文档内容
专题 02 解一元二次方程重难点题型专训
（4个知识点+9大题型+5大拓展训练+自我检测）
题型一 直接开方法解一元二次方程
题型二 配方法解一元二次方程
题型三 配方法的应用
题型四 公式法解一元二次方程
题型五 根据判别式判断一元二次方程根的情况
题型六 根据一元二次方程根的情况求参数
题型七 因式分解法解一元二次方程
题型八 换元法解一元二次方程
题型九 含绝对值的一元二次方程的解法
拓展训练一 配方法求最值
拓展训练二 一元二次方程解法的新定义计算
拓展训练三 一元二次方程的解含参综合
拓展训练四 换元法综合
拓展训练五 一元二次方程解法与几何问题
知识点一、直接开方法解一元二次方程
根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法.
以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程：
1.形如x的一元二次方程 ：
当a＞0时，则 ，此时方程有两个不相等的实数根；
当a＝0时，则 ，此时方程有两个相等的实数根；
当a＜0时，则方程无实数根.
2.形如 x 的一元二次方程 ，可用直接开方法解得两个根分别是.
【即时训练】
1．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）解方程： ．
2．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）用直接开平方法解下列方程：
(1) ．
(2) ．
知识点二、用配方法解一元二次方程
将一元二次方程化成 的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法.
1.对 进行分类讨论：
（1）当m＞0时，则 ，此时方程有两个不相等的实数根；
（2）当m＝0时，则 ；
（3）当m＜0时，则方程无实数根.
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为 的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
3.配方法主要有以下几种应用：
①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或
小于零）而比较出大小；
②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值；
③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）.
【即时训练】3．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）把方程 化成 的形式，则 ．
4．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）用配方法解方程：
(1)
(2) ．
知识点三、用公式法解一元二次方程
一般地，对于一元二次方程 ，当 时，它的根是
（ ），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程
的方法叫做公式法.
其中， 叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况：
①当 时，则 ，此时方程有两个不相等的实
数根；
②当 时，则 ，此时方程有两个相等的实数根；
③当 时，此时方程没有实数根.
以上三点，反之也成立.
【即时训练】
5．（24-25九年级上·江苏南京·期中）用公式法解方程： ．
6．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）解方程： ．
知识点四、用因式分解法解一元二次方程
利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法.
1.因式分解法解一元二次方程的步骤：
①将方程等号的右边化为0；②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
【即时训练】
7．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）若 ，则 ．
8．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）解方程：
(1)
(2)
【经典例题一 直接开方法解一元二次方程】
【例1】（25-26九年级上·全国·阶段练习）方程 的解是（ ）
A． B．
C． D．
1．（24-25九年级下·全国·假期作业）若方程 有解，则 的取值范围是 ．2．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）解一元二次方程： （直接开平方法）
3．（24-25九年级上·河南南阳·期中）直接写出下列方程的根：
(1)
(2)
(3)
(4)
4．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）小明在解一元二次方程时，发现这样一种解法．
如：解方程
解：原方程可变形为
，
直接开平方整理得： ；
我们称小明的这种解法为“平均数法”
(1)下面是小明用“平均数法”解方程 时写的解题过程．
解：原方程变形为
，
直接开平方整理得： ；
上述过程中的 ______； ______； ______； ______．
(2)请用“平均数法”解方程：【经典例题二 配方法解一元二次方程】
【例2】（24-25八年级下·安徽亳州·阶段练习）用配方法解方程 ，配方后的方程是（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25八年级下·广西梧州·期末）用配方法将 转化为 的形式，则 的值为
（ ）
A． B．1 C． D．2025
2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）将一元二次方程 配方后得到 ，则
．
3．（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
4．（24-25九年级上·天津河西·期中）小强用配方法求解一元二次方程 的过程如下：
解：二次项系数化1，得 …第一步
移项，得 …第二步
配方，得 第三步
即 …第四步直接开平方，得 …第五步
即 …第六步
请问：小强的求解过程有错误吗？如果有错，请你指出在第 步开始出错了，并加以改正．
【经典例题三 配方法的应用】
