文档内容
专题 03 二次函数与一元二次方程重难点题型专训
（3个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测）
题型一 求抛物线与x轴的交点坐标
题型二 求抛物线与y轴的交点坐标
题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值
题型四 根据二次函数图象确定相应方程根的情况
题型五 求x轴与抛物线的截线长
题型六 图象法解一元二次不等式
题型七 图象法确定一元二次方程的近似根
题型八 利用不等式求自变量或函数值的范围
题型九 根据交点确定不等式的解集
拓展训练一 抛物线与x轴的交点问题
拓展训练二 二次函数与一元二次方程问题综合
拓展训练三 直线与抛物线相切情况的问题
知识点一：求一元二次方程的近似解的方法（图象法）
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
【即时训练】
1．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如表是二次函数 的若干组自变量 与函数值 的对应值：
… …
… …
你认为方程 的一个根最接近（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·陕西延安·期中）下面表格是二次函数 的自变量 与函数值 的部分对
应值，由此可以判断方程 的一个解 的范围是 ．0 1 2
1 7
知识点二：二次函数与一元二次方程
1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时， ，方程有两个不相等的实根。
2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时， ，方程有两个相等的实根。
3.当二次函数的图象与x轴没有交点时， ，方程没有实根。
二次函数 的图象与 轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③
有两个公共点，这对应着一元二次方程 的根的三种情况:
①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0.
(2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母
的影响，据此可求图象经过的定点坐标.
(3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利
用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的
转换.
【即时训练】
1．（2025·辽宁大连·模拟预测）抛物线 与 轴相交于点 ，点 ，则关于
的一元二次方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·青海海东·期末）若一元二次方程 有两个不相等的实数解，则二次函数
的图象和 轴的交点有 个．
知识点三：二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况抛物线 与 x 一元二次方程
轴交于 ， 两
△＞0 有两个不相等的实数根
点，且 ，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
抛物线 与 x
△＝0 有两个相等的实数根
轴交切于 这一点，此时称
抛物线与x轴相切
一元二次方程
抛物线 与 x
△＜0
轴无交点，此时称抛物线与x轴相
在实数范围内无解（或
离
称无实数根）
【即时训练】
1．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）二次函数 的图象与x轴交于点 ， ，
则关于x的方程 的解为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（24-25九年级上·河南·期中）如图，抛物线 与直线 的两个交点为 ， ，
则关于 的方程 的解为 ．【经典例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】
【例1】（24-25九年级上·广东湛江·期末）抛物线 与x轴的交点坐标是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
1．（25-26九年级上·广东·阶段练习）二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ，
下列结论：① ；②方程 必有一个根大于2且小于3；③若 是抛物
线上的两点，那么 ；④对于任意实数m，都有 ，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）根据表格可知关于 的一元二次方程： 的解是
．．．
0 1 2 3
．
6 2 0 0 2 6
3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，一段抛物线： 记为图象 ，它与
x轴交于两点O、 ；将图象 绕点 旋转 得到图象 ，交x轴于点 ；将图象 绕点 旋转 得
到图象 ，交x轴于点 ；…如此进行下去，若点 在某段抛物线上，则 ．
4．（25-26九年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，已知二次函数 （ ）与一次函数 的图
象相交于 ， 两点．
(1)求 ， 的值并写出两解析式．
(2)求点 的坐标
(3)求 ．
