文档内容
专题01 圆的基本概念重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）
题型一 圆的基本概念辨析
题型二 求圆中弦的条数
题型三 求过圆内一点的最长弦
题型四 圆的周长和面积问题
题型五 点与圆的位置关系
题型六 三角形的外接圆
题型七 确定圆的条件
题型八 圆中角度的计算
题型九 圆中线段长度的计算
题型十 求一点到圆上点距离的最值
知识点一、圆的相关概念
（1）圆的定义
1．在一个平面内，线段 绕它固定的一个端点 旋转一周，另一个端点 所形成的图形叫圆．这个固
定的端点 叫做圆心，线段 叫做半径．以 点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
点拨：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。
（2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。
（3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径
确定圆
的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。
（2）点和圆的位置关系
点和圆的 点到圆心的距离与半径的关系
图示
位置关系 文字语言 符号语言
圆内各点到圆心的距离都小于半径， P A
点在圆内 点 在圆内 r
到圆心的距离小于半径的点都在圆内 O
圆内各点到圆心的距离都等于半径， A P
点在圆上 点 在圆上 O
到圆心的距离等于半径的点都在圆上 r圆内各点到圆心的距离都大于半径， A P
点在圆外 点 在圆外 O
到圆心的距离大于半径的点都在圆外 r
点拨：（1）利用 与 的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以
确定 与 的数量关系。
（2）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左
端。
（3）弦、弧、圆心角
1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径
的2倍．
2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以 为端点的弧记作\s\up6(⌒)，读作弧AB．在同圆或
等圆中，能够重
合的弧叫做等弧．
3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做
优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧．
4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．
5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
6．顶点在圆心的角叫做圆心角．
名称 概念 注意 图示
直径是圆中最长的
弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦 ”
弦不一定是直径
直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径 ” 但弦不一定是直径
C
圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条
弧、 直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆； B
半圆是弧，但弧不
半圆、 大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的 O
一定 A
劣孤、 ；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右
是半圆
优弧
图中
等圆只和半径的大
能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个
等圆 小有关，和圆心有
圆是等圆；反过来，等圆的半径相等
位置有关
长度相等的孤不一
等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤
定是等孤
知识点二、确定圆的条件
1．过已知点作圆条件 过不在同一条直
过一点作圆 过两点作圆
类别 线上的三点作圆
经过不在同一条直线上的三点 ，
经过平面内的两个点 ，
经过平面内一个点 作圆
， 作圆，圆心到这三个点的距离相
作圆，由于圆心到这两
时，只要以点 以外任意
等。因此，圆心是线段 ， 的
个点的距离相等，所以圆
理论 一点为圆心，以这点到点
心在线段 的垂直平分 垂直平分线的交点 ，以点 为圆
依据 的距离为半径就能作出
线上，这样的圆心有无数 心，以 （或 ， ）为半径
一个圆，这样的圆能作出
多个，这样的圆能作无数
无数多个 可作出经过 ， ， 三点的圆，这
多个
样的圆只有一个
A
O
1 A
圆形
A O
O O O
1 2 3
O 3 O 2 B B C
结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆
2．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；
⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．
3．三角形的外接圆
⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做
三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
⑵三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无
数个，这些三角形的外心重合.
⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角
形外接
圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.
A A A
B C
B O C B O C O
图1 图2 图3【经典例题一 圆的基本概念辨析】
【例1】（2023秋·河北保定·九年级统考期末）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周
角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；
（2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；
（4）直径是圆中最长的弦，正确，
综上所述，四个说法中正确的只有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查圆中有关定义，能够熟练掌握圆的有关知识是解答本题的关键．
1．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）下列说法中，正确的个数为（ ）
①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的
弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了等圆、等弧、弦的相关定义，利用等圆及弧、弦的概念对说法进行判断即可得到答案．
【详解】解：①面积相等的圆是等圆，故原说法正确；
②连接圆周上两点并通过圆心的线段是圆的直径，故原说法错误；
③等弧，是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，故原说法错误；
④连接圆上任意两点的线段叫作弦，半径不是弦，故原说法错误；
⑤连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是最长的弦，故原说法正确；
⑥等弧，是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，即等弧所在的圆一定是等圆或同圆，故原说法正确
