文档内容
第二十四章 圆
专题18 直线与圆的位置关系重难点题型专训（十二大题型）
【题型目录】
题型一 判断直线与圆的位置关系
题型二 已知直线与圆的位置关系求半径的取值
题型三 已知直线与圆的位置关系求圆心角到直线的距离
题型四 求直线平移到与圆相切时运动的距离
题型五 切线的判定定理
题型六 切线的性质定理
题型七 切线的性质与判定定理
题型八 切线长定理的应用
题型九 三角形内心的有关应用
题型十 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
题型十一 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
题型十二 圆的综合问题
【知识梳理】
知识点一、直线和圆的位置关系
1. 设 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系 图形 定义 性质及判定
r O
相离 直线与圆没有公共点 直线 与 相离
d l
r 直线与圆有唯一公共点，直线叫做
相切 O 直线 与 相切
d l 圆的切线，公共点叫做切点
r 直线与圆有两个公共点，直线叫做
相交 O 直线 与 相交
d
l 圆的割线
从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：直线和圆的位置关系 相交 相切 相离
公共点个数
圆心到直线的距离 与半径 的关系
公共点名称 交点 切点 —
直线名称 割线 切线 —
2.切线的判定与性质
（1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。
（2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。
拓展
推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。
圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；
（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理
解为“二推一”。
3.三角形的内切圆
（1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的
交点，叫作三角形的内心。
（2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。
点拨：
（1）设直角三角形的两条直角边长为 斜边长为c，则它的内切圆半径 ；
（2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等；
（3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即 其中 为
的内切圆半径， 分别为 的三边长。
（3）切线长
（1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条
切线的夹角。
点拨：切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。
（4）多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形．总结：
4．圆和圆的位置关系的定义、性质及判定
设 的半径分别为 （其中 ），两圆圆心距为 ，则两圆位置关系如下表：
位置关系 图形 定义 性质及判定
r R 两个圆没有公共点，并且每个圆上
外离 两圆外离
O1 O2 的点都在另一个圆的外部．
两个圆有唯一公共点，并且除了这
r R
外切 个公共点之外，每个圆上的点都在 两圆外切
O1 O2
另一个圆的外部．
相交 两个圆有两个公共点． 两圆相交
O1
R
O2
两个圆有唯一公共点，并且除了这
r
内切
O 1O
2 个公共点之外，一个圆上的点都在 两圆内切
R
另一个圆的内部．两个圆没有公共点，并且一个圆上
R
内含 的点都在另一个圆的内部，两圆同 两圆内含
r O1 O2
心是两圆内含的一种特例．
说明：圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离
与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．
【经典例题一 判断直线与圆的位置关系】
1．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试） 中， ， ， ，以 为圆心，
以 长为半径作 ，则 与 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】C
【分析】此题首先应求得圆心到直线的距离，根据直角三角形的面积公式即可求得；再进一步根据这些和
圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．
【详解】解：根据勾股定理求得 ．
， ，
， ，
上的高为： ，
即圆心到直线的距离是2.4．
，
直线和圆相交．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，关键是根据三角形的面积求出斜边上的高的长度．注意：
直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
2．（2023春·九年级单元测试）如图，在平行四边形ABCD中， ， ，以顶点C为圆
心，BC为半径作圆，则AD边所在直线与 的位置关系是（ ）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种都有可能
【答案】A
【分析】根据面积公式计算点C到AD的距离d，比较d与半径BC的大小判断即可．
【详解】∵在平行四边形ABCD中， ， ，
∴点C到AD的距离d= ，
∴直线与圆C相交，
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的面积，直线与圆的位置关系d、r法则，熟练掌握法则是解题的关键．
3．（2023春·河北秦皇岛·九年级统考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以 为半径的圆的圆心P
的坐标为 ，将 沿y轴负方向平移 个单位长度，则x轴与 的位置关系是 ．
【答案】相交
【分析】根据点P的坐标得出 ，进而得出平移后 ，再将点O到圆心的距离与半径比较，即
可x轴和圆的位置关系．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
将 沿y轴负方向平移 个单位长度后， ，
∵ ，∴平移后x轴与 的位置关系是相交，
故答案为：相交．
【点睛】本题主要考查了直线和圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆的位置关系有相交，相切，相
离；若圆到直线的距离为d， 时，圆与直线相交； 时，圆与直线相切； 时，圆与直线相离．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形 中， ， ，以 为直径作 ，
延长 到点 ，使 ，点 是 上的动点，线段 的中点为 ，点 为 上一动点．
（1）直线 与 的位置关系为 ；
（2） 的最小值为 ．
【答案】 相离 17
【分析】（1）根据矩形的性质得出点 到 距离为 ，根据圆心到直线大于半径即可得出结论；
（2）根据题意得出 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，根据轴对称的性质连接 ，交 于点 ，
则此时 取得最小值，勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）∵在矩形 中， ， ，
∴ ,点 到 距离为 ，
∵ ，
∴直线 与 的位置关系为相离，
故答案为：相离．
（2）如图所示，连接 ，
∵ ， ，
∴ 为 的中点，
∵线段 的中点为 ，
∴ ，
即 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
作点 关于 的对称轴点 ，则连接 ，交 于点 ，则此时 取得最小值，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线的性质，轴对称的性质，直线与圆的位置关系，熟练
掌握以上知识是解题的关键．
5．（2023秋·九年级课时练习）如图所示，正方形 的边长为2， 和 相交于点 ，过 作
，交 于 ，交 于 ，则以点 为圆心， 为半径的圆与直线 ， 的位置关系分别是
什么？
【答案】见解析
【分析】求点B到 的距离，即 ，可知与 的半径相等，故圆与直线 相切；点B到 的距离
，小于 的半径，故圆与直线 相交.