【经典例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】【例2】（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）二次函数 的图像，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为直线 B．最大值为4
C．与y轴交点为 D．图像过点
1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知二次函数 （a，b，c为常数，且 ），满足以下条
件：① ；② 是方程 的一个根；③当 时， ．则该
二次函数的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·浙江·期中）抛物线 与y轴的交点坐标为 ．
3．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，抛物线 与y轴交于点A，与抛物线
交于点 ，直线 与抛物线 的另一个交点为C，则 的长为
．4．（25-26九年级上·河北·阶段练习）如图1和图2，抛物线 与 轴交于 两点，抛
物线 与 轴交于点 和点 ，其中 ，抛物线 与 轴分别交于
点 ．
(1)求 两点的坐标；
(2)如图1，当点 、 重合时，求抛物线 的表达式及其顶点坐标．
【经典例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】
【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次
方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤6的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．5＜t≤12 B．﹣4≤t≤5 C．﹣4＜t≤5 D．﹣4≤t≤12
1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）根据下列表格中的对应值：x 1.98 1.99 2.00 2.01
-0.06 -0.05 -0.03 0.01
判断方程 （ ，a，b，c为常数）一个根x的范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·湖北荆州·阶段练习）已知函数 ，若存在实数 ，使得关于
的方程 有三个不同的实根，则 的取值范围是 ．
3．（25-26九年级上·全国·阶段练习）已知二次函数 图象上部分点的坐标 对应值列
表如下：
… 0 2 …
… 15 0 0 …
则关于x的方程 的解为 ．
4．（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线 经过
两点．
(1)若 ，求 的值．（用含 的式子表示）
(2)若 ，且点 位于对称轴的两侧，请直接写出 的取值范围．
【经典例题四 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】
【例4】（24-25九年级上·广西梧州·阶段练习）已知二次函数 的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程 的解为（ ）
A． B．
C． D．
1．（25-26九年级上·广东·阶段练习）二次函数 图象上部分点的坐标满足如表：
下列说法中： 该二次函数的对称轴为直线 ； ； 方程 有两个不相等
的实数根； 若 为任意实数，则 ，正确的个数有（ ）个．
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·四川德阳·阶段练习）关于x的一元二次方程 （t为实数），在
的范围内有解，则t的取值范围是 ．
3．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）抛物线 的对称轴是直线 ，其图象如
图所示．下列结论：① ；② ；③若 和 是抛物线上的两点，则当
时， ；④抛物线的顶点坐标为 ，则关于 的方程 无实数根．
其中正确的结论是 ．4．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，已知抛物线 ，其顶点坐标为
，抛物线与 轴的一个交点为 ，直线 与抛物线交于 、 两点．
(1) ______ ；（填 、 或 ）
(2) ______ ；（填 、 或 ）
(3) ______；
(4)抛物线与 轴的另一个交点坐标是______；
(5)抛物线的解析式为______；
(6)直线的解析式为______；
(7) ______ ；
(8)方程 的根为______；
(9)写出 时 的取值范围为______．【经典例题五 求x轴与抛物线的截线长】
【例5】（2025·河北·模拟预测）在平面直角坐标系 中，抛物线 （ ）与 轴
交于点 ， ．若线段 上有且只有7个点的横坐标为整数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
1．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线 与x轴交于点A和B，线段AB的长为
2，则k的值是（ ）
A．3 B．−3 C．−4 D．−5
2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数 的图象与x轴交于A，B两
点．若 ，则 ．
3．（2025·四川南充·模拟预测）如图，平移抛物线 ，使顶点在线段 上运动，与x轴交于
，D两点．若 ， ，四边形 的面积为 ，则 ．4．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知二次函数的图象经过点 、 、 ，且与x轴
交于A、B两点．
(1)试确定此二次函数的解析式；
