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专题 02 实际问题与一元二次方程
与增长率有关的列方程
1．（23-24八年级下·山东德州·期末）“绿色电力，与你同行”，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，
我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2022年新能源汽车年销售量为700万辆，预计2024年新能源汽
车年销售量将达到1537万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，根据题意可列方程为 ．
【答案】
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，能够根据题意列出方程是解题的关键．
设这款新能源汽车销售量的年平均增长率为 ，利用这款新能源汽车2024年的销售量 这款新能源汽车
2022年的销售量 这款新能源汽车销售量的年平均增长率） ，即可得出关于 的一元二次方程．
【详解】解：设这款新能源汽车销售量的年平均增长率为 ，
依题意得： ．
故答案为：
2．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）随着我国人口的负增长，新建住房数量不断增加，许多城市商品房
的价格不断下降，某城市一楼盘商品房经过连续两次降价，销售单价由原来的 万元/ 降到现在的万元/ ，设该楼盘商品房销售单价平均每次降价的百分率为 ，则可列方程为 ．
【答案】
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；等量关系为：原价 下降率 现价，把相关数值代入即可．
【详解】解：设该楼盘商品房销售单价平均每次降价的百分率为 ，则可列方程为 ，
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，
第一个月新建了400个充电桩，第三个月新建了600个充电桩．设该市新建充电桩个数的月平均增长率为
x，根据题意，可列出方程为 ．
【答案】
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用该市第三个月新建智能充电桩个数 该市第一个月新建智能
充电桩个数 （ 该市新建智能充电桩个数的月平均增长率） ，即可列出关于x的一元二次方程，此题
得解．
【详解】解：根据题意得： ．
故答案为： ．
传播问题
1．（23-24八年级下·山东威海·期末）某市举行中学生足球联赛，每两个队之间都要进行一场比赛，共要
比赛66场．若有 支球队参赛，则可列方程 ．
【答案】
【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，关键要求我们掌握单循环制比赛的特点：如果有 支球队参加，那么就有 场比赛．
本题可设有 支球队参赛，则每个队参加 场比赛，则共有 场比赛，从而可以列出一个一元
二次方程．
【详解】解：由题意得， ，
故答案为： ．
2．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的
小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个主干长出的支干数量是 个．
【答案】9
【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用---传播问题，等量关系为：主干1+支干数目+支干数目×支干数
目 ，把相关数值代入计算即可．
【详解】解：设每个支干长出x个小分支．
，
，
解得 （不合题意，舍去）， ，
故答案为：9．
3．（23-24九年级上·北京·期末）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就
会有144台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染 台电脑．
【答案】11
【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮感染中平均一台电脑会感染 台电脑，根据“经过两轮
被感染后就会有144台电脑被感染”，即可得出关于 的一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，
正确列出一元二次方程是解此题的关键．
【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染 台电脑，
根据题意列方程得： ，解得 （不符合题意，舍去），
即每轮感染中平均一台电脑会感染11台电脑．
古代问题
1．（23-24八年级下·福建福州·期末）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图
注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程 ，即 为例说明，记载
的方法是：构造如图1，大正方形的面积是 ，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的
面积，即 ，因此 ．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则
这个方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，
