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2025 年中考第二次模拟考试（安徽卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、单选题
1．有理数 的相反数是（ ）
A． B．2024 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的概念，根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可
求得答案．掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
【详解】解： 的相反数是2024．
故选：B．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查幂的运算，负整数指数幂以及合并同类项，根据幂的乘方、负整数指数
幂、同底数幂的乘法和合并同类项法则逐项计算，即可得出正确答案．熟练掌握各项运算
法则是解题的关键．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
3．如图所示的几何体，其俯视图是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了三视图的知识，根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．
【详解】解：从上面看得该几何体的俯视图是：
故选：B．
4．如果 是 的一个因式，则 的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】本题考查因式分解，根据题意可知 是方程 的一个根，然后代
入解题即可．
【详解】解：∵ 是 的一个因式，
∴当 时， ，
解得： ，
故选：B．
5．若函数 和函数 的图像如图所示，其交点为 ，则关于 的不等式
的解集是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数与不等式，先求出 ，再结合函数图
象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：将 代入 得： ，
解得： ，
∴ ，
由图象可得，关于 的不等式 的解集是 ，
故选：B．
6．根据下列条件，不能画出唯一确定的 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定定理，根据全等三角形的几种判定定理，根据选项中
所给的条件，逐条判断是否满足全等三角形的判定定理即可．
【详解】A. ， ， ，符合全等三角形的判定定理 ，能画出唯一的
，故本选项不符合题意；
B. ， ， ，符合全等三角形的判定定理 ，能画出唯一的
，故本选项不符合题意；
C. ， ， ，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的 ，
故本选项符合题意；
D. ， ， ，符合全等直角三角形的判定定理 ，能画出唯一的，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．美术课上，周老师将如图所示的多边形分成了 三个区域，现需要用“红色”
“黄色”“蓝色”三种颜色给这三个区域染色制作图案．染色需同时满足以下要求：①同
一区域用同一种颜色染色；②相邻区域不能用同一种颜色染色；③每一个区域都需要染色．
则A区被染色成“蓝色”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了概率公式，掌握概率 所求情况数与总情况数之比是解题关键．直接
利用概率公式求解即可．
【详解】解： A区共有“红色”“黄色”“蓝色”三种颜色可选，
A区被染色成“蓝色”的概率是 ，
故选：A．
8．如图，将正五边形沿 折叠，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形的内角和以及折叠的性质，根据多边形内角和可得
，根据折叠的性质得出 ，进而根据四边形内角和为 ，即
可求解．
【详解】解：∵五边形 是正五边形，∴
由折叠的性质得，
∵ ，
∴
在四边形 中，
故选：D．
9．已知抛物线 上有三点 ，其中
，有下列结论：① ；②抛物线的顶点坐标为 ；③当 时， 的值随
值的增大而增大；④此抛物线向上平移5个单位长度后与坐标轴有2个交点．其中，正
确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后用函数的性质逐项判断即可．本题考
查抛物线与 轴交点、平移的性质和二次函数的性质，掌握待定系数法求二次函数的表达
式是解题关键．
【详解】解： 点 在二次函数 的图象上，
，
解得 ，
二次函数 ，
二次函数图象与 轴的交点坐标为 ， ，
，
， ，
，
故①不正确，不符合题意；，
抛物线的顶点坐标为 ，当 ， 的值随 值的增大而增大，
故②不正确，③正确；
将抛物线向上平移5个单位，所得抛物线解析式为 ，
当 时，则 ，
解得： 或
平移后的抛物线与坐标轴有2个交点，
故④正确．
故选：C．
10．如图，在矩形 中， ，点E是 边上一动点（点E不与点A重
合），过点D作 交 的延长线于点F，以 ， 为邻边作矩形 ，
交 于点H，连接 ，则下列结论：① ；②当点 恰好落在 的延长线上时，
；③当点 在 边上运动时， 为定值 ；④当点 在 边上运动时，
长度的最大值为 ．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】证出 ，根据相似三角形的性质即可判断①正确；先证出
，根据全等三角形的性质可得 ，再证出 垂直平分 ，根据线
段垂直平分线的性质可得 ，由此即可判断②正确；过点 作 于点 ，设 ，根据相似三角形的性质可得 ，从而可得 ，再证
出 ，根据全等三角形的性质可得 ， ，则 ，
然后根据正切的定义即可判断③正确；先求出 ， ，再证
出 ，根据相似三角形的性质可得 ，利用二次函数的性
