文档内容
专题 01 一元二次方程重难点题型专训
（3个知识点+10大题型+4大拓展训练+自我检测）
题型一 一元二次方程的概念
题型二 化成一元二次方程的一般式
题型三 由一元二次方程的定义求参数
题型四 判断是否是一元二次方程的解
题型五 由一元二次方程的解求参数
题型六 一元二次方程的解的估算
题型七 根据一元二次方程的解代入求值
题型八 根据一元二次方程的解降次求值
题型九 由实际问题抽象出一元二次方程
题型十 根据一元二次方程的解求另一方程的解
拓展训练一 根据一元二次方程的定义求参综合
拓展训练二 根据一元二次方程的解求参综合
拓展训练三 两个一元二次方程解的关联性综合
拓展训练四 一元二次方程的新定义问题
知识点一、一元二次方程的定义
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，
③未知数的最高次数是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程.
【即时训练】
1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）方程① ；② ；③ ；④
中，一元二次方程个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若 是一元二次方程，则 的值为（ ）
A． B． C． D．知识点二、一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成 的形式，这种
形式就叫做一元二次方程的一般形式. 其中， 是二次项， 是二次项系数； 是一次项，b是一次项系
数，c是常数项.
1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于 0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“ ，b和c
均可以为0”；
2.一般情况下，二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘 ，使二次项系数变为
正数；
3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符
号.
【即时训练】
3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）将方程 化成一元二次方程的一般形式后，它的二次
项系数，一次项系数和常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）一元二次方程 化成一般形式后，二次项系数为 ，
一次项系数为 ，常数项为 ．
知识点三、一元二次方程的根
能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）.
1.一元二次方程根的情况：（关于根的个数判断在后面会详细讲解，这里先做个简单的了解）
①可能有两个不相等的实数根；
②可能有两个相等的实数根；
③可能没有实数根.
2.关于一元二次方程根的结论：
①若 ，则 必有一个根 ，反之也成立；②若 ，则 必有一个根 ，反之也成立；
③若一元二次方程 有一个根 ，则 ，反之也成立.
【即时训练】
5．（24-25八年级下·江苏南京·期末）若 是方程 的一个根，则 的值为
．
6．（2025九年级上·江苏·专题练习）若关于x的一元二次方程 有一个根为 ，则
．
【经典例题一 一元二次方程的概念】
【例1】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）下列方程① ；② ；③ ；④
；⑤ ；⑥ ；⑦ ．其中一定是一元二次方程的有
（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（24-25九年级上·广东江门·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A． B．
C． D．
3．（24-25九年级·江苏·假期作业）判定下列方程是不是一元二次方程：
(1) ；
(2) ．
4．（24-25九年级上·全国·课前预习）判断下列方程是否为一元二次方程？
（1）3x＋2＝5y－3
（2）
（3）
（4）
【经典例题二 化成一元二次方程的一般式】
【例2】（24-25八年级下·安徽宣城·期末）把一元二次方程 化成一般式，则 ， ， 的值分
别是( )A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
1．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知一元二次方程 的二次项系数为1，一次项系数、
常数项分别是（ ）
A．3、5 B． 、5 C．3、 D． 、
2．（24-25八年级下·广西贺州·期中）方程 化为一元二次方程的一般形式是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）一元二次方程 的一般形式是 ．
4．（24-25九年级上·广东江门·期中）把一元二次方程： ，化成一般式是 ．
【经典例题三 由一元二次方程的定义求参数】
【例3】（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知关于 的方程 是一元二次方程，则 的
值应为（ ）
A． B． C．2 D．不能确定
1．（24-25八年级下·广西百色·期中）若方程 是一元二次方程，则k的值是 ．
2．（24-25九年级上·安徽·期末）若 是关于 的一元二次方程，则 ．
3．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）当 为何值时，方程
(1)是关于 的一元一次方程．(2)是关于 的一元二次方程．
4．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）关于 的方程 是一元二次方程，求
的值．
【经典例题四 判断是否是一元二次方程的解】
【例4】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些
情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：
的解是（ ）
-2 -1 0 1 2 3 …
6 2 0 0 2 6 …
A． B． C． D． 或
1．（24-25九年级下·福建福州·开学考试）若 ，则下列x的值一定是关于x的方程
的根的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·山西临汾·期中）关于x的一元二次方程 ，若 则方程必有一
根为（ ）
A．1 B． C．0 D．2
3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于 的方程 的解是 ， （ ， ，