并用代数式表示出来是解题的关键．
根据题意，观察图2，由面积之间的关系可得到答案．
【详解】解：中间小正方形的边长为 ，其面积为16，大正方形面积为
，边长为8，∴图2是 ，
即 的几何解法，
故选：C．
2．（23-24九年级上·辽宁营口·期末）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个
数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”，意思是：一块矩形田地的面积
为864平方步，只知道它的长与宽共60步．问它的长比宽多（ ）步？
A．15 B．12 C．20 D．6
【答案】B
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设宽为x步，则长为 步，根据面积建立方程即可求解．
【详解】解：设宽为x步，则长为 步，
由题意得： ，
解得： ，
当 时，长为24，不合题意，舍去，
∴ ，则长为 （步），
则长比宽多 （步）；
故选：B．
3．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一
十钱，遣人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价
钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试
问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为 株，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设这批椽的数量为 株，则一株椽的价钱为
文，利用总价 单价 数量，即可得出关于 的一元二次方程，此题得解．【详解】解： 这批椽的数量为 株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一
株椽的价钱，
一株椽的价钱为 文．
依题意得： ．
故选：A．
4．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）（古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短. 记得立契时，长阔争一
半. 今问俊明公，此法如何算. 意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少. 只记得在
立契约的时候说过，宽是长的一半. 现在请你帮他算出它的长是 步. （一亩 步 ）
【答案】
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设此矩形田的宽为 步，根据题意列出方程即可求出答案．
【详解】解：设此矩形田的宽为 步，依据题意，可列方程为 ，
解得： （负值舍去），
故答案为： ．
数字问题
1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位
数字大 ，则这个两位数为（ ）
A．25 B．36 C．25或36 D． 或
【答案】C
【知识点】数字问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位上的数字为 ，则个位上的数字为 ，根据“一个
两位数等于它的个位数的平方”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正
确列出方程是解此题的关键．
【详解】解：设十位上的数字为 ，则个位上的数字为 ，
由题意得： ，整理得： ，
解得： 或 ，
当 时， ，此时这个两位数为 ，
当 时， ，此时这个两位数为 ，
综上所述，这个两位数为25或36，
故选：C．
2．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）有一个两位数，个位上数字和十位上数字之和为6，这个
两位数是这个两位数的个位上数字与十位上数字之积的3倍，则这个两位数为（ ）
A．24 B．15 C．24或15 D．42或51
【答案】C
【知识点】数字问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程．设原
来的两位数个位数字为 ，则十位数字为 ．根据等量关系：，这个两位数是这个两位数的个位上数字
与十位上数字之积的3倍．列方程求解即可．
【详解】解：设原来的两位数个位数字为 ，则十位数字为 ．则
，
解得 ， ，
当 时，即原来的两位数个位数字为4，十位数字为2．
∴这个两位数是24，
当 时，即原来的两位数个位数字为5，十位数字为1．
∴这个两位数是15，
故选：C．
3．（23-24九年级上·河北保定·期末）一个两位数，个位数字比十位数字大2，十位数字2倍的平方恰好等
于个位数字与十位数字互换位置的新数，则这个两位数为 ．
【答案】
【知识点】数字问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查的是关于数字方面的一元二次方程的应用．设这个两位数的十位数字为x，则个位数字
为 ，然后根据“十位数字2倍的平方恰好等于个位数字与十位数字互换位置的新数”即可列出方程求解．
【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为 ，
依题意得： ，
整理得： ，即 ，