∴正确的说法有①⑤⑥，共3个．
故选：C．
2．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在 中，（1）半径有： ．
（2）直径有： ．
（3）弦有： ．
（4）劣弧 对应的优弧是 ，它们刚好拼成一个完整的圆．
【答案】 ， AB AB， ，
【分析】本题考查圆的基本概念，根据半径，直径，弦，弧的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：（1）半径有 ， ；
（2）直径有 ；
（3）弦有AB， ， ；
（4）劣弧 对应的优弧是 ；
故答案为： ， ；AB；AB， ， ；
3．（2024九年级下·全国·专题练习）如图所示， ， 是 的高，求证： ， ， ， 四点在
同一个圆上．
【答案】见解析
【分析】本题考查了四点共圆，直角三角形斜边中线的性质．求证 ， ， ， 四点在同一个圆上，
是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明 到 得中点的距离等于
的一半就可以．
【详解】证明：如图所示，取 的中点 ，连接 ， ．， 是 的高，
和 都是直角三角形．
， 分别为 和 斜边上的中线，
．
， ， ， 四点在以 点为圆心， 为半径的圆上．
【经典例题二 求圆中弦的条数】
【例2】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点 ， ， ，点 ， ， 以及点 ， ， 分别
在一条直线上，则圆中弦的条数为 （ ）
A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
【答案】A
【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有 ， 共2条．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键．
1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在 中，点 在一条直线上，点 在一条直
线上，那么图中有弦（ ）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】B
【分析】本题考查了圆的认识，圆可以看作是所有到定点 的距离等于定长r的点的集合，根据弦的定义
进行判断即可，掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）是解题
关键
【详解】
解：弦为 ，共有3条，
故选：B．
2．（23-24九年级下·河南·课后作业）如图，圆中有 条直径， 条弦，圆中以A为一个端点的优弧有
条，劣弧有 条．
【答案】 1 3 4 4
【详解】圆中有AB一条直径，AB、CD、EF三条弦，圆中以A为一个端点的优弧有四条，劣弧有四条，
故答案为1，3，4，4．
3．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图， 是 内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别
按下列要求画图．（1）在图1中，画山一条与 相等的弦；
（2）在图2中，画出一个与 全等的三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连结CO并延长交 于E，连接BO并延长交 于D，连结ED，再证 BOC≌△DOE
（SAS），可得BC=DE； △
（2）连结AO并延长交 于A′，OA=OA′，连结BO并延长交 于B′，OB=OB′，连结CO并延长交
于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证 BOC≌ B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证
BOA≌ B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同△理可证△AOC≌ A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应
△相等判定△方法可证 ABC≌ A′B′C′（SSS）． △ △
【详解】解：（1）△如图1，△DE为所作；
连结CO并延长交 于E，连接BO并延长交 于D，连结ED，
∵OB=OD=OE=OC，
在 BOC和 DOE中，
△ △
，
∴ BOC≌ DOE（SAS），
∴△BC=DE；△
（2）如图2， A′B′C′为所作．
△连结AO并延长交 于A′，OA=OA′，连结BO并延长交 于B′，OB=OB′，连结CO并延长交 于
C′，OC=OC′，
在 BOC和 B′OC′中，
△ △
，
∴△BOC≌△B′OC′（SAS），
∴BC=B′C′；
同理可证 BOA≌△B′OA′（SAS），
∴AB=A′B′△，
同理可证 AOC≌△A′OC′（SAS），
∴AC=A′C△′，
在 ABC和 A′B′C′中，
△ △
，
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．
【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性
质与三角形全等判定与性质是解题关键．
【经典例题三 求过圆内一点的最长弦】
【例3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，4），点C为
坐标平面内一动点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，
OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【详解】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝2，
∴C在⊙B上，且半径为2，
取OD＝OA＝4，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝ CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB＝OD＝4，∠BOD＝90°，
∴BD＝4 ，
∴CD＝4 +2，
∴OM＝ CD＝2 +1，即OM的最大值为2 +1；
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是
关键，也是难点．
1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知 是半径为3的圆中的一条弦，则 的长不可能是（ ）
A．8 B．5 C．4 D．1
【答案】A
【分析】根据圆中最长的弦为直径求解．
【详解】解：由题意圆的半径为3，则该圆的直径为6， 因为圆中最长的弦为直径，
∴ ．
观察选项， 的长不可能是8，只有选项A符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的认识，基本概念，掌握“圆中最长的弦是直径”是解本题的关键．
2．（23-24九年级上·全国·课后作业）若 的半径为3，则 的弦 的长度的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用直径是圆内最长的弦即可求解．
【详解】解： 的半径为3，
的弦 的长度的取值范围为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆的相关知识，明确圆中最长的弦是直径是解题的关键．
3．（23-24九年级·全国·专题练习）如图所示， 为 的一条弦，点 为 上一动点，且 ，
点 ， 分别是 ， 的中点，直线 与 交于 ， 两点，若 的半径为7，求 的最大
值.【答案】 的最大值为 .
【分析】由 和 组成 的弦 ，在 中，弦 最长为直径14，而 可求，所以
的最大值可求.
【详解】连结 ， ，
∵ ∴
∴ 为等边三角形，
∵点 ， 分别是 ， 的中点
∴ ，∵ 为 的一条弦
∴ 最大值为直径14 ∴ 的最大值为 .