均为常数， ），则方程 的解是 ．
4．（2025·广东潮州·二模）已知 ．(1)化简P；
(2)若a为方程 的一个解，求P的值．
【经典例题五 由一元二次方程的解求参数】
【例5】（24-25八年级下·北京通州·期末）如果 是一元二次方程 的一个根，则 的值是
（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25八年级上·全国·期中）已知m是方程 的一个根，则 的值为（ ）
A． B．4 C．1 D．
2．（24-25九年级上·青海西宁·期中）若关于 的一元二次方程 有一个根为0，则
的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．1或
3．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如果关于x的一元二次方程 有一个根为2000；那么方
程 必有一个根为 ．
4．（25-26九年级上·全国·阶段练习）已知m是方程 的一个根．
(1) 的值为______．
(2)求 的值．【经典例题六 一元二次方程的解的估算】
【例6】（24-25九年级上·山西运城·期中）已知关于x的二次三项式 的部分对应值如下表：
x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
0.36 0.75
据此可估计关于x的一元二次方程 的一个根的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
1．（24-25九年级上·广东梅州·期中）小颖在探索一元二次方程 的近似解时作了如下列表计算．
观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·广东佛山·期中）小亮在进行一元二次方程 估算根的过程中，列了如
下表格，根据表格信息，该根的十分位上的数字是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（24-25九年级上·福建漳州·期中）根据表格对应值：判断关于x的方程 的一个解x的范围是 ．
4．（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为 ，长比宽多 ，求铁片的长”时
是这样做的：设铁片的长为 ，列出的方程为 ，整理，得 小贝列出方程后，想知
道铁片的长到底是多少 下面是它的探索过程：
第一步：
所以
第二步：
所以 ．
(1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分．
(2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少 十分位为多少
【经典例题七 根据一元二次方程的解代入求值】
【例7】（24-25八年级下·浙江温州·期中）若 是关于 的方程 的一个根，则
的值是（ ）
A．2027 B．2026 C．2025 D．2024
1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知下面三个关于 的一元二次方程
恰好有一个相同的实数根 ，则 的值为（ ）A．0 B．1 C．3 D．不确定
2．（2025·福建漳州·模拟预测）若m是方程 的一个实数根，则 的值是（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
3．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）若 是方程 的一个根，则 的值为
．
4．（24-25九年级上·新疆昌吉·期中）已知a是方程 的解，求代数式
的值．
【经典例题八 根据一元二次方程的解降次求值】
【例8】（2025·广东珠海·一模）设 是方程 的一个实根，则 （ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
1．（2024·云南昆明·一模）若 是方程 的一个根，则代数式 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·云南·期末）已知 是一元二次方程 的根，则 的值为
．
3．（2025九年级下·四川资阳·学业考试）已知m为方程 的根，那么
的值为 ．
4．（24-25八年级下·重庆·期末）若a是方程 的一个根，则 的值为【经典例题九 由实际问题抽象出一元二次方程】
【例9】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，
b，c是 和 边长，易知 ，这时我们把关于x的形如 的一元二次
方程称为“勾系一元二次方程”．若 是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边
形ACDE的周长是 ，求 的面积．
1．（24-25九年级上·四川自贡·期中）已知关于x的一元二次方程x2−(m+1)x+m+6=0的其中一个根为3．
（1）求m的值及方程的另一个根；
（2）若该方程的两根的值为一直角三角形的两边长，求此直角三角形的第三边长．
2．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中） 是关于x的方程 的根，其中a，
b，c分别为 三边的长，则 的是 三角形．
3．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知1是关于 的方程 的一个根，并且这个方程的两
个根恰好是等腰三角形 的两条边长，则三角形 的周长为 ．
4．（24-25九年级上·广西来宾·期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a、b、c
分别为△ABC三边的长．如果x=-1是方程的根，则△ABC是 三角形．【经典例题十 根据一元二次方程的解求另一方程的解】
【例10】（23-24九年级上·全国·阶段练习）若关于 的一元二次方程 有一根为 ，
则方程 必有一根为（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）若关于 的一元二次方程 有一个根为 ，
则方程 必有一根为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
2．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若关于 的一元二次方程 有一根为
，则一元二次方程 必有一根为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）已知关于x的方程 中满足 ，则方程有一根
为 ．
4．（24-25八年级下·全国·阶段练习）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.