【详解】由题中已知条件，得 ， ，
即点 到 的距离为 ，与 的半径相等，∴直线 与 相切．
∵ ， ，
∴ ，垂足为 ，且 ，
∴直线 与 相交．
【点睛】本题考查正方形的性质，直线与圆的位置关系判定，根据点到直线的距离与半径的大小关系判定
直线与圆的位置关系是解题的关键．
6．（2023秋·九年级课时练习）如图，在 中， ， 为边 上一点
（不与点 重合）．若 的半径为 ，当 在什么范围内取值时，直线 与 相离、
相切、相交？
【答案】当 时，直线 与 相离；当 时，直线 与 相切；当 时，直线
与 相交
【分析】作 于点D，根据直角三角形的性质得出 ，根据直线和圆的位置关系进行解
答即可．
【详解】解：作 于点D，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
.∵ ，
∴ ，
若 与直线 相离，则有 ，即 ，解得 ，∴ ；若 与直线 相切，则有 ，即 ，解得 ；
若 与直线 相交，则有 ，即 ，解得 ，∴ ；
综上可知：当 时，直线 与 相离；当 时，直线 与 相切；当 时，直线
与 相交．
【点睛】本题主要考查了直线和圆的位置关系，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形的
性质得出 ．
【经典例题二 已知直线与圆的位置关系求半径的取值】
1．（2023春·山东东营·九年级统考开学考试）Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，若以点C为圆心
r为半径的圆与AB所在直线相交，则r可能为（ △ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
【答案】D
【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求出BC=8，再利用面积法求出CD的长，即可得到答案．
【详解】如图，Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，
△
∴BC= 8，
∵ ，
∴CD= ，
∴当 时，以点C为圆心r为半径的圆与AB所在直线相交，
故选：D．
．
【点睛】此题考查勾股定理，三角形的面积法求斜边上的高线，直线与圆相交的交点个数，理解以点C为
圆心r为半径的圆与AB所在直线相交先求出最短距离进行判断是解题的关键．2．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在矩形纸片ABCD中， ， ，点E是AB的中点，点
F是AD边上的一个动点，将 沿EF所在直线翻折，得到 ，则 的长的最小值是
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点 在线段CE上时， 的长取最小值，根
据折叠的性质可知 ，在 中利用勾股定理可求出CE的长度，用 即可求出结论．
【详解】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点 在线段CE上时， 的长取最小值，如
图所示，
根据折叠可知： ．
在 中， ， ， ，
，
的最小值 ．
故选D．
【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出 取最小值时点 的位置是
解题的关键．
3．（2023·广东东莞·校考一模）在 中， ， ， ．那么以 为圆心，
为半径的 与 相切．【答案】 /2.4/
【分析】设点 到 的距离为 ，由 ， ， ，根据勾股定理求得
，则 ，所以 ，则当 的半径为 时， 与 相切，于是得
到问题的答案．
【详解】解：设点 到 的距离为 ，
， ， ，
，
，
，
解得 ，
当 的半径为 时， 与 相切，
故答案为： ．
【点睛】此题重点考查勾股定理、切线的判定、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，求出
斜边 上的高是解题的关键．
4．（2023秋·九年级课时练习）如图，在 中， ，以 为圆心， 为半径
作圆．若该圆与线段 只有一个交点，则 的取值范围为 ．
【答案】 或
【分析】先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出BC，即可得出答案．
【详解】解：过C作CD⊥AB于D，在Rt△BCA中，
∵∠ACB=90°，AC=2，∠B=30°，
∴AB=4，
∴ ，
根据三角形的面积公式得：AB•CD=AC•BC，
∴ ，
当圆与时AB相切时，r= ，
当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是2＜r≤2 ，
综上所述：r的取值范围是r= 或2＜r≤2 ，
故答案为：r= 或2＜r≤2 ．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，切线的性质，勾股定理的应用，能求出符合题意的所有情况是
解此题的关键，用了分类讨论思想．
5．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）圆心O到直线l的距离为d， 半径为r，若d、r是方程
的两个根，且直线l与 相切，求m的值．
【答案】9
【分析】先根据切线的性质得出方程有两个相等的实根，再根据 即可求出m的值．
【详解】∵d、r是方程 的两个根，且直线L与 相切，
∴ ，
∴方程有两个相等的实根，
∴ ，
解得， ．【点睛】此题考查了直线和圆的位置关系，一元二次方程的判别式，解题的关键是根据题意得到方程有两
个相等的实根．
6．（2023秋·九年级课时练习）如图， 为正比例函数 图象上的一个动点， 的半径为 ，设点
的坐标为 ．
(1)求 与直线 相切时点 的坐标．
(2)请直接写出 与直线 相交、相离时 的取值范围．
【答案】(1) 或
(2) 或
【分析】（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点 的横坐标，再根据直线
的解析式求得点 的纵坐标．
（2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时 的取值范围．
【详解】（1）解：过 作直线 的垂线，垂足为 ；
当点 在直线 右侧时， ，解得 ；∴ ；
当点 在直线 左侧时， ，得 ，
∴ ，
∴当 与直线 相切时，点 的坐标为 或 ．
（2）解：由（1）可知当 时， 与直线 相交
当 或 时， 与直线 相离．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的不同位置关系应满足的数量关系，根据数量关
系正确求解是解题的关键．
【经典例题三 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知 是以数轴原点 为圆心，半径为1的圆，
，点 在数轴上运动，若过点 且与 平行的直线与 有公共点，设 ，则 的取值
范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交，相切时，设切点为C，连接 ，根据等腰直
角三角形的直角边是圆的半径1，求得斜边是 ，所以x的取值范围是 ．
【详解】解：设切点为 ，连接 ，则
圆的半径 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理，原点左侧的距离也是 ，且线段是正数
所以x的取值范围是
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及直径所对的圆周角是直角等知识，解题关键是求出相
切的时候的x值，即可分析出x的取值范围．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，半径 的⊙M在 轴上平移，且圆心M在x轴上，当
⊙M与直线 相切时，圆心M的坐标为（ ）
A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0）
【答案】D
【分析】根据题意，进行分情况讨论，分别为圆位于直线右侧并与直线相切和位于直线左侧并于直线相切
两种情况，进而根据相切的性质及等腰直角三角形的相关性质进行求解即可得解．
【详解】①当圆位于直线右侧并与直线相切时，连接MA，如下图所示：
∵
∴ ， ， 是等腰直角三角形，
∴
∵
∴ 是等腰直角三角形，
∴⊙M与直线AB相切于点A
∵
∴
∴圆心M的坐标为 ；②当圆位于直线左侧并与直线相切时，过点M作 于点C，如下图所示：
∵⊙M与直线AB相切，
∴
根据直线AB的解析式： 可知
∴ 是等腰直角三角形
∴
∵
∴圆心M的坐标为 ，综上所述：圆心M的坐标为 或 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质及动圆问题，熟练掌握相关几何求解方法并
进行分类讨论是解决本题的关键．
3．（2023秋·九年级课时练习）以点 为圆心， 为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则 的
值为 ．
【答案】 或
【分析】作 轴，连结 ，根据勾股定理计算出 ，然后根据直线与圆的位置关系即可得到满
足条件的 的取值为 且 ．
【详解】作 轴，连结 ，如图，
∵点 的坐标为 ，
∴ ， ，∴ ，
∵以点 为圆心， 为半径的圆 与坐标轴恰好有三个公共点，
∴ 过点 或者 与 轴相切，
∴ 或 ．
故答案为 或 ．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ：①直线 和
