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思想方法专题：勾股定理中的思想方法
类型一 分类讨论思想
一、直角边和斜边不明时需分类讨论
【易错1】
1．在一个直角三角形中，若其中两边长分别 6．如图，在△ABC中，AB＝15cm，AC＝
为5，3，则第三边长的平方为( ) 13cm，BC＝14cm，则△ABC 的面积为
A．16 B．16或34 ________cm2.【方法5①】
C．34 D．不存在
2．已知x，y为正数，且|x－4|＋(y－3)2＝0，
如果以x，y为边长作一个直角三角形，那么
以这个直角三角形的斜边长为边长的正方
形的面积为( ) 二、折叠问题中利用勾股定理列方程
A．5 B．7 7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB
C．7或25 D．16或25 ＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落
二、锐角和钝角不明时需分类讨论【易错2】 在边AC上与点B′重合，AE为折痕，则EB＝
3．★在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm， ________．
BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为
________cm2.
【变式题】一般三角形→等腰三角形
等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则
这个等腰三角形底边长的平方为________． 8．如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折
三、腰和底不明时需分类讨论 叠，设点D落在D′处，BC交AD′于点E，AB
4．★如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC ＝6cm，BC＝8cm，求阴影部分的面积．【方
＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰△ABD， 法3】
且扩充部分是以AC为直角边的直角三角形，
则CD的长为( )
A.，2或3 B．3或
C．2或 D．2或3
类型二 方程思想
一、利用两直角三角形“公共边”相等列方
程
5．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若
AD∶BD＝5∶2，AC＝17，BC＝10，则BD的
长为( )
A．4 B．5 C．6 D．8 类型三 利用转化思想求最值
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9．(2016－2017·张掖期中)课外小组的
同学在学校的花园里观察到一棵牵牛花的
藤在一截面周长为36cm的圆柱形水管上缠
绕4圈后，恰好上升至108cm的高度，则此
时牵牛花藤的长度至少是________．【方法
4②】
10．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、
高分别是100cm，15cm和10cm，A，B是这
个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，
想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬
行到B点的最短路程是________．
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参考答案与解析
1．B 2.D
3．126或66 解析：当∠B为锐角时，
如图①，在Rt△ABD中，BD2＝AB2－AD2＝
132－122＝25，∴BD＝5cm.在Rt△ADC中，
CD2＝AC2－AD2＝202－122＝256，∴CD＝
16cm.∴BC＝BD＋CD＝5＋16＝21(cm)， 9．180cm 解析：将水管展开，则最短
∴S ＝·BC·AD＝×21×12＝126(cm2)； 藤如图所示，其中 BC＝＝27(cm)，AC＝
△ABC
当∠B为钝角时，如图②，在Rt△ABD 36cm，∴由勾股定理得AB2＝AC2＋BC2＝
中，BD2＝AB2－AD2＝132－122＝25，∴BD 272＋362＝2025，∴AB＝45cm.故藤的最短
＝5cm.在Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝ 长度为45×4＝180(cm)．
202－122＝256，∴CD＝16cm.∴BC＝CD－ 10．125cm
BD＝16－5＝11(cm)．∴S ＝·BC·AD＝
△ABC
×11×12＝66(cm2)．故答案为126或66.
【变式题】90或10 解析：分两种情况
讨论：①当等腰三角形为锐角三角形时，可
求得底边长的平方为10；②当等腰三角形为
钝角三角形时，可求得底边长的平方为90.
4．A 解析：分三种情况：①当AD＝AB
时，得CD＝BC＝3；②当AD＝BD时，设CD
＝x，则AD＝x＋3，由勾股定理列出方程(x
＋3)2＝x2＋42，解得x＝；③当BD＝AB时，
由勾股定理求出AB＝5，即可得出CD＝5－
3＝2.故CD的长为3，或2.
5．C 解析：设BD＝2x，则AD＝5x，在
Rt△ACD与Rt△BCD中，AC2－AD2＝BC2
－BD2，即172－(5x)2＝102－(2x)2，解得x＝
3，即BD＝6.
6．84 7.
8．解：∵四边形 ABCD 是长方形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD.由折叠的性质
可知∠D′＝∠D，CD＝CD′，∴∠B＝∠D′，
AB ＝ CD′. 又 ∵ ∠ AEB ＝ ∠ CED′ ，
∴△ABE≌△CD′E.∴AE＝CE.设AE＝xcm，
在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即62＋(8－
x)2＝x2，∴x＝，∴CE＝AE＝cm.∴S
阴影
＝·CE·AB＝××6＝(cm2)．
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