文档内容
专题 02 解一元二次方程重难点题型专训
（4个知识点+9大题型+5大拓展训练+自我检测）
题型一 直接开方法解一元二次方程
题型二 配方法解一元二次方程
题型三 配方法的应用
题型四 公式法解一元二次方程
题型五 根据判别式判断一元二次方程根的情况
题型六 根据一元二次方程根的情况求参数
题型七 因式分解法解一元二次方程
题型八 换元法解一元二次方程
题型九 含绝对值的一元二次方程的解法
拓展训练一 配方法求最值
拓展训练二 一元二次方程解法的新定义计算
拓展训练三 一元二次方程的解含参综合
拓展训练四 换元法综合
拓展训练五 一元二次方程解法与几何问题
知识点一、直接开方法解一元二次方程
根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法.
以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程：
1.形如x的一元二次方程 ：
当a＞0时，则 ，此时方程有两个不相等的实数根；
当a＝0时，则 ，此时方程有两个相等的实数根；
当a＜0时，则方程无实数根.
2.形如 x 的一元二次方程 ，可用直接开方法解得两个根分别是.
【即时训练】
1．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）解方程： ．
【答案】 ， ．
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据直接开平方法即可求解，熟练掌握一元二次方程解法是解题的
关键．
【详解】解：
，
∴ ， ．
2．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）用直接开平方法解下列方程：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1) ．
(2) ．
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开方法，是解题的关键：
（1）移项，系数化1，再开方即可；
（2）移项，合并，系数化1，再开方即可．
【详解】（1）解：移项，得 ．
二次项系数化为1，得 ．
直接开平方，得 ．（2）移项，得 ．
二次项系数化为1，得 ．
直接开平方，得 ．
知识点二、用配方法解一元二次方程
将一元二次方程化成 的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法.
1.对 进行分类讨论：
（1）当m＞0时，则 ，此时方程有两个不相等的实数根；
（2）当m＝0时，则 ；
（3）当m＜0时，则方程无实数根.
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为 的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
3.配方法主要有以下几种应用：
①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或
小于零）而比较出大小；
②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值；
③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）.
【即时训练】
3．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）把方程 化成 的形式，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程．
将原方程配方，求出 、 的值，再计算 即可．【详解】解：将 配方得 ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
4．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）用配方法解方程：
(1)
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键；
（1）先化为 ，然后根据配方法解一元二次方程，即可求解；
（2）先化为 ，然后根据配方法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：
方程整理得： ，
配方得： ，
即 ，
开方得： 或 ，
，
（2）解：
方程整理得： ，配方得： ，
即 ，
开方得： 或 ，
，
知识点三、用公式法解一元二次方程
一般地，对于一元二次方程 ，当 时，它的根是
（ ），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程
的方法叫做公式法.
其中， 叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况：
①当 时，则 ，此时方程有两个不相等的实
数根；
②当 时，则 ，此时方程有两个相等的实数根；
③当 时，此时方程没有实数根.
以上三点，反之也成立.
【即时训练】
5．（24-25九年级上·江苏南京·期中）用公式法解方程： ．
【答案】 ，
【分析】用公式法解一元二次方程，先确定系数 、 、 ，再计算判别式 ，最后代入求根公式求解．本
题主要考查用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式、判别式公式及求根公式是解题的关键．
【详解】解：
， ， ，
，
∴ ，
∴ ， ．
6．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）解方程： ．
【答案】
【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法求解即可．
【详解】解： ，
．
．
．
知识点四、用因式分解法解一元二次方程
利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法.
1.因式分解法解一元二次方程的步骤：
①将方程等号的右边化为0；
②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
【即时训练】
7．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）若 ，则 ．
【答案】2【分析】本题考查了非负数的性质、解一元二次方程，由非负数的性质可得 ，
，再解一元二次方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
解 可得 或 ，
解 得 或 ，
综上所述， ，
故答案为： ．
8．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先移项，再利用提公因式法分解因式，进而解方程即可；
（2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可．
【详解】（1）解：
或
解得 ；
（2）解：
或．
【经典例题一 直接开方法解一元二次方程】
【例1】（25-26九年级上·全国·阶段练习）方程 的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程．将方程化为标准形式后，利用平方根的定义求解．
【详解】解：∵ ，
两边同时除以2，： ，
∴直接开方得： ，
解得： ， ，
故选：B．1．（24-25九年级下·全国·假期作业）若方程 有解，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据完全平方数是非负数得到关于 的不等式，解不等式即可求解，
掌握完全平方数是非负数是解题的关键．
【详解】解：∵方程 有解，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）解一元二次方程： （直接开平方法）
【答案】 ，
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为 ，再利用直接开平方法求解即可.