相交 ；②直线 和 相切 ；③直线 和 相离 ．也考查了坐标与图形性质．
⇔ ⇔ ⇔
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径为2，直线l的解析
式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】若直线l与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线l和半圆相切于点 或从直线l过点 开始到
直线过点 结束（不包括直线l过点 ．当直线l和半圆相切于点 时，根据直线l的解析式知直线l与
轴所形成的锐角是 ，从而求得 ，即可求出点 的坐标，进一步求得 的值；当直线l过点A
或点 时，直接根据待定系数法求得 的值即可．
【详解】解：根据题意可得：若直线l与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线l和半圆相切于点 或从
直线l过点 开始到直线l过点 结束（不包括直线l过点 ，
∵直线l的解析式为y＝x+t，
∴直线l与 轴所形成的锐角是 ，
过点C作CD⊥x轴于点D，则 ．当直线l和半圆相切于点 时，则 垂直于直线l， ，
∴ 为等腰直角三角形．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： （舍负），
∴ ，
即点 ， ，
把点 的坐标代入直线解析式，得 ，
当直线l过点 时，把点 代入直线解析式，得 ；
当直线l过点 时，把点 代入直线解析式，得 ．
即当 或 时，直线l和半圆只有一个公共点，
故答案为： 或 ．
【点睛】此题综合考查了直线和圆的位置关系以及用待定系数法求解直线的解析式等知识，根据题意得到
直线l与半圆只有一个交点的两种不同情况是解决本题的关键．
5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知 的半径为 ，点 到直线 的距离为 ，且直线 与 相切，
若 ， 分别是方程 的两个根，求 的值．
【答案】
【分析】根据直线与圆相切的条件得 ，再根据一元二次方程根的判别式列出方程即得．
【详解】∵由题意可知 ．∴方程 的两根相等
∴
解得： ．
【点睛】本题考查了直线与圆相切的条件及一元二次方程根的判别式，解题关键是熟知直线与圆相切的条
件是圆心到直线的距离等于圆的半径，判别式 时，一元二次方程有两个相等实数根．
6．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，已知直线y＝ x﹣6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是
以C（0，3）为圆心，3为半径的圆上一动点，连结PA、PB．
（1）求圆心C到直线AB的距离；
（2）求△PAB面积的最大值．
【答案】（1） ；（2）51．
【分析】（1）求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB．过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线
交⊙C于N，则由三角形面积面积法求高，可知圆心C到直线AB的距离；
（2）由（1）中的数据即可求出圆C上点到AB的最大距离，根据面积公式求出即可．
【详解】解：解：（1）如图1，过C作 于M，连接AC，MC的延长线交 于N，
由题意： ， ，， ， ．
，
则由三角形面积公式得， ，
，
，
圆心C到直线AB的距离是 ；
（2）由（1）知，圆心C到直线AB的距离是 ．
则圆C上点到直线 的最大距离是 ，
故 面积的最大值是： ．
【点睛】本题综合考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，直线与圆的位置关系，
解此题的关键是由三角形面积法求高得出圆心C到直线AB的距离，难度不是很大．
【经典例题四 求直线平移到与圆相切时运动的距离】
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线 ， 与 和 分别相切于点 和点 ．点 和点
分别是 和 上的动点， 沿 和 平移． 的半径为 ， ．下列结论错误的是（ ）．
A． B．若 与 相切，则C．若 ，则 与 相切 D． 和 的距离为
【答案】B
【分析】根据直线与圆的相关知识，逐一判断．
【详解】解：A、平移 使点 与 重合， ， ，解直角三角形得 ，正确；
B、当 与圆相切时， ， 在 左侧以及 ， 在 ， 右侧时， 或 ，错误；
C、若 ，连接 并延长交 于点 ，则 ，故 ， ，
故 上的高为 ，即 到 的距离等于半径．正确；
D、 ，两平行线之间的距离为线段 的长，即直径 ，正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了直线与圆相切的判断方法和性质，全等三角形的判定及性质，平行线间的距离，熟练
掌握直线与圆相切的判断方法和性质是解题的关键．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于
点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设直线AB的解析式为y=x+b，当直线与圆相切时切点为C，连接OC，则OC=1，由于直线AB与
x轴正方向夹角为45°，所以△AOC是等腰直角三角形，故OC=PC=1再根据勾股定理求出OA的长即可．【详解】∵直线AB与x轴正方向夹角为45°，
∴设直线AB的解析式为y=x+b，切点为C，连接OC，
∴ ，
∵⊙O的半径为1，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴OC=PC=1，
∴OA= = ，
∴P（ ，0），
同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P（ ，0），
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出
发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若 ，则
PC长的最小值为 ．
【答案】
【分析】先证明 ，得出 ，证出 ，得出点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径一条弧 ，连接OC交圆O于P，此时PC最小， ，由勾股定理求出
，得出 即可．
【详解】解：由题意得： ，
∵四边形ABCD是正方形，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧 ，是这个圆的 ，如图所示：
连接OC交圆O于P，此时PC最小，
，
，
由勾股定理得： ，
；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线 、 相交于点 ， ，半径为 的圆的
圆心P在直线 上，且与点 的距离为 ，若点 以 的速度由A向B的方向运动，当运动时间
为 时， 与直线 相切．
【答案】 或
【分析】 在射线 上或在射线 上，设对应的圆的圆心分别在M，根据切线的性质，在
中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得 的长，进而求得 的长，从而求得由P
到M移动的时间；根据 ，即可求得 ，也可以求得由P到M移动的时间．
【详解】解：当 在射线 上，设 与 相切于点E，P移动到M时，连接 ．
∵ 与直线 相切，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
则 ，
∵ 以 的速度沿由A向B的方向移动，
∴ 移动 时与直线 相切．
当 在射线 上时，同理可求 移动 时与直线 相切．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，注意已知圆的切线时，常用的辅助线是连接圆
心与切点，本题中注意到分两种情况讨论是解题的关键．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐
标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离．
【答案】1或5．
【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．
【详解】当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；
当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．
故答案为：1或5．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的
半径．
6．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线y= x+b（b>0）与x轴、y轴交于点A、B，在直线AB上
取一点C，过点C作x轴的垂线，垂足为E，若点E（4，0）．
（1）若EC=BC，求b的值；
（2）在（1）的条件下，有一动点P从点B出发，延着射线BC方向以每秒1个单位的速度运动，以点P
为圆心，作半径为 的圆，动点Q从点O出发，在线段OE上以每秒1个单位的速度作来回运动，过点Q
作直线l垂直x轴，点P与点Q同时从点B、点O开始运动，问经过多少秒后，直线l和⊙P相切．
【答案】（1）b=2；（2）t= 或 或 .
