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类比归纳专题：圆中求阴影部分的面积
——全面掌握核心方法，以不变应万变
类型一 直接利用规则图形的和差求面积
1．如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以
AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则阴影部分面积是________(结果保留π)．
第1题图 第2题图
2．如图，长方形ABCD的长BC为3cm，宽AB为2cm，点E，F是边AD的三等分点，点
G，H是边BC的三等分点．现分别以B，G两点为圆心，以2cm长为半径画弧AH和弧EC，则
阴影部分的面积为________cm2.
3．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将
△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，求边BC扫过区域(图中阴影部分)的
面积．
类型二 割补法
4．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是AB的中点，点D在OB
上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为________．
第4题图 第5题图
5．如图所示，正方形ABCD对角线AC所在直线上有一点O，OA＝AC＝2，将正方形绕
O点顺时针旋转60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是________．
类型三 等积法
一、轴对称、旋转
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6．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝，则图中阴影部分的
面积是________．
第6题图 第7题图
7．如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的
“叶状”阴影图案的面积为( )
A．4π－2 B．2π－2
C．4π－4 D．2π－4
二、同底等高的三角形等积替换
8．如图，AB是半圆O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，若弦CD＝2，则图中阴影
部分的面积为________．
第8题图 第9题图
三、利用全等进行等积替换
9．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆
心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为________．
类型四 折叠问题中求面积
10．如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O
重合，则图中阴影部分的面积是________．
参考答案与解析
1．2π
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2．2 解析：∵四边形ABCD是矩形，点E，F是边AD的三等分点，点G，H是边BC的三
等分点，BC＝3cm，∴AE＝EF＝BG＝GH＝1cm，四边形ABGE是矩形．∴S ＝S ＋S
阴影 矩形ABGE
－S ＝S ＝2×1＝2(cm2)．
扇形EGC 扇形ABH 矩形ABGE
3．解：由题意，得△B′OC′≌△BOC.∵∠BCO＝90°，∠BOC＝60°，∴∠B′C′O＝90°，
∠B′OC′＝60°，∴∠B′OC＝60°，∠C′B′O＝30°，∴∠B′OB＝120°.∵AB＝2cm，∴OB＝1cm，
∴OC＝cm，∴S ＝＝(cm2)，S ＝＝(cm2)，∴S ＝S ＋S －S －S
扇形B′OB 扇形C′OC 阴影 扇形B′OB △B′C′O △BCO 扇形
＝S －S ＝－＝(cm2)．
C′OC 扇形B′OB 扇形C′OC
4．2π－4 5.2π＋2
6. 解析：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵AC＝BC＝，∴△ACB为等腰直角三角
形，∴OC⊥AB，∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，∴S ＝S ，OA＝AC＝1，∴S
△AOC △BOC
＝S ＝＝.
阴影 扇形AOC
7．D 解析：如图，连接AB.由题意得阴影部分的面积为2(S －S )＝2＝2π－4.故
扇形AOB △AOB
选D.
8. 解析：连接OC，OD，BD.∵点C，D是半圆O的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝
∠DOB＝60°.∵OC＝OD＝OB，∴△COD，△OBD是等边三角形，∴∠COD＝∠ODB＝60°，
OD＝CD＝2，∴OC∥BD，∴S ＝S ，∴S ＝S ＝＝.
△BDC △BDO 阴影 扇形OBD
9.－ 解析：连接CD，过点D作DM⊥BC于点M，作DN⊥AC于点N.∵CA＝CB，
∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴DC＝AB＝1，四边形DMCN是矩形，CD平分∠ACB，
∴DM＝DN，∴四边形DMCN是正方形．在Rt△CDN中，DC＝1，∠DCN＝45°，∴DN
＝ .∵∠GDH ＝ ∠ MDN ＝ 90° ， ∴ ∠ GDM ＝ ∠ HDN. 在 △ DMG 和 △ DNH 中 ，
∴△DMG≌△DNH(ASA)，∴S ＝S ＝＝.∴S ＝S －S ＝－＝
四边形DGCH 四边形DMCN 阴影 扇形FDE 四边形DGCH
－.
10.－ 解析：如图，连接OM交AB于点C，连接OA，OB.由题意，得OM⊥AB，OC＝MC
＝.在Rt△AOC中，∵OA＝1，OC＝，∴cos∠AOC＝＝，AC＝＝，∴∠AOC＝60°，AB＝2AC
＝，∴∠AOB＝2∠AOC＝120°，∴S ＝S －S ＝－××＝－，∴S ＝S －
弓形ABM 扇形OAB △AOB 阴影 半圆O
2S ＝π×12－2＝－.
弓形ABM
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