质即可判断④正确．
【详解】解：∵四边形 和 都是矩形， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，则结论①正确；
如图，点 恰好落在 的延长线上，
∵四边形 和 都是矩形，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴当点 恰好落在 的延长线上时， ，则结论②正确；
如图，过点 作 于点 ，
∵四边形 和 都是矩形， ，
∴ ， ，
设 ，
由上已证： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即当点 在 边上运动时， 为定值 ，则结论③正确；
设 ，则 ，
由上可知， ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
由二次函数的性质可知，在 内，当 时， 取得最大值，最大值为 ，
即当点 在 边上运动时， 长度的最大值为 ，则结论④正确；
综上，正确结论的个数是4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质、二次函数的应用、正切等知识点，综合性强，通过作辅助线，构
造全等三角形和相似三角形是解题关键．
第Ⅱ卷
11．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的
关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，那么2兆＝ ．（用科学记数法表
示）
【答案】
【分析】2兆＝2×1万×1万×1亿＝2×1万×1万×1万×1万，根据同底数幂的乘法法则计算，
结果表示成 的形式即可．
【详解】解：2兆＝2×1万×1万×1亿＝2×1万×1万×1万×1万
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查科学记数法、同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，
以及科学记数法的表示方法．
12．若 ，则代数式 的值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查分式的化简求值，先得到 ，然后把括号内分式通分，除法化
为乘法，然后因式分解约分，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴，
故答案为： ．
13．若关于 的不等式组 有解且至多有两个偶数解，且关于 的分式方程
的解为非负整数，则所有满足条件的整数 的值之和是 ．
【答案】20
【分析】先计算出不等式组的解集，再根据解的情况判断出 ；然后计算分式方
程的解，再结合其解为非负整数即可求解．
【详解】解： ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴原不等式组的解集为 ，
∵该不等式组至多有两个偶数解，
∴ ，
解得 ，
，
解得 且 ，
∵该方程解为非负整数，∴ ，13，
∴ ，
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了含参不等式组和分式方程，熟练掌握不等式组的解和分式方程的
解是解题的关键．
14．在信息科技课上，小华同学利用几何画板的迷你坐标系绘制了反比例函数
的图象，并打印了出来，善于思考的小华同学把自己的一张矩形卡纸
绕着原点 旋转，当旋转至如图所示位置时，点 恰好落在反比例函数的图象上，
边与反比例函数图象交于点 ， 边与 轴交于点 ， 且 ．
（1） 的值为 ；
（2） 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形与反比例函数图像的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与
判定；分别过点 作 轴的垂线，垂足分别为 ，得出 ，根据相似三角
形的性质以及点 的坐标得出点 的坐标，进而求得 ；延长 交 轴于点 ，过
点 作 于点 ，求得直线 的解析式，进而求得点 的坐标，证明
，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，分别过点 作 轴的垂线，垂足分别为 ，∴
∴
∴
∵
∴
又∵ ，则
∴
∴
∴
∴ ；
则反比例函数解析式为
如图，延长 交 轴于点 ，过点 作 于点 ，
∵∴ ，
∴
又∵四边形 是矩形
∴ ， ，
∴
∴
∴
设直线 的解析式为 ，代入 ，
∴
解得：
∴直线 的解析式为 ，
联立
解得： 或 （舍去）
∴
∴ ，
∵
∴∴
故答案为： ， ．
三、解答题
15．计算： ．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的运算，特殊角的三角函数值化简，零指数幂，负指数幂，
利用零指数幂，负指数幂，特殊角的三角函数值化简，再加减，即可得到结果，熟练计算
即可解答．
【详解】解： ，
，
16．产于河南禹州的冬桃肉质细腻，甘甜多汁，因其成熟期较晚，正好填补了冬季无鲜果
的空白，深受市场青睐．果农小王采摘了320千克的冬桃进行线上和线下销售，其中线下
以10元/千克的标价销售，线上以线下标价的七折销售，全部售完后，销售额为2600元．
(1)求线下和线上销售的冬桃数量．
(2)小王又采摘了450千克的冬桃进行线上和线下销售且售价不变，若线下销售冬桃的数量
不超过线上销售冬桃数量的一半，且使售完这批冬桃后销售额最大，应如何对这批冬桃进
行销售？
【答案】(1)线下和线上销售冬桃的数量分别为120千克和200千克
(2)线上销售冬桃300千克，线下销售冬桃150千克时，可使售完这批冬桃后销售额最大
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确列出方程组和一次函
数解析式是解答本题的关键．
（1）设线下和线上销售冬桃的数量分别为 千克和 千克，找出等量关系列出方程组求解
