文档内容
专题 06 正多边形与圆重难点题型专训
（1个知识点+8大题型+3拓展训练+自我检测）
题型一 求正多边形的中心角
题型二 求正多边形的边数
题型三 根据正多边形与圆的关系求角度
题型四 根据正多边形与圆的关系求周长
题型五 根据正多边形与圆的关系求面积
题型六 根据正多边形与圆的关系求边心距
题型七 尺规作图—正多边形
题型八 正多边形与圆中的最值
拓展训练一 正多边形与圆中的规律性问题
拓展训练二 多边形与圆中的证明
拓展训练三 正多边形与圆的综合
知识点一、正多边形与圆
（一）正多边形及有关概念
（1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。
（2）正多边形的画法：把圆 等分（ ），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，
这个圆就是这个正多边形的外接圆。
（3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。
（4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。
中心角 半径R
α
（5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。
O
边心距
（6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。
中心 r
（二）正多边形的有关计算
（1）正 边形的每个内角都等于
（2）正 边形的每个中心角都等于
（3）正 边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所
示，设正 边形的半径为 一边 ，边心距 ，则有 正
边形
的周长 面积
O
M
A B
【即时训练】
1．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，正五边形 内接于 ，连接 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查正多边形与圆、正五边形的性质、正多边形的中心角等知识．根据多边形的内角和可以
求得 ，根据周角等于 ，可以求得 的度数，然后即可计算出
的度数．
【详解】解：∵五边形 是正五边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴
，
故选：D．2．（24-25九年级上·广西防城港·期末）苯（分子式为 ）环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正
六边形．如图所示，已知点O为正六边形 的中心，则其中心角的度数为 ．
【答案】 /60度
【分析】本题考查了正多边形和圆，圆心角，正多边形各边所对的中心角相等．
根据正多边形各边所对中心角相等计算即可．
【详解】解：∵正六边形各边所对中心角相等，
∴其中心角的度数为 ，
故答案为： ．
【经典例题一 求正多边形的中心角】
【例1】（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）正六边形的中心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形的中心角，注意准确掌握定义是关键．
据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角．
【详解】解：正六边形的中心角的度数是 ，
故选：C．
1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，五边形 是 的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查求正多边形的中心角的度数，根据中心角的计算公式进行计算即可．
【详解】解： ；
故选D．
2．（2025·湖南·模拟预测）俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年
是一个丰收之年．如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是 ．
【答案】 / 度
【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．根据正 多边形中心
角公式是 即可解题．
【详解】解：正六边形的中心角等于 ；
故答案为： ．
3．（2025·四川广元·模拟预测）如图，将三个正六边形按如图方式摆放，若小正六边形的面积是12，则大
正六边形的面积是 ．
【答案】108【分析】题目主要考查正多边形的性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．由正六边形的性质，可
知图中每个三角形都为等边三角形且全等，再确定每个小正三角形得面积，即可得出结果．
【详解】解：如图连线：
∵多边形为正六边形，
∴图中每个三角形都为等边三角形且全等，
∵小正六边形的面积是12，
∴每个三角形的面积为 ，
由图得共有54个等边小三角形，
故大正六边形的面积是 ，
故答案为： ．
4．（24-25九年级上·江西上饶·期末）如图，六边形 为正六边形，点O为对角线的交点，
的面积等于1，请仅用无刻度直尺按下列要求作图(保留作图痕迹)．
(1)在图1中作出一个面积等于4的矩形；
(2)在图2中作出一个面积等于4 的菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接 、 ，由正六边形的性质可得 、 、 、 、 、
是全等的等边三角形，四边形 、 是全等的菱形，得 ，，进而求解即可；
（2）如图，延长 、 交于点G，连接 并延长交 于点N，交 于点M，根据正六边形的性质
和菱形的判定可得四边形 是菱形，从而可证四边形 是菱形，设 ，则
，可得 ，求得 ，利用菱形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图，连接 、 ，
∵六边形 为正六边形，
∴ 、 、 、 、 、 是全等的等边三角形，
∴ ，四边形 、 是全等的菱形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形， ；
（2）解：如图，延长 、 交于点G，连接 并延长交 于点N，交 于点M，
∵六边形 为正六边形，
∴ 、 、 、 、 、 是全等的等边三角形，
∵ ，
∴四边形 是菱形，
∴ 垂直平分 ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即四边形 是面积为4的菱形．
【点睛】本题考查无刻度直尺作图、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与
性质及正六边形的性质、矩形的判定定理、勾股定理，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
【经典例题二 求正多边形的边数】
【例2】（24-25九年级上·全国·期末）若一个圆的内接正多边形的中心角为 ，则该正多边形的边数是
（ ）
A．14 B．18 C．16 D．20
【答案】D【分析】本题主要考查正多边形和圆的有关知识．根据正多边形的中心角为 计算即可．
【详解】解：∵内接正多边形的中心角为 ，且 ，
∴该正多边形的边数是20．
故选：D．
1．（2025·山东聊城·模拟预测）如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，若
，则该正多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．11
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理．连接 ，根据圆周角定理得到 ，于是得到结
论．
【详解】解：如图，连接 ，
，
，
该正多边形的边数为 ，
故选C．
2．（24-25九年级上·山西·期末）如果一个正多边形的中心角是 ，那么这个正多边形的边数为 ．【答案】9
【分析】本题考查正多边形的中心角，根据正多边形的中心角的度数等于360度除以边数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，正多边形的边数为： ．
故答案为：9．
3．（24-25九年级上·山东·期末）如图， 是 的内接正n边形的一边，点C在 上， ，
则 ．
【答案】12
【分析】本题考查圆周角定理，正多边形与圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，再根据正多边形的中
心角度数的计算公式 进行求解即可．
【详解】解：∵ 是 的内接正n边形的一边，点C在 上， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：12．
4．（2025·江西九江·模拟预测）如图正六边形 ，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图
（保留作图痕迹）．
(1)请在图（1）中对角线 上作一点 ，使得 ；
(2)请在图（2）中 边上作一点 ，使得 ．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）连接 交于点 即为所求；利用正六边形的性质及含30度角的直角三角形的性质证
明即可；
（2）连接 交BC于点 即为所求，连接 交 于点H，利用相似三角形的判定和性质证明即可．
【详解】（1）解：如图，连接 交于点 即为所求；
∵正六边形 ，
∴四边形 与四边形 关于 成轴对称，
∴ ， ， ，
