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专题 02 考点易错专训 （第 21-24 章）
一．一元二次方程的定义
1．（2025春•高青县期中）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．±❑√3
【答案】C
{|m-1|=2
【解答】解：由题意可知： ，
m-3≠0
解得：m＝﹣1，
故选：C．
2．（2025春•安庆期中）若关于x的方程(k-2)xk2-2+4x-3=0是一元二次方程，则k＝ ﹣ 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵关于x的方程(k-2)xk2-2+4x-3=0是一元二次方程，
∴k﹣2≠0且k2﹣2＝2，
解得k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
3．（2025春•合肥期中）若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝ 0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵方程（m﹣4）x|m﹣2|+3x+5＝0是一元二次方程，
{ m-4≠0
∴ ，
|m-2|=2
解得m＝0．
故答案为：0．
二．一元二次方程的解
4．（2025春•金安区校级期中）若m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，则代数式2020﹣2m2+8m的
值为（ ）
A．2016 B．2018 C．2022 D．2024
【答案】D
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，
∴m2﹣4m+2＝0，
∴m2﹣4m＝﹣2，∴2020﹣2m2+8m＝2020﹣2（m2﹣4m）＝2020+4＝2024．
故选：D．
5．（2025春•金安区校级期中）如果两个一元二次方程 x2+x+k＝0与x2+kx+1＝0有且只有一个根相同，那
么k的值是（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．1或﹣2
【答案】C
【解答】解：设它们相同的根为a，
由题意得：a2+a+k＝0①，a2+ak+1＝0②，
∴①﹣②得：a﹣ak+k﹣1＝0，
（1﹣k）a＝1﹣k，
∵a有且只有一个值，
∴1﹣k≠0，
∴a＝1，
把a＝1代入①得：1+1+k＝0，
解得：k＝﹣2，
故选：C．
6．（2025春•温州期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝m，则关于x的一元
二次方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）必有一根为（ ）
1 1
A．﹣m B． C．m D．-
m m
【答案】D
【解答】解：∵m是若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）的一个根，
∴am2+bm+c＝0，
1 1
∴a+ b + c＝0，
m m2
1 1
∴c（- ）2﹣（- ）b+a＝0，
m m
1
∴- 是方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）的一个根，
m
故选：D．
7．（2025春•莱州市期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，且a≠0）的解是x
1
=❑√5+1，x =❑√5-1，则方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0（a≠0）的解是（ ）
2A．x =❑√5+1，x =❑√5-1 B．x =❑√5-1，x =❑√5-3
1 2 1 2
C．x =❑√5+3，x =❑√5+1 D．该方程无解
1 2
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，且a≠0）的解是x =❑√5+1，x
1 2
=❑√5-1，
∴方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0（a≠0）中x﹣2=❑√5+1或x﹣2=❑√5-1
解得：x =❑√5+3，x =❑√5+1
1 2
故选：C．
三．根的判别式
8．（2025•驿城区模拟）若点（m，n）在第四象限，则关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0的根的情况是
（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法判定
【答案】B
【解答】解：方程x2﹣mx+n＝0的判别式Δ＝（﹣m）2﹣4n，
∵点P（m，n）在第四象限，
∴m＞0，n＜0，
∴（﹣m）2＞0，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4n＞0，
方程mx2+x+n＝0有两个不相等的实数根．
故选：B．
9．（2025春•肥东县校级期末）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0，下列说法：①若m﹣2n＝1，则方程
一定有两个不相等的实数根；②若m2﹣2n＜0，则方程没有实数根；③若n是方程x2+mx+n＝0的一个根，
1
则m+n＝﹣1；④若x＝t（t≠0）是方程x2+mx+n＝0的一个根，则x= 是方程nx2+mx+1＝0的一个根．