即可；（2）设线上销售冬桃的数量为 千克，先求出 ，再销售额=线上销售额+线下销售
额列出函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：设线下和线上销售冬桃的数量分别为 千克和 千克．
由题意，得
解得
答：线下和线上销售冬桃的数量分别为120千克和200千克．
（2）解：设线上销售冬桃的数量为 千克，则线下销售冬桃的数量为 千克，销
售额为 元．
由题意，得 ，解得 ．
由题意，得
，
随着 的增大而减小．
当 取最小值300时， 取最大值．
．
答：线上销售冬桃300千克，线下销售冬桃150千克时，可使售完这批冬桃后销售额最大．
17．很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方
差公式、完全平方公式等．
【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法计算： ？
【规律探究】观察下面表示几何图形面积的方法：【解决问题】请用上面表示几何图形面积的方法写出 ______=______
（用含n的代数式表示）；
【拓展应用】根据以上结论，计算： 的结果为________．
【答案】规律探究 ；解决问题 ； ；拓展应用 或
．
【分析】规律探究：计算 =36=大正方形面积，然后直接求大正方形面积即可；
解决问题： 转化为大正方形面积，其边长为1+2+3+…+n，再求面积化简
即可；
拓展应用： 提公因式8转化为8（ ），再用规律计
算即可
【详解】解：规律探究： =1+8+27=36=大正方形面积= ；
故答案为：62
解决问题：由上面表示几何图形的面积探究知， ，
又 ，
；
故答案为： ；
拓展应用： ，
，
．故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查实践探索问题，仔细观察图形与算式的关系，发现规律为立方数的和等
于最大正方形面积，再利用面积公式求是解题关键．
18．如图， 三个顶点的坐标分别为 、 、 ．
(1)请画出将 向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度后得到的图形 ，
则点 的坐标为______；
(2)请画出 绕原点 逆时针旋转 的图形 ，则点 的坐标为______；
(3)在（ ）的旋转过程中，点 运动的路径长为______（结果保留 ）
【答案】(1)画图见解析， ；
(2)画图见解析， ；
(3) ．
【分析】本题考查了作图——旋转变换、平移变换，求弧长，解题的关键是掌握旋转和平
移的性质以及弧长公式．
（ ）将 向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度后得到的图形 ，
再写出 的坐标即可；（ ）将 绕原点 逆时针旋转 的图形 ，画出 ，再写出点 的坐
标；
（ ）先求出 ，再由旋转性质可得 ，最后根据弧长公式即可求出答案．
【详解】（1）解：如图，向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度后得到的图形
，
∴ 即为所求，点 ，
故答案为： ；
（2）解：如图，将 绕原点 逆时针旋转 的图形 ，
∴ 即为所求，点 ，故答案为： ；
（3）解：如上图，由网格可知 ，由旋转性质可知： ，
∴点 运动的路径长为 ，
故答案为： ．
19．如图， 分别是 的直径和弦， 于点 ．过点A作 的切线与
的延长线交于点P， 的延长线交于点F．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证
明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．
（1）连接 ，可以证得 ，利用全等三角形的对应角相等， 以及切线的性
质定理可以得到 ，即 ，即可证得；
（2）先证 是等边三角形得 ，再由（1）中所证切线可得 ，
结合半径 可得答案．
【详解】（1）证明：连接 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 是半 的切线，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线．
（2）解：∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（1）知 ，
∴ ．
20．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩
形 ， 的长度为 ，两节可调节的拉杆长度相等，且与 在同一条直线上．
如图1，当拉杆伸出一节（ ）时， 与地面夹角 ；如图2，当拉杆伸出两节（ ）时， 与地面夹角 ，已知两种情况下拉杆把手 点距离地面
高度相同．求每节拉杆的长度．
（参考数据： ， ， ）
【答案】每节拉杆长
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．设每节拉杆长为 ，则图1中 ，
，图2中 ， ，在图1中，过点 作
于点 ，利用三角函数可得 ；在图2中，过点 作 于点 ，利用三
角函数可得 ，结合两种情况下拉杆把手 点距离地面高度相同，可得关于
的方程并求解，即可获得答案．
【详解】解：设每节拉杆长为 ，则图1中 ， ，
图2中 ， ，
在图1中，过点 作 于点 ，
在 中， ，
，
，在图2中，过点 作 于点 ，
在 中， ，
，
，
，
，
解得： ．
答：每节拉杆长 ．
21．某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验
相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们
在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项
为常考的五个实验：A．高锰酸钾制取氧气；B．电解水；C．木炭还原氧化铜；D．一氧