(2)判断点 是否在这个二次函数的图象上，如果在，请求出 的面积；如果不在，请说明理由．
【经典例题六 图象法解一元二次不等式】
【例6】（24-25九年级上·陕西商洛·期中）已知二次函数 图像上的两点 和
，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（2025·广东汕头·模拟预测）已知二次函数 的图象如图所示，下列结论：①
；②关于 的不等式 的解集为 ；③ ；④ ．其中正确
结论的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2025九年级上·浙江宁波·竞赛）如果满足 的实数 恰有4个，则实数 的取值范
围为 ．
3．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数 的部分图象如图所示，其对称轴
为直线 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④当 时， ，
其中正确的为 ．
4．（25-26九年级上·河南漯河·阶段练习）已知二次函数 的图象如图，请根据函数图
象完成以下问题
(1) 随 的增大而减小的自变量 的取值范围是__________；
(2)当 时， 的取值范围为__________；(3)当 时， 的取值范围为__________，
(4)当 时， 的取值范围为__________．
【经典例题七 图象法确定一元二次方程的近似根】
【例7】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标
（x，y）的对应值如表所示，则方程ax2+bx+1.365＝0的根是（ ）
x …… 0 4 ……
y …… 0.365 -1 0.365 ……
A．0或4 B． 或4 C．1或5 D． 或 2
1．（24-25九年级上·天津西青·期末）如图，抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴交
于点 ，点 在抛物线上，有下列结论：① ；②一元二次方程 的正实数
根在2和3之间；③ ；④点 ， 在抛物线上，当实数 时， ．其中，正
确结论的个数是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）二次函数 的图象如图所示，若方程 的
一个近似根是 ，则方程的另一个近似根为 ．（结果精确到0.1）
3．（24-25九年级上·广东广州·期中）在关于的 二次函数中，自变量 可以取任意实数，下表是自变量
与函数 的几组对应值：
… …
… …
根据以上信息，关于 的一元二次方程 的两个实数根中，其中的一个实数根约等于
（结果保留小数点后一位）．
4．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务．
设计题：由例5可知，求方程 的解，就是求二次函数 的图象与
x轴交点的横坐标．如图，若取 的值为 ，使得函数值 满足 ，
那么抛物线 与 轴的交点中至少有一个在 与 之间，也就是说，
方程 至少有一个解在 与 之间，由此我们可以估计方程 的
解．例5利用二次函数的图象方程 的解（或近似解）．
解设 ，则方程 的解就是该函数图象与 轴交点的横坐标．在直
角坐标系中画出函数 的图象，得到与 轴的交点为 ，则点 ， 的横坐
标 就是方程的解．观察如图，得到点 的横坐标 ，点 的横坐标
．所以方程 的近似解为 ．
【任务】
(1)在例5求解过程中，主要运用的数学思想是______．（从以下选项中选2个即可）
A．数形结合 B．分类讨论 C．统计思想 D．转化思想
(2)先完成下表，并判断：
方程 的解 分别在哪两个相邻的整数之间
的值 0 1
的值
(3)若抛物线 的开口向下，试判断方程 根的情况．
【经典例题八 利用不等式求自变量或函数值的范围】
【例8】（24-25九年级上·河南洛阳·期末）已知 ， 是抛物线
上两点，当 且 时，总有 ，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．1．（24-25九年级上·山东泰安·期中）已知二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为
，且经过点 ．下列结论：
① ；
②若点 ， 是抛物线上的两点，则 ；
③ ；
④若 ，则 ；
⑤一元二次方程 ，有两个不相等的实数根．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）当 时，不等式 恒成立，则k的取值范
围是 ．
3．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数 的图象如图所示，与 轴交于 ，且 ．
下列结论：① ；
②若 ， 两点均在此函数图象上，则 ；
③关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根；
④ ．
其中正确结论有 （只需填写正确结论的序号）
4．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）已知二次函数 的y与x的部分对应值如表：
x … 1 3 …
y … 0 1 0 …
(1)求这个二次函数表达式；
(2)在平面直角坐标系中画出这个函数图象；
(3)直接写出不等式 的解集__________；
(4)当 时，y的取值范围是 ．【经典例题九 根据交点确定不等式的解集】
【例9】（24-25九年级上·云南昭通·期中）直线 和抛物线 都经过点 ， ，
则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D． 或
1．（24-25九年级上·吉林长春·期中）抛物线 经过点 ，且对称轴为直线 ，其部分
图像如图所示．下列说法不正确的是（ ）