t
其中正确的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：①对于方程x2+mx+n＝0，∴Δ＝m2﹣4×1×n＝m2﹣4n，
若m﹣2n＝1，则m＝2n+1，
∴Δ＝m2﹣4n＝（2n+1）2﹣4n＝4n2+4n+1﹣4n＝4n2+1＞0，
∴方程x2+mx+n＝0一定有两个不相等的实数根；故①正确；
②由①可知，Δ＝m2﹣4n，
若m2﹣2n＜0，则m2＜2n，即2n＞m2≥0，则4n＞2n＞m2≥0，
∴Δ＝m2﹣4n＜0，
∴方程没有实数根；故②正确；
④若x＝t（t≠0）是方程x2+mx+n＝0的一个根，
∴t2+mt+n＝0，
∵t≠0，
1 1
∴t2+mt+n＝0两边同除以t2得，1+m⋅ +n⋅ =0，
t t2
1 2 1
即n( ) +m⋅ +1=0，
t t
1
∴x= 是方程nx2+mx+1＝0的一个根，故④正确；
t
③若n是方程x2+mx+n＝0的一个根，则n2﹣mn+n＝0，即n（n+m+1）＝0，
∴n＝0或n+m+1＝0，即n＝0或m+n＝﹣1，故③错误；
综上可知，①②④正确，共3个．
故选：C．
四．根与系数的关系
11．（2025秋•九龙坡区校级月考）设a，b为方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则a3+a2+3a+2023b的值
为（ ）
A．2024 B．﹣2024 C．2023 D．﹣2023
【答案】D
【解答】解：∵a，b为方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，
∴a2+a＝2020，a+b＝﹣1，
∴a3+a2+3a+2023b
＝（a2+a）a+3a+2023b
＝2020a+3a+2023b
＝2023（a+b）＝﹣2023，
故选：D．
1 1
12．（2025•山东校级二模）已知x 、x 是方程x2﹣6x﹣3＝0的两个实数根，则 + = （ ）
1 2 x x
1 2
1 1
A．﹣2 B．- C．2 D．
2 2
【答案】A
【解答】解：∵x 、x 是方程x2﹣6x﹣3＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝6，x x ＝﹣3，
1 2 1 2
1 1 x +x 6
∴ + = 1 2=- =-2，
x x x x 3
1 2 1 2
故选：A．
2024
13．（2024秋•宝应县期末）已知方程x2﹣2024x+1＝0的两根分别为m、n，则m2-
的值为（ ）
n
A．﹣2024 B．﹣1 C．1 D．2024
【答案】B
【解答】解：方程x2﹣2024x+1＝0的两根分别为m、n，
∴m2﹣2024m+1＝0，mn＝1，
1
∴m2＝2024m﹣1， =m，
n
2024
∴m2- =2024m-1-2024m=-1，
n
故选：B．
14．（2025•临沭县一模）已知x ，x 是一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0的两个不相等的实数根，且
1 2
x2+x2+x x -17=0，则m的值是（ ）
1 2 1 2
5 5 5
A． 或-3 B．﹣3 C． D．-
3 3 3
【答案】C
【解答】解：根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，
5
解得m＞- ，
4
根据根与系数的关系的x +x ＝﹣（2m+1），x x ＝m2﹣1，
1 2 1 2∵x2+x2+x x -17=0，
1 2 1 2
∴（x +x ）2﹣x x ﹣17＝0，
1 2 1 2
∴（2m+1）2﹣（m2﹣1）﹣17＝0，
5
整理得3m2+4m﹣15＝0，解得m = ，m ＝﹣3，
1 3 2
5
∵m＞- ，
4
5
∴m的值为 ．
3
故选：C．
15．（2024秋•海港区期末）已知x ，x 是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式x3-2024x +x2的
1 2 1 1 2
值为（ ）
A．4049 B．4048 C．2024 D．1
【答案】A
【解答】解：∵x ，x 是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，
1 2
∴x2-2024=x
，x x ＝﹣2024，x +x ＝1，
1 1 1 2 1 2
x3-2024x +x2=x (x2-2024)+x2=x2+x2=(x +x ) 2-2x x =1-2×(-2024)=4049，
1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2
故选：A．
五．一元二次方程的应用
16．（2025•济宁校级三模）某商店经销一种销售成本为 20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可
售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．
当该商品的售价定为（ ）元/个时，月利润为9600元
A．32 B．28 C．32或36 D．32或28
【答案】D
【解答】解：设销售价应定为每件x元，根据题意根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；
每降价1元，则每月多售出100个可得：
（x﹣20）[1000﹣100（x﹣30）]＝9600，
整理得x2﹣60x+896＝0，
（x﹣32）（x﹣28）＝0，x＝32或x＝28，
答：该商品的售价定为32或28元/个时，月利润为9600元．