【详解】解： ，
两边都除以3得： ，
∴ ，
解得： ， ；
3．（24-25九年级上·河南南阳·期中）直接写出下列方程的根：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1) ， ；(2) ， ；
(3) ， ；
(4) ， ．
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，
公式法，因式分解法等．
（1）移项，整理成 ，然后利用直接开方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）利用公式法解一元二次方程即可；
（4）移项整理成一般形式，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
解得 ， ；
（2）解：
或
解得 ， ；
（3）解：
， ，解得 ， ；
（4）解：
或
解得 ， ．
4．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）小明在解一元二次方程时，发现这样一种解法．
如：解方程
解：原方程可变形为
，
直接开平方整理得： ；
我们称小明的这种解法为“平均数法”
(1)下面是小明用“平均数法”解方程 时写的解题过程．
解：原方程变形为
，
直接开平方整理得： ；
上述过程中的 ______； ______； ______； ______．(2)请用“平均数法”解方程：
【答案】(1)5，2， ，
(2) ；
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元
二次方程是解本题的关键．
（1）仿照平均数法可把原方程化为 ，可得 ，再解方
程即可；
（2）仿照平均数法可把原方程化为 ，可得 ，再解方程即可；
【详解】（1）解：
原方程可变形为
∴
∴
∴直接开平方整理得： ；
∴ ， ， ， ．
∴上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5，2， ， ．
（2）
原方程可变形为 ，
∴
∴
∴直接开平方整理得： ；【经典例题二 配方法解一元二次方程】
【例2】（24-25八年级下·安徽亳州·阶段练习）用配方法解方程 ，配方后的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法，熟悉掌握配方的方法是解题的关键．移项后方程两边都
加上一次项系数一半的平方即可．
【详解】解：
，
，
，
故选：D．
1．（24-25八年级下·广西梧州·期末）用配方法将 转化为 的形式，则 的值为
（ ）
A． B．1 C． D．2025
【答案】B
【分析】本题考查了配方法，通过配方法将方程转化为平方形式，确定参a和b的值，再计算 即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
故选B．2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）将一元二次方程 配方后得到 ，则
．
【答案】
【分析】本题主要考查了配方法的应用，先把原式变形为 ，进一步变形得
到 ，则 ，据此可得b、c，再代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．【答案】(1) ， ；
(2) ， ；
(3) ， ；
(4) ， ．
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤：方程二次项系数化为1，常数项移到右边，
然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方求出，据此求出每一个
方程的解即可．
【详解】（1）解：方程变形得： ，
配方得： ，即 ，
开方得： 或 ，
解得： ， ；
（2）方程变形得： ，
配方得： ，即 ，
开方得： 或 ，
解得： ， ；
（3）方程变形得： ，
配方得： ，即 ，
解得： ， ；
（4）方程变形得： ，
配方得： ，即 ，开方得： ，
解得： ， ．
4．（24-25九年级上·天津河西·期中）小强用配方法求解一元二次方程 的过程如下：
解：二次项系数化1，得 …第一步
移项，得 …第二步
配方，得 第三步
即 …第四步
直接开平方，得 …第五步
即 …第六步
请问：小强的求解过程有错误吗？如果有错，请你指出在第 步开始出错了，并加以改正．
【答案】五；改正见解析
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，观察可知，第五步开始出现错误，原因是没有讨论 的
符号，当 为非负数时，方程两边同时开方解方程，当 为负数是原方程无解，据此求解即
可．
【详解】解：观察解题过程可知，第五步开始出现错误，原因是没有讨论 的符号：
改正如下：
解：二次项系数化1，得 …第一步
移项，得 …第二步配方，得 第三步
即 …第四步
当 时，直接开平方，得 …第五步
即 …第六步
当 时，原方程无解．
【经典例题三 配方法的应用】
【例3】（2025·安徽六安·一模）已知 为实数，且 ，则
之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，配方法的应用．先根据已知等式求出 ，
，再利用完全平方公式判断出 ， ，由此即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
解得 ， ，
∴ ，
∴ ；∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
1．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）“ ”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数
式配方，即可求出代数式的最大值或最小值．
例： ．
，
，即 ，
的最小值为1．
参照以上方法，对于代数式 的最值，下列说法正确的是（ ）
A．最大值为13 B．最大值为 C．最小值为13 D．最小值为
【答案】A
【分析】本题主要考查了配方法的应用，仿照题意求出 ，再根据 即
可得到 ，据此可得答案．
【详解】解：∵
∴
，
∴
对于代数式 的最值，最大值为13，
∴故选：A．
2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知实数 ， 满足 ，则代数式 的最小值是
．
【答案】4
【分析】此题考查了配方法的应用与平方式的非负性，解题的关键是熟练掌握配方法．由题意得 ，
代入代数式 可得 ，由此可知代数式 的最小值是4．
【详解】解： ，
，则 ，
，
，
∴ （当 时取等号），
则 ，
当 时，代数式 有最小值等于4，
故答案为：4．
3．（23-24九年级下·浙江·自主招生）若 ，则 ．
【答案】【分析】本题考查配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，熟练掌握利用完全平方公式配方是解题的
关键．先通过等式的变形对等式左边进行变形及配方，再利用非负数的性质求解即可．
【详解】解： ，
两边同乘以 ，得： ，
变形为： ，
得： ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
解得： ， ， ，
则 ，
故答案为： ．
4．（24-25八年级下·北京通州·期末）形如 的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配
方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解
方程等都有广泛的应用．
例如： ，可得：当 时，代数式 有最小值，最小值为
2．请回答下列问题：
(1)当 取何值时，代数式 有最小值，最小值为多少．
(2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙 的长为 ，篱笆的长为 ，当
为多少米时，围成的长方形花园 面积最大，求出最大面积．
【答案】(1)当 时，代数式有最小值，最小值为
(2)当 时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是 ．【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是明确题意，列出关系式．
（1）将代数式配方成 ，再根据非负数的性质可得答案；
（2）设 ，则 ，根据题意可以得到面积与矩形一边长的关系式，然后配方即
可求得结果，注意求出的边长要符合题意．
【详解】（1）解：∵ ，
∵ ，
∴ ．
当 时，代数式有最小值，最小值为 ．
（2）解：设 ，则 ，
∴ ，
解得 ．
∴ ．
∵ ，
∴当 时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是 ．
【经典例题四 公式法解一元二次方程】
【例4】（25-26九年级上·全国·阶段练习）若方程 是关于x的一元二次方程，则方程
的根是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的定义，解一元二次方程等．先根据一元二次方程的定义确定m的值，再
利用求根公式解方程．【详解】解：∵方程 是关于x的一元二次方程，
∴ ， ，
解得： ，
∴方程为： ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
1．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）用求根公式解一元二次方程 时，a，b，c的值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，把原方程化为形如 （其中a、b、c是常数，