① ；② ；③ ；④ 的解集是
A．① B．② C．③ D．④
2．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）已知二次函数 （a，b，c为常数，且 ）中的x与
y的部分对应值如表：
x 0 1 3
y 3 5 3
则不等式 的解集为 ．
3．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）函数 与 的图象如图所示，有以下结论：①
；② ；③ ；④当 时， ．其中正确的是 ．4．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 ，
两点．
(1)求 ， 两点的坐标；
(2)将抛物线向下平移________个单位长度后经过原点；
(3)结合图象直接回答问题：当 取何值时，
【拓展训练一 抛物线与x轴的交点问题】
1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知抛物线
(1)当 为何值时，抛物线与 轴有两个不同交点？
(2)若抛物线与 轴的两交点分别为 、 ，且 ，求 的值
2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知抛物线 的顶点为D，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，对称轴与x轴正半轴交于点A， ．
(1)当 时，求二次函数 的表达式；
(2)点D坐标为 ，求点C的坐标．（用含n的代数式表示）
3．（2025·山东潍坊·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 与正比例函数
的图象都经过点 ，点 为二次函数图象上点 与点 之间的一点，过点 作 轴的垂线，交
于点 ，交 轴于点 ．
(1)若点 为该二次函数的顶点，
求二次函数的表达式；
求线段 长度的最大值；
(2)若该二次函数与 轴的一个交点为 ，且 ，求 的取值范围．【拓展训练二 二次函数与一元二次方程问题综合】
1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数 图像上部分点的横坐标 与纵坐标
的对应值如下表所示：
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当 时，直接写出 的取值范围；
(3)当 时，关于 的一元二次方程 有实根，则 的取值范围是______．
2．（2025·广东·模拟预测）在人类用智慧架设的无数条从已知通向未知的道路中，方程求解是其中重要的
一段路程．虽然今天我们可以从教科书中了解各种各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月．
我们熟悉的求一元二次方程的解，既可以利用二次函数的图象估算近似解，也可以用配方法、公式法、因
式分解法等方法求出精确解．现以方程 举例简述估算和精确计算分别是如何操作的：
(1)【估算】我们通过下列步骤估计方程 的根所在的大致范围．
第一步：问题转化：方程 的根即为函数 与x轴的交点横坐标；
第二步：由以往的学习经验可以判断出函数 的图象是一条连续不断的曲线；
第三步：因为当 时， ，当 时， ，所以图象与x轴的一个公共点的横坐标在
0，1 之间，所以可确定方程 的一个根 所在的范围是 ；
第四步：仿照第三步，可以估计 的另一个根 所在的大致范围．
回答问题：请完成第四步，估计 的另一个根 在哪两个连续的整数之间；
(2)【精算】：请你选用配方法、公式法、因式分解法中的一种方法求出 的精确解；(3)已知函数 的图象是一条连续不断的曲线，且与x轴有三个交点，其中两个交点在x轴的正
半轴上，一个交点在x轴的负半轴上，请你仿照上面材料中的【估算】方法，估算方程： 的
负根在哪两个连续整数之间．
3．（24-25九年级上·金山南通·期末）二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题．
(1)方程 的两个根为____________，不等式 的解集为____________；
(2)若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围为_________；
(3)若关于 的一元二次方程 ，在 的范围内有实数根，求t的取值范围．
【拓展训练三 直线与抛物线相切情况的问题】
1．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）新定义：在平面直角坐标系 中，若一条直线与二次函数图
象抛物线有且仅有一个公共点，且抛物线位于这条直线同侧，则称该直线与此抛物线相切，公共点为切点．
现有一次函数 与二次函数 图象相切于第二象限的点A．
(1)求二次函数的解析式及切点A的坐标；
(2)当 时，求二次函数函数值的取值范围；(3)记二次函数图象与 轴正半轴交于点 ，问在抛物线上是否存在点 （异于 ）使 ，若
有则求出 坐标，若无则说明理由．
2．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）已知抛物线y＝a（x﹣3）2+ （a≠0）过点C（0，4），顶点
为M，与x轴交于A，B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D．
（1）试判断点C与⊙D的位置关系；
（2）直线CM与⊙D相切吗？请说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形．
3．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）若抛物线L： 与直线l： 有且只