故选：D．
17．（2025秋•宝安区校级月考）在欧几里得的《几何原本》中提到，形如 x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方
a a
程的图解法是：如图，以 和b为直角边作Rt ABC，再在斜边上截取CD= ，则AD的长为所求方程
2 2
△
的正根．若关于x的一元二次方程x2+mx＝225，CD：AD＝8：9，那么m的值为（ ）
A．10 B．16 C．18 D．20
【答案】B
1
【解答】解：由题意得可知，BC＝CD= m，AB=❑√225=15，
2
设CD＝CB＝8y，则AD＝9y，
∴AC＝CD+AD＝17y，
在Rt ABC中，由勾股定理得：BC2+AB2＝AC2，
即（8△y）2+152＝（17y）2，
整理得：y2＝1，
解得：y ＝1，y ＝﹣1（不符合题意，舍去），
1 2
∴CD＝8y＝8，
1
∴ m＝8，
2
解得：m＝16，
即m的值为16，
故选：B．
18．（2025秋•锦江区校级月考）为迎接师一学校第二十六届运动会，某同学设计了一款纪念版吉祥物．
某商店该吉祥物的售价为64元/个，为了促销，商店决定进行两次降价调整，最终售价为 49元/个，每
天能售出50个．
（1）求该吉祥物两次降价的平均百分率；
（2）若该吉祥物每个的成本价为20元，临近运动会，为了减少库存，决定再次进行降价销售，经调查发现，每降价2元，每天可多售20件，若每天利润为2730元，则每件降价多少元？
【答案】（1）该吉祥物两次降价的平均百分率为12.5%；
（2）每个降价16元．
【解答】解：（1）设每次降价的百分率为x，
由题意列一元二次方程得：64（1﹣x）2＝49，
整理得，64x2﹣128x﹣15＝0，
解得：x ＝0.125＝12.5%，x ＝1.875（不合题意，舍去），
1 2
答：该吉祥物两次降价的平均百分率为12.5%；
（2）设每个商品应降价y元，
由题意列一元二次方程得：
20
(49- y-20)(50+ y)=2730，
2
解得y ＝8，y ＝16，
1 2
为了减少库存，应取y＝16，
答：每个降价16元．
六．配方法的应用（共5小题）
19．（2025 春•东台市期中）已知实数 m，n 满足 m﹣n2＝2，则代数式 m2+2n2+4m﹣3 的最小值等于
（ ）
A．9 B．6 C．﹣8 D．﹣16
【答案】A
【解答】解：∵m﹣n2＝2，
∴n2＝m﹣2≥0，m≥2，
∴m2+2n2+4m﹣3
＝m2+2m﹣4+4m﹣3
＝m2+6m+9﹣16
＝（m+3）2﹣16，
则代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值等于（2+3）2﹣16＝9．
故选：A．
20．（2025春•滨湖区期中）已知x2﹣2xy+2y2﹣6y+9＝0，求xy的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．27
【答案】D
【解答】解：由题意，∵x2﹣2xy+2y2﹣6y+9＝0，∴x2﹣2xy+y2+y2﹣6y+9＝0．
∴（x﹣y）2+（y﹣3）2＝0．
∴x﹣y＝0，y﹣3＝0．
∴x＝y＝3．
∴xy＝33＝27．
故选：D．
21．（2025春•碑林区校级期中）已知x＝4a2+4ab+14，y＝b2﹣6b﹣12a，则x+y的最小值是（ ）
A．14 B．5 C．9 D．不存在
【答案】B
【解答】解：根据题意得：x+y＝4a2+4ab+14+b2﹣6b﹣12a
＝（4a2+4ab+b2）﹣6（b+2a）+14
＝[（2a+b）2﹣6（b+2a）+9]+5
＝（2a+b﹣3）2+5．
∵（2a+b﹣3）2≥0，
∴x+y的最小值是5．
故选：B．
22．（2025春•大丰区期中）设M＝4a2﹣4a+3，N＝3a2﹣1，其中a为实数，则M与N的大小关系是（
）
A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＝N
【答案】A
【解答】解：∵M﹣N＝4a2﹣4a+3﹣（3a2﹣1）
＝a2﹣4a+4
＝（a﹣2）2≥0，
∴M≥N，
故选：A．
23．（2024春•广陵区期中）若M＝2x2+x，N＝x2﹣3x﹣2，则M与N的大小关系为（ ）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定
【答案】D
【解答】解：由题意，作差：M﹣N＝（2x2+x）﹣（x2﹣3x﹣2）
＝x2+4x+2
＝（x+2）2﹣2．令M﹣N＝0，
∴（x+2）2﹣2＝0．
∴x＝﹣2±❑√2．
考查函数y＝（x+2）2﹣2，
∵a＝1＞0，
∴当x＜2-❑√2或x＞2+❑√2时，y＞0；
当x＝﹣2±❑√2时，y＝0；
当2-❑√2＜x＜2+❑√2时，y＜0．
∴当x＜2-❑√2或x＞2+❑√2时，M＞N；
当x＝﹣2±❑√2时，M＝N；
当2-❑√2＜x＜2+❑√2时，M＜N．
故选：D．
七．二次函数图象与系数的关系
24．（2025•谷城县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论，正确的有（ ）
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③b2﹣4ac＞0；
④a﹣b+c＞0．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解答】解：①根据抛物线的对称轴位于y轴右侧知：a、b异号，则ab＜0．
由抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．
所以abc＜0．
故该结论错误；
