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专题 09 圆章末道压轴题型专训（10 大题型）
题型一 垂径定理及其应用综合
题型二 圆中切线的判定与性质综合
题型三 圆心角、圆周角相关综合
题型四 正多边形与圆综合
题型五 圆中求阴影部分面积综合
题型六 圆与三角形综合
题型七 圆与函数问题综合
题型八 圆的常用辅助线的作法
题型九 圆中最值问题(含隐圆、阿氏圆)
题型十 圆的材料阅读理解型问题(新定义)
【经典例题一 垂径定理及其应用综合】
1．（24-25九年级上·河北沧州·期末）往直径为 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若
水面宽 ，求水的最大深度．
【答案】水的最大深度为 ．
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的
关键．连接 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，先由垂径定理求出 的长，再根据勾股定理
求出 的长，进而得出 的长即可．
【详解】解：如图，连接 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，∵ ，
∴ ，
∵ 的直径为 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
即水的最大深度为 ．
2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该
工具时的示意图．如图3， 为某紫砂壶的壶口，已知A、B两点在 上，直线 过点O，且 于
点D，交 于点C．若 ， ，求这个紫砂壶的壶口半径．
【答案】10
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是理解垂径定理构建关于半径r的等式．根据
可得 ，再根据勾股定理构建关于半径r的等式求解即可．
【详解】解：设这个紫砂壶的壶口半径为r，
， ，
，
，，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得： ，
这个紫砂壶的壶口半径为 ，
3．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论
述比西方早一干多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小：以锯锯之，深一寸，锯道
长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锡口深
1寸，锯道长1尺．如图，已知弦 尺，弓形离 寸，（注：1尺 寸）问这块圆柱形木材的直
径是多少寸？
【答案】26寸
【分析】根据题中给出的条件可以得出BD=5，设半径为r，则：OD=r-1，根据勾股定理即可解出半径，半
径的2倍即为直径．
【详解】解：由题意得：CD=1寸，AB=1尺=10寸，
∴BD= AB=5寸，
设圆形木材半径为r，则OD=r-1，OB=r ，
∵在Rt 中，
∴
解得：r=13，
所以 的直径为26寸．
【点睛】本题考查的是勾股定理和垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧以及勾股定理是解题的关键．
4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）某一公路双向隧道由一弧形拱 与矩形 组成，经测量得
， ．为了确定弧形拱的半径长度，某勒测队找到一根 长的笔直杆子 ，直立杆子
，调整杆子位置，使点 落在 上，点 落在 上，此时 ．
(1)①如图是勒测队绘制的平面示意图，请你用直尺和圆规作出弧形拱 所在圆的圆心 （保留作图痕
迹）．
②圆心 到直线 的距离是______ ．（直接写出答案）
(2)求出弧形拱 所在圆的半径．
【答案】(1)①作图见解析；② ；
(2)弧形拱 所在圆的半径为 ．
【分析】（1）①画出两条线段的垂直平分线，交点即为圆心；
②过点 作 交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，连接 ， ，
证明四边形 ， 是矩形，即可求解；
（2）过点 作 交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，连接 ， ，设 ，
则 ， ，在 中， ，即 ，在 中，
，即 ，从而得到 ，求解即可得出答案．
【详解】（1）解： 在弧形拱上任取一点 ，连接 ，分别作 、 的垂直平分线，两直线的交
点即为圆心 ，如图：②如图，过点 作 交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，连接 ， ，则 ，
由①可知， 垂直平分 ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
又∵ ， ， ，
∴四边形 ， 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴圆心 到直线 的距离是 ，
故答案为： ；
（2）解：如图：
设 ，则 ， ，在 中， ，即 ，
在 中， ，即 ，
∵ ，
∴ ，
整理得： ，
解得： ，
∴ ，