【例3】（2025·安徽六安·一模）已知 为实数，且 ，则
之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）“ ”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数
式配方，即可求出代数式的最大值或最小值．
例： ．
，
，即 ，
的最小值为1．
参照以上方法，对于代数式 的最值，下列说法正确的是（ ）
A．最大值为13 B．最大值为 C．最小值为13 D．最小值为
2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知实数 ， 满足 ，则代数式 的最小值是．
3．（23-24九年级下·浙江·自主招生）若 ，则 ．
4．（24-25八年级下·北京通州·期末）形如 的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配
方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解
方程等都有广泛的应用．
例如： ，可得：当 时，代数式 有最小值，最小值为
2．请回答下列问题：
(1)当 取何值时，代数式 有最小值，最小值为多少．
(2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙 的长为 ，篱笆的长为 ，当
为多少米时，围成的长方形花园 面积最大，求出最大面积．
【经典例题四 公式法解一元二次方程】
【例4】（25-26九年级上·全国·阶段练习）若方程 是关于x的一元二次方程，则方程
的根是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
1．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）用求根公式解一元二次方程 时，a，b，c的值是（ ）
A． B．C． D．
2．（24-25八年级下·山东淄博·期中）若 可以表示某个一元二次方程的根，则这个一
元二次方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25九年级上·广西南宁·期中）小明用公式法解方程 ，请帮他填空第一步，解： ，
， ．
4．（25-26九年级上·全国·阶段练习）用公式法解方程： ．
【经典例题五 根据判别式判断一元二次方程根的情况】
【例5】（24-25九年级上·重庆合川·期中）对于一元二次方程 的根的情况，描述准确的是
（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法判定根的情况
1．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．（23-24九年级上·广西河池·期中）已知一元二次方程 ，则 的值 ．
3．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）若 是该方程的一个根，则 的值为 ；（2）若该方程有两个相等的实数根，则 的值为 ．
4．（24-25八年级下·山东淄博·期中）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)证明：当 取不为0的任何值时，方程总有实数根；
(2) 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【经典例题六 根据一元二次方程根的情况求参数】
【例6】（2025·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数a
的值为（ ）
A． B． C．1 D．4
1．（23-24九年级下·甘肃兰州·期中）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实
数m的值为（ ）
A．3 B． C．9 D．
2．（24-25八年级下·北京顺义·期末）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数
根，则实数 的取值范围是 ．
3．（24-25八年级下·北京平谷·期末）已知关于 的一元二次方程
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根为正数，求实数 的取值范围．
4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知方程 ．
(1)当 时，求方程的根．
(2)若方程 与方程 至少有一个方程有实根，求 的取
值范围．【经典例题七 因式分解法解一元二次方程】
【例7】（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）用因式分解法解一元二次方程 ，将它转化
为两个一元一次方程是 （ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
1．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·福建莆田·期中）用适当的方法求解下列方程：
(1) ；
(2) ．
3．（24-25八年级下·福建厦门·期末）解方程：
(1) ；
(2) ．
4．（24-25九年级上·青海西宁·期中）解方程：
(1)
(2)
【经典例题八 换元法解一元二次方程】【例8】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）关于 的方程 的根是 ， （a，
m，b，c均为常数， ），则关于 的方程 的根是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知方程 的解是 ， ， 则方程
的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知方程 的解是 ， ，则方程
的解是 ．
3．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）若关于x的一元二次方程 的其中一根为
，则关于x的方程 的一根为 ．
4．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）阅读材料：为解方程 ，我们可以将
视为一个整体，然后设 ，则 ，原方程化为 .
解得 ，
当 时， ，∴ .∴ ；当 时， ，∴ .∴ .
∴原方程的解为 ， ， ， ；
请利用以上知识解决下列问题：
如果 ，求 的值.