（1）若a+b+c=0，则此方程必有一根为 ；
（2）若a-b+c=0，则此方程必有一根为 ；
（3）若4a-2b+c=0，则此方程必有一根为 ．【拓展训练一 根据一元二次方程的定义求参综合】
1、（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若关于 的方程 满足 ，称此方程为
“贺岁”方程．已知方程 是“贺岁”方程，则 的值为
（ ）
A． B．2024 C． D．2025
2．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程 满足 ，那么我们
称这个方程为“凤凰方程”．
(1)判断一元二次方程 是否为“凤凰方程”，并说明理由；
(2)若关于 的方程 是“凤凰方程”，求 的值．
3．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于 的方程
(1) 为何值时，此方程是一元一次方程？
(2) 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项．
【拓展训练二 根据一元二次方程的解求参综合】
1．（25-26九年级上·全国·阶段练习）关于x的方程 的解是 ．
（1）关于x的方程 的根是 ．
（2）关于x的方程 的根是 ．
2．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）若a是方程 的一个根，则 的值为．
3．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）已知a是方程 的一个根，则
（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【拓展训练三 两个一元二次方程解的关联性综合】
1．（24-25九年级下·全国·假期作业）若关于 的方程 ， ， 均为常数， 的
解是 ， ，求方程 的解．
2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若关于x的一元二次方程 有一根为 ，
则关于y的一元二次方程 必有一根为（ ）
A．2025 B． C． D．
3．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现
学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程 是一元二次方程
的倒方程，其中 为常数（且 ．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程 的倒方程是______；
(2)若 是一元二次方程 的倒方程的解，求出 的值；
(3)若 是一元二次方程 的倒方程的一个实数根，则 的值为______．【拓展训练四 一元二次方程的新定义问题】
1．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）定义：如果一元二次方程 （ ）满足
，那么称这个方程为“联合方程”．
(1)判断一元二次方程 是否为“联合方程”，说明理由；
(2)已知 是关于 的“联合方程”，若 是此“联合方程”的一个根，求 和 的值．
2．（24-25九年级上·全国·阶段练习）定义：关于x的一元二次方程 （其中a，b，c是常数，
且 ）是关于x的一元二次方程 （其中a，b，c是常数，且 ）的“友好”方程．
例如： 是 的“友好”方程．
(1)【概念感知】 的“友好”方程是______；
(2)【问题探究】若关于x的一元二次方程 （其中a，b，c是常数，且 ）的一个解为
3，请判断 是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由．
3．（25-26九年级上·全国·阶段练习）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为 ．例
如： ．根据这个法则解决下列问题：
(1)计算： _________．
(2)判断 是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由．
(3)判断 ，0，2，3中哪些是方程 的根，并写出判断过程．1．（24-25九年级上·山东青岛·期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·广西钦州·期中）将方程 化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数
为1，一次项系数，常数项分别是（ ）
A． B． C． D．2，10
3．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知关于x的方程 的一个根为 ，则实数m的值为
（ ）
A．4 B． C．3 D．
4．（24-25九年级下·河北邢台·期中）若一元二次方程 化成一般形式后二次项的系数是2，则一
次项的系数是（ ）
A．3 B． C．5 D．
5．（24-25八年级下·福建泉州·期末）将一元二次方程 化为一般形式后，其二次项系数、一次项
系数、常数项分别是（ ）
A．1，2，6 B．1， ，6 C．1， ， D．1，2，
6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）方程 是关于x的一元二次方程，则（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26九年级上·全国·阶段练习）若 是关于x的一元二次方程 的根，则
的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
8．（2025·山东烟台·一模）若 是关于 的方程 的一个根，则关于 的方程
必有一个根为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．20279．（辽宁省大连市高新园区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷）已知关于x的一元二次方程：
的一个根是2，则k的值是 ．
10．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知 为方程 的一个根，则 的值
为 ．
11．（24-25九年级上·广东惠州·期中）若 是关于 的一元二次方程，则
．
12．（24-25九年级下·全国·假期作业）根据下列表格的对应值，由此可判断方程 必有一个
解 的取值范围是 ．
13．（2025·吉林长春·三模）若a是方程 的一个根，则 的值为 ．
14．（2025·云南临沧·模拟预测）定义：如果一元二次方程 满足 ，那么我
们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程 满足 ，那么我们称这个
方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方
程为 ．
15．（2024八年级上·上海·专题练习）判断下列方程是否为一元二次方程：
① ；
② ；
③ ；
④ ；⑤ ；
⑥ ．
16．（24-25八年级上·上海·阶段练习）把下列方程化成一般式，并写出二次项、一次项和常数项．
(1) ；
(2) ．
17．（23-24九年级上·甘肃定西·期中）已知 是关于x的一元二次方程，求m的值．
18．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程 满足 ，那么我
们称这个方程为“凤凰方程”．
(1)判断一元二次方程 是否为“凤凰方程”，并说明理由；
(2)若关于 的方程 是“凤凰方程”，求 的值．
19．（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）已知 为一元二次方程 的根，求
的值．
20．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知实数a是一元二次方程 的一个根，求代
数式 的值．