【点睛】利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题.
【经典例题四 圆的周长和面积问题】
【例4】（2023春·山东泰安·九年级校考期中）如图两个半径都是 的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A
开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径
上不断爬行，直到行走 后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ）A．D点 B．E点 C．F点 D．G点
【答案】A
【分析】先求出蚂蚁爬行一圈所走的路程，再根据停下来时重复的圈数和余数，进而求解即可．
【详解】解：根据题意，每段长度为四分之一的圆周长，即 ，又知绕行8段为一循环，
则爬行一圈的路程为 ，
∵ ， ，
∴行走 后才停下来，那一个点为D点，
故选：A．
【点睛】本题考查圆的周长，图形类规律探究，解答的关键是理解题意，能根据爬行一圈的路程得出重复
的圈数，再由余数确定最终的位置．
1．（2022·山西临汾·二模）山西著名工艺品平遥推光漆器外观古朴雅致、闪光发亮，绘饰金碧辉煌，以手
掌推出光泽而得名．图1是平遥推光漆器的一种图案，图2是选取其某部分并且放大后的示意图．四边形
ABCD是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心， 对角线的长为半径画弧，四条弧相交于
点O，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意得半径为 ，阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积，代入计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形
∴正方形的对角线的长为2
∴半径为∵阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积
∴阴影部分面积=π（ ）2-22=
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质和圆，组合图形阴影部分面积，解题的关键是将不规则图形转化为规则
图形面积之间的关系．
2．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，两个同心圆组成的圆环面积是16，则以圆心O为一个顶点，
分别以两圆半径为边长作正方形 和正方形 ，点D在OA上，点F在OC上，则图中阴影部分
的面积是 ．（结果保留 ）
【答案】
【分析】本题考查了求出阴影部分面积，设大圆的半径为 ，小圆半径为 ，利用圆环面积等于
即可求出 ．
【详解】解： 因为两个同心圆组成的圆环面积是16，
∴ ，
∴ ，
∴图中阴影部分的面积= ，
故答案为： ．
3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，长方形ABCD的面积为225 ，长和宽的比为5∶3，在此长
方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为 的圆（ 取3），请通过计算说明理由．【答案】不能并排裁出两个面积均为75cm2的圆，理由见解析
【分析】根据长方形的长宽比设长方形的长AB为5x cm，宽AD为3x cm，结合长方形ABCD的面积为
225 ，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的值，从而得出AB的长，再根据圆的面积
公式以及圆的面积为 ，即可求出圆的半径，从而可得出两个圆的直径的长度，将其与AB的长进行
比较即可得出结论．
【详解】解：设长方形的长AB为5x cm，宽AD为3x cm，
根据题意得 ，
解得 （负值舍弃），
∴ ，
∴ ， ，
∵圆的面积为75 ，设圆的半径为rcm，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴不能并排裁出两个面积均为75cm2的圆．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、圆的面积以及实数大小的比较，解题关键是求出圆的半径以及长方
形的长．
【经典例题五 点与圆的位置关系】
【例5】（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点 在边 上， ， 的半径长为 ， 与 相交，且点 在 外，那么 的半径长 可能
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 交 于 ，根据勾股定理求出 的长，从而求出 的长，再根据相交两圆的位
置关系得出 的范围即可．
【详解】解：连接 交 于 ，如图 ，
在 中，由勾股定理得： ，
则 ，
，
，
与 相交，且点 在 外，必须 ，
即只有选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和
点与圆的位置关系的内容是解题的关键．1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在 中， ， ， ，点D在边
上， ，以点D为圆心作 ，其半径长为r，要使点A恰在 外，点B在 内，则r的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求出 的长，进而得出 的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：在 中， ， ， ，
则 ， ，
点A恰在 外，点B在 内，
故选：A．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设
的半径为 ，点 到圆心的距离 ，则有：①点 在圆外 ；②点 在圆上 ；③点
在圆内 ．
2．（23-24九年级·全国·单元测试）已知圆外点到圆上各点的距离中，最大值是6，最小值是1，则这个圆
的半径是 ．
【答案】2.5
【分析】画出图形，根据点在圆外时，点到圆周上点的最大距离最小距离转化为点到圆心的距离表示即可
得到结论．
【详解】解：如图所示：当点M在圆外时，外点到圆上各点的距离中，最大值可表示为 半径，最小值可表示为 半径，
点到圆上的最小距离MB＝1，最大距离MA＝6，
∴2半径＝6﹣1＝5，
∴半径r＝2.5，
故答案为：2.5．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，根据题意画出图形是解决本题的关键．
3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，M为AB
的中点．
（1）以C为圆心，3为半径作⊙C，则点A、B、M与⊙C的位置关系如何?