解得： （不符合题意，舍去）， ，
∴ ，
∴这个两位数为46．
故答案为：46．
增长率与销售问题的综合
1．（23-24九年级上·山西晋中·期末）栖霞某旅游景点的超市以每件 元的价格购进某款果都吉祥物摆件，
以每件 元的价格出售．经统计， 月份的销售量为 件， 月份的销售量为 件．
(1)求该款吉祥物摆件 月份到 月份销售量的月平均增长率；
(2)从 月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈游客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价 元，月销售
量就会增加 件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达 元？
【答案】(1)
(2) 元
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查一元二次方程的应用，
（1）设该款吉祥物摆件 月份到 月份销售量的月平均增长率为 ，利用该款吉祥物摆件 月份的销售量
该款吉祥物摆件 月份的销售量 该款吉祥物摆件 月份到 月份销售量的月平均增长率 ，可列出
关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；（2）设该吉祥物摆件售价为 元，则每件的销售利润为 元，月销售量为 件，利用总利
润 每件的销售利润 月销售量，可列出关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设该款吉祥物摆件 月份到 月份销售量的月平均增长率为 ，
根据题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物摆件 月份到 月份销售量的月平均增长率为 ；
（2）设该吉祥物摆件售价为 元，则每件的销售利润为 元，
∴月销售量为： ，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
答：当该吉祥物摆件售价为 元时，月销售利润达 元．
2．（23-24八年级下·重庆江北·期末）为传承端午文化，2024年的端午节期间全国各地举行了丰富多彩的
赛龙舟活动．某商家以每套75元的价格购进一批龙舟训练比赛服装，定价每套120元进行售卖．
(1)经统计，3月份该服装销售量为256件，5月份该服装销售量为400件．求该服装销售量的月平均增长率；
(2)今年端午节在6月份，此段时间龙舟比赛服的销量将有大幅提升，但端午节过后销量又会下滑，为了在
6月份端午期间扩大销量减少库存，商家决定对龙舟比赛服进行降价促销．经过调研，在5月份的销售数
量基础上每降价5元，销量将提高15件，商家将比赛服的售价定为多少时，才能获得13350元的利润．
【答案】(1)该服装3月份到5月份销售量的月平均增长率为
(2)商家将比赛服的售价定为105元时，才能获得13350元的利润．
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该服装3月份到5月份销售量的月平均增长率为 ，根据3月份的销售量为256件，5月份的销售
量为400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可；（2）设该服装售价为 元，则每件的销售利润为 元，月销售量为 （件 ，
根据获得13350元的利润，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可．
【详解】（1）设该服装3月份到5月份销售量的月平均增长率为 ，则5月份的销售量为 ，
根据题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
答：该服装3月份到5月份销售量的月平均增长率为 ；
（2）设该服装售价为 元，则每件的销售利润为 元，月销售量为 （件 ，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
答：商家将比赛服的售价定为105元时，才能获得13350元的利润．
3．（23-24八年级下·山东烟台·期末）“爱在烟台，难以离开”，醉美所城里在2024年“五一”小长假期
间，接待游客达2万人次，预计在2026年“五一”小长假期间，接待游客 万人次，一家特色小面店希
望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖
10元，平均每天将销售60碗；若价格每提高1元，则平均每天少销售4碗．
(1)求出2024至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率；
(2)为了更好地维护烟台形象，物价局规定每碗售价不得超过15元，则当每碗售价定为多少元时，店家才
能实现每天利润360元？
【答案】(1)年平均增长率为
(2)当每碗售价定为15元时，店家才能实现每天利润360元
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用：
（1）设年平均增长率为 ，则2025年接待游客 万人，2026年接待游客 万人，据此列出方
程求解即可；
（2）设每碗售价定为 元时，店家才能实现每天利润600元，根据利润 （售价 成本价） 销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设年平均增长率为 ，
依题意有 ．
解得 ， （舍去）．
答：年平均增长率为 ；