∵正六边形每个内角的度数为： ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，连接 交BC于点 即为所求．证明如下：
连接 交 于点H，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
∴ ，
∵正六边形 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】题目主要考查正多边形的性质及相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，理
解题意，作出相应图形是解题关键．
【经典例题三 根据正多边形与圆的关系求角度】
【例3】（2025·广东·模拟预测）如图，正五边形 内接于 ，点 是弧 上的动点，则 的
度数为（ ）
A． B． C． D．随着点F的变化而变化
【答案】C
【分析】本题考查了多边形内角和，圆内接四边形，掌握圆内接四边形对角互补是解题关键．先求出正五
边形 的内角度数，再利用圆内接四边形的性质求解即可．
【详解】解： 正五边形 内接于 ，
，
点 是弧 上的动点，
四边形 内接于 ，
，
，
故选：C．1．（24-25九年级上·山东德州·期中）如图， 、 分别是某圆内接正六边形、正五边形的一边，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理的应用，如图，记外接圆的圆心为 ，连接 ， ，
，求解 ， ，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，记外接圆的圆心为 ，连接 ， ， ，
∵ ， 分别是某圆内接正六边形、正五边形的一边，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C
2．（2025九年级·湖北武汉·模拟预测）已知平面内有一角，一圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在
角的边上截得的两条线恰好各是某正五边形的一边，那么这个角的度数为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查正多边形与圆，如图，分两种情况，当角的顶点在圆上时，如 ，弦为 时，
此时 恰好是正五边形的一个内角，进行求解即可，当角的顶点在圆外部时，即 交 的两边，截取的两条弦为 时，进行求解即可．
【详解】如图，当角的顶点在圆上时，如 交 的两边，截取的两条弦为 ，此时 恰
好是正五边形的一个内角，
∴ ；
当角的顶点在圆外部，即 交 的两边，截取的两条弦为 时，
则 ，
∴ ，
∴ ；
综上：这个角的大小是 或 ；
故答案为： 或 ．
3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正八边形 的两条对角线 、 相交于点
， 的度数为 ．
【答案】【分析】本题考查正多边形的内角问题，三角形的内角和定理，等边对等角，熟练掌握相关知识点，是解
题的关键．根据正多边形的一个内角的度数的计算方法，求出 的度数，等边对等角，求出
的度数，根据三角形的内角和定理结合对顶角相等，即可得出结果．
【详解】解：∵正八边形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
4．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图， 的半径为 ，六边形 是圆内接正六边形，四边
形 是正方形．
(1)求 的度数；
(2)求正六边形与正方形的面积比．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题侧重考查有关圆内接多边形的题目，需要掌握圆内接多边形的性质以及等腰三角形的性质．
（1）在等腰 中易得顶角的度数，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出底角 的度
数；
（2）根据正六边形中心角的度数及同圆半径相等得到 为等边三角形，设正六边形的边长为 ，从而
得到 的长；利用面积公式求出正六边形的面积以及正方形的面积，进而得到正六边形与正方形的面积
比．
【详解】（1）解：连接 ，∵ 的半径为 ，六边形 是圆内接正六边形，四边形 是正方形．
∴ ， ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：过 作 于 ，设正六边形的边长为 ．
∵ 为正六边形的中心角，
∴ ．
∵ ，
∴ 是边长为 的等边三角形，
∴ ， ，
∴正方形 的面积为 ，
∴ ，正六边形的面积为 ，
∴正六边形与正方形的面积比为 ．
【经典例题四 根据正多边形与圆的关系求周长】
【例4】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知正六边形的半径为2，则这个正六边形的周长是（
）
A．8 B．12 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是正六边形的性质．根据正六边形的半径等于边长进行解答即可．
【详解】解：∵正六边形的半径等于正六边形的边长，
∴正六边形的边长 ，
正六边形的周长 ，
故选：B．
1．（24-25九年级上·广东云浮·期末）如图，正六边形 内接于 ，若 的半径为3，则正六边
形的周长为（ ）
A．18 B．9 C．12 D．36
【答案】A
【分析】本题考查正多边形与圆的有关计算，等边三角形的判定与性质，熟练掌握正六边形的性质和等边
三角形的判定与性质是解题的确关键．
连接 ， ，证 是等边三角形，即可求得正六边形的边长，然后由正六边形周长公式求解即可．【详解】解：连接 ， ，
∵正六边形 内接于 ，
∴ 是等边三角形，
∴正六边形的周长 ，
故选：A．
2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形
的半径是 ，则这个正六边形的周长是 ．
【答案】18
【分析】此题主要考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质；根据题意构造出 是等边三角形
是解题关键．
如图，正六边形 的半径是 ，由正六边形的性质构造 证出 是等边三角形，由等边
三角形的性质得出 ，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接 ，交点为 ，
由正多边形的性质得，点 为正六边形 的中心点是正六边形 的中心，正六边形 的半径是 ，
，
，
是等边三角形，
，
正六边形 的周长为： ，
故答案为：18．
3．（2025·吉林长春·模拟预测）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作
是由全等的等边三角形 和等边三角形 组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若
厘米，则这个正六边形的周长为 厘米．
【答案】54
【分析】设AB交EF、FD与点N、M，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，再证明
△FMN、△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形即可求解．
【详解】设AB交EF、FD与点N、M，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，如图，
∵六边形MNGHPO是正六边形，
∴∠GNM=∠NMO=120°，
∴∠FNM=∠FMN=60°，
∴△FMN是等边三角形，同理可证明△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形，
∴MO=BM，NG=AN，OP=PD，GH=HE，
∴NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB，GH+PH+OP=HE+PH+PD=DE，
∵等边△ABC≌等边△DEF，
∴AB=DE，
∵AB=27cm，
∴DE=27cm，
∴正六边形MNGHPO的周长为：NG+MN+MO+GH+PH+OP=AB+DE=54cm，
故答案为：54．
【点睛】本题考查了正六边的性质、全等三角形的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，掌握正六边
的性质是解答本题的关键．
4．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地
基的平面示意图可以近似的看作是半径为 的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长．
【答案】
【分析】本题考查了圆内接六边形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据题意得到 ． ，得到 是等边三角形，得出
，即可得到答案．
【详解】解： 六边形 是正六边形，
． ，
，
是等边三角形，
，
正六边形 的周长 ．【经典例题五 根据正多边形与圆的关系求面积】
【例5】（2025·宁夏银川·模拟预测）如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（ ）
A． B．6 C．24 D．12
【答案】C
【分析】本题主要考查了正多边形，
先画出图形，可知 ，再作 ，即可求出 ，然后根
据勾股定理求出 ，进而求出答案.
【详解】解：设正六边形的中心O，一边是 ，则 ，作 于点G，
可知 是等边三角形，且正六边形是由6个等边三角形组成.