（2）若以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙A内且B点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围．
【答案】（1）A在圆上，M在圆内，B在圆外；（2）3＜r＜4
【分析】（1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较AC，CM，BC与AC的大小关系即可得出答案；
（2）根据半径大于AC，且小于BC即可得到结果．
【详解】解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的中点为点M，
∴AB= ，CM= AB= ，
∵以点C为圆心，3为半径作⊙C，
∴AC=3，则A在圆上，CM= ＜3，则M在圆内，BC=4＞3，则B在圆外；
（2）以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙内且B点在⊙C外，
3＜r＜4，
故⊙C的半径r的取值范围为：3＜r＜4．
【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，d＞r，在圆外，
d=r，在圆上，d＜r，在圆内判断是解题关键．【经典例题六 三角形的外接圆】
【例6】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图所示， 的三个顶点的坐标分别为 、 、
，则 外接圆半径的长为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】三角形的外心是三边垂直平分线的交点，设 的外心为M，由B，C的坐标可知M必在直线
上，由图可知线段 的垂直平分线经过点 ，由此可得 ，过点M作 于点D，连
接 ，由勾股定理求出 的长即可．
【详解】解：设 的外心为M，
、 ，
M必在直线 上，
由图可知，线段 的垂直平分线经过点 ，
，如图，过点M作 于点D，连接 ，
中， ， ，
由勾股定理得： ，
即 外接圆半径的长为 ．
故选D．
【点睛】本题考查求三角形外接圆的半径，能够根据网格和三角形顶点坐标判断出 外心的位置是解
题的关键．
1．（2023·广东汕尾·二模）如图，在 的正方形网格中（小正方形的连长为1），有6个点A、B、C、
D、E、F，若过A、B、C三点作圆O，则点D、E、F三点中在圆O外的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】由图可知 ，故过A、B、C三点作圆O，直径为 ，圆心 在 的中点，然后根据网格的特点用勾股定理计算半径和点D、E、F三点到圆心的距离即可判定．
【详解】解：如图，
∵ ，
∴过A、B、C三点作圆O，直径为 ，圆心 在 的中点，
∴ ，
，
，
∴点F在圆O外，点D、E在圆O上，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的外接圆圆心在斜边的中点上，以及点与圆的位置关系，解题关键是
关键网格的特点找到圆心的位置．
2．（2024九年级上·江苏·专题练习）若点O是等腰 的外心，且 ，底边 ，则
的面积为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分
类讨论的思想思考问题．分两种情形讨论：①当圆心O在 内部时．②当点O在 外时．分别求
解即可．
【详解】解：①当圆心O在 内部时，作 于E．，
是等腰直角三角形，
，
，
，
．
②当点O在 外时，连接 交 于E．
，
故答案为： 或 ．
3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，
2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为 ；⊙M的半径为 ；
（3）点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系是点D在⊙M ；
（4）若画出该圆弧所在圆，则在整个平面直角坐标系网格中该圆共经过 个格点．【答案】（1）见解析；（2）（2，0），2 ；（3）内部；（4）8
【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线交于点M，点M即为所求．
（2）根据点M的位置写出坐标即可，利用勾股定理求出半径．
（3）根据点与圆的位置关系判断即可．
（4）利用图像法，判断即可．
【详解】解：（1）如图，点M即为所求．
（2）M（2，0），MA＝ ＝ ．
故答案为：（2，0），2 ．
（3）点D（5﹣2）在⊙M内部．
故答案为：内部．
（4）如图，满足条件的点有8个．
故答案为：8．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，坐标与图形的性质，垂径定理，点与圆的位置关系，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质．
【经典例题七 确定圆的条件】
【例7】（2023秋·九年级课前预习）下列说法中，真命题的个数是（ ）
①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形
内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆；
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】①根据圆的确定，进行判断即可；②根据三角形的定义进行判断即可；③直角三角形的外心在斜
边上，锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，进行判断；④根据三角形的
外心是三条边的中垂线的交点，进行判断即可；⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
【详解】解：①任何三角形有且只有一个外接圆，是真命题；
②任何圆有无数个内接三角形，原说法错误，是假命题；
③三角形的外心不一定在三角形内，是真命题；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，是假命题；
⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，是假命题；
综上，真命题的个数为2个；
故选B．
【点睛】本题考查三角形的外接圆和圆的确定．熟练掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形
的外心是三角形三边的中垂线的交点，是解题的关键．
1．（2024·江苏徐州·一模）如图， ， ， ，点 在 上运动，当 最大
时，则 的长度是（ ）A．15 B．20 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三点共圆，切线的判定，含 的直角三角形，勾股定理，解题的关键是正确的作图，
理解当P运动到圆上时， 最大；过 的中点Q作 于P，由含 的直角三角形的性质，
可推出 三点共圆，可证 与圆Q相切于P，进而推出此时 最大，再由勾股定理求解即可；
【详解】过 的中点Q作 于P，则 ，
Q是 的中点， ，
，
，
， ，
，
，
三点在以Q为圆心的圆上，
，
与圆Q相切与P，
此时 最大，在 中， ，
故选： ．
2．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知直线l：y=x+4，点A（0，2），点B（2，0），设点P为直
线l上一动点，当P的坐标为 时，过P，A，B三点不能作出一个圆．
【答案】(−1, 3)
【分析】由而在同一直线上的三个点不能画一个圆可知，当P，A，B三点共线时，过P，A，B三点不能
作出一个圆．为此，先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再与y=x-4联立，两直线的交点坐标即为所
求．
【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A(0,2)，点B(2,0)，
∴ ，
解得 ，
∴y=−x+2.