）的形式即可得到答案．
【详解】解： ，
，
则 ， ， ，
故选：C．
2．（24-25八年级下·山东淄博·期中）若 可以表示某个一元二次方程的根，则这个一
元二次方程为（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，由求根公式 得出 ， ， ，
即可得解，熟练掌握求根公式是解此题的关键．
【详解】解：∵ 可以表示某个一元二次方程的根，
∴ ， ， ，
∴这个一元二次方程为 ，
故选：D．
3．（24-25九年级上·广西南宁·期中）小明用公式法解方程 ，请帮他填空第一步，解： ，
， ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的
关键．
根据求根公式中 的意义求解．
【详解】解： ．
故答案为： ．
4．（25-26九年级上·全国·阶段练习）用公式法解方程： ．
【答案】 ， ．
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程。先确定a，b，c的值，再求 的值，判断出
，然后将a，b，c的值代入求根公式即可．
【详解】解： ， ， ，
，
此方程有两个不相等的实数根，，
， ．
【经典例题五 根据判别式判断一元二次方程根的情况】
【例5】（24-25九年级上·重庆合川·期中）对于一元二次方程 的根的情况，描述准确的是
（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法判定根的情况
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当 时，方程有两个不
相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．通过计
算一元二次方程的判别式 ，即可判断方程根的情况．
【详解】解：对于方程 ，其中 ， ， ，
则 ，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
1．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式判断一元二次方程根的情况成为解题的关
键．先算出 ，再判断该方程有两个不相等的实数根，据此即可解答．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
2．（23-24九年级上·广西河池·期中）已知一元二次方程 ，则 的值 ．
【答案】5
【分析】本题考查了根的判别式的确定，代入根的判别式 进行计算即可，注意首先确定一元二
次方程的各项系数及常数项．
【详解】∵一元二次方程 ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：5．
3．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）若 是该方程的一个根，则 的值为 ；
（2）若该方程有两个相等的实数根，则 的值为 ．
【答案】 或6
【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，解题的关键是将方程的根代入方程求解参数，以
及利用根的判别式与根的关系建立等式求解参数．
（1）把 代入一元二次方程，得到关于 的方程，求解得出 的值；
（2）根据一元二次方程有两个相等实数根时，判别式 ，建立关于 的方程并求解．
【详解】解：（1） 是关于 的一元二次方程 的一个根，
，
解得 ；
（2） 关于 的方程 有两个相等的实根，
，即 ，
整理得 ，，
故答案为： ； 或6．
4．（24-25八年级下·山东淄博·期中）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)证明：当 取不为0的任何值时，方程总有实数根；
(2) 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性质
内容是解题的关键．
（1）根据关于 的一元二次方程 ，则 ，且 ，即可
作答．
（2）运用因式分解法得 或 ，结合方程有两个不相等的正整数根， 为整数，即可作答．
【详解】（1）解：∵关于 的一元二次方程 ，
∴ ，且
当 取不为0的任何值时，总有 ，
所以方程总有实数根；
（2）解： ，
，
或 ，
由题意方程有两个不相等的正整数根，
即 是正整数，且 为整数， ，
∴ ，
∴ ．【经典例题六 根据一元二次方程根的情况求参数】
【例6】（2025·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数a
的值为（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】C
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到 ，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
解得： ；
故选C．
1．（23-24九年级下·甘肃兰州·期中）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实
数m的值为（ ）
A．3 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元一次方程的知识，理解并正确运用一元二
次方程的根的判别式是解题关键．
根据一元二次方程根的判别式，当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根．计算判别式并解方程即可
求出参数的值．
【详解】∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴
解得 ．
故选：C．
2．（24-25八年级下·北京顺义·期末）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数
根，则实数 的取值范围是 ．
【答案】【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式的运用是解题的关
键．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得 ，由此即可求解．
【详解】解：由题知， ，
关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，即
解得 ，
故答案为： ．
3．（24-25八年级下·北京平谷·期末）已知关于 的一元二次方程
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根为正数，求实数 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程 ，
则有 方程有两实根， 方程有两不等实根， 方程有两相等实根，
方程没有实根．
（1）先求出 的值，再根据的意义即可得到结论；
（2）利用因式分解法求得方程的根为 ，然后根据方程有一根为正数列出关于k的不等式
并解答．
【详解】（1）证明：（1） ，
，
，
，
，方程总有两个实数根．
（2） ，
，
方程有一根为正数，
，
．
4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知方程 ．
(1)当 时，求方程的根．
(2)若方程 与方程 至少有一个方程有实根，求 的取
值范围．
【答案】(1) ， ；
(2) 或 ．
【分析】此题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，
（1）将 代入方程，然后利用因式分解法求解即可；
（2）根据题意分两种情况讨论，利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】（1）解：当 时，
∴
∴
或
∴解得 ， ；
（2）解：∵
根据题意得，
∴ ；∵
当 时，即
∴ ，解得 ，此时方程有解；
当 时，即
根据题意得， ，
∴ ，
综上所述， 的取值范围为 或 ．
【经典例题七 因式分解法解一元二次方程】
【例7】（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）用因式分解法解一元二次方程 ，将它转化
为两个一元一次方程是 （ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】题目主要考查因式分解法解一元二次方程，理解因式分解方法是解题关键
根据因式分解法的原理，若两数相乘为零，则至少有一个因数为零，将原方程的每个因式分别等于零，即
可转化为两个一元一次方程，即可求解
【详解】解：原方程为 ，
根据因式分解法，若两数乘积为0，则至少有一个数为0，
，
∴
故选：C
1．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查因式分解解一元二次方程．判断各选项是否适合因式分解法，需观察方程是否能整理为
两个一次因式乘积等于0的形式．
【详解】解：A： ，展开后为 ，无法直接分解为两个一次因式相乘，需用公
式法，不适合因式分解．
B： ，移项得 ，提取公因子 ，得 ，可
直接分解为两个一次方程，适合因式分解法．
C： ，常数项 无法分解为两数之积为 且和为5的整数，需用公式法，不适合因式分解．
D： ，化简后为 ，适合直接开平方法，无需因式分解．
综上，选项B的方程结构最便于因式分解法求解．
故选：B．
2．（24-25九年级上·福建莆田·期中）用适当的方法求解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法；
（1）把方程化为 ，再进一步求解即可；
（2）把方程化为 ，再进一步求解即可.