b
②由该抛物线的对称轴是直线x＝1知，x=- =1，则2a+b＝0．
2a
故该结论正确；③由该抛物线与x轴有两个交点知：Δ＝b2﹣4ac＞0．
故该结论正确；
④根据图示知：当x＝﹣1时，y＞0，则a﹣b+c＞0．
故该结论正确；
综上所述，正确的结论有3个．
故选：B．
25．（2024秋•枣阳市期末）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所
示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤当x＜﹣1时，
y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
b
∵- =1，
2a
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①正确，符合题意；
②由题意可得：b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②符合题意；
③当x＝0和x＝2时函数值相等，都小于0，
∴y＝4a+2b+c＜0，故③不符合题意；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，∴3a+c＞0，故④符合题意；
⑤由图象可知，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑤符合题意．
故选：C．
26．（2024秋•郸城县期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的图象关于直线x
＝1对称，则下列四个结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③5a+b+c＞0；④若k≠1，则a（k2﹣1）+b（k﹣
1）＞0．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
b
【解答】解：由图象可知，抛物线的开口向上，对称轴为直线x=- =1，与y轴交于负半轴，
2a
∴a＞0，b＝﹣2a＜0，c＜0，
∴2a+b＝0，abc＞0，故①②正确；
由图象可知：当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，
∴a+b﹣2b+c＞0，
∵b＝﹣2a，
∴a+b﹣2b+c＝a+b+4a+c＝5a+b+c＞0；故③正确；
∵抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，函数值最小为a+b+c，
当x＝k（k≠1）时，y＝ak2+bk+c＞a+b+c，
∴ak2﹣a+bk﹣b＞0，
∴a（k2﹣1）+b（k﹣1）＞0；故④正确；
故选：D．
27．（2025秋•朝阳区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列结论：①abc＞
0；②b2≥4ac；③9a+3b+c＞0；④2a+b＝0；⑤3a+c＜0．正确的结论是 ①④⑤ （填序号）．【答案】①④⑤．
【解答】解：由于抛物线的开口向上，则a＞0，由于抛物线的对称轴在y轴右边，则a、b异号，所以
b＜0，由于抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，则c＜0，故abc＞0，故①正确；
由于抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，所以b2＞4ac，故②错误；
当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故③错误；
b
因为对称轴为x=- =1，则b＝﹣2a，所以2a+b＝0，故④正确；
2a
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，则a+2a+c＜0，即3a+c＜0，故⑤正确；
故答案为：①④⑤．
八．二次函数图象上点的坐标特征（共5小题）
28．（2025•晋中二模）若点A（﹣1，y ），B（2，y ），C（3，y ）都在二次函数y＝x2﹣4x﹣n的图象上，
1 3 3
则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 3 2 1 3 1 2 2 3 1
【答案】D
【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣n，
-4
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=- =2，
2×1
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵|﹣1﹣2|＞|3﹣2|＞|2﹣2|，
∴y ＜y ＜y ；
2 3 1
故选：D．
5
29．（2024秋•勉县校级期末）抛物线y＝2（x﹣1）2+c过（﹣2，y ），（0，y ），（ ，y ）三点，则
1 2 2 3
y ，y ，y 大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
2 3 1 1 2 3 2 1 3 1 3 2
【答案】D【解答】解：抛物线y＝2（x﹣1）2+c的开口向上，对称轴是直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而减
小，
5
∵点（﹣2，y ）、（0，y ）、（ ，y ）是抛物线y＝2（x﹣1）2+c上的三点，
1 2 2 3
5 1