解方程组 ，得 ，
∴当P的坐标为(−1, 3)时，过P，A，B三点不能作出一个圆.
故答案为(−1, 3).
【点睛】本题考查确定圆的条件和一次函数的性质，解题的关键是掌握确定圆的条件和一次函数的性质.
3．（23-24九年级上·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中， ．(1)将点B向上平移4个单位长度，得到点C，则点C的坐标是___________．
(2)将 绕点B顺时针旋转得到 ，其中点A与点D对应，点D在线段 上，请在图中画出
；
(3)经过A，B，E三点___________确定一个圆．（填写“能”或“不能”）
【答案】(1) ；
(2)见解析；
(3)不能．
【分析】（1）根据平移的性质可得答案；
（2）先作出 ，由旋转后点D在线段 上可知绕点B顺时针旋转 ，根据旋转的性质确定点D、
E的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据A、B、E三点共线可得答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴点B向上平移4个单位长度，得到点C，点C的坐标是 ，
故答案为： ；
（2）解：如图， 即为所求；
（3）解：由图可得，A、B、E三点共线，
∴经过A，B，E三点不能确定一个圆，
故答案为：不能．
【点睛】本题考查了平移的性质，画旋转图形，旋转的性质，确定圆的条件等知识，熟练掌握旋转的性质，
作出旋转后的图形，得出A、B、E三点共线是解答本题的关键．【经典例题八 圆中角度的计算】
【例8】1（2023·甘肃白银·校考三模）如图，A、B、C是圆O上的三点，且四边形 是平行四边形，
交圆O于点F，则 等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到 为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得
到答案．
【详解】解：
连接 ，如图所示，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆内半径相等，平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
1．（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图， 是 的弦，延长 相交于点E，已知
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，圆心角等知识．明确角度之间的数量关系是解题的
关键．
如图，连接 ，由三角形内角和求 ，
，
，根据
，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ，
故选：C．
2．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图， 是 的直径，点 在 的延长线上，
交 于点 ，且 ．则 ．
【答案】 /54度
【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，根据圆的基本性质，可得 ，
，从而得到 ，进而根据三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】解：连接 ，
是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：3．（23-24九年级下·海南海口·阶段练习）如图所示， 为 的直径， 是 的弦， 的延
长线交于点 ，已知 ．求 的度数．
【答案】
【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念，等腰三角形的性质，连接 ，由
，得到 ，根据等腰三角形的性质得 ，再利用三角形外角性质
得到 ，即可求解，掌握圆的有关概念是解题的关键．
【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【经典例题九 圆中线段长度的计算】
【例9】（2023·全国·九年级专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交
点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得 的外心为O，求 的长度为何（ ）A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到 ，从而确
定B、C的位置，然后利用勾股定理计算即可．
【详解】解：∵ 的外心为O，
，
，
，
、 是方格纸格线的交点，
、 的位置如图所示，
．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．
1．（2024·浙江杭州·一模）如图，在 中， ， ， ，以点B为圆心，
为半径画弧交边 于点P，则 的长为（ ）A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，圆的基本性质，由勾股定理得到 ，由题意得到 ，即可
求解，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵以点B为圆心， 为半径画弧交边 于点P，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
2．（2024·山东泰安·三模）如图，在 中， ，O是 边上一点，以O为圆心， 为
半径的圆与 相交于点D，连接 ，且 ．若 ，则圆O半径的长为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，等边对等角，连接 ，由等腰三角形的性质得
， ，由 可证 ，则 ，设半径为x，
则 ，在直角三角形 中，，利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ ，
∴ ．∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
设半径为x，则 ，
在直角三角形 中，由勾股定理得 ，即 ，
∴ ．
∴半径的长为3，
故答案为：3．
3．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图， ，在射线 上顺次截取 ， ，
以DB为直径作 交射线 于 、 两点．求：
(1)圆心O到 的距离．
(2)求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过 点作 于 ，如图，根据含 度的直角三角形三边的关系求出 即可；