【详解】（1）解： ，∴ ，
∴ 或 ，
解得： ， ；
（2）解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ， ；
3．（24-25八年级下·福建厦门·期末）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答．
（2）运用因式分解法进行解方程，即可作答．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
则 ，
解得 ；
（2）解：∵ ，∴ ，
∴ ，
则 或 ，
∴ ，
4．（24-25九年级上·青海西宁·期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1) ， ；
(2) ， ．
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解本题的关键．
（1）根据十字相乘法将原式因式分解，然后根据因式分解法解一元二次方程即可；
（2）将原式变形，然后根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解： ，
因式分解得： ，
∴ 或 ，
∴ ， ；
（2） ，
原式整理为： ，
因式分解为： ，
∴ 或 ，
∴ ， ．【经典例题八 换元法解一元二次方程】
【例8】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）关于 的方程 的根是 ， （a，
m，b，c均为常数， ），则关于 的方程 的根是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把所求方程中的 看做一个整体，根据已知方程的解可得
或 ，据此求解即可．
【详解】解：∵关于 的方程 的根是 ， ，
∴关于 的方程 的根满足 或 ，解得 或 ，
故选；A．
1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知方程 的解是 ， ， 则方程
的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，通过变量替换法，将新方程转化为已知解的方程形式，再解出
对应的x值即可．【详解】解：设 ，则原方程 可转化为 ，
∵方程 的解是 ， ，
∴方程 的解为 ， ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
因此，方程的解为 ， ，
故选：C．
2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知方程 的解是 ， ，则方程
的解是 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程：把 看作一个整体，利用已知方程的解得到所解方
程的解．把方程看作关于 的一元二次方程，然后根据题意得到 或 ，再解两个一
次方程即可．
【详解】∵方程的解是 ， ，
∴方程 的解为 或 ，
解得， ， ，
故答案为： ， ．
3．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）若关于x的一元二次方程 的其中一根为
，则关于x的方程 的一根为 ．
【答案】2023【分析】本题考查了一元二次方程的解，灵活运用换元的思想是解决问题的关键．
先把方程 变形为 ，则此方程可看作关于 的一元二次方
程，所以 ，然后解一次方程即可．
【详解】解：∵方程 变形为 ，
∴此方程可看作关于 的一元二次方程，
∵关于x的一元二次方程 的其中一根为 ，
∴关于 的一元二次方程 有一个根为 ，
解得 ．
故答案为：2023．
4．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）阅读材料：为解方程 ，我们可以将
视为一个整体，然后设 ，则 ，原方程化为 .
解得 ，
当 时， ，∴ .∴ ；
当 时， ，∴ .∴ .
∴原方程的解为 ， ， ， ；
请利用以上知识解决下列问题：
如果 ，求 的值.
【答案】
【分析】将 视为一个整体，然后设 则原方程化为 ．求得方程的解，进一步
分析探讨得出答案即可．
此题考查换元法解一元二次方程，掌握整体的代换方法是解决问题的关键．【详解】解： ，
设 ，
则原方程化为 ，
即 ，
，
解得 ， ，
∵ 不能是负数，
∴
【经典例题九 含绝对值的一元二次方程的解法】
【例9】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）阅读下面的材料，解答问题，
材料：解含绝对值的方程： ．
解：分两种情况：
①当 时，原方程化为： 解得 ， （舍去）；
②当 时，原方程化为 ，解得____________
综上所述，原方程的解是______
请参照上述方法解方程： ．
【答案】 ， （舍去）； ， ； ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．
根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解．
【详解】解：②当 时，原方程化为 ，或
解得 ， （舍去）；
综上所述，原方程的解是 ， ；
①当 时，即 时，原方程化为：
∴
或
解得 ， （舍去）；
②当 时，即 时，原方程化为
解得 ， （舍去）；
综上所述，原方程的解是 ， ．
1．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）阅读下面的材料，并完成相应的任务．
材料：解含绝对值的方程： ．
解：分两种情况：①当x≥0时，原方程化为 ，解得x＝5，x＝-2（舍去）；
1 2
②当x＜0时，原方程化为 ，解得x＝-5，x＝2（舍去）．综上所述，原方程的解是x＝5，
1 2 1
x＝-5．
2
任务：请参照上述方法解方程
【答案】 ，
【分析】根据题意分x-5≥0和x-5＜0两种情况，分别解方程即可．
【详解】解：①当x-5≥0时，即x≥5时，原方程化为 ，即 ，
，
∴ ，
∴原方程无解，
②当x-5＜0时，即x＜5时，原方程化为 ，即 ，
，
∴
解得： ， ．
【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论．
2．（24-25九年级上·湖南永州·期中）阅读下面的材料，并完成相应的任务．
材料：解含绝对值的方程： ．
解：分两种情况：
（1）当 时，原方程可化为： ，解得 ， （舍去）；
（2）当 时，原方程可化为： ，解得 ， （舍去）．
综上所述：原方程的解是 ， ．任务：请参照上述方法解方程： ．
【答案】 ，
【分析】分两种情况讨论∶ 当 时，当 时，即可求解．
【详解】解：分两种情况讨论
（1）当 时，原方程可化为
解得： ， （舍去）；
（2）当 时，原方程可化为
解得： ， （舍去）；
∴综上所述，原方程的根是 ， ．
【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论．
3．（24-25九年级上·河南安阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和
“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程：
例：解方程 ．
解：①当 时，原方程为 ，
解得 （与 矛盾，舍去）， ．
②当 时，原方程为 ，
解得 （与 矛盾，舍去）， ．
所以原方程的根是 ， ．
在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类
讨论．
任务：请参照上述方法解方程： ．
