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专题 02 考点易错专训 （第 21-24 章）
一．一元二次方程的定义
1．（2025春•高青县期中）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．±❑√3
2．（2025春•安庆期中）若关于x的方程 是一元二次方程，则k＝ ．
(k-2)xk2-2+4x-3=0
3．（2025春•合肥期中）若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝ ．
二．一元二次方程的解
4．（2025春•金安区校级期中）若m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，则代数式2020﹣2m2+8m的
值为（ ）
A．2016 B．2018 C．2022 D．2024
5．（2025春•金安区校级期中）如果两个一元二次方程 x2+x+k＝0与x2+kx+1＝0有且只有一个根相同，那
么k的值是（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．1或﹣2
6．（2025春•温州期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝m，则关于x的一元
二次方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）必有一根为（ ）
1 1
A．﹣m B． C．m D．-
m m
7．（2025春•莱州市期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，且a≠0）的解是x
1
=❑√5+1，x =❑√5-1，则方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0（a≠0）的解是（ ）
2
A．x =❑√5+1，x =❑√5-1 B．x =❑√5-1，x =❑√5-3
1 2 1 2
C．x =❑√5+3，x =❑√5+1 D．该方程无解
1 2
三．根的判别式
8．（2025•驿城区模拟）若点（m，n）在第四象限，则关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0的根的情况是
（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法判定
9．（2025春•肥东县校级期末）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0，下列说法：①若m﹣2n＝1，则方程
一定有两个不相等的实数根；②若m2﹣2n＜0，则方程没有实数根；③若n是方程x2+mx+n＝0的一个根，1
则m+n＝﹣1；④若x＝t（t≠0）是方程x2+mx+n＝0的一个根，则x= 是方程nx2+mx+1＝0的一个根．
t
其中正确的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
四．根与系数的关系
11．（2025秋•九龙坡区校级月考）设a，b为方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则a3+a2+3a+2023b的值
为（ ）
A．2024 B．﹣2024 C．2023 D．﹣2023
1 1
12．（2025•山东校级二模）已知x 、x 是方程x2﹣6x﹣3＝0的两个实数根，则 + =（ ）
1 2 x x
1 2
1 1
A．﹣2 B．- C．2 D．
2 2
2024
13．（2024秋•宝应县期末）已知方程x2﹣2024x+1＝0的两根分别为m、n，则m2- 的值为（ ）
n
A．﹣2024 B．﹣1 C．1 D．2024
14．（2025•临沭县一模）已知x ，x 是一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0的两个不相等的实数根，且
1 2
，则m的值是（ ）
x2+x2+x x -17=0
1 2 1 2
5 5 5
A． 或-3 B．﹣3 C． D．-
3 3 3
15．（2024秋•海港区期末）已知x ，x 是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式 2024x 的
1 2 x3- 1+x2
1 2
值为（ ）
A．4049 B．4048 C．2024 D．1
五．一元二次方程的应用
16．（2025•济宁校级三模）某商店经销一种销售成本为 20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可
售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．
当该商品的售价定为（ ）元/个时，月利润为9600元
A．32 B．28 C．32或36 D．32或28
17．（2025秋•宝安区校级月考）在欧几里得的《几何原本》中提到，形如 x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方
a a
程的图解法是：如图，以 和b为直角边作Rt ABC，再在斜边上截取CD= ，则AD的长为所求方程
2 2
△
的正根．若关于x的一元二次方程x2+mx＝225，CD：AD＝8：9，那么m的值为（ ）A．10 B．16 C．18 D．20
18．（2025秋•锦江区校级月考）为迎接师一学校第二十六届运动会，某同学设计了一款纪念版吉祥物．
某商店该吉祥物的售价为64元/个，为了促销，商店决定进行两次降价调整，最终售价为 49元/个，每