（2）连接 ，如图，利用勾股定理计算出 和 即可得答案．
【详解】（1）解：过 点作 于 ，如图，，
，
，
在 中， ，
，
即圆心 到 的距离为 ；
（2）解：连接 ，如图，
，
∴在 中， ，
在 中， ，
．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形、勾股定理及圆的概念，解本题的关键在熟练掌握 度角所
对的直角边等于斜边的一半的性质．【经典例题十 求一点到圆上点距离的最值】
【例10】（2023秋·江苏·九年级专题练习）在同一平面内，已知 的半径为2，圆心O到直线l的距离为
3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】过点 作 于点 ，连接 ，判断出当点 为 的延长线与 的交点时，点 到直线
的距离最大，由此即可得．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，连接 ，
， ，
当点 为 的延长线与 的交点时，点 到直线 的距离最大，最大距离为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的性质，正确判断出点 到直线 的距离最大时，点 的位置是解题关键．
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平行四边形 中， ， ， ， 是
边的中点， 是线段 上的动点，将 沿 所在直线折叠得到 ，连接 ，则 的最
小值是（ ）
A． B．6 C．4 D．
【答案】D【分析】如图， 的运动轨迹是以E为圆心，以 的长为半径的圆．所以，当 点落在DE上时， 取
得最小值．过点D作 交 延长线于G，解 ,得 ， ，
进一步求得 ，从而解得 ．
【详解】解：如图， 的运动轨迹是以E为圆心，以 的长为半径的圆．所以，当 点落在DE上时，
取得最小值．
过点D作 交 延长线于G，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵E是 的中点， ，
∴ ，
∴
∴
由折叠的性质可知
∴ ．
故选D．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、平行四边形的性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点 在何位置时， 的值最小，是解决问题的关键．
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形 中， ，动点P在矩形的边上沿
运动．当点P不与点A、B重合时，将 沿 对折，得到 ，连接 ，则在点
P的运动过程中，线段 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】根据折叠的性质得出 在A为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点P在 上时，当
点P在 上时，当P在 上时，即可求解．
【详解】解：在矩形 中， ，
∴ ， ，
如图所示，当点P在 上时，
∵ ，
．∴ 在A为圆心，2为半径的弧上运动，
当A， ，C三点共线时， 最短，
此时 ，
当点P在 上时，如图所示，此时 ，
当P在 上时，如图所示，此时 ，
综上所述， 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的
关键．
3．（2023·河北衡水·统考二模）如图， 和 均为边长为 的等边三角形，点 在边 上，
是 的中点，作点 关于 的对称点 ，连接 和 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)求 的最小值；
(3)若 与 垂直，求 的长．【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出 ，即可得证；
（2）根据题意得出点 在以 为圆心， 为半径的圆上，进而勾股定理求得 的长，当 在线段 上
时， 取得最小值，即可求解；
（3）根据题意作出图形，延长 交 于点 ，得出 ， ，勾股定理求得
，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 和 均为边长为 的等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：∵ ， 是 的中点，
∴ ，
∵点 关于 的对称点 ，
∴ ，
∴点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
连接 ，如图所示，
∵ 是 的中点， 是等边三角形
∴ ，
∴ ，
当 在线段 上时， 取得最小值，∴ 的最小值为
（3）解：如图所示，延长 交 于点 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆外一点到圆上的距离，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，菱形的
判定，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
1．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知矩形 中， ，以点B为圆心r为半径作圆，
且 与边 有唯一公共点，则r的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了点与圆的位置关系以及矩形的性质，勾股定理，由于 根据点与圆的位
置关系得到 注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当 时，点在圆外； 当 时，
点在圆上，当 时，点在圆内．
【详解】解：如图：连接 ,
∵矩形 中，
∵以点B为圆心作圆， 与边 有唯一公共点，
∴ 的半径r的取值范围是： ，
故选：D．
2．（24-25九年级上·全国·课后作业）在 中， ．分别以 为圆心， 长为半
径作圆 、圆 ，关于 点位置，下列叙述中正确的是（ ）
A．在圆 外部，在圆 内部 B．在圆 外部，在圆 外部
C．在圆 内部，在圆 内部 D．在圆 内部，在圆 外部
【答案】A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设 的半径为r，点P到圆心的距离 ，则点P在圆外
；点P在圆上 ；点P在圆内 ．也考查了三角形三边的关系及三角形内角和定理．
先求出 ，根据大角对大边画出示意图，结合点与圆的位置关系即可解答．
【详解】解： 中， ，，