（2）解：设每碗售价定为 元时，店家才能实现每天利润600元，
依题意得： ，
解得 ， ，
每碗售价不得超过15元，
当每碗售价定为15元时，店家才能实现每天利润360元．
4．（23-24八年级下·山东泰安·期末）近几年，汉服的火爆“出圈”，引得不少年轻人为之心动，它已然
成为当下的一种流行趋势．随着群体的喜爱，受众的普及，汉服市场也在不断扩大，某汉服专卖店统计了
近三年店内汉服的销售量，2021年销售量为3000套，2023年销售量为4320套，且从2021年到2023年销
售量的年平均增长率相同．
(1)求该款汉服销售量的年平均增长率；
(2)若该专卖店打算以进价为100元/套的价格购进一批汉服，经在市场中测算，当售价为130元/套时，年
销售量为2000套，若在此基础上售价每上涨1元/套，则年销售量将减少20套，为使年销售利润达到
72000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该款汉服的实际售价应定为多少元？
【答案】(1)该款汉服销售量的年平均增长率为
(2)该款汉服的实际售价应定为140元
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握
解一元二次方程的方法．
（1）设该款壮族服饰销售量的年平均增长率为x，根据“2021年销售量为3000套，2023年销售量为4320
套，且从2021年到2023年销售量的年平均增长率相同”列一元二次方程求解即可；
（2）设该款汉服的实际售价为y元/套，根据题意，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出答案．
【详解】（1）解：设该款汉服销售量的年平均增长率为x，依题意，得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：该款汉服销售量的年平均增长率为 ；
（2）解：设该款汉服的实际售价为y元/套，
依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ， ，
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴
答：该款汉服的实际售价应定为140元．
5．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）冬季来临，小李在某景区门口出售秘制“羊肉汤”，每碗成本价6元，
当每碗售价定为8元时，每天可售出200碗．小李想提高售价，获得更大利润，经调查发现：售价每碗每
提高1元，每天将少售出10碗，经物价部门批准，每碗“羊肉汤”的售价不得超过20元．设每碗“羊肉
汤”的售价为x（元），每天销量为y（碗）．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)要使每天获利960元，每碗售价应为多少元；
(3)每天的利润能否达到1320元，若能达到，每碗售价为多少元，若不能达到，请说明理由．
【答案】(1)
(2)12元
(3)每天不能获利1320元，理由见解析
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、营销问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用：
（1）根据售价每碗每提高1元，每天将少售出10碗，列出函数关系式即可；
（2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可；
（3）列出一元二次方程，根据判别式的符号，进行判断即可．
【详解】（1）解：由题意，得：（2）每天获利960元时，根据题意得
，整理得 ．
解得 ， （不合题意，舍去）
所以，每碗售价12元时，每天获利960元．
（3）每天不能获利1320元，理由如下：
当 时，整理得： ．
∵ ，方程无解，
所以每天不能获利1320元．
与图形有关的综合问题
1．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图是一张面积为 的矩形宣传广告单，它的上、下、左、右
空白部分的宽度都是 ．若印刷部分（矩形）的一边为 ，印刷面积为 ，求矩形宣传广告单
的长和宽．
【答案】矩形宣传广告单的长为 ，宽为
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程的应用是解题的关键．根据印刷面积为 列
方程求解即可．
【详解】解：由题意知，印刷部分的另一边为 ．
则有 ，即 ，∴ ，
即 ，
∴ ，
得 或 ．
所以矩形宣传广告单的长为 ，宽为 ．
2．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1，张爷爷用30m长的隔离网在一段15m长的院墙边围成矩形
养殖园，已知矩形的边 靠院墙， 和 与院墙垂直，设 的长为xm．
(1) 的长为 米；
(2)如图2，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网．已知两道隔离
网与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到 ？若能，求出 的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)养殖园的面积不能达到 ，理由见解析
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、列代数式