天能售出50个．
（1）求该吉祥物两次降价的平均百分率；
（2）若该吉祥物每个的成本价为20元，临近运动会，为了减少库存，决定再次进行降价销售，经调查
发现，每降价2元，每天可多售20件，若每天利润为2730元，则每件降价多少元？
六．配方法的应用
19．（2025 春•东台市期中）已知实数 m，n 满足 m﹣n2＝2，则代数式 m2+2n2+4m﹣3 的最小值等于
（ ）
A．9 B．6 C．﹣8 D．﹣16
20．（2025春•滨湖区期中）已知x2﹣2xy+2y2﹣6y+9＝0，求xy的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．27
21．（2025春•碑林区校级期中）已知x＝4a2+4ab+14，y＝b2﹣6b﹣12a，则x+y的最小值是（ ）
A．14 B．5 C．9 D．不存在
22．（2025春•大丰区期中）设M＝4a2﹣4a+3，N＝3a2﹣1，其中a为实数，则M与N的大小关系是（
）
A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＝N
23．（2024春•广陵区期中）若M＝2x2+x，N＝x2﹣3x﹣2，则M与N的大小关系为（ ）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定
七．二次函数图象与系数的关系（共4小题）
24．（2025•谷城县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论，正确的有（ ）①abc＞0；
②2a+b＝0；
③b2﹣4ac＞0；
④a﹣b+c＞0．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
25．（2024秋•枣阳市期末）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所
示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤当x＜﹣1时，
y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
26．（2024秋•郸城县期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的图象关于直线x
＝1对称，则下列四个结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③5a+b+c＞0；④若k≠1，则a（k2﹣1）+b（k﹣
1）＞0．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
27．（2025秋•朝阳区校级月考）已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列结论：①abc＞
0；②b2≥4ac；③9a+3b+c＞0；④2a+b＝0；⑤3a+c＜0．正确的结论是 （填序号）．
八．二次函数图象上点的坐标特征
28．（2025•晋中二模）若点A（﹣1，y ），B（2，y ），C（3，y ）都在二次函数y＝x2﹣4x﹣n的图象上，
1 3 3则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 3 2 1 3 1 2 2 3 1
5
29．（2024秋•勉县校级期末）抛物线y＝2（x﹣1）2+c过（﹣2，y ），（0，y ），（ ，y ）三点，则
1 2 3
2
y ，y ，y 大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
2 3 1 1 2 3 2 1 3 1 3 2
30．（2024秋•莱阳市期末）设函数 ， ，直线x＝1与函数y ，y 的图象分别交
y =-(x-m) 2 y =-(x-n) 2 1 2
1 2
于点A（1，a ），B（1，a ），得（ ）
1 2
A．若1＜m＜n，则a ＜a B．若m＜n＜1，则a ＜a
1 2 1 2
C．若m＜1＜n，则a ＜a D．若m＜n＜1，则a ＜a
1 2 2 1
31．（2025•广州校级模拟）已知点A（x ，y ），B（x ，y ）是二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上任意两点，
1 1 2 2
设x ﹣x ＝t，若当﹣2＜x ＜2且﹣1＜b＜4时，都有y ＞y ，则t的取值范围是（ ）
2 1 1 2 1
A．t＜﹣4或t＞7 B．t＜﹣5或t＞8
C．t＜﹣5或t＞7 D．﹣t＜﹣4或t＞8
32．（2025•费县二模）已知二次函数y＝﹣mx2+2（m+1）x+3的图象上有四个点：A（a，p），B（b，
p），C（c，q），D（d，q），其中p＜q，下列结论一定不正确的是（ ）
A．若m＞1，则a+b+c+d＞0 B．若m＞1，则d＜a＜b＜c
C．若m＜﹣1，则a+b+c+d＞0 D．若m＜﹣1，则c＜b＜a＜d
九．二次函数的最值
33．（2024秋•纳溪区期末）已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（﹣3，0），当﹣3≤x≤0时，y的最
小值为﹣4，则m的值为（ ）
5
A．﹣2或10 B．10或2 C．2 D．
3
34．（2024秋•昭通期末）当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2+4x+2的最小值为﹣1，则实数a的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．﹣5或﹣1 D．﹣3或﹣1