如图，在 中， ，
∴ ，
∴ ，
所以这个正六边形的面积 .
故选：C.1．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为 ，
，公共边为 ，其中一个正六边形的外接圆与 交于点A，若 ，则四边形 的面积是
（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理和菱形面积的计算，连接
，令 与 交于点 ，则 ， ， ，
，有 为等边三角形，即可求得 ， 和 ，结合面积
公式即可求得四边形 的面积．
【详解】解：如图，连接 ，令 与 交于点 ，
则 ， ， ， ，∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则四边形 为菱形，
∴四边形 的面积是 ，
故选：D．
2．（2025九年级·陕西·模拟预测）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆
术”，即用圆的内接正多边形的面积无限逼近圆的面积并以此求取圆周率的方法．如图， 的半径为
2，若用 的内接正六边形的面积来估计 的面积，则 的面积与其内接正六边形的面积的差值为
．
【答案】 /
【分析】本题主要考查正多边形与圆、等边三角形的性质、勾股定理等，正确应用正六边形的性质是解题
关键．连接 、 ，根据正多边形和圆的关系可判断出 为等边三角形，过点O作 于点
M，则 ，再利用勾股定理即可求出 长，进而可求出 的面积，最后利用圆的面积公
式计算圆的面积，利用内接正六边形的面积为 ，即可计算出结果．
【详解】解：如图，连接 、 ，由题意可得： ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
过点O作 于点M，则 ，
在 中， ，
∴ ，
∴⊙O的面积为： ，
内接正六边形的面积 ，
∴ 的面积与其内接正六边形的面积的差值为：
故答案为： ．
3．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在正六边形 中，有两点 同时、同速从 中点 出
发，点 沿 方向运动，点 沿射线 方向运动， 后，两点与多边形中心
的连线及多边形（延长线）所围成图形如图所示（阴影部分），两部分的面积分别为 ，若 ，
则 （用含 的代数式表示）．【答案】
【分析】本题考查正多边形与圆，多边形的面积等知识，如图，连接 ，作 于W，
于T．得出 ，推出 ，推出
，可得 ，推出 ，由
可得结论．
【详解】解：如图，连接 ，作 于W， 于T，设 与 交于点 ．
在正六边形 中，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点P，Q同时，同速从 中点M出发，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴
故答案为： ．
4．（24-25九年级上·河北邯郸·月考）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆
术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至
于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率
的近似值为 ，如图，若 的半径为1．（在求圆内接正多边形面积时，通过分割成三角形，利用
特殊角解决）
(1)求圆内接正六边形面积．
(2)圆内接正八边形的面积为_____．
(3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计 的面积，可得圆内接正十二边形面积是_____，可
得 的估计值为_____．
【答案】(1)
(2)
(3)3；3
【分析】（1）设正多边形相邻两个顶点为 ，连接 ，过点O作 于点C；求出
的面积即可求解；
（2）设正多边形相邻两个顶点为 ，连接 ，过点B作 于点C；求出 的面积即
可求解；
（3）设正多边形相邻两个顶点为 ，连接 ，过点O作 于点C；求出 的面积即可求解．
【详解】（1）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为 ，连接 ，过点O作 于点C；
由题意知 ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ；
由勾股定理得 ，
∴ ，
∴正六边形的面积为 ；
（2）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为 ，连接 ，过点B作 于点C；
由题意知 ， ，
∴ ，
∴ ；
由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴圆内接正八边形的面积为 ；
故答案为： ；（3）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为 ，连接 ，过点B作 于点C；
由题意知 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴圆内接正十二边形的面积为 ；
圆的面积为 ，则 ；
故答案为：3；3．
【经典例题六 根据正多边形与圆的关系求边心距】
【例6】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）若正六边形的边长为4，则此正六边形的边心距为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形的计算，正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用勾股
定理即可求出．
【详解】解：如图，连接 ，作 ，∵正六边形 的边长为4， ，
∴ ．
∴正六边形的边心距是 ．
故选：D．
1．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，正六边形 内接于 的半径为4，则这个正六边
形的边心距 为（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查正多边形和圆，连接 ，求出 度数，得到 为的等边三角形，三线合
一求出 的长即可．
【详解】解：连接 ，则： ，由题意，得： ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ；
故选B．
2．（2025·陕西西安·模拟预测）若正方形的周长为12，则这个正方形的边心距为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查正方形的性质、正多边形和圆、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，正确地画
出图形并且添加相应的辅助线是解题的关键．
根据正方形的周长为12，易得 ，如图∶作正方形 的外接圆，圆心为点O，连接 ，作
于点E，则 ，所以 即可解答．
【详解】解：如图，正方形 的周长为12，
∴ ，且 ，
∴ ，
如图∶作正方形 的外接圆，圆心为点O，连接 ，作 于点E，
∵ ， ，∴
∴正方形ABCD的边心距为 ．
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·四川达州·期中）如图，已知 的周长等于 ，则该圆内接正六边形 的
边心距 的长为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质．连接 ，根据正六边形的性质可得 是
等边三角形，从而得到 ， ，可得到 ， ，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
∵多边形 是正六边形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ 的周长等于 ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为：
4．（25-26九年级上·江苏南通·期中）历史上，对于圆周率 的研究是古代数学一个经久不衰的话题，如
我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，可见正多边形与圆联
系非常紧密！
(1)如图，请在 中，作一个圆内接正六边形 ．（要求：尺规作图，不写作法，没有作图痕迹不
给分）
(2)若正六边形边长为 ，求该正六边形的边心距．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】本题考查作图 复杂作图正多边形与圆、等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关
键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）在 上任意取一点 ，以 为圆心， 为半径把 六等分可得正六边形 ；
（2）连接 ， ，过点 作 于点 证明 是等边三角形，进而求出 ，根据勾股
定理即可求出 ，问题得解．
【详解】（1）解：如图，六边形 即为所求；证明：由作图可得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴六边形 是圆内接正六边形；
（2）解：连接 ， ，过点 作 于点 ．
∵六边形 是圆内接正六边形，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即正六边形的边心距为 ．
【经典例题七 尺规作图—正多边形】
【例7】（24-25九年级上·重庆·期中）下列作图属于尺规作图的是（ ）
A．利用三角板画 的角 B．用直尺画一条线段
C．用直尺和三角板画平行线 D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段
【答案】D
【分析】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解
决不同的平面几何作图题．
【详解】A、利用三角板画45∘的角不符合尺规作图的定义，错误；
B、用直尺画线段不符合尺规作图的定义，错误；
C、用直尺和三角板画平行线不符合尺规作图的定义，错误；
D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段符合尺规作图的定义，正确．
故选：D．【点睛】本题考查了尺规作图的定义，理解定义是解决问题的关键．
1．（2025·河北沧州·模拟预测）如图， 为 直径，作 的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别
如下：
甲：1．作 的中垂线，交圆 于 两点；2．作 的中垂线，交圆 于 两点；3．顺次连接
六个点，六边形即为所求；
乙：1．以 为圆心， 长为半径作弧，交圆 于 两点；2．以 为圆心， 长为半径作弧，交圆
于 两点；3．顺次连接 六个点，六边形即为所求；
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．两人都不对 D．两人都对
【答案】D
【分析】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，乙
的做法根据等边三角的内角是60 ，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等
°【详解】甲：
∵BF是中垂线
∴四边形OCDE是菱形
∴△OCD, △OED都是等边三角形，
同理可得 △OAB, △OAF也是等边三角形
∴∠BOC ∠EOF 60
∴△OBC=, △OEF=也是° 等边三角形
∴内接六 边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形
乙：
∵AB AO BO AF OF
∴△O=AB, =△OA=F都=是等边三角形，
同理可得 △OCD, △OED也是等边三角形
∴∠BOC ∠EOF 60
∴△OBC=, △OEF=也是° 等边三角形
∴内接六 边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形
故选D【点睛】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等
2．（2025九年级·安徽·专题练习）如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是 上的任意一点，
则∠CPE的度数为 ．
【答案】 ．
【分析】连接OD,OC,OE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角∠COE，根据圆心角与圆周角的关系
定理计算即可．
【详解】连接OD,OC,OE,
∵八边形ABCDEFGH是正八边形,
∴∠COD=∠DOE= =45°,
∴∠COE=45°+45°=90°,
∴∠CPE= ∠COE
=45°.