，
如图，以 为圆心， 长为半径作圆 、圆 ，
， ，
点A在圆 外部，在圆 内部，
故选：A．
3．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知如图正方形 的边长为4，点 为边 上一动点，
于 ，将 绕着点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，当点 从点 运动到点 时，点 的
运动路径长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的综合，涉及中位线，直角三角形斜边的中线，全等三角形的判定与性质，轨
迹圆，熟练根据图形画出辅助线、找出动点运动的轨迹是解题的关键．连接 ，设 的中点
分别为 ，连接 ，利用中点的性质确定点 在以 为圆心，2为半径的圆弧上运动，且
点 从点 运动到点 ，通过 ，
得出 ，推出点 的运动路径长与点 的运动路径长相等即可．
【详解】解：如图，连接 ，设 的中点分别为 ，连接 ，
则 ，，
，
，
点 在以 为圆心，2为半径的圆弧上运动，
点 从点 运动到点 ，
点 从点 运动到点 ，
的长 ，
， ，
，
，
，
，
，
点 在以 为圆心，2为半径的圆弧上运动，
和 对应，
点 的运动路径长与点 的运动路径长相等，
点 的运动路径长为 ，
故选：C．
4．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在 中， ，E是直角边 的中点，F是直角边 上的
一个动点，将 沿 所在直线折叠，得到 ，D是斜边 的中点，若 ， ，则
的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、三角形的中位线定理、圆的定义，确定动点 的运动轨迹是解题的关键．根据折叠的性质可得 ， ，结合
E是直角边 的中点，得到 ，由此可判断点 在以 为圆心， 为半径的
圆上运动，当 、 、 共线时，此时 的值最小，根据三角形中位线定理求出 ，即可求
出此时 的最小值．
【详解】解： 将 沿 所在直线折叠，得到 ，
，
，
E是直角边 的中点，
，
点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，如图所示，
，
当 、 、 共线时，即 与 重合时， 取得最小值，
又 ，
此时 的值最小，
D是斜边 的中点，
是 的中位线，
，
此时， ，
的最小值为4．
故选：C．
5．（2024·山东日照·二模）直线 与x，y轴分别交于A，B两点，P是以 为圆心，1为
半径的圆上一点，连接 ，则 面积的最大值为（ ）A．27 B．10 C．23 D．32
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与几何的综合应用，三角形的面积，点和圆的位置关系，解此题的关键是求
出圆上的点到直线 的最大距离．
求出A、B的坐标，根据勾股定理求出 ，求出点C到 的距离，即可求出圆C上点到 的最大距离，
根据面积公式求出即可．
【详解】解：∵直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，
当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵点P是以 为圆心，1为半径的圆上一点，
过C作 于M，连接 ，
∴ ，
∴ ，
当P，C，M在一条直线时， 最大，即 的面积最大，即 ，
∴ 面积的最大值 ，
故选：D．
6．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①直径是圆中最长的弦；
②长度相等的两条弧是等弧；③面积相等的两个圆是等圆；
④等弧所对的圆心角相等；
⑤同圆中，两条相等的弦所对的弧相等；
⑥顶点在圆上的角是圆周角；
⑦将圆绕一点旋转一个角度可以和自身重合；
⑧圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴；
⑨半圆是弧；
⑩过圆心的线段是直径．
【答案】①③④⑨
【分析】本题主要考查圆的有关性质．根据弦、直径、等圆、等弧的概念判断即可．
【详解】解：①直径是圆中最长的弦，说法正确；
②在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，原说法错误；
③面积相等的两个圆是等圆，说法正确；
④等弧所对的圆心角相等，说法正确；
⑤同圆中，两条相等的弦所对的优弧相等，劣弧相等，原说法错误；
⑥圆周角的定义包括两个基本特征：一是顶点位于圆周上，二是角的两边都与圆相交，原说法错误；
⑦将圆绕圆心旋转一个角度可以和自身重合，原说法错误；
⑧圆是轴对称图形，每一条直径所在直线都是它的对称轴，原说法错误；
⑨半圆是弧，说法正确；
⑩过圆心且两端都在圆上的线段是直径，原说法错误；
故答案为：①③④⑨．
7．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知P是 内一点 点P不与圆心O重合 ，点P到圆上各点
的距离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程 的两个实数根，则 的半径
为 ．【答案】6
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点与圆上各点的距离的最值，明确最小距离与最大距
离的和等于圆的直径是解题关键．由根与系数的关系求出两根之和，则最小距离与最大距离的和等于圆的
直径．
【详解】解：设最小距离为m，最大距离为n，
由根与系数的关系得 ，
是 内一点，
点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离的和等于圆的直径，
即圆的直径是12，圆的半径是
故答案为：6
8．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，正方形 的边长为4，点P是以 为直径的半圆O上一
点，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查的是圆外一点与圆的距离的最小值，勾股定理的应用，如图，连接 ， ， 交半
圆O于点 ，利用勾股定理求解 ，再进一步可得答案．
【详解】解：如图，连接 ， ， 交半圆O于点 ，
，
在 中， ， ，∴ ，
当点P与点 重合时， 取得最小值 ．
故答案为：
9．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图， 是 的直径， 是 延长线上一点，点 在
上，且 ， 的延长线交 于点 ．若 ，则 度数为 ．
【答案】50