【答案】 ，【分析】本题考查了解一元二次方程，绝对值方程，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想思
考问题．
本题先分类讨论，将绝对值方程化为一元二次方程，进而求解一元二次方程，舍弃不符合条件的答案，即
可得到本题的答案；
【详解】解：分两种情况讨论
（1）当 时，原方程可化为 ，
解得： ， （舍去）；
（2）当 时，原方程可化为 ，
解得： ， （舍去）；
∴综上所述，原方程的根是 ， ．
4．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和
“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程：
例：解方程 ．
解：①当 时，原方程为 ，
解得 （与 矛盾，舍去）， ．
②当 时，原方程为 ，
解得 （与 矛盾，舍去）， ．
所以原方程的根是 ， ．
在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类
讨论．
请仿照上述例题的解答过程，解方程： ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，绝对值方程，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想思考问题．
【详解】解：当 时，原方程可化为： ，
解得： （与 矛盾，舍去）， ；
当 时，原方程可化为 ，
解得： （与 矛盾，舍去）， ；
原方程的解是 ，
【拓展训练一 配方法求最值】
1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）若关于 的一元二次方程： 与 ，
称为“同族二次方程”．如 与 是“同族二次方程”．现有关于 的一元二
次方程： 与 是“同族二次方程”．那么代数式 能取
的最小值是（ ）
A．2018 B．2020 C．2025 D．2030
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的应用、配方法的应用，正确求得a、b值是解答的关键．根据“同族二次方程”的定义，第二个方程可表示为 ，展开后与题目给出的方程比较系数，求出 和 的值，
再利用配方法求代数式的最小值．
【详解】解：由题意，方程 可表示为 ，展开得：
，
则 ， ， ，
解得 ， ， ，
∴
，
∵ ，
∴当 时，代数式 取得最小值 ，
故选：B．
2．（2025·广东佛山·一模）如果正实数 ， 满足 ，那么 的最小值为（ ）
A．0 B． C．41 D．1
【答案】D
【分析】本题考查了配方法的应用，由题意可得 ，再变形为
，结合非负数的性质即可得解．
【详解】解：∵正实数 ， 满足 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为1，
故选：D．
3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）阅读与思考
配方法
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关
运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：
①用配方法因式分解：
原式
②求 的最小值．
解：
先求出 的最小值
；
由于 是非负数，所以 ，可得到 ．即 的最小值为2．
进而 的最小值为4．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： __________；
(2)用配方法因式分解： ；
(3)当a为何值时，多项式 有最值，并求出这个最值．
【答案】(1)4(2)
(3)当 时，多项式 有最大值，最大值为20
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的非负性是解题的关
键．
（1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行配方即可；
（2）将35化为 ，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解；
（3）将 转化为 ，再利用完全平方式最小值为0，即可求解．
【详解】（1）解： ，
故答案为：4；
（2）解：
；
（3）解：
，
，
，
，
当 时，多项式 有最大值，最大值为20．【拓展训练二 一元二次方程解法的新定义计算】
1．（2025·广东深圳·一模）实数a，b定义新运算“*”如下： ，例如 ，
则方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当 时，方程没有实数根”是解题的关键．根据运算“ ”的
定义将方程 转化为一般式，由根的判别式 ，即可得出该方程有两个相等的实数根．
【详解】解：由题可得：方程 化为 ，
即 ，
∵ ，
∴方程没有实数根，
故选D．
2．（23-24八年级上·上海长宁·期中）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公
共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程 和
互为联根方程，那么a的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次
方程的解．也考查了利用因式分解法解方程，先利用因式分解法解方程 ，得到 或
．再分别将 ， 代入 ，求出a的值即可．求出方程
的两个解是解题的关键．【详解】解： ，
分解因式为 ，
解得 或
①当 时， ，
整理得 ，
∵ ，∴方程无解；
②当 时，
，
∴ 或 （舍去）
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，
且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”；例如，一元二次方程 的两个
根是 ，则方程 是“邻根方程”．
(1)根据上述定义，判断方程 ______（填“是”或“不是”）“邻根方程”；
(2)已知关于x的方程 （ 是常数）是“邻根方程”，求m的值；
【答案】(1)是
(2)0或
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解题意和熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义判断即可；
（2）解方程得到 ， ，再由“邻根方程”的定义得到，从而得到关于m的方程，解方程即可
得到答案．
【详解】（1）解： ，，
解得 ， ，
∴方程 是“邻根方程”
故答案为：是；
（2）解：
，
解得： ， ，
∵方程 （ 是常数）是“邻根方程”，
∴ ，
解得 ， ．
【拓展训练三 一元二次方程的解含参综合】
1．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的方程 有两个不相等的实数根．
(1)求k 的取值范围．
(2)若整数 ， 且两个实数根中有一个根是整数，求k 的值．
【答案】(1) 且
(2)
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的概念，解一元二次方程，熟练掌握方程
有两个不相等的实数根即 是解题的关键．
（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式 ，且 ，建立关于 的不等式，求
出 的取值范围．
（2）根据 的取值范围确定整数 的值为2，3，4，当 时，当 时，当 时，分别 求出方程的
解，再根据方程两个实数根中有一个根是整数，确定出k的值即可．