【分析】（1）作出辅助线,求出点B、C坐标代入解析式即可求解,
（2）分类讨论,利用圆心到切线的距离等于半径即可解题.【详解】作BH⊥CE.∵E（4,0）,
∴OE=BH=4,把x=4代入y= x+b=3+b,∴CE=3+b.∵B(0,b),∴EH=OB=b,CH=3.在Rt△BCH中,BC=5=CE,∴C
（4,5）代入y= x+b,得b=2
（2）设点P到直线l的距离为d.作PH⊥y轴于点H,则PH= t.
①当0 ,舍去.（第3种情况酌情给分,舍去的
理由合情描述即可）
综上所述,t= 或 或 .
【点睛】本题考查求解一次函数参数,直线与圆的位置关系,分类讨论是解题关键.
【经典例题五 切线的判定定理】
1．（2023·河南濮阳·统考一模）如图1和图2，已知点P是 上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，
使它与 相切于点P．以下是甲、乙两人的作法：
甲：如图1，连接 ，以点P为圆心， 长为半径画弧交 于点A，连接并延长 ，再在 上截取
，直线 即为所求；
乙：如图2，作直径 ，在 上取一点B（异于点P，A），连接 和 ，过点P作 ，则
直线 即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ）A．甲、乙两人的作法都正确 B．甲、乙两人的作法都错误
C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲的作法错误，乙的作法正确
【答案】A
【分析】对于甲先证明 是等边三角形，得到 ，再由 ，得到
，即可利用三角形外角的性质得到 ，则 ，即可证明 是
的切线；
对于乙由直径所对的圆周角是直角得到 ，则 ，进而得到 ，
则 ，即可证明 是 的切线．
【详解】解：甲正确．
理由：如图1中，连接 ．
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的切线，
乙正确．
理由：∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的切线，
故选：A．【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等，
灵活运用所学知识是解题的关键．
2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，O为 的外心，四边形 为正方形．以下结论：①O是
的外心；②O是 的外心；③直线 与 的外接圆相切．其中所有正确结论的序号是
（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】根据三角形外形的性质可得 ，根据正方形的性质可得 ，即可判断①；
求出正方形 对角线 ，即可判断②；根据切线的判定，即可判断③．
【详解】解：连接 ，
∵O为 的外心，
∴ ，
①∵四边形 为正方形．
∴ ，
∴ ，
∴O是 的外心；
故①正确；②连接 ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
∴O不是 的外心；
故②不正确；
③由①可得： ，
∴点E在 上，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴直线 与 的外接圆相切．
故③正确；
综上：正确的有①③．
故选：B．【点睛】本题主要考查了外心的定义，正方形的性质，切线的判定，解题的关键是掌握三角形的外心到三
个顶点距离相等，正方形四条边都相等，四个角都是直角．
3．（2023秋·九年级课时练习）如图，以 的边 为直径的 恰好过 的中点 ，过点 作
于点 ，连接 ， ，有下列结论：① ；② ；③ ；④ 是
的切线；⑤ ．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②③④⑤
【分析】三角形的中位线定理，判断①；圆周角定理和中点，得到 是 的中垂线，得到 ，判
断②③；根据 ，得到 ，判断④；等角的余角相等，判断⑤．
【详解】解：∵ 为 的中点， 为 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，故①正确；
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ 为线段 的中垂线，
∴
∴ ，故②③正确；
∵ ，
∴ ，
又 为 的半径，
∴ 是 的切线；故④正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故⑤正确；
综上：正确的是①②③④⑤；故答案为：①②③④⑤．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，中垂线的判定和性质，圆周角定理，切线的判定和性质．熟练掌
握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
4．（2023春·九年级单元测试）已知，如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，A（1，0），AB＝
2．
（1）点C坐标为 ．
（2）若y轴上存在点M，使得∠AMB＝∠BCA，则这样的点有 个．
【答案】 （3， ） 2
【分析】（1）先根据含30度直角三角形的性质得到AC的长，进而求出BC的长即可得到点C的坐标；
（2）如图所示，取AC中点E，过点E作EF⊥AB于F，EG⊥y轴于G，则四边形EFOG是矩形，证明圆E
与y轴相切，即圆E与y轴只有一个交点，再由圆周角定理得到∠AGB=∠ACB，即当点M与点G重合时满
足题意，据此即可得到答案．
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，
∴∠C=30°，
∴ ，
∴ ，
又∵OA=1，
∴OB=OA+AB=3，
∴点C的坐标为（3， ），
故答案为：（3， ）
（2）如图所示，取AC中点E，过点E作EF⊥AB于F，EG⊥y轴于G，则四边形EFOG是矩形，
∴EG=OF，
∵E是AC的中点，∴ ，
同理可得∠AEF=30°，
∴ ，
∴GE=OF=OA+AF=2，
又∵EG⊥y轴，
∴圆E与y轴相切，即圆E与y轴只有一个交点，
∵当以E为圆心，2为半径画圆时，点A、B、C、G都在圆E上，
∴∠AGB=∠ACB，即当点M与点G重合时满足题意，
∴此情形下只有一个点满足题意，
由对称性可知当M在y轴下方时也有一个点满足题意，
∴一共有2个点满足题意，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，圆切线的判定，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，矩形
的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 是⊙ 的直径， 、 都是⊙ 上的点， 平分 ，
过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ．
(1)求证： 是⊙ 的切线；
(2)若 ， ，求 的值．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，根据 平分 ，则 ，根据 ，等量代换，得
，根据平行线的判定和性质，得 ，推出 ，即可；
（2）连接 ， 交 于点 ；根据直径所对的圆周角是直角，则 ，根据勾股定理求出
，根据等腰三角形三线合一，则 ， ；根据矩形的判定，得四边形 是矩形，
则 ，即可．
【详解】（1）证明如下：
连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是⊙ 的切线．
（2）连接 ， 交 于点 ，
∵ 是⊙ 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ．
【点睛】本题考查圆的切线，等腰三角形，矩形的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线判定，等
腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．
6．（2023秋·九年级课时练习）如图， 是 的弦， 交 于 ， ， ．
(1)求 的长；
(2)若 是 的中点，求证： 是 的切线．【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出 的度数，进而根据含 度角的直