有一个交点，我们就称此直线l与抛物线L的相切．直线l叫做抛物线L的切线，交点叫做抛物线L的切点．
(1)若点A为抛物线 与y轴的交点，求以点A为切点的该抛物线的切线的解析式；
(2)已知一次函数 ，二次函数 ，是否存在二次函数 ，其图象经过点 ，使得直线 与 ， 都相切于同一点？若存在，求出 的解析式；若不存在，
请说明理由；
(3)已知直线 ： 、直线 ： 是抛物线 的两条切线，当
与 的交点P的纵坐标为5时，试判断 是否为定值，并说明理由．
1．（25-26九年级上·四川绵阳·阶段练习）若函数 的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(
)
A． B． 且 C． D． 且
2．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）二次函数 的图象如图所示，若关于 的一元二次方
程 有两个相等的实数根，则 的值为（ ）．
A．-7 B．7 C．-10 D．10
3．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）根据下列表格的对应值，判断方程 （ ，
a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
3.23 3.24 3.25 3.26
0.03 0.09A． B．
C． D．
4．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知二次函数 与一次函数 的图象如图所示，
则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）如图是抛物线 的部分图象，其顶点坐标为
，且与x轴的一个交点在点 和 之间，则下列结论：① ；② ；③
的任意实数）；④一元二次方程 没有实数根．其中正确的结论个
数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（24-25九年级上·江西赣州·期中）已知二次函数 ，则该二次函数图象与 轴交点坐标为
．
7．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）写出一个与 轴交点的横坐标互为相反数，且开口向下的二次函数表达式： ．
8．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）二次函数 的函数值 与自变量 的四组对
应值如下表所示：
6.15 6.18 6.21 6.24
0.02 0.02 0.11
则方程 有 个根（填“0”，“1”或“2”）
9．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，二次函数 的图像过 ，且顶点
为 ，当 时， 的取值范围是
10．（25-26九年级上·福建莆田·开学考试）如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，
将抛物线 向右依次平移两次，分别得到抛物线 ， ，与 轴交于点 ， ， ，直线
与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是 ．11．（25-26九年级上·金山南通·阶段练习）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点
．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求抛物线与x轴交点的坐标；
12．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段练习）已知：抛物线 ，经过
(1)求a的值．
(2)求出抛物线与坐标轴的交点坐标．
(3)当x在什么范围内，y随着x的增大而增大？当x在什么范围内，y随着x的增大而减小？
13．（25-26九年级上·陕西·阶段练习）已知二次函数 ．
(1)写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图；
(2)结合函数图象，求一元二次方程 的解；(3)结合函数图象，直接写出 时， 的取值范围．
14．（25-26九年级上·广东·阶段练习）如图，二次函数 经过点 ， ， ．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)利用图象的特点填空：
①当 ______时，方程 ；
②不等式 的解集为__________________________．
15．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：
【问题】
（1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 经过原点 ，与 轴的另一个交点为 ，则
_____，点 的坐标为_____．
【操作】（2）将图①中的抛物线在 轴下方的部分沿 轴翻折到 轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物
线对应的函数解析式：_____
【探究】
（3）在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图
象对应的函数 随 的增大而增大时， 的取值范围是_____．
【应用】结合上面的操作与探究，继续思考：
（4）如图③，若抛物线 与 轴交于 ， 两点（ 在 左），将抛物线在 轴下方的部分沿
轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象．
①求 、 两点的坐标；（用含 的式子表示）
②当 时，若新图象的函数值 随 的增大而增大，直接写出 的取值范围．