∴点（ ，y ）关于对称轴x＝1的对称点是（- ，y ），
2 3 2 3
1
∵﹣2＜- ＜0，
2
∴y ＞y ＞y ，
1 3 2
故选：D．
30．（2024秋•莱阳市期末）设函数y =-(x-m) 2，y =-(x-n) 2，直线x＝1与函数y ，y 的图象分别交
1 2 1 2
于点A（1，a ），B（1，a ），得（ ）
1 2
A．若1＜m＜n，则a ＜a B．若m＜n＜1，则a ＜a
1 2 1 2
C．若m＜1＜n，则a ＜a D．若m＜n＜1，则a ＜a
1 2 2 1
【答案】B
【解答】解：如图所示，若1＜m＜n，则a ＞a ，
1 2
故A不符合题意；
如图所示，若m＜1＜n，则a ＞a 或a ＜a ，
1 2 1 2故C不符合题意；
如图所示，若m＜n＜1，则a ＜a ，
1 2
B符合题意，D不符合题意；
故选：B．
31．（2025•广州校级模拟）已知点A（x ，y ），B（x ，y ）是二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上任意两点，
1 1 2 2
设x ﹣x ＝t，若当﹣2＜x ＜2且﹣1＜b＜4时，都有y ＞y ，则t的取值范围是（ ）
2 1 1 2 1
A．t＜﹣4或t＞7 B．t＜﹣5或t＞8
C．t＜﹣5或t＞7 D．﹣t＜﹣4或t＞8
【答案】B
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣bx+c，
-b b
∴图象开口向上，对称轴为直线x=- = ，
2×1 2
∵﹣1＜b＜4，1 b
∴- ＜ ＜2，
2 2
∵x ﹣x ＝t，﹣2＜x ＜2，
2 1 1
∴t﹣2＜x ＜t+2，
2
∴t﹣4＜x +x ＜t+4，
1 2
∵点A（x ，y ），B（x ，y ）是二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上任意两点，设x ﹣x ＝t，若当﹣2＜x
1 1 2 2 2 1 1
＜2且﹣1＜b＜4时，都有y ＞y ，
2 1
x +x
∴当t＞0时，x ＞x ，点A（x ，y ），B（x ，y ）的中点在对称轴的右侧，则 1 2＞2，即x +x ＞
2 1 1 1 2 2 1 2
2
4，
∴t﹣4＞4，
∴t＞8，
x +x 1
当t＜0时，x ＜x ，点A（x ，y ），B（x ，y ）的中点在对称轴的左侧，则 1 2＜- ，即x +x ＜
2 1 1 1 2 2 1 2
2 2
﹣1，
∴t+4＜﹣1，
∴t＜﹣5，
综上，t的取值范围是t＜﹣5或t＞8，
故选：B．
32．（2025•费县二模）已知二次函数y＝﹣mx2+2（m+1）x+3的图象上有四个点：A（a，p），B（b，
p），C（c，q），D（d，q），其中p＜q，下列结论一定不正确的是（ ）
A．若m＞1，则a+b+c+d＞0 B．若m＞1，则d＜a＜b＜c
C．若m＜﹣1，则a+b+c+d＞0 D．若m＜﹣1，则c＜b＜a＜d
【答案】D
2(m+1) m+1
【解答】解：由解析式可知抛物线对称轴为直线x=- = ，
-2m m
当m＞1时，则﹣m＜0，
∴函数的图象开口向下，
m+1
∴ ＞0，
m
此时对称轴在x轴的正半轴，抛物线的开口方向向下，
∴越靠近对称轴的x所对应的函数值越大，
∵A（a，p），B（b，p），C（c，q），D（d，q），∴点A与点B关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称，
a+b c+d
∴ ＞0， ＞0，
2 2
a+b c+d
∴ + ＞0，
2 2
即a+b+c+d＞0，故A选项不符合题意；
由条件可知d＜a＜b＜c或d＜b＜a＜c或c＜b＜a＜d或c＜a＜b＜d，
故B选项不符合题意；
当m＜﹣1时，则0＞m+1，
m+1
∴ ＞0，
m
此时对称轴在x轴的正半轴，抛物线的开口方向向上，
∴越靠近对称轴的x所对应的函数值越小，
由条件可知点A与点B关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称，
a+b c+d
∴ ＞0， ＞0，
2 2
a+b c+d
∴ + ＞0，
2 2
即a+b+c+d＞0，故C选项不符合题意；
∵p＜q，越靠近对称轴的x所对应的函数值越小，
∴a＜d＜c＜b或a＜c＜d＜b或b＜c＜d＜a或b＜d＜c＜a，
故D选项符合题意；
故选：D．
九．二次函数的最值
33．（2024秋•纳溪区期末）已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（﹣3，0），当﹣3≤x≤0时，y的最
小值为﹣4，则m的值为（ ）
5
A．﹣2或10 B．10或2 C．2 D．
3
【答案】C
【解答】解：∵二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（﹣3，0），
代入，得0＝9﹣3m+n，即3m﹣9＝n，
b m
二次函数对称轴为直线x=- =- ，
2a 2
然后分情况讨论：m
①对称轴为直线x=- ≤-3，即m≥6，
2
此时在﹣3≤x≤0上，y随x的增大而增大，
∴当x＝﹣3时，y有最小值0，不符合题意，舍去；
m m
②对称轴为直线x=- 满足﹣3＜- ＜0时，即0＜m＜6，
2 2
此时二次函数的顶点在﹣3≤x≤0范围内，顶点的纵坐标为最小值﹣4，
4ac-b2
二次函数顶点纵坐标公式为y= ，将a＝1，b＝m，c＝3m﹣9代入，
4a
可得（m﹣2）（m﹣10）＝0，
解得m ＝ 2或m ＝ 10，
∵0＜m＜6，
∴m ＝ 2；
m
③对称轴为直线x=- ≥0，即m≤0，
2
此时在﹣3≤x≤0上y随x的增大而减小，
∴当x＝0时，y有最小值3m﹣9，