角三角形的性质，勾股定理求得 的长，最后由垂径定理可得 的长．
（2）由于点 在圆上，可根据“连半径，证垂直”可证得 是 的切线．
【详解】（1）连接 ， ，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）由（1） ，
而 ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ 是 的切线．
【点睛】本题主要考查了圆的性质，其中熟知圆的垂径定理以及圆的切线常用证明方法是解决本题的关键．
【经典例题六 切线的性质定理】
1．（2023春·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图， 是 的直径， ， 是
的弦， 是 的切线， 为切点， 与 交于点 ．若点 为 的中点， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图：连接 ，根据切线的性质得到 ，根据直角三角形的性质求出 ，由点 为
的中点可得 ,最后等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：如图：连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点 为 的中点，∴ ，
∵ ，
∴ ,
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识
成为解答本题的关键．
2．（2022·安徽·合肥38中校考模拟预测）如图， 是 的直径，点 是 延长线上的一点，且
.点 是 上的一点，点 和点 关于直线 对称，设 ，则下列是真命题的是
（ ）
A．当 是 的切线时，四边形 是正方形
B．当 时， 可能为等边三角形
C．当线段 与 只有一个公共点 点时， 的范围是
D．当线段 与 有两个交点 、 时，若 于点 ，则
【答案】D
【分析】根据切线的性质、等边三角形的性质与判定及三角形中位线可进行求解．
【详解】解：由题意可知，点 是四边形 的对角线 的中点，故当点 与点 不重合时， 不
经过点 ，则四边形 不可能是特殊四边形， 不可能为等边三角形；
如图1，在点 与 只有一个公共点的情况下，当 是 的切线时， 的度数取最大值，且
，故 ，
∴ 的范围是 ；
如图2，连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
又∵ ，∴ ，则 是 的中位线， 是 的中位线；
∴ ，
∴ ；
故选D．
【点睛】本题主要考查切线的性质、正方形的判定及三角形中位线，熟练掌握切线的性质、正方形的判定
及三角形中位线是解题的关键．
3．（2023秋·九年级课时练习）如图 是 的弦， 交 于点 ，过点 的切线交 的延长
线于点 ．若 的半径为 ，则 的长为 ．
【答案】2
【分析】根据切线的性质可得 ，从而可得 ，再根据垂直定义可得
，从而可得 ，然后利用等腰三角形的性质，以及等角的余角相等，对顶角相等
可得 ，从而可得 ，最后在 中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】解： 与 相切于点 ，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
设 ，
在 中， ，
，
，
．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质，以及等腰三角形
的判定是解题的关键．
4．（2023秋·九年级课时练习）如图， 是 的直径，点 在 上， 是 的中点，过点 作
的切线，交 的延长线于点 ，连接 ．若 ，则 的度数为 ．
【答案】 / 度
【分析】先根据垂径定理得到 ，根据切线的性质得到 ，则 ，再根据平行线的性
质得到 ，然后根据圆周角定理得到 ，则利用互余可计算出 的度数．
【详解】解： 是 的直径， 是 的中点，
，
为 的切线，
，
，，
是 的直径，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆周角定理．
5．（2021秋·甘肃定西·九年级校联考阶段练习）如图， 为 的直径， 切 于点E， 于
点C．
(1)求证： 平分
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）连接 ，根据等边对等角，得到 ，根据切线的性质，以及 ，推出
，进而推出 ，即可得证；
（2）连接 ，利用圆周角定理和含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：连接 ，则： ，
∴ ，
∵ 切 于点E，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 平分 ；
（2）解：如图，连接 ，
则： ，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即： 的半径为2．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质．熟练掌握相关知识点，并灵
活运用，是解题的关键．
6．（2023·陕西咸阳·校考二模）如图， 为 的直径，点 为 上一点，连接 、 ，过点 作
的切线 ，连接 交 于点 ， ．(1)求证： ；
(2)若 ，求 的直径 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由 为 的切线， 为切点，可得 ，即 ， ，
由 ，可得 ，由 ，可得 ，即
，进而可得 ．
（2）设 ，则 ，在 中， ，在
中， ，即 ，解得 ，则 ，即 的半径为
，进而可求直径 的长．
【详解】（1）证明：∵ 为 的切线， 为切点，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：设 ，则 ．在 中， ，
在 中， ，即 ，解得 ，
∴ ，即 的半径为 ，
∴ 的直径 的长为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌
握与灵活运用．
【经典例题七 切线的性质与判定定理结合】
1．（2023·广东深圳·校考三模）矩形ABCD的对角线BD=4，DE⊥AC于点E，则当∠DBE最大时，BE的
长度为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】设 与 的交点为点F，由矩形的性质可得 ，若 固定不动，则E随
的位置变动而变化，因 ，所以点E运动的轨迹是以 为直径的圆，设该圆圆心为O，不难知道，
当 时，即 为⊙O的切线时， 最大，利用勾股定理即可求出答案．
【详解】设 与 的交点为点F，由矩形的性质可得 ，
，
点在以 为直径的 上，如下图，∵当 是⊙O的切线时， 最大，
∴当 最大时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、切线的性质、圆的基本性质，关键在于确定E点运动轨迹，有一定难度．
2．（2023春·九年级单元测试）如图，在矩形 中， ， 是边 上一点，且 ．已
知 经过点 ，与边 所在直线相切于点 （ 为锐角），与边 所在直线交于另一点 ，且
，当边 或 所在的直线与 相切时， 的长是（ ）
A．9 B．4 C．12或4 D．12或9
【答案】C
【分析】边BC所在的直线与⊙O相切时，过点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN＝NF，由
，得EG：EN＝ ，依据勾股定理即可求得x的值，然后再次利用勾股定理求出半径
r，根据 计算即可；当边AD所在的直线与⊙O相切时，同理可求AB＝4．【详解】解：边BC所在的直线与⊙O相切时，
如图，
切点为K，连接OK，过点G作GN⊥AB，垂足为N，
∴EN＝NF，
又∵ ，
∴EG：EN＝ ，
又∵GN＝AD＝8，
∴设EN＝x，则GE＝ ，
根据勾股定理得： ，
解得：x＝4，
∴GE＝ ，
设⊙O的半径为r，由OE2＝EN2＋ON2，
得：r2＝16＋（8−r）2，
∴r＝5，
∴OK＝NB＝5，
∴EB＝9，
又 ，即 ，
∴AB＝12；
当边AD所在的直线与⊙O相切时，切点为H，连接OH，过点G作GN⊥AB，垂足为N，同理，可得OH＝AN＝5，
∴AE＝1，
又 ，
∴AB＝4，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅助线，利