∴弧形拱 所在圆的半径为 ．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，解题的关键是找出
弓形所在的圆心，画出半径，构造直角三角形，借助勾股定理解题．
5．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图1，重庆特色的九宫格火锅分九格：四角格、十字格、中心格
（中心格一般为正方形）．隔板的设计有以下两种：①横纵隔板两两垂直交于隔板的三等分点如图2所示；
②横纵隔板两两垂直交于圆锅边缘（圆）八等分点如图3所示．已知圆锅直径为 ．
(1)求图2的中心格面积 ；
(2)求两种设计的中心格面积 与 的差．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）如图2，过点O作 于点B，连接 ，然后可得 ， ，则有，进而可得 ；
（2）如图3，过点C作 ，垂足为F，连接 、 ，则有 ， ，根据圆
周角定理可知 ，则有 ，最后根据勾股定理可求得 ，进而得
，即可求出结论．
【详解】（1）解：如图2，过点O作 于点B，连接 ，
由题意得： ， ，
由中心格是正方形可得： ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ；
（2）：如图3，过点C作 ，垂足为F，连接 、 ，
由题意得： ， ，
∵横纵隔板两两垂直交于圆锅边缘八等分点如图3所示，∴圆锅边缘每段弧的度数为 ，
，
，
，
，
，
∴在 中，由勾股定理得： ，即 ，
，
，
．
【点睛】本题主要考查垂径定理、圆周角定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理、圆周角定理及勾股定理是
解题的关键．
6．（24-25九年级上·贵州黔南·阶段练习）高致病性禽流感是—种传染性极强的传染病．
(1)养殖场有4万只鸡．假设有一只鸡得了禽流感，如果不采取任何措施，那么第二天将新增病鸡10只，
到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问到第四天，共有多少只鸡得了禽流感？
到第几天，所有的鸡都会感染禽流感？
(2)为防止禽流感蔓延，防疫部门规定：离疫点3千米范围内为捕杀区，所有的禽类全部捕杀；离疫点3~5
千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时对捕杀区和免疫区的村庄，道路实行全封闭管理．现有
一条笔直的公路 通过禽流感病区．如图所示，O为疫点，到公路 的最短距离为1千米，问这条公路
在该免疫区内有多少千米？（结果保留根号）【答案】(1)第四天共有 只鸡得了禽流感；到第六天所有鸡都会被感染；
(2)
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，数字类的规律探索：
（1）根据题意可得规律第n天新增 只病鸡，据此求出第四天，第五天，第六天得了禽流感的鸡的数
量即可得到答案；
（2）过点O作 于E，利用勾股定理求出 ，再利用垂径定理求出
的值即可．
【详解】（1）解：第一天新增1只病鸡，
第二天新增10只病鸡，
第三天新增100只病鸡，
……，
以此类推，可知，第n天新增 只病鸡，
∴第四天共有 只鸡得了禽流感；
到第五天得禽流感病鸡数为 只
到第六天得禽流感病鸡数为 ，
∴到第六天所有鸡都会被感染；
（2）解：如图所示，过点O作 于E，
由题意得， ，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
由垂径定理可得 ，
∴ ，
∴这条公路在该免疫区内有 ．7．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形或圆弧形桥拱的示意图，某时测得水面宽 ，拱顶离水
面 ．据调查，该河段水位在此基础上再涨 达到最高．
素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂 长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水
面不小于 ；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为 ；为了美观，要求在符合条件处都挂
上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决：
任务1：确定桥拱形状是抛物线： 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2：拟定设计方案：在任务1的基础上， 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的
坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
任务3：确定桥拱形状是圆弧：在图2中用适当方法求圆弧所在圆的半径长
任务4：拟定通行方案：在任务3的基础上，该河段水位涨 达到最高时，有一艘货船它漏出水面高
米，船体宽9米需要从拱桥下通过，给出船航行线路，并判断是否能顺利通行．【答案】任务1：图见解析， ；任务2：方案一：从顶点处开始悬挂，共可挂7盏
灯笼，最左边一盏挂点的横坐标是 ；方案二：从对称轴两侧开始悬挂，正中间两盏与对称轴的距离均