【详解】（1）解： 原方程有两个不相等的实数根，，
解得：
又∵ ，
∴ ，
∴ 且 ．
（2）解：∵ 且 ，
∴整数 的值为2，3，4，
当 时，方程为 ，解得： ，
当 时，方程为 ，解得： ，
当 时，方程为 ，解得： ， ．
∵方程两个实数根中有一个根是整数，
∴ ．
2．（24-25九年级上·江苏南京·期中）关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：当 时，此方程必有实数根；
(2)若方程有两个相等的整数根，写出满足条件的一组 的值，并求此时方程的根．
【答案】(1)答案见解析
(2) （答案不唯一）
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
（1）计算根的判别式的值得到 ，结合 得到 ，然后根据根的判别式的意义
判断方程根的情况；
（2）利用方程有两个相等的实数根得到 ，设 ，方程变形为 ，然后
解方程即可．
【详解】（1）证明： ，
，方程有有的实数根；
（2）解：方程有两个相等的非零实数根，
，
若 ， 时，方程变形为 ，解得 （答案不唯一）．
3．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）定义：若 是方程 的两个实数根，若满足
，则称此类方程为“差积方程”．例如： 是差积方程．
(1)判断：方程 ______“差积方程”（填“是”或“不是”）；
(2)已知关于 的方程 ，
①证明：不论 取何值，方程总有实数根；
②若该方程是“差积方程”，求 的值．
【答案】(1)不是
(2)①见解析；② 或 ．
【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，理解新定义是解题的关键．
（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解；
（2）①利用一元二次方程根的判别式列式计算即可求解；
②先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴方程 不是差积方程；
故答案为：不是；
（2）解：①∵ ，∴ ，
∴关于 的方程 不论 取何值，方程总有实数根；
②∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ 是差积方程，
∴ ，
即 或 ．
解得： 或 ．
【拓展训练四 换元法综合】
1．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的
基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，
一元三次方程 通过因式分解可以把它转化 ，解方程 和 ，
可得方程 的解．
问题：
(1)方程 的解是 ， ______， ______；
(2)求方程 的解；(3)拓展：解方程： 时，可以用“换元法”转化．设 ，则有
，原方程可化为： ．将解方程的过程补充完整，求出 的值．
【答案】(1)3， （或 ，3）
(2) ， ，
(3) ，
【分析】（1）先提公因式，然后进行因式分解，计算求解即可；
（2）先提公因式，然后进行因式分解，计算求解即可；
（3）因式分解法解 ，可求 （舍去），则 ，配方法解方程得，
， ，然后根据二次根式有意义的条件检验即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得， ， ， ，
故答案为：3， ；
（2）解： ，
，
∴ ，
∴ ，
解得， ， ， ；
（3）解： ，
设 ，则 ，
∴原方程可化为： ，，
解得， （舍去），
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
解得， ， ，
当 时， ，满足题意；
当 时， ，满足题意；
∴方程的解为 ， ．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，换元法解一元二次方程，配方法解一元二次方程，二次
根式有意义的条件等知识．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，换元法解一元二次方程，配方法解一元
二次方程，二次根式有意义的条件是解题的关键．
2．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）为了解方程 ，如果我们把 看作一个整体，
然后设 ，则原方程可化为 ，经过运算，原方程的解为 ， ．这种方法
称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其
中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)解方程： ；
(2)已知实数x，y满足 ，求 的值；
(3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数．
【答案】(1)(2)6
(3)1，2，3，4
【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，直接开平方的方法解一元二次方程：
（1）利用直接开平方的方法解方程即可；
（2）设 ，则 ，解方程得到 或 （舍去），则 ．
（3）设最小的正整数为x，则其他三个正整数分别为 ，由题意得：
，则 ，令 ，则 ，解方程
得到解得 或 （舍去），则 ，解得 或 （舍去），据此可得答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解；设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴ ．
（3）解：设最小的正整数为x，则其他三个正整数分别为 ，
由题意得： ，
∴ ，
∴ ，令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴这四个连续的正整数为1，2，3，4．
3．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）阅读下面的材料，回答问题：
解方程 ，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设 ，那么 ，于是原方程可变为 ①，解得 ．
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴x=±2；
∴原方程有四个根： ．
(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到________的目的，体现了数学的转化思想．
(2)解方程 ．
【答案】(1)换元，降次
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用换元、因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想；
（2）经分析：设 ,则 ，再运用因式分解法求出y的值，再代入 得关于x的方程求解
即可．
【详解】（1）解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思
想
故答案为：换元，降次（2）解：设 ，则 ，
∴ ，解得 ．
当 时，即 ，解得： ．
当 时，即 ，则 ，
由 ，此时方程无解．
所以原方程的解为
【拓展训练五 一元二次方程解法与几何问题】
1．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知 的两边 的长是关于x的一元二次方程
的两个根，第三边 的长是10．