5
令3m﹣9＝4，解得m= ，不符合题意，舍去；
3
故答案为m＝2，
故选：C．
34．（2024秋•昭通期末）当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2+4x+2的最小值为﹣1，则实数a的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．﹣5或﹣1 D．﹣3或﹣1
【答案】C
【解答】解：当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2+4x+2的最小值为﹣1，
当y＝﹣1时，有x2+4x+2＝﹣1，
∴x ＝﹣1，x ＝﹣3．
1 2
∵y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣2），
当x＜﹣2时，y随x的增大而减少，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，
∵当a≤x≤a+2时，函数有最小值﹣1，
若﹣2＜a≤x≤a+2时，当x＝a时，y的最小值是﹣1，
∴a＝﹣1；若a≤x≤a+2＜﹣2时，当x＝a+2时，y的最小值是﹣1，
∴a+2＝﹣3，
a＝﹣5，
故选：C．
35．（2025•连州市三模）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（
）
5 5 5
A．5 B．﹣5或 C．5或- D．﹣5或-
8 8 8
【答案】C
【解答】解：二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣4，
解得：m＝5；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，
∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣4，
5
解得：m=- ；
8
故选：C．
36．（2025•新城区三模）已知二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+2的范围内的最大值为4，则实数t的值为
（ ）
A．﹣1或5 B．﹣3或5 C．﹣1或7 D．﹣3或7
【答案】B
【解答】解：∵将二次函数解析式化为顶点式可得：y＝﹣x2+4x+9＝﹣（x﹣2）2+13，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，13），为最高点，
①当x≤2时，抛物线随x的增大而增大，
∴当x＝t+2≤2，即t≤0，函数有最大值4，
∴﹣（t+2）2+4（t+2）+9＝4，
∴t＝±3，
∵t≤0，
∴t＝﹣3；②当x≥2时，抛物线随x的增大而减小，
∴当x＝t≥2时，即函数有最大值4，
∴﹣t2+4t+9＝4，
∴t＝5，t＝﹣1，
∵t≥2，
∴t＝5；
故选：B．
十．抛物线与x轴的交点
37．（2025•威海一模）如图，抛物线y＝﹣x2+px+m与x轴交点的横坐标为x ，x （x ＜x ），抛物线y＝
1 2 1 2
﹣x2+px+n与x轴交点的横坐标为x ，x （x ＜x ）．已知0＜m＜n，则下列结论正确的是（ ）
3 4 3 4
A．x ＜x ＜x ＜x B．x ＜x ＜x ＜x
3 4 1 2 3 1 2 4
C．x ＜x ＜x ＜x D．x ＜x ＜x ＜x
1 2 3 4 1 3 4 2
【答案】B
【解答】解：由题意可知，抛物线y＝﹣x2+px+m与x轴的交点坐标为（x ，0），（x ，0），抛物线y
1 2
＝﹣x2+px+m与直线y＝m﹣n的交点坐标为（x ，m﹣n），（x ，m﹣n），
3 4
∵0＜m＜n，
∴m﹣n＜0，
∴直线y＝m﹣n与y轴交于负半轴，
如图所示，
观察图象可知，x ＜x ＜x ＜x ，
3 1 2 4故选：B．
38．（2024秋•江阳区校级期末）已知抛物线y＝ax2﹣5ax+4a（a≠0）不经过第二象限，与x轴交于A，B
两点，其顶点C．这条抛物线关于x轴对称的抛物线顶点为C′，若四边形ACBC′是正方形，则a的值为
（ ）
3 2 3 2 2
A．- B．- C． D． 或-
2 3 2 3 3
【答案】B
5 2 9
【解答】解：∵y=ax2-5ax+4a=a(x- ) - a，
2 4
5 9
∴抛物线的顶点坐标为：( ，- a)，
2 4
∵抛物线y＝ax2﹣5ax+4a不经过第二象限，与x轴交于A，B两点，其顶点为C，
∴a＜0，顶点在x轴上方，
9 9
∴CC'=2×(- a)=- a，
4 2
把y＝0代入y＝ax2﹣5ax+4a可得：ax2﹣5ax+4a＝0，
解得x ＝1，x ＝4，
1 2
∴AB＝4﹣1＝3，
∵四边形ACBC′是正方形，
∴AB＝CC′，
9
∴- a=3，
2
2
∴a=- ，
3
故选：B．
39．（2025秋•海安市月考）已知抛物线y＝（x﹣x ）（x﹣x ）+1（x ＜x ），抛物线与x轴交于（m，
1 2 1 2
0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x ，x 的大小关系是（ ）
1 2
A．m＜x ＜x ＜n B．m＜x ＜x ＜﹣n
1 2 1 2
C．m＜x ＜n＜x D．x ＜m＜x ＜n
1 2 1 2
【答案】A
【解答】解：抛物线y＝（x﹣x ）（x﹣x ）+1（x ＜x ），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点，
1 2 1 2
设y′＝（x﹣x ）（x﹣x ），则x 、x 是函数y′和x轴的交点的横坐标，
1 2 1 2