用勾股定理求出对应圆的半径．
3．（2023秋·江西新余·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交
于点 、 ，半径为 的 的圆心 从点 （点 在直线 上）出发以每秒 个单位长度
的速度沿射线 运动，设点 运动的时间为 秒，则当 时， 与坐标轴相切．
【答案】 或 或
【分析】设 与坐标轴的切点为 ，根据已知条件得到 ， ， ，求得 ，
， ，证明出 是等腰直角三角形， ，然后分三种情况进行讨论：
①当 与 轴相切时，②如图， 与 轴和 轴都相切时，③当 只与 轴相切时．
【详解】解：设 与坐标轴的切点为 ，∵直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，点 ，
∴ 时， ，
时， ，
时， ，
∴ ， ， ，
根据勾股定理： ， ， ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
①如图，当 与 轴相切时，
∵点 是切点， 的半径是 ，
∴ 轴， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 的速度为每秒 个单位长度，
∴ ；
②如图，当 与 轴和 轴都相切时，
∵ ，
∴ ，∵点 的速度为每秒 个单位长度，
∴ ；
③当 只与 轴相切时，
∵ ，
∴ ，
∵点 的速度为每秒 个单位长度，
∴ ．
综上所述，则当 或 或 秒时， 与坐标轴相切．
故答案为： 或 或
【点睛】本题考查了切线的判定、一次函数与坐标轴的交点、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理，
解本题的关键在掌握切线的判定及性质，利用分类讨论的思想求解．
4．（2023春·江苏盐城·八年级景山中学校考期末）【观察思考】
某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块 在平直滑道 上可以左右滑动，在 滑动的过程中，连杆 也随之运动，并且 带动连杆 绕固定点 摆动．在摆动过
程中，两连杆的接点 在以 为半径的 上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，
过点 作 于点 ，并测得 分米， 分米， 分米．
【解决问题】
(1)点 在 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是_________分米．
(2)如图3，小明同学说：“当点 滑动到点 的位置时， 与 是相切的．”你认为他的判断对吗？为
什么？
(3)①小丽同学发现：“当点 运动到 上时，点 到 的距离最小．”事实上，还存在着点 到 距离最
大的位置，此时，点 到 的距离是_________分米；
②当 绕点 左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积的最大值．
【答案】(1)12
(2)不对，详见解析
(3)①6，②
【分析】（1）当O、P、Q三点共线时，在 中，由勾股定理可求得 的长度即可解答；
（2）显然不对，当Q、H重合时， ，显然构不成直角三角形，故 与 不相
切；
（3）①当P到直线l的距离最长时，这个最大距离为 ，此时 直线l；
②当P到直线l的距离最大时， 无法再向下摆动，若设点P摆动的两个极限位置为P、 ，连接 ，则四边形 是矩形，设 与 交于点D，那么 ，则 ，在
中， ，则 ， ，最后根据扇形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：当O、P、Q三点共线时， 分米
在 中，
由勾股定理可求得 ，
∴点 在 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 分米．
故答案为：12；
（2）解：不对．理由如下：
∵ ，
∵当Q、H重合时， ，
∵ ，即 ，
∴ 与 不垂直．
∴ 与 不相切．
（3）解：①因为 的值永远是6，只有 时，点P到直线l的距离最大，此时最大的距离是6分米；
②由①知，在 上存在点P， 到l的距离为6，此时， 将不能再向下转动，
如图． 在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是 ．
连接 ，交 于点D，∵ 均与l垂直，且 ，
∴四边形 是矩形，
∴ , ．
∴ ，得 ．
∴ ．
∴所求最大圆心角的度数为 ．
∴这个扇形面积的最大值 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、切线的判定、矩形的判定和性质、垂径定理等知识点，灵活运用相关
知识是解答本题的关键．
【经典例题八 切线长定理的应用】
1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图， 为 的直径， ， 分别与⊙O相切于点B，C，过点C
作 的垂线，垂足为E，交 于点D．若 ，则 长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】作 于H，由垂径定理得到 的长，从而求出 的长，由勾股定理求出 的长，即可
求出 的长．
【详解】解：作 于H，
∵直径 于H，
∴ ，
∵ ， 分别切 于C，B，∴ ，直径 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，勾股定理，关键是通过辅助线构造直角
三角形，应用勾股定理求出 的长．
2．（2022秋·九年级单元测试）如图， 是 的内切圆， 、 、 为切点， ，
， ， 切 交 于 ，交 于 ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用切线长定理得到等边，再利用给出的三条边长，设未知数列方程组，计算出边长，再利用等
边换边得到 的周长．
【详解】 是 的内切圆,
、 、 是 的切线，又 切 于点K，
、 、 、 、 ，
的周长为：
设 ， ， ，
则 、 、 ，
解得 ，
的周长为： ．
故选D．
【点睛】本题考查切线长定理及边长的计算，需要理清目标和条件，正确且有条理的计算是解题的关键．
3．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，点 为 外一点，过点 作 的切线 ， ，点 ，
为切点，连接 并延长，交 的延长线于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 已知 ，
，则 的长为 ．
【答案】5
【分析】连接 ，根据勾股定理求出 的长度，进而得出 的长度，设 的半径为 ，则
， ，运用勾股定理列出方程，得出半径，进而得出答案．
【详解】解：如图所示，连接 ．， 为 的切线，
， ， ．
．
在 中， ，
．
设 的半径为 ，则 ， ．
在 中， ，即 ，
解得 ，
， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识点解题是关键．
4．（2023·江苏·统考二模）【感知】（1）如图1， 是 的两条切线，切点分别为点B、C，连
接 交 于点D，点E在优弧 上，且 ，则线段 的长为_____， 的度
数为_____， 的度数为_____．
【应用】请用无刻度的直尺与圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）如图2，点A是 外一点，请作出一条经过点A的 的切线 ，切点为点B；
（3）图3，点P、Q分别在直线 的两侧，请在直线 上确定一个点T，使得 与 的角平分线
在同一条直线上．请作出符合条件的 的角平分线 ．
【答案】（1）2， ， ；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）连接 ，利用圆周角定理求得 ，再利用切线长定理即可求解；
（2）连接 ，作线段 的垂直平分线确定其中点，再作以 为直径的圆，两圆的交点为B，作直线
即可得出答案；
（3）以P为圆心， 为半径作弧，交 于点R，连接 ，过点P作 的垂线 交 于点T，连接
，则 是 的角平分线．
【详解】解：（1）连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的两条切线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2， ， ；
（2）解：如图所示，直线 即为所求．
；
（3）解：如图所示，射线 即为所求．.