(1)求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)当n为何值时， 为等腰三角形？并求 的周长．
【答案】(1)见解析
(2) 时， 为等腰三角形， 的周长分别为30或32．
【分析】此题考查解一元二次方程，根的判别式，灵活选用适当的方法求得方程的解即可．
（1）根据方程的系数结合根的判别式 ，可得出 ，进而可证出：无论n取何值，此方
程总有两个不相等的实数根；
（2）由（1）的结论及 为等腰三角形，可得出 只能是 的腰，再将 代入原方程中求
出n的值，分别解一元二次方程求解即可．
【详解】（1）证明：
∴无论n为何值方程总有两个不等实根；（2）解：∵方程有两个不相等实根，
为等腰三角形，
∴方程的其中一根应为10，
∴ ，
即： ，
解得 ，
当 时，方程为 ，
解得 ，
∴三边为10，10，12，周长为 ，
当 时，方程为 ，
解得 ，
∴三边为8，10，12，周长为 ．
2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读材料，并解决问题．
【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以
为例，构造方法如下：
第一步：将原方程 变形为 ；
第二步：画四个长为 ，宽为 的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正
方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即
．
第三步：得新方程 ．因为 表示边长，所以 ，即 ．
【理解】上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是______________．
A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体代换思想【实践】小明根据赵爽的办法解方程 ，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完
整：
第一步：将原方程 变形为 （____________） ；
第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，类比图1标明各边长），并
写出后续的解答过程；
【应用】一般地，对于形如 的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相
同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的正根为____________．
【答案】（1）【理解】B；（2）【实践】 ，见解析；（3）【应用】1
【分析】本题考查了用图形法解一元二次方程，理解题意，构造出适当的图形是解题的关键．
【理解】利用图形求解方程的过程是数形结合思想的应用，从而右确定答案；
【实践】按照题干材料中的步骤进行即可；
【应用】按照题干材料中的步骤进行即可．
【详解】解：【理解】从解题过程知，用到了数形结合思想；
故选：B．
【实践】第一步：将原方程 变形为 ；
第二步：画四个长为 ，宽为 的矩形，拼成一个“空心”正方形，如图所示，
则图中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一个边长为1的小正方形面积之和，即．
第三步：得新方程 ．因为 表示边长，所以 ，即 ．
故答案为： ；
【应用】第一步：将原方程 变形为 ；
第二步：画四个长为 ，宽为 的矩形，拼成一个“空心”正方形，如图2所示，
则图2中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一个边长为a的小正方形面积之和，
即 ．
第三步：得新方程 ．因为 表示边长，所以 ，
由于中间正方形的边长为a，其面积为 ，则 ，
即 ，
∴ ．
故答案为：1．
3．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图，四边形 是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是
和 边长，易知 ，这时我们把关于x的形如 的一元二次方程称
为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
(3)若 是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 的周长是 ，求
的面积．
【答案】(1) （答案不唯一）
(2)见解析
(3)1
【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式 的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得 的值，根据完全平方公式求得 的值，从而可求得
面积．
【详解】（1）解：当 ， ， 时勾系一元二次方程为 ；
（2）证明：根据题意，得 ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴勾系一元二次方程 必有实数根；
（3）解：当 时，有 ，即 ，
∵四边形 的周长是 ，∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判
别式，正确读懂题意是解题的关键．
1．（24-25九年级上·广东江门·期中）方程 的根是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法解方程，当两个因式的乘积为0时，至
少有一个因式为0，分别解出对应的根即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 或 ，解得 ， ，
故选：A．
2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．必有两个相等的实数根 B．必有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．必有实数根
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式Δ的值即可判断根的情况，熟知当 时，
方程无实数根是解答的关键．
【详解】解：方程 可化为 ，其中 ， ， ，
判别式 ，
，因此该方程没有实数根，
故选：C．
3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）用配方法解方程 ，配方后的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
根据配方法解一元二次方程求解作答即可．
【详解】解： ，
，
，
，
故选：A．
4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
则 的值可能是（ ）
A． B． C．4 D．5【答案】D
【分析】本题考查元二次方程根的判别式，掌握知识点是解题的关键．
根据一元二次方程根的判别式，当判别式 时，方程有两个不相等的实数根．计算判别式并解不等式，
确定k的取值范围，再结合选项判断．
【详解】解：方程 的判别式为：
当 时，方程有两个不相等的实数根，即：
，
解得 或 ．
选项中只有 满足 ．
故选D．
5．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于x的方程 （a，m，k均为常数，且 ）
的两个解是 ， ，则方程 的解是（ ）．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程.