为 ，可共挂8盏灯笼，最左边一盏挂点的横坐标是 ；任务3： 半径 ；任务4：船体在圆弧
的拱顶正下方可以通过
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式
的方法，以及垂直于弦的直径平分弦，是解题的关键．
任务1：以桥拱的最高点为原点，构造平面直角坐标系，则 ，设该抛物线的表达式为
，把 代入求出a的值，即可得出函数表达式；
任务2：根据该河段水位在此基础上再涨 达到最高，灯笼底部距离水面不小于 ，灯笼长
，得出悬挂点的纵坐标 ，进而得出悬挂点的横坐标取值范围为 ，根据相邻
两盏灯笼悬挂点的水平间距均为 ， 即可解答；
任务3：设圆的圆心为点C， 相交于点D，得出 ，则 ，
设该圆的半径为r，则 ，根据勾股定理列出方程求解即可；
任务4：先求出该货船顶端与圆心距离 ，根据勾股定理可得： ，则
，即可解答．
【详解】解：任务1：以桥拱的最高点为原点，构造平面直角坐标系，如图所示：
根据题意可得： ，
设该抛物线的表达式为 ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴该抛物线的函数表达式为 ；任务2：∵该河段水位在此基础上再涨 达到最高，灯笼底部距离水面不小于 ，灯笼长 ，
∴悬挂点的纵坐标 ，
即悬挂点的纵坐标最小为 ，
把 代入 得：
，
解得： ，
∴悬挂点的横坐标取值范围为 ；
方案一：从顶点处开始悬挂，
∵相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为 ， ，
∴从顶点处开始悬挂，共可挂7盏灯笼，
最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为 ；
方案二：从对称轴两侧开始悬挂，正中间两盏与对称轴的距离均为 ，
，
∴可以挂 （盏），
最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为 ；
任务3：设圆的圆心为点C， 相交于点D，
由题意可得： ，
∴ ，
设该圆的半径为r，则 ，
根据勾股定理可得： ，则 ，
解得： ；
任务4：由任务3可知， ，
当河段水位涨 达到最高时， ，
∵货船漏出水面高 米，
∴该货船顶端与圆心距离 ，
根据勾股定理可得： ，
∴ ，
∴船体在圆弧的拱顶正下方可以通过．
【经典例题二 圆中切线的判定与性质综合】
8．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图， 为 的切线，A为切点，连接 ，过点A作
，垂足为C，交 于点B，连接 ，求证： 为 的切线．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理，全等三角形的性质与判定，由垂径定理得到，则 ，证明 ，结合切线的性质可得 ，据此可证
明结论．
【详解】证明：如图所示，连接 ，
，
，
，
，
为 的切线，
，即 ，
，
为 的半径，
为 的切线．
9．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，点 为 上一点，连接 并延长至点 ．过点
作 的切线 ，点 为切点，连接 ．点 为 上一点， ，连接 ， ， ， ．
求证： 为 的切线．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了圆的切线的证明、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练
掌握相关性质和判定定理成为解题的关键．由圆的性质可得 ，根据圆周角定理可得
，切线的性质可得 ，然后证明 ，进而得到即可证明结论；
【详解】证明： 、 、 在圆 上
，
，
为 的切线
，
在 和 中
，
，
，
为 的切线．
10．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，以 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 是小圆的切
线，切点为点 ．
(1)若 ，则两个同心圆组成的圆环面积为______ ；
(2)若以 为圆心， 长为半径画弧，交大圆于点 ，连接 ，请在备用图中补全图形，猜想 与小圆
的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)补全图见详解， 与小圆相切，理由见详解
【分析】（1）连接 、 ，由切线的性质得 ，结合勾股定理即可求解；
（2）连接 、 、 、 ，过 点作 于E，由 判定 ，由全等三角形的性质及切线的判定方法，即可得证．
【详解】（1）解：连接 、 ，
大圆的弦 是小圆的切线，切点为点 ，
，
，
，
两个同心圆组成的圆环面积为：
（ ），
故答案为： ；
（2）解：补全图如下：
与小圆相切，
理由如下：连接 、 、 、 ，过 点作 于E，
， ， ，
（ ），
，
与小圆相切．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆的面积、勾股定理，全等三角形的判定与性质、切线的性质与判定等；
掌握垂径定理、切线的性质与判定相关定理及性质，构造出全等三角形是解题的关键．
11．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在Rt 中， ，点 在 上，以 为直径的 经过 上的点 ，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，三角函数及弧长公式，求出