【分析】本题主要考查了圆的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质，解题关键是熟
练掌握圆的基本性质．首先证明 的等腰三角形，易得 ，结合三角形外角的性质可
得 ，再根据圆的性质可得 也为等腰三角形，由 即可获得
答案．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：50．
10．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在 中， ．以点 为圆心，
为半径作圆．（1）当点 在 内时， 的取值范围是 ；
（2）若 ，则点 在 ，点 在 ；
（3）当点 中只有两点在 内时， 的取值范围是 ．
【答案】 / 上 外 /
【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设 的半径为r，点P到圆心的距离 ，则点P在圆外
；点P在圆上 ；点P在圆内 ．也考查了勾股定理．利用勾股定理求出
．
（1）根据点与圆的位置关系即可解答即可；
（2）根据点与圆的位置关系即可解答即可；
（3）根据点与圆的位置关系即可解答即可．
【详解】解： 中， ，
．
（1）当点 在 内时，则 ，即 ，
故答案为： ；
（2） ， ，
则 ，
点 在 上，点 在 外，
故答案为：上，外；
（3） 点 中只有两点在 内， ，
点 两点在 内，点B在 外，
的取值范围是： ．
故答案为：
11．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图， 的半径 ， 是弦， 是 上一点，且
， ．求 的度数．【答案】
【分析】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理与外角的性质．
连接 ，由 得到 ，由 得到 ，从而 ，由
得到 ，进而即可求解．
【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
12．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）已知：如图，在 中， ， ， ，
以点 为圆心， 为半径的圆与 交于点 ．(1)求 的长；
(2)若 ，求 的度数；
(3)若点 是线段 上的动点，则线段 的长度取值范围是________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了圆的基本性质、勾股定理、等腰三角形的性质、垂线段最短等知识，熟练掌握圆
的基本性质是解题关键．
（1）过点 作 交于点 ，首先根据勾股定理解得 的长度，再利用面积法解得 的长度，进
而可得 的值，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质求得 的长即可；
（2）首先根据“直角三角形两锐角互余”可得 ，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质可
知 ，然后根据三角形内角和定理解得 的度数，即可获得答案；
（3）根据“垂线段最短”即可得到答案．
【详解】（1）解：过点 作 交于点 ，如下图，
∵ ， ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 的度数为 ；
（3）解：∵点 是线段 上的动点， ， ， ，
∴当点 与点 重合时， 取最小值，
此时 ，
当点 与点 重合时， 取最大值，
此时 ，
∴线段 的长度取值范围是 ．
故答案为： ．
13．（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）如图， 是 的直径， ， 交 于点 B ，
且 ，求 的度数．【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形外角的性质．首先设 ，由 ，可得
，然后利用等腰三角形的性质与三角形外角的性质，求得 ，继而求得答案．
【详解】解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
14．（23-24九年级上·全国·单元测试）问题探究
（1）请在图（1）中作出两条直线，使它们将圆面积四等分，并写出作图过程；
拓展应用
（2）如图（2）， 是正方形 内一定点， 是对角线 、BD的交点．连接 并延长，分别交
AD、 于 、 ．过 作直线 ，分别交 、 于 、 ．求证： 、 将正方形
的面积四等分．
【答案】（1）过点 首先作一条直线 ，进而过点 作直线 的垂线 ，即可将圆面积四等分；（2）详见解析；
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形性质等知识，得出全等三角形是解题关键．
（1）利用直径所在直线平分圆的面积，进而得出答案；
（2）利用全等三角形的判定与性质以及正方形性质分析得出全等三角形，进而得出答案．
【详解】解：（1）过点 首先作一条直线 ，进而过点 作直线 的垂线 ，即可将圆面积四等分；
（2）证明：∵正方形 ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
同理可得出： ，
，
，
∴ ，
∴ 、 将正方形 的面积四等分．
15．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知矩形 的边 ， ．(1)以点A为圆心， 为半径作 ，则点B，C，D与 的位置关系如何？
(2)若以点A为圆心作 ，使B，C，D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则 的半径r的
取值范围是什么？
【答案】(1)点 在 内，点 在 上，点 在 外
(2)
【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位
置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．
（1）根据勾股定理求出 的长，进而得出点B，C，D与 的位置关系；
（2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围．
【详解】（1）解：连接 ，
∵在矩形 中， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴点 在 内，
∵ ，
∴点 在 上，
∵ ，
∴点 在 外；
（2）解：∵以点A为圆心作 ，使 ， ， 三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴ 的半径 的取值范围是： ．