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角是解题的关键．
3．（2025·天津南开·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙ 经过格点
A．
（1）⊙ 的周长等于 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙ 的内接等边 ，并简要说明点B，C的位置
是如何找到的（不要求证明） ．【答案】 见解析
【分析】（1）利用勾股定理可得答案；
（2）延长 交网格线于点D，取格点E，F，连接 交网格线于点G，作直线 交 于点B，C，连
接 ， ，则 即为所求．
【详解】（1）∵⊙ 的半径为： ，
∴⊙ 的周长 ，
故答案为：
（2）如图：
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ 是矩形．
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ 过圆心, ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形．故答案为：如图，延长 交网格线于点D，取格点E，F，连接 交网格线于点G，作直线 交 于
点B，C，连接 ， ，则 即为所求．
【点睛】此题考查作图中的复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考
题型．
4．（2025·江苏南京·模拟预测）如图， 的半径为 ，点 在 外．按下列要求分别求作一条直线 ，
使 过点 ，并交 于点 ， ．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查尺规作图，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是：
（1）连接 ，以 为边，在 上方作等边 ，作 的外接圆 交于点B，连接 交
于点A即可；
（2）连接 ，以 为直径作 ，以P为圆心， 为半径画弧交 于Q，连接 交 于点A，延
长 交 于点B即可．
【详解】（1）解：如图，点A、B即为所求，理由：由作图知， 是等边 的外角圆，
∴ ，
连接 ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，点A、B即为所求，
理由：由作图知， ，
连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
【经典例题八 正多边形与圆中的最值】
【例8】（2025·河北石家庄·模拟预测）题目：“要在边长为10的正方形 内放置一个与正方形有共同中心O的正多边形，若该正多边形能在正方形 内(含边界) 自由旋转，求其边长的最大值d． 例
如，当正多边形为正六边形时，如图1，该正六边形边长的最大值 ．”
甲：当正多边形为正方形 时，如图2，该正方形边长的最大值 ；
乙：当正多边形为等边三角形EFG时，如图3，该等边三角形的边长的最大值 ．针对甲和乙的答
案． 下列判断正确的是（ ）
A．甲和乙都对 B．甲和乙都不对
C．甲对乙不对 D．甲不对乙对
【答案】A
【分析】本题考查了正多边形与圆，若正多边形能在正方形 内自由旋转，需满足正多边形的半径等
于正方形 内切圆的半径5，依次求解即可；能理解正多边形能在正方形 内自由旋转所需的条
件是解题的关键．
【详解】解：根据题意，若正多边形能在正方形 内自由旋转，需满足正多边形的半径等于正方形
内切圆的半径5，
对于甲：当正多边形为正方形 时，若能自由旋转，且正方形 边长最大时， 直径 、
需满足 ，此时边长 即 ；
对于乙：如图，
当正多边形为等边三角形 时，若能自由旋转，且等边三角形 边长最大时，其半径，此时等边三角形的边长 ，即d ．
甲和乙的答案均正确，
故选A．
1．（2025·河北张家口·模拟预测）如图，正六边形 的边长为 ，且点 为正六边形的中心，将半
径为 的⊙ 沿六边形作逆时针滚动，连接 ，过点 作 ，并且 ，连接 ，则
在⊙ 滚动的过程中， 面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，当⊙M与正六边形的两边AB、BC相切时，OM的值最大，设⊙M与AB相切于点N，连
接MN，OA．解直角三角形求出OM即可解决问题．
【详解】解：∵ ， ，
当 最大时， 的面积最大．在 滚动过程中，当 的延长线经过正六边形的顶点时，
取得最大值，且此时 与 、 两边相切，设切点分别为 、 ，连接 ， ，则 ，
，如图，
在正六边形 中，，
，
易得 ，
，
，
，
，
故选D．
【点晴】本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题．
2．（2025·河北邢台·模拟预测）如图，在正六边形 中除点 为原点，点 外，其他各点均在
轴上方，将正三角形 在正六边形外连续作如下运动：起始位置， 与 重合；第一次运动：
绕点 逆时针旋转，使 与 重合；第二次运动： 绕点 逆时针旋转，使 与 重
合；……如此运动，共完成六次运动，在这个运动的过程中，点P，O之间距离的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查正多边形和圆，点的轨迹以及线段的最值，作出图形得出 的长度为点P，O之间
距离的最大值，求出 ，可得 的最大值为 ．
【详解】解：点 的运动轨迹如图所示的虚线部分，延长 交轨迹于点 （位置不只是一种），
此时 的长度为点P，O之间距离的最大值，
∵点 为原点，点 外，其他各点均在 轴上方，
∴ ，
又 ，
∴ ，
过点E作 于点 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
的最大值为 ．
故答案为： ．
3．（2025·河北石家庄·模拟预测）将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙地按如图所示摆放．
（1） ；
（2）已知点 在边 上，则 的最大值为 ．【答案】 30
【分析】本题考查了正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质、含 的直角三角形的性质、等腰三
角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）先求出正六边形的一个内角的度数，再结合等边对等角以及三角形内角和定理计算即可得出答案；
（2）连接 交 于 ，连接 ，交 于 ，则 ，当 、 重合时，点 到线段 的值最
大，为 ，证明 是等边三角形，得到 ，故 ，由含 的直角三角形的性质得出
， ，从而求出 ， 的长，最后由三角形面积公式计算即可得出答案．
【详解】解：（1）由题意得：正六边形的一个内角为 ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）如图，连接 交 于 ，连接 ，交 于 ，则 ，
，
∴当 、 重合时，点 到线段 的值最大，为 ，
由正六边形的性质可得： ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，故 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，∴ 的最大值为 ，
故答案为： ．
4．（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，P为⊙O上一动点（P，A分别在直
线BC的两侧），连接PC．
（1）求证：∠P＝2∠ABC；
（2）若⊙O的半径为2，BC＝3，求四边形ABPC面积的最大值．
【答案】（1）证明见解析（2）6
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠A+2∠ABC＝180°，根据圆内接四边形的