【点睛】本题主要考查作图—复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图和圆周角定理、垂径定
理、切线长定理．
【经典例题九 三角形内心的有关应用】
1．（2023·陕西宝鸡·统考一模）如图所示， 内接于 ，点M为 的内心，若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由三角形内角和定理求出 根据点M为 的内心可得
由三角形外角的性质得出 根据同弧所对的圆周角相等可得
最后根据三角形内角和定理可得出 ．
【详解】解：∵ 且 ，
∴
∵点M为 的内心，
∴
∴
∴
∵ 且∴ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，
熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
2．（2023·福建宁德·校考二模）如图，点 是 的内心， 的延长线交 于 ，点 、 关于
所在的直线对称，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的内心和三角形内角和，可以求得 的度数，再根据轴对称的性质和全等
三角形的判定和性质可以得到 ，然后根据 ，即可求得 的度数．
【详解】解： ，
，
， ，
，
点 、 关于 所在的直线对称，
， ，
在 和 中，
，
，
，
，
，故选：B．
【点睛】本题考查三角形的内切圆和内心、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键
是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．（2023·湖北·统考中考真题）如图，在 中， 的内切圆 与 分别相
切于点 ， ，连接 的延长线交 于点 ，则 ．
【答案】 / 度
【分析】如图所示，连接 ，设 交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出
，再由切线长定理得到 ，进而推出 是 的垂直平分线，即 ，则
．
【详解】解：如图所示，连接 ，设 交于H，
∵ 是 的内切圆，
∴ 分别是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 分别相切于点 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．【点睛】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三角
形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
4．（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图，已知 内接于 ，且 是 的直径，
(1)实践与操作：
请用尺规作图法作出 的内心I；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)推理与计算：
连接 并延长，与 交于另一点D．若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）因为 的内心I是角平分线的交点，所以作出任意两个角的平分线即可；
（2）根据 是 的直径， ， ，得，然后根据勾股定理求出 ，再根据角
的等量代换得 ，即可求 的长．
【详解】（1）解：如图1，点I为所求，（2）解：如图2，连接 ， ， ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查的是 的内心I以及圆的基本性质、勾股定理、角平分线的定义、等腰三角形
的判定与性质等知识内容，正确掌握 的内心I是角平分线的交点以及圆的基本性质是解题的关键．【经典例题十 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】
1．（2023·甘肃陇南·校考一模）如图， 与 的 的三边 分别相切于点D、
E、F，若 ，则 的半径为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】连接 ，首先根据切线长定理得到 ， ，然后证明出四边形
是正方形，然后设 ，根据勾股定理求解即可．
【详解】如图，
连接 ，
∵ 与 相切，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴矩形 是正方形，
∴ ，
设 ，
中， ， ， ，
由勾股定理得， ，
∴ ，
∴ （舍去），∴ ，
故选：D．
【点睛】此题考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
2．（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图， 为 的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知
， ， ，则 的半径为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】连接 、 、 ，根据切线长定理可得， 、 ，
，可得四边形 为正方形，即 ，在 中，利用勾股定理即可
求解．
【详解】连接 、 、 ，
根据切线长定理可得， 、 ， ，
又∵ ，
∴四边形 为正方形，即 ，
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴
解得 ， （舍去）
∴ 的半径为1，故选：C．
【点睛】本题考查了切线长定理及内切圆、勾股定理知识，熟练运用切线长定理是解题的关键．
3．（2023·江苏南京·统考二模）如图，正方形 的边长是 ， 是 边的中点．将该正方形沿
折叠，点 落在点 处． 分别与 ， ， 相切，切点分别为 ， ， ，则 的半径为
．
【答案】1
【分析】如图所示，延长 交 于M，连接 ，先证明 得到 ，设
设 ，则 ， ，利用勾股定理建立方程 ，
解方程求出 ，如图所示，连接 ，利用等面积法求出半径即
可．
【详解】解：如图所示，延长 交 于M，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵E为 的中点，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，∴ ，
解得 ，
∴ ，
如图所示，连接
∵ 分别与 ， ， 相切，切点分别为 ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径为 ，
故答案为；1．
【点睛】本题主要考查了三角形内切圆，正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，
正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
4．（2023秋·河北沧州·九年级校考期末）阅读材料：如图， 的周长为 ，面积为 ，内切圆☉ 的半
径为 ，探究 与 ， 之间的关系．
解：连接 、 、 ．∵ ，
，
，
∴ ，
∴
解决问题：
(1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半径．
(2)如图，若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，且面积为 ，各边长分别为 ， ， ， ，试
推导四边形的内切圆半径公式．
(3)若一个 边形( 为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为 ，各边长分别为 ， ， ， ，…， ，
合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，易得边长分别为5，12，13的三角形是直角三角形，根据直角三角形的性质可得
答案；
（2）设四边形 内切圆的圆心为 ，连接 、 、 ， ，类比阅读材料，可得，即可得出答案；
（3）由（1）（2）的结论，类比分析即可得出答案；
【详解】（1）∵ ，
∴此三角形为直角三角形，
∴三角形面积 ，
∴r= =2.
（2）设四边形 内切圆的圆心为 ，连接 、 、 ， .
则
∴r= .