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据隔离网的总长为30m，且 ，得出 ，进而得出答案；
（2）养殖园的面积不能达到 ，根据各边之间的关系，可得出 ，结合矩形养殖园面积
为 ，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式 ，可得出该方程无实数根，进而可得
出养殖园的面积不能达到 ．
【详解】（1）解：∵隔离网的总长为30m，且 ，
∴ ，
∴ 米，
故答案为： ；（2）解：养殖园的面积不能达到 ，理由如下：
∵隔离网的总长为30m，
设 ，
∴ ，
根据题意得： ，
整理得： ，
∵ ，
∴该方程无实数根，
∴养殖园的面积不能达到 ．
3．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）某农场计划建造一个长方形养牛场，为充分利用现有资源，该长方
形养牛场一面靠墙（墙的长度为15米），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为 的
长方形，已知栅栏的总长度为48米，设较小长方形的宽为 米（如图），栅栏厚度不计．
(1)若长方形养牛场的总面积为144平方米，求此时 的值；
(2)养牛场的总面积是否有可能达到180平方米？若有可能，求出 的值；若不可能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)牛场的总面积不可能达到180平方米，
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）根据题意可得较大长方形的长为 米，则较大长方形的宽为 （米），依题意得：
，再求解即可；
（2）依题意得： ，再进行求解并判断即可．
【详解】（1）解： 中间再用栅栏把它分成两个面积为 的长方形，较小长方形的宽为 米，较大长方形的长为 米，
则较大长方形的宽为 （米），
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
当 时， ，符合题意；
当 时， ，不合题意，舍去．
．
（2）牛场的总面积不可能达到180平方米，理由如下：
依题意得： ，
整理得： ．
解得： ， ．
当 时， ，不合题意，舍去．
当 时， ，不合题意，舍去．
牛场的总面积不可能达到180平方米．
4．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）实验基地有一长为10米的墙 ，研究小组想利用墙 和长37米
的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为1米的门．
(1)小徐按图1的方案围成矩形种植园（ 为墙 的一部分），当矩形种植园的面积为 时，求出
矩形种植园一边 的长．
(2)小祝按照图2的方案围成矩形种植园（墙 为边 的一部分），能否围成面积为 的矩形种
植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，请说明理由．【答案】(1)矩形种植园一边 的长15米
(2)不能围成面积为 的矩形种植园
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据判别式判断一
元二次方程根的情况
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用和一元二次方程的应用，根据题意，列出等量关系式，
然后再求解即可得出结果，理解题意是解题关键．
（1）方案1：设 的长为x米，根据题意得出面积的等量关系式，然后求解即可；
（2）方案2：设 的长为x米，然后确定相应面积关系式求解即可；
【详解】（1）解：设 的长为x米，
则 ，
解得： ．
∵ ，
∴ ，
∴ 舍去， ．
答：矩形种植园一边 的长15米．
（2）解：设 的长为x米，
则 ， 化简得 ，
，
∴不能围成 ，
答：不能围成面积为 的矩形种植园．
5．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长 ，
宽 的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚
度忽略不计）(1)若剪去的正方形的边长为 ，则纸盒底面长方形的长为___________ ，宽为___________ ；
(2)若纸盒的底面积为 ，请计算剪去的正方形的边长；
(3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，
再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为
，请计算剪去的正方形的边长．
【答案】(1)26，12
(2)剪去正方形的边长为
(3)剪去的正方形的边长为
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出一元二次方程
是解此题的关键．
（1）根据题意列式计算即可得出答案；
（2）设减去的正方形的边长为 ，则纸盒底面长方形的长为 ，宽为 ，根据题意
列出一元二次方程，解方程即可得出答案；
（3）设剪去的正方形的边长为 ，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得： ， ，
纸盒底面长方形的长为 ，宽为 ；