35．（2025•连州市三模）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（
）
5 5 5
A．5 B．﹣5或 C．5或- D．﹣5或-
8 8 8
36．（2025•新城区三模）已知二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+2的范围内的最大值为4，则实数t的值为
（ ）A．﹣1或5 B．﹣3或5 C．﹣1或7 D．﹣3或7
十．抛物线与x轴的交点
37．（2025•威海一模）如图，抛物线y＝﹣x2+px+m与x轴交点的横坐标为x ，x （x ＜x ），抛物线y＝
1 2 1 2
﹣x2+px+n与x轴交点的横坐标为x ，x （x ＜x ）．已知0＜m＜n，则下列结论正确的是（ ）
3 4 3 4
A．x ＜x ＜x ＜x B．x ＜x ＜x ＜x
3 4 1 2 3 1 2 4
C．x ＜x ＜x ＜x D．x ＜x ＜x ＜x
1 2 3 4 1 3 4 2
38．（2024秋•江阳区校级期末）已知抛物线y＝ax2﹣5ax+4a（a≠0）不经过第二象限，与x轴交于A，B
两点，其顶点C．这条抛物线关于x轴对称的抛物线顶点为C′，若四边形ACBC′是正方形，则a的值为
（ ）
3 2 3 2 2
A．- B．- C． D． 或-
2 3 2 3 3
39．（2025秋•海安市月考）已知抛物线y＝（x﹣x ）（x﹣x ）+1（x ＜x ），抛物线与x轴交于（m，
1 2 1 2
0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x ，x 的大小关系是（ ）
1 2
A．m＜x ＜x ＜n B．m＜x ＜x ＜﹣n
1 2 1 2
C．m＜x ＜n＜x D．x ＜m＜x ＜n
1 2 1 2
十一．垂径定理
40．（2025秋•秦淮区校级月考）在Rt ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，D、E分别是AC、BC上的
一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆△与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ）
9 6 8 12
A． B． C． D．
10 5 5 541．（2025•池州开学）如图，在平面直角坐标系中，以点 G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于
A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于点F，则点E在⊙G上运动过程
中，线段FG的长的最小值为（ ）
A．❑√5-2 B．❑√3-1 C．❑√5+2 D．❑√3+1
十二．扇形面积的计算
42．（2025•威海一模）如图1是山西平遥推光漆器，图2是选取该漆器上的部分图案并且放大后的示意图，
四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形
内画弧，四条弧相交于点O．则图中阴影部分的面积为（ ）
1
A．2π﹣4 B．π﹣2 C．2π D． π
4
43．（2025•淮南模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，点E是BC的中点，以C为圆心，CE
为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF、EF，则阴影部分的面积为（ ）
4π 4π 4π 4π
A．5❑√3- B．5❑√3+ C．3❑√3- D．3❑√3+
3 3 3 3
44．（2025•中卫校级二模）在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方
形EFGH拼成的大正方形ABCD，分别以点F，H为圆心，EF长为半径作弧，若AG＝5，DE＝3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π﹣2 B．2π﹣4 C．π﹣2 D．π﹣4
45．（2024秋•凉州区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，取AD的中点E，连接BE，
CE，以BE为半径，B为圆心画弧交BC于G；以CE为半径，C为圆心画弧交BC于F，则阴影部分面
积是（ ）．
3π
A．2π﹣4 B．π﹣4 C．π﹣2 D． -1
2
十三．旋转的性质
46．（2025春•开江县月考）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是AB的中点，点E是边BC所
在直线上的一动点，连接 DE，在 DE 的右侧作等边△DEF，连接 AF，则 AF 的最小值是
．
47．（2024秋•荣成市校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．将△ABC绕点A顺时针旋转m°得到
△ADE（∠CAB＜m°＜180°）．CE与AB交于点F，设∠ABC＝n°（30≤n≤45），当m、n满足（ ）
条件时，△BCF是等腰三角形．A．m＝2n B．n＝2m C．m+n＝180°或m＝2n D．n＝2m或m+n＝180°
48．（2025•淄博）如图，P是以正方形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径的弧BD上的点，连接AP，
CP，将线段CP绕点P顺时针旋转90°后得到线段PQ，连接AQ．若AB＝1，则△APQ的最大面积是（
）
1 2-❑√3 ❑√2-1 ❑√2+1
A． B． C． D．
4 2 2 4