性质得∠A+∠P＝180°，从而得到结论；
（2）由于S 的面积不变，则当S 的面积最大时，四边形ABPC面积的最大，而P点到BC的距离最
ABC PBC
△ △
大时，S 的面积最大，此时P点为优弧BC的中点，利用点A为 的中点可判断此时AP为⊙O的直径，
PBC
△
AP⊥BC，然后利用四边形的面积等于对角线乘积的一半计算四边形ABPC面积的最大值．
【详解】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠A+2∠ABC＝180°，
∵∠A+∠P＝180°，
∴∠P＝2∠ABC；
（2）解：四边形ABPC的面积＝S +S ，
ABC PBC
△ △
∵S 的面积不变，
ABC
△
∴当S 的面积最大时，四边形ABPC面积的最大，
PBC
△
而BC不变，
∴P点到BC的距离最大时，S 的面积最大，此时P点为优弧BC的中点，
PBC
△
而点A为 的中点，∴此时AP为⊙O的直径，AP⊥BC，
∴四边形ABPC面积的最大值＝ ×4×3＝6．
【点睛】本题考查了考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，也考查了圆内接四边形的性质．
（2）把四边形分成两部分计算其面积并确定此时AP为⊙O的直径时面积最大是关键．
【拓展训练一 正多边形与圆中的规律性问题】
1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，分别是正方形、正五边形和正六边形，
（1）试分别计算这三种正多边形的相邻两条对角线的夹角的度数；
（2）探究正n边形相邻两条对角线的夹角满足的规律．
【答案】（1） ， ， ；（2） .
【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部
分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．
【详解】解：（1）解：由正方形ABCD，
可得：AC⊥BD，
∴ ＝90°；
由正五边形ABCDE，
可得：AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，
∴∠DBC＝∠ACB＝ ，∴ ＝180°−∠DBC−∠ACB＝108°；
同理： ＝120°；
（2） ．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆的知识，学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．
2．（24-25九年级上·浙江台州·期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻
的了解 的意义．
(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆
度” ．如图，正三角形 的边长为1，求得其内切圆的半径为 ，因此 ___________；
(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度” ；
(3)[总结]随着n的增大， 具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括．
【答案】(1)
(2) ，
(3)随着n的增大， 越来越接近于1，见解析
【分析】（1）根据“正圆度”的定义进行求解即可；
（2）设正方形边长和正六边形的边长都为1，求出此情形下对应的内切圆半径，再根据“正圆度”的定义
进行求解即可；
（3）根据（1）（2）所求可知随着n的增大， 越来越接近于1，再由张衡和祖冲之对圆周率的研究即可
得到答案．【详解】（1）解：由题意得， ，
故答案为： ；
（2）解：假设正方形边长1，
∴此时正方形的内切圆半径为 ，
∴ ；
设正六边形的边长为1，内切圆圆心为O，则 ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： ，随着n的增大， 越来越接近于1．由张衡、祖冲之的研究，精
进 的取值的方法可知：正多边形，边长数越多，越接近于圆，因此当边长增多时，其周长L也与对应的
内切圆周长更接近，其比值更接近于1．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，正确理解题意是解题的关键．
3．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）我们学习了，多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形 观察每个正多边形中 的变化情况，解答下列问题：
(1)将如表的表格补充完整：
正多边形边数 ______
的
______ ______ ______ ______
度数
(2)根据规律，是否存在一个正 边形，使其中的 ？若存在，直接写出 的值；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1) ， ， ， ，
(2)不存在一个正 边形，使其中的 ，理由见解析
【分析】（1）根据正多边形的内角，内角和以及三角形内角和定理进行计算即可；
（2）根据（1）中的计算方法得出 ，代入计算即可．
【详解】（1）解：正三角形中 的度数是正三角形的内角度数，即 ，
正方形中 的度数为 ，即 ，
正五边形中 的度数为 ，即 ，
正六边形中 的度数为 ，即 ，
正 边形中 的度数为 ，即 ，
当 时，即 ，
解得 ，
故答案为： ， ， ， ， ；（2）由（1）得，正 边形中 ，
当 时，即 ，
解得 不是整数 ，
所以不存在一个正 边形，使其中的 ．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质，多边形内角和的计算方法是正确解答的前提，得
出 是解决问题的关键．
【拓展训练二 多边形与圆中的证明】
1．（2025·辽宁·模拟预测）在圆内接正六边形 中， ， 分别交 于点H，G．
(1)如图①，求证：点H，G三等分 ．
(2)如图②，操作并证明．
①尺规作图：过点O作 的垂线，垂足为K，以点O为圆心， 的长为半径作圆；（在图②中完成作
图，保留作图痕迹，不需要写作法）
②求证： 是①所作圆的切线．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）由正多边形的性质证明 ，可得 ，
再证明 是等边三角形，从而可得结论；
（2）①按照题干的要求作线段 的垂直平分线，再作圆即可；②过点O作 ，垂足为P，连接
， 证明 ．结合 ， ， ．从而可得结论；
【详解】（1）证明：在圆内接正六边形 中，
，∴ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ．
∴ 是等边三角形，
∴ ．
∴点H，G三等分 ．
（2）①解：如图，即为所求作．
②证明：如图，过点O作 ，垂足为P，连接 ，则 ．
由（1）知， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ 是①所作圆的切线．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆的内接多边形的性质，切线的判
定，作线段的垂直平分线，掌握以上基础知识是解本题的关键．
2．（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图①，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC上一动点，过P作
PM AB交AF于M，作PN CD交DE于N.(1)求出 的度数，并证明 ；
(2)如图②，点 是 的中点，连接 、 ，求证： ；
(3)如图③，点O是AD的中点，OG平分 ，求证：四边形OMGN是菱形.