【经典例题九 含绝对值的一元二次方程的解法】
【例9】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）阅读下面的材料，解答问题，
材料：解含绝对值的方程： ．
解：分两种情况：
①当 时，原方程化为： 解得 ， （舍去）；
②当 时，原方程化为 ，解得____________
综上所述，原方程的解是______
请参照上述方法解方程： ．
1．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）阅读下面的材料，并完成相应的任务．
材料：解含绝对值的方程： ．
解：分两种情况：
①当x≥0时，原方程化为 ，解得x＝5，x＝-2（舍去）；
1 2
②当x＜0时，原方程化为 ，解得x＝-5，x＝2（舍去）．综上所述，原方程的解是x＝5，
1 2 1
x＝-5．
2任务：请参照上述方法解方程
2．（24-25九年级上·湖南永州·期中）阅读下面的材料，并完成相应的任务．
材料：解含绝对值的方程： ．
解：分两种情况：
（1）当 时，原方程可化为： ，解得 ， （舍去）；
（2）当 时，原方程可化为： ，解得 ， （舍去）．
综上所述：原方程的解是 ， ．
任务：请参照上述方法解方程： ．
3．（24-25九年级上·河南安阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和
“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程：
例：解方程 ．
解：①当 时，原方程为 ，
解得 （与 矛盾，舍去）， ．
②当 时，原方程为 ，
解得 （与 矛盾，舍去）， ．
所以原方程的根是 ， ．
在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类
讨论．
任务：请参照上述方法解方程： ．
4．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和
“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程：
例：解方程 ．解：①当 时，原方程为 ，
解得 （与 矛盾，舍去）， ．
②当 时，原方程为 ，
解得 （与 矛盾，舍去）， ．
所以原方程的根是 ， ．
在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类
讨论．
请仿照上述例题的解答过程，解方程： ．
【拓展训练一 配方法求最值】
1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）若关于 的一元二次方程： 与 ，
称为“同族二次方程”．如 与 是“同族二次方程”．现有关于 的一元二
次方程： 与 是“同族二次方程”．那么代数式 能取
的最小值是（ ）
A．2018 B．2020 C．2025 D．20302．（2025·广东佛山·一模）如果正实数 ， 满足 ，那么 的最小值为（ ）
A．0 B． C．41 D．1
3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）阅读与思考
配方法
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关
运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：
①用配方法因式分解：
原式
②求 的最小值．
解：
先求出 的最小值
；
由于 是非负数，所以 ，可得到 ．即 的最小值为2．
进而 的最小值为4．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： __________；
(2)用配方法因式分解： ；
(3)当a为何值时，多项式 有最值，并求出这个最值．
【拓展训练二 一元二次方程解法的新定义计算】
1．（2025·广东深圳·一模）实数a，b定义新运算“*”如下： ，例如 ，
则方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
2．（23-24八年级上·上海长宁·期中）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公
共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程 和
互为联根方程，那么a的值为 ．
3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，
且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”；例如，一元二次方程 的两个
根是 ，则方程 是“邻根方程”．
(1)根据上述定义，判断方程 ______（填“是”或“不是”）“邻根方程”；
(2)已知关于x的方程 （ 是常数）是“邻根方程”，求m的值；
【拓展训练三 一元二次方程的解含参综合】
1．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的方程 有两个不相等的实数根．
(1)求k 的取值范围．
(2)若整数 ， 且两个实数根中有一个根是整数，求k 的值．
2．（24-25九年级上·江苏南京·期中）关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：当 时，此方程必有实数根；
(2)若方程有两个相等的整数根，写出满足条件的一组 的值，并求此时方程的根．
3．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）定义：若 是方程 的两个实数根，若满足
，则称此类方程为“差积方程”．例如： 是差积方程．(1)判断：方程 ______“差积方程”（填“是”或“不是”）；
(2)已知关于 的方程 ，
①证明：不论 取何值，方程总有实数根；
②若该方程是“差积方程”，求 的值．
【拓展训练四 换元法综合】
1．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的
基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，
一元三次方程 通过因式分解可以把它转化 ，解方程 和 ，
可得方程 的解．
问题：
(1)方程 的解是 ， ______， ______；
(2)求方程 的解；
(3)拓展：解方程： 时，可以用“换元法”转化．设 ，则有
，原方程可化为： ．将解方程的过程补充完整，求出 的值．
2．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）为了解方程 ，如果我们把 看作一个整体，
然后设 ，则原方程可化为 ，经过运算，原方程的解为 ， ．这种方法
称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其
中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．(1)解方程： ；
(2)已知实数x，y满足 ，求 的值；
(3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数．
3．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）阅读下面的材料，回答问题：
解方程 ，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设 ，那么 ，于是原方程可变为 ①，解得 ．
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴x=±2；
∴原方程有四个根： ．