（2）解：设减去的正方形的边长为 ，则纸盒底面长方形的长为 ，宽为 ，
由题意得： ，
解得： 或 （舍去），
∴剪去正方形的边长为 ；
（3）解：设剪去的正方形的边长为 ，
由题意得： ，
解得： 或 （不符合题意，舍去），
∴剪去的正方形的边长为 ．
6．（23-24八年级下·山东威海·期末）有一块长 ，宽 的矩形纸片．(1)如图1，如果在纸片的四个角裁去四个边长相等的小正方形（阴影部分）后，将其折成无盖长方体盒子．
若折成的盒子的底面积为 ，求裁去的小正方形的边长；
(2)若需要制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，小颖设计了如图2的裁剪方案（阴影部分为裁
剪下来的边角料），其中左侧的两个阴影部分为正方形，右侧的两个阴影部分为矩形，问能否折出底面积
为 的有盖盒子（接缝忽略不计）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)能， ．
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了利用矩形的面积公式建立一元二次方程求解的运用．在解答中注意要检验方程的根是
否使实际问题有意义．这是在解答时学生容易忽略的问题．
（1）设小正方形的边长为 ，根据题意列出方程就可以求出其解．
（2）设小正方形的边长为 ，根据其底面积为 列出方程求解即可．
【详解】（1）设小正方形的边长为 ，由题意得
．
解得， ， （不符合题意，舍去）
∴裁去的小正方形的边长为 ；
（2）设小正方形的边长为 ，由题意得
解得， ， （不符合题意，舍去）∴盒子的体积为 ．
动态几何综合问题
1．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，已知长方形 的边长 ， ，某一时刻，
动点 从点 出发沿 方向以 的速度向点 匀速运动；同时，动点 从点 出发沿 方向以
的速度向点 匀速运动，当点 到达点 时，两点同时停止运动，问：
(1)经过多长时间， 的长为 ？
(2)经过多长时间， 的面积等于长方形 面积的 ？
【答案】(1)经过 或 之后， 的长为 cm；
(2) 秒或 秒．
【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）设经过 后，则 ， ， ，然后由勾股定理列出方程
，然后解方程即可；
（ ）设经过 秒，由题意得 ， ， ，由 的面积等于长方形
面积的 ，列出方程 ，然后解方程即可；
【详解】（1）设经过 后，则 ， ， ， 的长为 cm，
根据题意，由勾股定理得： ，即 ，
解得： ， ，
答：经过 或 之后， 的长为 cm；
（2）设经过 秒， 的面积等于矩形 面积的 ，
由题意得 ， ， ，
∵矩形 中， ， ，
∴ ， ，
∴矩形 的面积为： ，
∴ 的面积 ，
整理得： ，
解得 ， ，
答：经过 秒或 秒， 的面积等于长方形 面积的 ．
2．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图所示， 中， ．点P从点A开始
沿 边向B以 速度移动，点Q从B点开始沿 边向点C以 的速度移动．
(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后， 的长度等于 ？
(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段 能否将 分成面积 的两部分？若能，求出运动时间；
若不能说明理由．【答案】(1)
(2)经过2秒或4秒时，线段 能将 分成面积 的两部分
【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查直角三角形中的动点问题，解一元二次方程．解题的关键是掌握勾股定理，列出一元二
次方程．
（1）在 中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可；
（2）分 的面积为 面积的 和 的面积为 面积的 ，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设经过 秒后， 的长度等于 ，
由题意，得： ， ，
∴ ，
当 时，在 中，
，
整理，得： ，
解得： ；
当 时， 的长度等于 ．
（2）设经过 秒，线段 能将 分成面积 的两部分，
依题意有： 的面积 ， ，
①当 的面积为 面积的 时，
则：
整理，得：解得： 或 ；
②当 的面积为 面积的 时，
则： ，
整理，得： ，
，
∴方程无实数根；
经过2秒或4秒时，线段 能将 分成面积 的两部分．
3．（23-24八年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系 中，点 在直线 上．
(1)直线 与 轴的交点坐标为________；
(2)矩形 的顶点 分别 轴， 轴上．
①当 ， 时，求矩形 的面积；
②若使矩形 的面积为4的点 恰好有4个，试求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)① ；② 且
【知识点】根据矩形的性质求线段长、一次函数图象与坐标轴的交点问题、坐标与图形、动态几何问题(一
元二次方程的应用)
【分析】（1）在 中，当 时， ，即可得出答案；
（2）①由题意得 ， ，先求出 ，结合矩形的性质即可得出答案；②分两种情况：
当 时；当 时，分别计算即可得出答案．
【详解】（1）解：在 中，当 时， ，
∴直线 与 轴的交点坐标为(0,4)；