【答案】(1)60°；证明见详解；
(2)证明见详解；
(3)证明见详解．
【分析】（1）根据正六边形的性质和平行线的性质，得到两个正三角形，然后等量代换即可；
（2）根据正六边形的性质，得到OM、ON所在的三角形全等，即可证明；
（3）根据（2）的结论以及题意，证明 是等边三角形，即可证明结论．
【详解】（1）证明：延长FA、ED，分别交BC延长线于I，H
∵MP AB，PN CD，ABCDEF是正六边形
∴ 均为等边三角形
∴PM=PI，AB=IB，PN=PH，CD=CH，∠IPM=∠HPN=60°
∴∠MPN=180°-60°-60°=60°
PM+PN=PI+PH=IB+BP+PC+CH=AB+BC+CD=3a
（2）证明：如图，令MP交AD于R，NP交AD于Q，∵ABCDEF是正六边形，O是AD中点
∴ ，AO=OD=AB，∠MAR=∠NDQ=60°
∵
∴ABPR是平行四边形，
∴AR=BP，∠ARM=180°-120°=60°
∴ 是等边三角形，
∴AM=MQ=AQ，∠MRO=120°
同理可证QD=PC，DN=DQ=QN，∠OQN=120°，
∵AO=AR+RO=OQ+QD=BP+PC
∴AR=OQ，RO=QN
在
∴
∴MO=NO
（3）证明：连接OE，
∵ABCDEF是正六边形
∴∠EOD=60°
由（2）知∠NOQ+∠MOR=60°∴∠MON=120°
∵OG是∠MON的角平分线
∴∠GON=60°
∵∠GOE+∠EON=60°，∠DON+∠EON=60°
∴∠GOE=∠DON
在
∴
∴GO=GN
∴GO=GM
∵∠MOG=∠NOG=60°
∴ 都是等边三角形
∵MO=NO
∴MO=NO=NG=GM
∴四边形MONG是菱形；
【点睛】本题考查了正六边形，涉及了正三角形、平行线的性质、全等三角形等知识，掌握并熟练使用相
关知识，同时注意解题中需注意的事情，精准识图，合理推论是本题的解题关键．
3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，∠FMH＝120°，MH
与六边形外角的平分线BQ交于点H．
（1）当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM＝∠BMH．
（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，
并对猜想的结果加以证明．【答案】（1）见解析；（2）猜想：FM＝MH．证明见解析．
【分析】（1）先由正六边形的性质得出每个内角为120°，再根据三角形内角和、平角为
180°∠AFM+∠FMA＝∠FMA+∠BMH＝60°，等量代换即可得到答案．
（2）分两种情况①当点M与点A重合时，可直接得出结果；②当点M与点A不重合时，先在AF上截取
FP＝MB并连接PM，证明 FPM≌△MBH即可．
【详解】（1）证明：∵六边△形ABCDEF为正六边形，
∴每个内角均为120°．
∵∠FMH＝120°，A、M、B在一条直线上，
∴∠AFM+∠FMA＝∠FMA+∠BMH＝60°，
∴∠AFM＝∠BMH．
（2）解：猜想：FM＝MH．
证明：①当点M与点A重合时，∠FMB＝120°，MB与BQ的交点H与点B重合，有FM＝MH．
②当点M与点A不重合时，
如图，在AF上截取FP＝MB，连接PM．
∵AF＝AB，FP＝MB，
∴PA＝AM
∵∠A＝120°，
∴∠APM＝ ×（180°﹣120°）＝30°，
有∠FPM＝150°，
∵BQ平分∠CBN，
∴∠MBQ＝120°+30°＝150°，
∴∠FPM＝∠MBH，
由（1）知∠PFM＝∠HMB，
∴△FPM≌△MBH．
∴FM＝MH．【点睛】本题主要考查了正六边形的性质、几何动点问题，熟练掌握正六边形的性质和正确做出辅助线是
解决本题的关键．
【拓展训练三 正多边形与圆的综合】
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知正五边形 ，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保
留作图痕迹，不写作法）．
【初步感知】
（1）如图1，请直接写出 的度数；
【实践探究】
（2）请在图2中作出以 为对角线的菱形 ，并证明你的结论；
【拓展延伸】
（3）请在图2正五边形 的基础上再设计一个新的正五边形 .（不需要证明）
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用正五边形与等腰三角形的性质求解；
（2）连接 交于点M，四边形 即为所求；
（3）各边延长线的交组成的五边形 即为所求．
【详解】解：∵ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）如图1所示，连接 相交于点 ，菱形 为所求图形，证明：在正五边形 中，每个内角都相等且等于 ，每条边都相等，
可得 ≌ ，从而
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可证： .
∴四边形 为平行四边形，
又 ，
∴四边形 为菱形.
