 ，由（1）得 ，
，
，
．
，
， ，
由（2）知， ，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形，
又 ，
四边形 是菱形，
， ，
， ．
点 、 、 、 在 上，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，在 中， ，
，
．
过 作 交于 ，
， ，
，
，
，
与 、 相交于 矛盾，
与 重合，
．
菱形 是正方形．
，
是 的直径，
，
的半径是 ．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，圆的内接四边形性质，等腰三角形的判定及性质，菱形的判定及性质，
正方形的判定及性质，勾股定理等．掌握圆的基本性质，圆的内接四边形性质，等腰三角形的判定及性质，
菱形的判定及性质，正方形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
18．四边形 是 的内接四边形， 是对角线， 平分 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，点 在线段 上，连接 ， ，连接 ， ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，作 交 于点 ，交线段 于点 ，连接 ，请你探究线段
、线段 的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) ，见解析【分析】（1）由圆的基本性质得 ，即可得证；
（2）由等腰三角形的性质得可设 ， ，可得
，由圆的内接四边形的性质 ，即可得证；
（3）连接 ，延长 使 ，连接 ， ，由正方形的判定方法得矩形 是正方形，由
圆的基本性质得 ，由 可判定 ，由全等三角形的性质得
， ，同理可证 ，由勾股定理得 ，即可求解．
【详解】（1）证明： 平分 ，
，
，
；
（2）证明： ，
可设 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 内接于 ，
，
，
．
（3）解： ；
证明：连接 ，延长 使 ，连接 ， ，，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
矩形 是正方形．
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
，
在 和 中
，
（ ），
，
，
，
又 ，
，
，，
，
在 和 中
，
( )，
，
又 ，
，
．