(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到________的目的，体现了数学的转化思想．
(2)解方程 ．
【拓展训练五 一元二次方程解法与几何问题】
1．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知 的两边 的长是关于x的一元二次方程
的两个根，第三边 的长是10．
(1)求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)当n为何值时， 为等腰三角形？并求 的周长．
2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读材料，并解决问题．
【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以
为例，构造方法如下：
第一步：将原方程 变形为 ；
第二步：画四个长为 ，宽为 的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正
方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．
第三步：得新方程 ．因为 表示边长，所以 ，即 ．
【理解】上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是______________．
A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体代换思想
【实践】小明根据赵爽的办法解方程 ，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完
整：
第一步：将原方程 变形为 （____________） ；
第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，类比图1标明各边长），并
写出后续的解答过程；
【应用】一般地，对于形如 的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相
同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的正根为____________．
3．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图，四边形 是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是
和 边长，易知 ，这时我们把关于x的形如 的一元二次方程称
为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”；(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
(3)若 是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 的周长是 ，求
的面积．
1．（24-25九年级上·广东江门·期中）方程 的根是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．必有两个相等的实数根 B．必有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．必有实数根
3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）用配方法解方程 ，配方后的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
则 的值可能是（ ）
A． B． C．4 D．5
5．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于x的方程 （a，m，k均为常数，且 ）
的两个解是 ， ，则方程 的解是（ ）．
A． ， B． ，C． ， D． ，
6．（2025·安徽黄山·模拟预测）关于 的一元二次方程的新定义：若关于 的一元二次方程：
与 ，称为“同族二次方程” 如 与 就是“同族二次方
程” 现有关于 的一元二次方程： 与 是“同族二次方程” 那么代数
式 能取的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24九年级上·广东河源·期中）若 是两个实数，定义一种运算“ ”： ，则方程
的实数根是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25九年级上·江苏南通·期中）解方程 时，若设 ，则原方程可
化为（ ）
A． B．
C． D．
9．（24-25八年级下·北京通州·期末）方程 的解是 ．
10．（24-25八年级下·福建厦门·期末）若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值等
于 ．
11．（24-25九年级上·广东江门·期中）若一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ．
12．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的
实数根，则m的取值范围是 ．13．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）若关于 的方程 （其中h、k均为常数）的解是
，则关于 的方程 的解是 ．
14．（25-26九年级上·全国·阶段练习）若一元二次方程 的两根为 ，则 等于 ．
15．（24-25八年级下·上海崇明·期末）定义：如果直线 与直线 满足
如下条件： 且 ，那么我们就说这两条直线具有“和谐关系”，例如：直线 与
直线 ，它们具有“和谐关系”．如果直线 与直线 具有“和谐关
系”，且这两条直线与 轴围成的三角形面积为 ，则
16．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）解一元二次方程：
(1) ；
(2) ．
17．（24-25九年级上·江苏常州·期中）解方程
(1)
(2)
18．（24-25八年级下·北京房山·期末）关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根为非负数，求 的取值范围．
19．（24-25八年级下·全国·假期作业）常见的因式分解的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有
的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，
用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫做分组分解法．如 ，我们细心观察这个式子
就会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为 ．它并不是一种独立的因式分解的方法，而
是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．
根据以上内容，解答下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)请尝试用上面的方法分解因式： ；
(3)已知 的三边长a、b、c都是正整数，且满足 ，求 的周长．
20．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）已知关于 的一元二次方程
(1)若该方程的二次项系数，一次项系数，常数项的和为 ，求 的值；
(2)若该方程有实数根，求满足条件的正整数 的值；
(3)在（2）的条件下，请为 选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根．