（3）如图，五边形 即为所求．
2．（2025·四川成都·模拟预测）问题发现
（1）如图1， 和 均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE．求证：BD=CE．
拓展探究（2）如图2， 和 均为等腰直角三角形， ，点D在边BC上，连接CE
ⅰ）求 的度数；
ⅱ）请判断线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．
解决问题
（3）如图3，在四边形ABCD中， ， ， ，AC与BD交于点E，
求出线段AC的长度．
【答案】（1）见解析；（2）i） ，ⅱ） ，理由见解析；（3）
【分析】（1）根据SAS可证明△BAD≌△CAE，可得结论；
（2）i）先证明△ABD≌△ACE，得∠ACE=∠B=45°；
ⅱ）由△ABD≌△ACE，得BD=CE，利用等边三角形的AC=BC=BD+DC等量代换可得结论；
（3）过点A作AC的垂线，交CB的延长线于点F，证明△ACF是等腰直角三角形，则利用（2）的结论
求AC的长．
【详解】（1）∵ 和 为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
（2）i） 和 均为等腰直角三角形，且 ，
∴ ， ，
，即 ，
∴ ，
∴ ，
；ⅱ） ；
理由：由ⅰ）得 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵在等腰 中， ，
∴ ；
（3）如解图，过点A作AC的垂线，交CB的延长线于点F，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
由（2）得❑√2AC=BC+CD，
∴ ．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质
和判定、四点共圆的性质和判定，本题还运用了类比的思想，从问题发现到解决问题，第三问有难度，作
辅助线，构建等腰直角三角形ACF是关键．
3．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）【给出问题】：已知： 是正方形 的外接圆，点P在
上（除A、B外），试求 的度数．【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确
的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题：
（1）①尺规作图，在 中作出内接正方形 （保留痕迹，不写作法）．
②原题中 ．
【深入思考】：
（2）【问题】如图1，若四边形 是 的内接正方形，点P为弧 上一动点，连接
，请探究 三者之间或者 三者之间有何数量关系，并给予证明．
（3）【拓展】如图2，若六边形 是 的内接正六边形，点P为弧 上一动点，请探究
三者之间有何数量关系： （不写证明过程）．
（4）【应用】如图3，若四边形 是矩形，点P为边 上一点， ， ， ，
试求矩形 的面积．
【答案】（1）①见解析；② ；（2） ，证明见解析；（3）
，证明见解析；（4） ；
【分析】（1）①利用垂直平分线定义即可作出正方形 ；②利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半
即可得到结论；
（2）根据题意过点C作 交 于E，利用圆周角定理得到 ，再判定 ，
证明出 和 是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形三边关系即可；
（3）根据题意过点B，作 ，在 上截取 ，连接 ，再证明 ，再利用含
的直角三角形三边关系即可得到本题答案；
（4）根据题意以 为边，作正方形 ，连接 ，设 ，则 ， ，再
分别在 和 和 中应用勾股定理即可得到本题答案．
【详解】
解：（1）①如图所示，作直径 的垂直平分线交 于点A，C，则四边形 是正方形；②如图所示，
，
故答案为： ．
（2） ，证明如下：
如图，过点C作 交 于E，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ （ASA），
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
即 ，
如图所示，过点C作 交 于F，
同理可得 是等腰直角三角形， ，
∴ ， ；
（3） ，
如图，过点B，作 ，在 上截取 ，连接 ，
∵ ， ，
在 和 中，
，
∴ （ ），
∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（4）如图，以 为边，作正方形 ，连接 ， ，
根据（1）可得P在 上，则 ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
∴ ，
∴矩形 的面积为 ．
【点睛】本题考查角平分线定义及画法，圆周角定理，全等三角形判定及性质，等腰三角形判定及性质，
勾股定理，含 的直角三角形三边关系．掌握圆周角定理是关键．1．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）若一个正多边形的中心角为 ，则这个正多边形的边数为
（ ）
A．七 B．八 C．九 D．十
【答案】B
【分析】本题主要考查了正多边形的性质，掌握正多边形的中心角相等以及计算公式成为解题的关键．
根据正多边形的中心角计算公式为：中心角 边数，求解即可．
【详解】解：设正多边形的边数为 ．
由题意可得： ，解得： ．
故选B．
2．（25-26九年级上·江西南昌·期中）我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在 上任
取点A，从点A开始，以 的半径为半径，在 上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，
D，E，F把 六等分．下列可以只用圆规将圆等分的是（ ）．
①两等分； ②三等分； ③四等分．
A．② B．①② C．①③ D．①②③
【答案】B
【分析】本题考查正多边形与圆、尺规作图、等分圆周等知识，解题的关键是理解将圆六等分的方法，属
于作图中的难题．
通过圆规六等分圆后，可以利用六等分点间接得到两等分点和三等分点，但四等分点无法仅用圆规得到．
【详解】解：∵ 只用圆规可完成圆的六等分，
可以利用六等分点间接得到两等分点和三等分点，
但无法只用圆规得到四等分点，
∴ ①②可行，③不可行，
故选：B．
3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 是正六边形，边长为2， 是边 上一个动点，
的值可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形与圆，设正六边形的中心为点 ，连接 ， ，根据题意得出
，勾股定理求得 ，根据 ，即可求解．
【详解】解：如图，设正六边形的中心为点 ，连接 ， ，
∴ 是正六边形的外接圆 的直径，则
依题意， ，
∴ ，
∵ 是边 上一个动点，
∴ ，
∵ ，
∴ 的值可能是 ，
故选：C．
4．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图， 是 的内接正三角形，五边形 是 的内接正五
边形，若线段 恰好是 的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（ ）A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】A
【分析】本题考查了正多边形与圆，连接 、 、 、 ，由题意可得 ， ，
，由圆周角定理计算得出 ，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用
是解此题的关键．
【详解】解：如图：连接 、 、 、 ，
由题意可得： ， ， ，
∴ ，
∴若线段 恰好是 的一个内接正n边形的一条边，则n的值为 ，
故选：A．
5．（2025·浙江·模拟预测）如图， 为 的直径，作 的内接正六边形 ，甲、乙两人的作
法分别如下．甲： 作 的中垂线，交 于 左 ， 右 两点；
再作 的中垂线，交 于 左 ， 右 两点；
连结 ，六边形 即为所求的六边形．
乙： 以D为圆心， 长为半径作圆弧，交 于 左 ， 右 两点；
再以A为圆心， 长为半径作圆弧，交 于 左 ， 右 两点；
连结 ，六边形 即为所求的六边形．
对于甲、乙两人的作法，可得到以下判断（ ）
A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误 C．甲正确、乙错误 D．甲错误，乙正确
【答案】A
【分析】此题主要考查了作图-复杂作图，关键是掌握垂径定理及圆周角定理，等边三角形的判定与性质等
知识．
根据作图即可得到 ，
，进而得出六边形 为正六边形．进而即
可判断．
【详解】解：甲：∵作 的中垂线，交 于 左 ， 右 两点，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
同理可得 ， ， ， ， 均为等边三角形，
故 ， ，所以六边形 为正六边形；
乙：由作图可得， ，即 为等边三角形，
同理可得 ， ， 均为等边三角形，
故 ，而 ，
所以 ， 均为等边三角形，
所以 ， ，
所以六边形 为正六边形；
因此，甲、乙两人的作法均正确，
故选：A