（3）类比（1）（2）的结论，
易得在圆内切 边形中，有 成立
【点睛】本题主要被考查学生根据阅读材料，结合课本知识，分析、解决问题的能力，认真阅读材料，理
清题意是解此类题的关键．
【经典例题十一 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系】
1．（2023·湖南长沙·长沙市湘郡培粹实验中学校考三模）如图， 是 的内切圆，若 的周长
为18，面积为9，则 的半径是（ ）A．1 B． C．1.5 D．2
【答案】A
【分析】作辅助线如解析图，根据 ，代入数据求解即可.
【详解】解：如图，设 与 的各边分别相切于点E、F、G，连接 ，设
的半径为r，
则 ， ，
∵
，
又 的周长为18，面积为9，
∴ ，
∴ ，
故选：A.
【点睛】本题考查了利用三角形的面积求三角形的内切圆半径，掌握求解的方法是解题的关键.
2．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，在一张 纸片中， ， ， ，
是它的内切圆．小明用剪刀沿着 的切线 剪下一块三角形 ，则 的周长为（ ）A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】设 的内切圆切三边于点 ，连接 ，得四边形 是正方形，由切
线长定理可知 ，根据 是 的切线，可得 ， ，根据勾股定理可得 ，
再求出内切圆的半径 ，进而可得 的周长．
【详解】解：如图，设 的内切圆切三边于点 、 、 ，连接 、 、 ，
∴四边形 是正方形，
由切线长定理可知 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴
∵ 是 的内切圆，
∴内切圆的半径 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长 ．
故选：C．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．
3．（2021秋·贵州黔西·九年级校考期中）如图， 的内切圆 与两直角边 、 分别相切于
点D、E，过劣弧 （不包括端点D、E）上任一点P作 的切线 ，与 、 分别交于点M、
N， ， ，则 的周长为 ．
【答案】4
【分析】首先利用勾股定理求出斜边 的长度，再判断四边形 为正方形，然后利用切线长定理求
出内切圆半径，进而求出周长．
【详解】如图，连接 、 ，
在 中， ，设内切圆半径为r， 、 为 的切线，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴四边形 为正方形，
∴ ，
由切线长定理得， ， ， ， ，
∴ ，解得 ，
则的周长为
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质定理，切线长定理，解题关键是判断四边形 为正
方形，再依据切线长定理把三角形的周长化为两条切线长，再转化为半径进行求解．
4．（2021秋·九年级单元测试）如图，在 中， ， ，圆 内切于 ，切点分
别为 、 、 ．
（1）求 的周长；
（2）求内切圆的面积．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）利用切线长定理以及相似三角形的判定与性质得出DE，的长，进而得出答案；
（2）利用勾股定理得出 ABC内切圆的半径，进而得出内切圆的面积．
【详解】（1）连接 ，△ ， ，∵ ， ，圆 内切于 ，切点分别为 、 、 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为： ；
（2）连接 ， ，
由（1）得： ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴内切圆的面积为： ．
【点睛】此题主要考查了三角形内心的性质以及切线长定理和相似三角形的性质和判定等知识，根据题意
得出FO的长是解题关键．
【经典例题十二 圆的综合问题】
1．（2023春·湖北鄂州·九年级统考期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC
上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，则BE的最小值为（ ）A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】连接CE，可得∠CED＝∠CEA＝90°，从而知点E在以AC为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、B
共线时BE最小，根据勾股定理求得QB的长，即可得答案．
【详解】解：如图，连接CE，
∴∠CED＝∠CEA＝90°，
∴点E在以AC为直径的⊙Q上，
∵AC＝10，
∴QC＝QE＝5，
当点Q、E、B共线时BE最小，
∵BC＝12，
∴QB＝ ＝13，
∴BE＝QB﹣QE＝8，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为
圆外一点到圆上一点的最短距离问题．
2．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，由5个边长为1的小正方形组成的“L”形，圆O经过
其顶点A、B、C，则圆O的半径为（ ）A．5 B． C． D．
【答案】D
【分析】取AB的中点E，作 ，取圆心O，连接OB、OC，根据圆的性质，再结合勾股定理即可
求解；
【详解】解：取AB的中点E，作 ，取圆心O，连接OB、OC，
则
∵
设
解得：
∴
故选：D
【点睛】本题主要考查圆的性质、勾股定理，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．
3．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考二模）如图，已知 是 的直径，弦 于点 ，
．点 是劣弧 上任意一点（不与点 ， 重合）， 交 于点 ， 与 的延长线相交于点 ，设 ．
①则 （用含 的代数式表示）；
②当 时，则 ．
【答案】
【分析】①连接 ，先根据含 直角三角形的性质，得 ，再根据圆周角定
理，得 ， 即可得出结果；
②在 上取点 ，连接 ，使 ，先根据题意求出 ，设 ， ，在
中和 中，根据勾股定理，求出 即可．
【详解】解：①如图，连接 ，
在 中， ， ，
，
在 中， ，，
， ，
在 中， ，
故答案为：
②在 上取点 ，连接 ，使 ，
由①中结论， ， ，
，
，设 ， ，
由①中结论，在 中， ，
，
，解得： ，，
，
故答案为： ．
【点睛】此题属于圆的综合题，考查了含 直角三角形的性质、勾股定理等知识，综合性较强，解答本
题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
4．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在 上， ，则锐角
的大小为__________度．
【探究】小明遇到这样一个问题：如图②， 是等边三角形 的外接圆，点P在 上（点P不与点
A、C重合），连结 、 、 ．求证： ．小明发现，延长 至点E，使 ，连
结 ，通过证明 ，可推得 是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长 至点E，使 ，连结 ，
四边形 是 的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
请你补全余下的证明过程．【应用】如图③， 是 的外接圆， ，点P在 上，且点P与点B在
的两侧，连结 、 、 ．若 ，则 的值为__________．
【答案】感知： ；探究：见解析；应用： ．
【分析】感知：由圆周角定理即可求解；
探究：延长 至点E，使 ，连结 ，通过证明 ，可推得 是等边三角形，
进而得证；
应用：延长 至点E，使 ，连结 ，通过证明 得，可推得 是等腰直角
三角形，结合 与 可得 ，代入 即可求解．
【详解】感知：
由圆周角定理可得 ，
故答案为： ；
探究：
证明：延长 至点E，使 ，连结 ，
四边形 是 的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
，
∴ ， ，
，
是等边三角形，
，
，即 ；
应用：
延长 至点E，使 ，连结 ，
四边形 是 的内接四边形，
．
，
．
，
，
∴ ， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即 ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造 ，
进行转换求解．