而y＝（x﹣x ）（x﹣x ）+1＝y′+1，
1 2即函数y′向上平移1个单位得到函数y，
∴m＜x ＜x ＜n，
1 2
故选：A．
十一．垂径定理
40．（2025秋•秦淮区校级月考）在Rt ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，D、E分别是AC、BC上的
一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆△与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ）
9 6 8 12
A． B． C． D．
10 5 5 5
【答案】D
【解答】解：如图，设DE的中点为O，连接CO并延长交AB于点F，连接ON，
∵DE为直径，且DE＝3，
1 3
∴OC＝ON= DE= ，
2 2
当CF⊥AB时，CF最小，则弦心距OF最小，此时弦MN的值最大，
在Rt ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，
△
∴AC=❑√AB2-BC2=❑√52-32=4，
1 1 BC⋅AC 3×4 12
由S = AB⋅CF= BC⋅AC，得CF= = = ，
△ABC 2 2 AB 5 59
∴OF＝CF﹣OC= ，
10
√ 3 2 9 6
∴NF=❑√ON2-OF2=❑( ) -( ) 2= ，
2 10 5
∵CF⊥AB，
12
∴MN=2NF= ，
5
故选：D．
41．（2025•池州开学）如图，在平面直角坐标系中，以点 G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于
A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于点F，则点E在⊙G上运动过程
中，线段FG的长的最小值为（ ）
A．❑√5-2 B．❑√3-1 C．❑√5+2 D．❑√3+1
【答案】B
【解答】解：如图，连接AC，过点G作GM⊥AC于点M，连接AG．∵GO⊥AB，
∴OA＝OB．
在Rt AGO中，AG＝2OG，OA=❑√22-12=❑√3，
△
∴∠GAO＝30°，AB=2AO=2❑√3，∠AGO＝60°．
由条件可知∠GCA＝∠GAC．∠GCA＝∠GAC＝30°，
1
∴AC=2AO=2❑√3，MG= CG=1．
2
∵CF⊥AE，
∴∠AFC＝90°，
点F在以AC为直径的⊙M上运动，
∴FM=❑√3．
当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值为FM-MG=❑√3-1．
故选：B．
十二．扇形面积的计算（共4小题）
42．（2025•威海一模）如图1是山西平遥推光漆器，图2是选取该漆器上的部分图案并且放大后的示意图，
四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形
内画弧，四条弧相交于点O．则图中阴影部分的面积为（ ）
1
A．2π﹣4 B．π﹣2 C．2π D． π
4【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴正方形的对角线的长为2❑√2，
∴半径的长为❑√2，
∵阴影部分面积＝圆的面积﹣正方形的面积，
∴阴影部分面积=π(❑√2) 2-22=2π-4，
故选：A．
43．（2025•淮南模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，点E是BC的中点，以C为圆心，CE
为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF、EF，则阴影部分的面积为（ ）
4π 4π 4π 4π
A．5❑√3- B．5❑√3+ C．3❑√3- D．3❑√3+
3 3 3 3
【答案】A
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC＝4．
又∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．
∵点E是BC的中点，
∴AE⊥BC．
1
∵BE= BC=2，
2∴AE=❑√3BE=2❑√3，
1
∴S = ×2×2❑√3=2❑√3，
△AEC 2
同理可得，S =2❑√3，
△AFC
∴S =2❑√3+2❑√3=4❑√3．
四边形AECF
120⋅π⋅22 4 1
∵S = = π，S = ×2❑√3×1=❑√3，
扇形CEF 360 3 △CEF 2
4
∴中间空白部分两边形的面积为 π-❑√3，
3
4 4
∴阴影部分的面积为4❑√3-( π-❑√3)=5❑√3- π．
3 3
故选：A．
44．（2025•中卫校级二模）在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方
形EFGH拼成的大正方形ABCD，分别以点F，H为圆心，EF长为半径作弧，若AG＝5，DE＝3，则图
中阴影部分的面积为（ ）
A．2π﹣2 B．2π﹣4 C．π﹣2 D．π﹣4
【答案】B
【解答】解：由题意可知AG＝BH＝CE＝DF＝5，DE＝AF＝BG＝CH＝3，
∴EF＝FG＝GH＝HE＝2，
∴S阴影部分 ＝S扇形FEG +S扇形HEG ﹣S正方形EFGH
90π×22 90π×22
= + -22
360 360
＝2π﹣4
故选：B．
45．（2024秋•凉州区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，取AD的中点E，连接BE，
CE，以BE为半径，B为圆心画弧交BC于G；以CE为半径，C为圆心画弧交BC于F，则阴影部分面