（2）解：由题意得： ， ，
将 代入 得： ，解得： ，
∴ ，
如图所示：
，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴矩形 的面积为 ；
②当 时， ，此时矩形 的面积为4的点 只有两个；
当 时，∵点 在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴矩形 的面积为 ，即 或 ，
∵矩形 的面积为4的点 恰好有4个，
∴ 或 ，
解得： ，
综上所述，若使矩形 的面积为4的点 恰好有4个， 的取值范围为 且 ．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、矩形的性质、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知
识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
4．（23-24九年级上·吉林·期末）如图 ，矩形 纸片， ， ，动点 ， 分别从点
同时出发，均以 的速度，点 沿 方向，到终点 停止运动：点 沿 方向，到终
点 停止运动，连接 ，将矩形 在 左下方的部分纸片沿 折叠得到如图 ，设点 运动的时间
为 ，重叠部分图形的面积为 ．(1)当点 落到 边上时，求 的值；
(2)求 与 的函数关系式，并写出 的取值范围；
(3)当 时，若 以 为腰的等腰三角形，直接写出 的值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 或 ．
【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、动态几何问题(一元二次方程的应用)
【分析】（ ）当点 落到 边上时，则点 与点 重合，从而有 ，即可求出 得值；
（ ）分 当 时， 当 时， 当 时情况讨论即可求解；
（ ）当 时（ ） 时，（ ） 时（ ） 时，（ ）
，讨论即可求解；
此题考查了矩形的折叠与动点，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键．
【详解】（1）当点 落到 边上时，
则点 与点 重合，
∴ ，∴ ；
（2） 当 时，如图，
，
当 时，如图，
，
当 时，如图，
，
综上可知： ；
（3）如图， ，（ ） 时，即 ，
整理得： ，
解得： （舍去）， ，
（ ） ，即 ，
无解，
如图，当 ，延长 交于点 ，
（ ） 时，即 ，
解得： ， ，
以上解均不符合题意，
（ ） ，即 ，
整理得： ，
解得： （舍去）， ，综上可知： 或 ．
5．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点， ，
，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以 的速度向点B移动，一直到点B为止，点
Q以 的速度向点D移动，设移动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，P，Q两点间的距离最小？最小距离是多少？
(2)连接 ．
①当 为等腰三角形时，求t的值；
②在运动过程中，是否存在一个时刻，使得 ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当 时， 最小， 的最小距离为
(2)①当 为等腰三角形时，t的值为 或 或 ；②不存在一个时刻，使得
，理由见解析
【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、（特殊）平行四边形的动点问题、
等腰三角形的定义
【分析】（1）首先根据题意，得出 ， ，再根据线段之间数量关系，得出
，再根据垂线段最短，得出当 时， 最小，此时四边形 是矩形，再根据矩
形的性质，得出 ，然后代入数据，得出 ，解出即可得出答案；
（2）①过点 作 于点 ，得矩形 ，矩形 ，根据矩形的性质，得出
， ，再根据线段之间数量关系，得出 ，再根据勾股定理，得出 ， ，然后分三种情况：当 时，当 时，当
时，分别列出方程进行求解，即可得出答案；
②当 时，根据勾股定理，得出 ，进而得出 ，
整理得出 ，再根据一元二次方程的根与判别式的关系，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意，可得： ， ，
∵ ， ，
∴ ，
当 时， 最小，此时四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴当 时， 最小， 的最小距离为 ；
（2）解：①如图，过点 作 于点 ，得矩形 ，矩形 ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，
根据勾股定理，可得： ， ，
当 时，可得： ，
整理可得： ，
解得： ；
当 时，
可得： ，
整理可得： ，
解得： 或 （不符合题意，舍去），
当 时， 为 的中点，
∴ ，
解得： ，
综上可得：当 为等腰三角形时，t的值为 或 或 ；
②不存在一个时刻，使得 ，理由如下：
当 时，
可得： ，
即 ，
整理可得： ，
∵ ，
∴此方程无实数解，
∴不存在一个时刻，使得 ．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、解一
元二方程、一元二次方程的根与判别式的关系，解本题的关键在利用分类讨论思想解答．