化碳还原氧化铜；E．铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下
不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）．
请结合统计图，回答下列问题：
(1) ______，E所对应的扇形圆心角是______ ；
(2)请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有人最喜欢的实验是“D．一氧化碳
还原氧化铜”；
(3)某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，C、D、E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五
个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清
石灰水变浑浊的概率．
【答案】(1)50，72
(2)120
(3)
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息的关联，列表或画树状图求概率，
解题的关键是数形结合，根据题意画出树状图或列出表格．
（1）先求出问卷调查的总人数，再求出E所对应的扇形圆心角度数即可；
（2）用800人乘以D类所占的百分比即可；
（3）先根据题意进行列表，然后根据概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：抽取的学生人数为 （人），
选择C的学生人数为 （人），
故 ；
E所对应的扇形圆心角是 ，
故答案为：50， ；
（2）解： （人），
答：估计该校九年级800名学生中有120人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”；
（3）解：列表如下：
A B C D E
A
B
C
D
E
由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑
浊的结果有6种，∴P（两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊） ．
22．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后
将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片 和
中， ， ， ，旋转角为 （ )．
【初步感知】
（1）如图1，将三角形纸片 绕点B旋转，连接 ， ，求 的值；
【深入探究】
（2）如图2，在三角形纸片 绕点B旋转过程中，当点D恰好落在 的中线 的
延长线上时，延长 交 于点G，求 的长；
【拓展延伸】
（3）在三角形纸片 绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以 为直
角边的直角三角形．若能，求线段 的长度；若不能，请说明理由．
【答案】（1） （2） （3） 或
【分析】（1）证明 即可解答；
（2）如图 ， 通过延长 交 于点 ，连接 ，得到四边形 为矩形，设
，先根据相似得 ，再证明三角形全等得 ，由勾股定理列
方程即可解答；
（3）分两种情况：如图 和图 ，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答．
【详解】解：（1）
∴ ，
由旋转得： ，，
，
∴ ；
（2）如图2， 延长 交 于 ，连接 交 于 ，
由（1）知： ，
∴ ，
∵ 是中线， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
∵ ， ，
∴ ，
，，
， ，
∴ ，
，
由勾股定理得： ，即
解得 ，
；
（3）分两种情况：①如图3， ，过点 作 于 ，过点 作
于 ，
，
∴四边形 是矩形，
，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，，即 ，
，
中， ，
，
解得： (负值舍)，
∵ ，
即 ，
；
②如图 ， ，过点 作 于 ，
，
∴四边形 是矩形，
，
，
，
由勾股定理得： ；综上， 的长是 或 ．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的
判定和性质，相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质
是本题的关键．
23．点 、 、 的坐标为分别 ，抛物线经过这三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 ， 是抛物线上的两个动点，且点 在直线 下方．
①如图1，过 点作 轴的垂线 ，垂足为 ，交直线 于点 ，连接 ， ，
，猜想 与 的数量关系，并说明理由；
②如图2，点 在直线 上，且横坐标为 ，过点 作 轴于点 ，求
线段 长度的最大值．
【答案】(1)
(2)① ，理由见解析；②
【分析】本题考查了二次函数的综合问题，面积问题以及线段最值问题，熟练掌握二次函
数的性质是解题的关键；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；（2）①先求得直线 的解析式为 ，进而表示出 ，根据点 的坐标求
得 到 的距离，进而根据三角形的面积公式，即可求解；
②先求得直线 的解析式，进而求得 的长，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 代入 得，
解得：
∴抛物线的解析式为
（2）① ，理由如下：
设直线 的解析式为 ，代入 ，
∴
解得：
∴直线 的解析式为
∵ ， 轴，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 点到 的距离为 ，
∵ ， ，，
∴ 到 的距离为 ，
∴ ， ，∴ ；
②∵ ， ，则 ，
设直线 的解析式为
∴
解得：
∴
∵ 的横坐标为
∴
∵
∴当 时 的最大值为