积是（ ）．3π
A．2π﹣4 B．π﹣4 C．π﹣2 D． -1
2
【答案】A
【解答】解：由条件可知ED＝AE＝2，AD∥BC，∠BAE＝90°，
∴AB＝AE＝2，∠GBE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴∠GBE＝∠AEB＝45°，
∴BE=❑√AB2+AE2=2❑√2，
45π×(2❑√2) 2 1
∴图中阴影部分的面积=2S -S =2× - ×4×2=2π-4，
扇形BEG △BEC 360 2
故选：A．
十三．旋转的性质
46．（2025春•开江县月考）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是AB的中点，点E是边BC所
在直线上的一动点，连接DE，在DE的右侧作等边△DEF，连接AF，则AF的最小值是 ❑√3 ．
【答案】❑√3．
【解答】解：如图，过点D作DM⊥BC于点M，过点F作FN⊥AB于点N，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵DM⊥BC，∴∠BDM＝30°，
∵AB＝4，D为AB中点，
1
∴BD= AB=2，
2
1
∴BM= BD=1，
2
∴DM=❑√BD2-BM2=❑√3，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠EDF＝60°，DE＝DF，
①当点N在点D下方时，有两种情况，作图如下：
∵∠BDM＝30°，∠EDF＝60°，
∴∠EDF+∠BDM＝∠EDM+∠NDF＝90°，
∵DM⊥BC，
∴∠EDM+∠MED＝90°，
∴∠NDF＝∠MED，
在△DNF与△EMD中，
{∠DNF=∠EMD=90°
∠NDF=∠MED ，
DE=DF
∴△DNF≌△EMD（AAS）；
∴FN=DM=❑√3，
∴此时，点F在直线AB的右侧，且与AB距离为❑√3的直线上，这条直线与AB平行；据上述原理，上图情况，可得△DNF≌△EMD（AAS），
∴FN=DM=❑√3，
∴此时，点F在直线AB的右侧，且与AB距离为❑√3的直线上，这条直线与AB平行；
②当点N在点D上方时，作图如下：
∵∠BDM＝30°，∠EDF＝60°，
∴∠EDF+∠BDM＝90°，
∴∠EDM+∠NDF＝180°﹣（∠EDF+∠BDM）＝90°，
∵DM⊥BC，
∴∠EDM+∠MED＝90°，
∴∠NDF＝∠MED，
∵∠DNF＝∠EMD＝90°，∠NDF＝∠MED，DE＝DF，
∴△DNF≌△EMD（AAS），
∴FN=DM=❑√3，
∴此时，点F在直线AB的右侧，且与AB距离为❑√3的直线上，这条直线与AB平行；
③当点D与点N重合时，作图如下：由图可知：FN=DM=❑√3，
∴此时，点F在直线AB的右侧，且与AB距离为❑√3的直线上，这条直线与AB平行；
故答案为：❑√3．
47．（2024秋•荣成市校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．将△ABC绕点A顺时针旋转m°得到
△ADE（∠CAB＜m°＜180°）．CE与AB交于点F，设∠ABC＝n°（30≤n≤45），当m、n满足（ ）
条件时，△BCF是等腰三角形．
A．m＝2n B．n＝2m
C．m+n＝180°或m＝2n D．n＝2m或m+n＝180°
【答案】C
【解答】解：连接BD，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转m°得到△ADE，
∴∠DAB＝∠EAC＝m°，AC＝AE，AD＝AB，
1 1
∴∠AEC=∠ACE= (180°-m°)=90°- m°，
2 2
1 1
∠ADB=∠ABD= (180°-m°)=90°- m°，
2 2当BF＝BC时，
1 1
则∠BCF=∠BFC= (180°-n°)=90°- n°，
2 2
∵∠ACB＝∠ACE+∠BCF，
1 1
∴90°- n°+90°- m°=90°，
2 2
∴m+n＝180；
当BC＝CF时，点F在BA的延长线上，不符合题意；
当BF＝CF时，
则∠ABC＝∠BCF＝n°，
∵∠ACB＝∠ACE+∠BCF，
1
∴n°+90°- m°=90°，
2
∴m＝2n；
综上分析可知，当m＝2n或m+n＝180°时，△BCF是等腰三角形．
故选：C．
48．（2025•淄博）如图，P是以正方形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径的弧BD上的点，连接AP，
CP，将线段CP绕点P顺时针旋转90°后得到线段PQ，连接AQ．若AB＝1，则△APQ的最大面积是（
）
1 2-❑√3 ❑√2-1 ❑√2+1
A． B． C． D．
4 2 2 4【答案】C
【解答】解：如图，过点Q作QE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP交延长线于点F，连接AC交弧于点
P ，
1
则∠QEP＝∠CFP＝90°，
又∵∠QPC＝90°，
∴∠EQP+∠EPQ＝∠FPC+∠EPQ＝90°，
∴∠EQP＝∠FPC，
由旋转得PC＝PQ，
∴△QPE≌△PCF（AAS），
∴EQ＝PF，
∵PF≤PC，
∴EQ≤PC，
∴AP+PF≤AP+PC≤AC，
即当点P在P 时，EQ的值最大为CP 长，
1 1
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AP ＝CD＝AB＝1，
1
∴AC=❑√AD2+DC2=❑√2，
∴EQ的值最大为CP =❑√2-1，
1
1 ❑√2-1
∴△APQ的最大面积是 ×1×(❑√2-1)= ，
2 2
故选：C．