6．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）半径为4的正六边形的中心角是 °．
【答案】
【分析】本题考查了求正多边形的中心角，根据正六边形的性质，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：正六边形的中心角是 ，
故答案为：
7．（24-25九年级上·陕西延安·期末）如图， 是 内接正n边形的一条边，点C是 上一点，连接
， ，则n的值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，由圆周角定理得 ，再根据正多的边数“
中心角”，即可求出 的值，求出中心角的度数是解题的关键．
【详解】解：连接 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：5．
8．（2025·浙江·模拟预测）如图是一铺设在人行道上地板砖的一部分，它是由正六边形和四边形镶嵌而成，
， ， 为各多边形顶点，则 的值为 ．
【答案】
【分析】在图中标出字母如下，过点 作 延长线于点 ，连接 ，作 于点 ，过点
作 于点 ，易得四边形 和 是矩形，再根据正六边形的性质求出每个内角的度数，进
而得到 是等边三角形，设 ，易表示出 ， ， ， ，再利用矩形的性质和勾
股定理求解 和 的长度即可求解．
【详解】解：在图中标出字母如下，过点 作 延长线于点 ，连接 ，作 于点 ，过
点 作 于点 ，
则四边形 和 是矩形．人行道上地板砖由正六边形和四边形镶嵌而成，
正六边的内角为 ，
，
,
， 是等边三角形．
设 ，
，
，
， ，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正六边形的性质，平面镶嵌，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定
理，标出字母，作出辅助线构建直角三角形是解答关键．
9．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图， 、 、 是 上顺次三点，若 、 、 分别是
内接正三角形、正方形、正 边形的一边，则 ．【答案】12
【分析】如图，连接OA、OC、OB，根据角的转换求出中心角 即可解决问题．
【详解】如图，连接OA、OC、OB．
∵若AC、AB分别是 内接正三角形、正方形的一边，
∴ ， ，
∴ ，
由题意得： ，
∴ 12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，一次连接各分点所得到
的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆，熟练的掌握正多边形的有关概念
是解答本题的关键．
10．（2025·河南周口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中， ，正六边形 的顶点A，D的坐标分别为 ， ，点M是正六边形 的边上一动点，连接 ，将 绕点P顺时针
旋转 ，得到 ，连接 ．点M从点A出发，按照顺时针的方向（即 ）以
每秒 个单位长度的速度运动，则第 秒时点N的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正六边形的性质，坐标与图形，旋转的性质，点坐标规律探索，解题的关键是找出坐
标规律，再利用规律求解．根据题意得出正六边形边长为 ，则点M运动一圈的时间为需 秒，进
而得出第 秒时，点 运动到点 的位置，根据旋转的性质即可求得点N的坐标．
【详解】解： 正六边形 的顶点A，D的坐标分别为 ， ，
，
正六边形 边长为 ，
点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度运动，
点M运动一圈需 秒，
，
点M从点A运动 圈后又运动9秒，
，
点M从点A运动 圈后又运动 个单位长度，此时点 运动到点 的位置，
，将 绕点P顺时针旋转 ，得到 ，
，
故答案为： ．
11．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）一个多边形的所有内角与它的外角和的和是 ．
(1)求该多边形的边数；
(2)若该多边形为正多边形，求中心角的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，中心角的含义．
（1）设该多边形的边数为 ，根据多边形的内角和 与外角和 可得方程，解之即可.
（2）利用（1）的结论，可得该多边形是正七边形，然后利用中心角的含义：正 边形的每个中心角都等
于 ,进行计算即可解答．
【详解】（1）解：设该多边形的边数为 ，
由题意可得： ，
解得： ，
∴该多边形的边数为7.
（2）解：由（1）可得该多边形是正七边形，
中心角的度数 ．
12．（2025·陕西·模拟预测）一块直角三角形的木板余料，要在上面裁出一块正方形木板，要求：正方形
的一个顶点在 点，有两条边在木板的直角边上，且面积最大．
【答案】见解析【分析】C为正方形的一个顶点那么∠C就是正方形的一个内角,正方形的对角线平分一组对角,那么作出的
平分线交AB于一点M,其余两个顶点E、F分别在BC、AC边上，根据正方形对角线互相垂直平分和平行
线性质、等腰三角形的判定,过M作AC、BC的垂线,就可确定另外两个顶点E、F的位置，即可得正方形.
【详解】如下图
（1）作 的角平分线，交 于 点；
（2）过 作 于 ，作 于 ；
（3）四边形 即为所求的正方形．
【点睛】本题主要考查了作图应用、正方形对角线互相垂直平分和平行线性质、等腰三角形的判定，关键
是掌握正方形的对角线每一条对角线平分一组对角.
13．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，点 、 、 、 都在 上， ， ．
(1)求 的度数；
(2)求 的度数；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据垂径定理得出 ，再利用圆周角定理得出 的度数:
（2）连接 ，根据圆内接四边形的性质便可求得结果．
【详解】（1）∵点 、 、 、 都在 上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ 的度数为
（2）连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，垂径定理和圆周角定理等知识，熟练掌握和运用这些定理
是解决问题的关键．
14．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知 和 上的一点A．
【实践与操作】
（1）作 的内接正六边形 （不写作法，保留作图痕迹）．
【应用与证明】
（2）连结 ， ，判断四边形 的形状，并加以证明．
【答案】（1）见解析；（2）矩形，见解析
【分析】本题考查了作图——画正多边形，矩形的判定以及圆的相关性质，熟练掌握相关性质是解题的关
键．
（1）作直径 ，然后分别以A，D为圆心， 长为半径画弧，分别交 于点B，F，C，E，连接
，则正六边形 即为所求．
（2）由题意可知 ，因此 ，故 ，进而求得四边形 是平行四边形，再证明 是等边三角形，因此可得 ，再由 ，得
，因此 ，故可证得四边形 是矩形．
【详解】解：（1）如图，首先作直径 ，然后分别以A，D为圆心， 长为半径画弧，分别交 于点
B，F，C，E，连接 ，则正六边形 即为所求．
（2）四边形 是矩形．理由如下：
如图，连接 ，
∵六边形 是正六边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴四边形 是矩形．
15．（2025·吉林·模拟预测）（1）如图1，用无刻度的直尺和圆规在图1中作出 的内接正六边形
，保留作图痕迹．
（2）如图2、图3是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点．其中点A、点D为格点，
经过点A、点D，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务．
①如图2，过点O作 的垂线，交 于 ；
②如图3，点B在 上，过点B作弦 ．
【答案】（1）画图见解析；（2）①画图见解析；②画图见解析
【分析】（1）先作直径 ，分别以 为圆心， 为半径画弧，与 的交点分别为 ，再顺
次连接即可得到正六边形 ；
（2）①取格点 ，连接 交 于 ，过 作直线交 于 即可；
②取格点 ，连接 交 于 ，过 作直线交 于 ，连接 交 于 ，连接 并延
长交 于 ，连接 ，则 即为所求．
【详解】解：（1）如图，六边形 即为所求；
理由：连接 ，
由作图可得： ，∴ 为等边三角形，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴六边形 为 的正六边形；
（2）①如图， 即为所求；
理由：由格点图形可得：四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，即 ；
②如图， 即为所求；
理由：由（2）得： 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查的是作圆的内角正六边形，垂径定理的应用，线段的垂直平分线的性质，圆周角定理的
应用，平行线的判定，熟练的作图是解本题的关键．