根据题意把 看做一个整体，根据方程 的解，可得 或 ，解方程即可
得到答案．
【详解】解：∵关于 的方程 （a，m，k均为常数，且 ）的两个解是 ， ，
∴方程 的解满足 或 ，
解得 ， ，
故选：B．
6．（2025·安徽黄山·模拟预测）关于 的一元二次方程的新定义：若关于 的一元二次方程：
与 ，称为“同族二次方程” 如 与 就是“同族二次方程” 现有关于 的一元二次方程： 与 是“同族二次方程” 那么代数
式 能取的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再
利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性
质确定出代数式的最大值即可．
【详解】解： 与 是“同族二次方程”，
，
，解得： ，
，
代数式 取的最大值是 ，
故选：A．
7．（23-24九年级上·广东河源·期中）若 是两个实数，定义一种运算“ ”： ，则方程
的实数根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了新定义运算与一元二次方程的求解，解题的关键是根据新定义将方程转化为常规一元
二次方程．
根据新定义运算“Δ”，将方程转化为一元二次方程，再通过因式分解法求解．
【详解】根据定义， ．
原方程化为：移项并整理得：
提取公因式 ：
解得：
或 ，即
或 ．
因此，方程的实数根为 ， ，
故选：C．
8．（24-25九年级上·江苏南通·期中）解方程 时，若设 ，则原方程可
化为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
先将原方程根据完全平方公式变形，然后用换元即可解答．
【详解】解： ，
∴ ，
设 ，则 ，整理得： ．
故选B．
9．（24-25八年级下·北京通州·期末）方程 的解是 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．
【详解】解： ，
因式分解得 ，
或 ，
解得 ， ．
故答案为： ， ．
10．（24-25八年级下·福建厦门·期末）若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值等
于 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据 列出关于 的方程解答即可求解，掌握一元二
次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．
【详解】解：∵关于 的方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
11．（24-25九年级上·广东江门·期中）若一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ．
【答案】9
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．对于一元二次方程
，若 ，则方程有两个不相等的实数根，若 ，则方程有两个相等的实数根，若 ，则方程没有实数根，据此列式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ．
故答案为：9．
12．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的
实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．
先由一元二次方程根的判别式求出 ，再根据一元二次方程的定义得到 ，即可作答．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： ，
∵ 是一元二次方程，
∴ ，
即 ，
故答案为： 且 ．
13．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）若关于 的方程 （其中h、k均为常数）的解是
，则关于 的方程 的解是 ．
【答案】 ，
【分析】此题考查解一元二次方程，设 看成一个整体，根据方程 的解解方程即可．【详解】解：令 ，则方程 化为 ，
∵方程 的解是 ，
∴ 或 ，
解得 ， ，
故答案为： ， ．
14．（25-26九年级上·全国·阶段练习）若一元二次方程 的两根为 ，则 等于 ．
【答案】
【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程，直接开方法求出方程的根，进而确定 的值，再求和即
可．
【详解】解：由题意， 有根，
∴ ，
∴ ，
∵方程的根为 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
15．（24-25八年级下·上海崇明·期末）定义：如果直线 与直线 满足
如下条件： 且 ，那么我们就说这两条直线具有“和谐关系”，例如：直线 与
直线 ，它们具有“和谐关系”．如果直线 与直线 具有“和谐关系”，且这两条直线与 轴围成的三角形面积为 ，则
【答案】2或
【分析】首先画出图象，然后根据题意求出 ，然后表示出 ，点A的横坐标为
，然后根据题意得到 ，表示出 ，然后代入 求解即可．
【详解】如图所示，
∵直线 与直线 具有“和谐关系”
∴ ，
∵
∴当 时，
∴
∵
∴当 时，
∴
∴
联立直线 与直线 得解得
∴点A的横坐标为
∵这两条直线与 轴围成的三角形面积为
∴
∴ ，即
代入 得，
解得 或
故答案为：2或 ．
【点睛】此题考查了一次函数交点问题，三角形面积，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知
识点．
16．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）解一元二次方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握运用因式分解法、配方法、公式法等方法求解一元二
次方程是解题的关键．
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法或配方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解： ，， ， ，
，
，
， ．
（2）解： ，
，
， ．
17．（24-25九年级上·江苏常州·期中）解方程
(1)
(2)
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程解法是解题关键．
（1）利用因式分解即可求解．
（2）移项，用平方差公式分解因式，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
18．（24-25八年级下·北京房山·期末）关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根为非负数，求 的取值范围．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，求根式公式的运用，理解题意，掌握判别式，求根公式，
分类讨论思想是关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可；
（2）根据求根公式得到 ，分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：关于 的一元二次方程 ，
∴ ，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：关于 的一元二次方程 ， ，
∴ ，
当 时， ，
解得， ，
∵方程有一个根为非负数，
∴ ，
解得， ，与 不符合；
当 时， ，解得， ，
∴ ，
解得， ；
综上所述， ．
19．（24-25八年级下·全国·假期作业）常见的因式分解的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有
的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，
用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫做分组分解法．如 ，我们细心观察这个式子
就会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，
过程为 ．它并不是一种独立的因式分解的方法，而
是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．
根据以上内容，解答下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)请尝试用上面的方法分解因式： ；
(3)已知 的三边长a、b、c都是正整数，且满足 ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
(3)7
【分析】本题考查了因式分解以及利用因式分解来解决三角形周长相关问题．熟练掌握因式分解的方法以
及三角形三边关系的结合是解题的关键．
（1）先提取公因式2得到 ，再根据完全平方公式进行化简得到 ；
（2）将式子前两项 分为一组，后两项 分为一组，对于 ，根据平方差公式可得到
，对于 提取公因式3可得到 ，此时原式变为 ，再提取公因式 即可；
（3）先将 通过拆项分组，得到 ，根据完全平方公式
化简为 ，根据非负数的性质得到式子 ， ，求出 ， 的值，再根
据三角形的三边关系求出 ，最后计算 的周长即可．
【详解】（1）解：原式 ．
（2）解：原式 ．
（3）解： ， ． ．
， ． ， ．由三角形的三边关系，可知 ，即 ．又
为正整数， ． 的周长为 ．
20．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）已知关于 的一元二次方程
(1)若该方程的二次项系数，一次项系数，常数项的和为 ，求 的值；
(2)若该方程有实数根，求满足条件的正整数 的值；
(3)在（2）的条件下，请为 选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根．
【答案】(1)
(2) ， ，
(3)当 时，
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解法解一元二次方程等知识，熟练掌握用一元二次
方程根的判别式判别根的情况是关键．
（1）根据题意列式得到 ，代入求值即可；
（2）根据方程有实数根得到 ，再根据 为正整数和一元二次方程的定义即可求出答案；
（3）利用因式分解法解得到的方程即可．
【详解】（1）解：依题意得：整理得：
∴
∴
（2）∵方程有实数根
∴
整理得：
解得：
∵ 取正整数值
∴ ， ， ，
又∵
∴
∴满足条件的 的正整数值为： ， ，
（3）当 时，
原方程可化为：
∴ ，即
解得：