是解题的关键．
（ ）连接 ，可得 ，得到 ，即得 ，即可求证；
（ ）设 的半径为 ，则 ，在 中由勾股定理得 ，可得 ，即可求
解．
【详解】（1）证明：连接 、 ，则 ，
， ，
，
，
．
是 的半径，
是 的切线；
（2）解：设 的半径为 ，则 ，
∵ ，∴ ，
在 中， ，
，
解得 ，
，
12．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在 中， ，点A在 上，以 为直径的 交
的延长线于点G，过点E作 于点F， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过圆心O作 ，垂足为D，证明 是 的角平分线，根据角平分线的性质得出
，说明 是 的半径，即可证明结论；
（2）设 ， ，求出 ，根据切线长定理得出 ，求出 ，根
据 ，求出 ，得出 ，最后根据三角函数定义求出结果即可．
【详解】（1）证明：如图，过圆心O作 ，垂足为D，
∵ ， ，，
，
，
∵ ，
，即 是 的角平分线
∵ ， ，
，即 是 的半径，
是 的切线．
（2）解：∵ ，可设 ， ，
，
由（1）知 ， 分别切 于点B，D，
，
，
在 和 中， ，
即
，
∵ ，
，
．
【点睛】本题主要考查了切线的判定定理和性质定理，解直角三角形，求一个角的正切值，角平分线的性
质，切线长定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握切线的判定定理和性质定理．
13．（2025·江西吉安·模拟预测）如图，在同心 ，大 的直径 交小 于 、 ，大 的两弦
、 交于 ，且 ， ，弦 与小 切于 ，过 作 于 ．小 的
半径为 ．(1) 的长为__________；
(2)试问弦 与小 是什么位置关系？请证明你的结论；
(3)求 的长．
【答案】(1)
(2)相切，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据切线的性质得 ，证明四边形 是矩形，即得得解；
（2）过 作 于 ，根据“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心
距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”得 ，即可得证；
（3）根据垂径定理得 ，根据勾股定理得 ，然后结合正弦的定义得
，继而得出 ，即可得解．
【详解】（1）解：连接 ，
∵弦 与小 切于 ，小 的半径为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
故答案为： ；
（2）相切．证明：过 作 于 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 与小 相切；
（3）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
经检验， 是原方程的解且符合题意，
∴ ．
【点睛】本题考查切线的判定与性质，矩形的判定与性质，弦、弧、弦心距和圆周角的关系，垂径定理，
勾股定理及锐角三角函数的定义等知识点．掌握圆的基本性质、勾股定理及锐角三角函数的定义是解题的
关键．
14．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图，在 中， ， ，O是边 上的
点， 与 相切，切点为D， 与 相交于点E，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2) 的半径为_______； 与 相交于点M，求阴影部分的面积；(3)F为 上的一个动点（不与点D，E重合），过点F作 的切线，分别与边 ， 交于点G，H，
连接 ， ．嘉淇认为：随着点F位置的变化， 的度数不变．请你判断他说的是否正确，并说
明理由．
【答案】(1)见解析
(2)2； ；
(3)正确，见解析
【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，切线长定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的
性质与判定，求不规则图形面积等等：
（1）由切线的性质得到 ．再证明 ，得到 ，即
．则可证明 是 的切线；
（2）证明 ，得到 ，再根据阴影部分的面积
列式求解即可；
（3）由切线长定理得到 ， ．再证明 ， ，得到
， ，则 ．证明 ，则
，即 的度数不变．
【详解】（1）证明：如图所示，连接 ．
∵ 与 相切，切点为D，
∴ ．
在 与 中，∴ ，
∴ ，即 ．
又∵ 是半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积为 ；
（3）解：正确，理由如下：
如图所示，连接 ，
∵ 都与 相切，
∴ ， ．
又∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 的度数不变．
【经典例题三 圆心角、圆周角相关综合】
15．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图， 是 的直径，点 ， 在 上， 于点 ，
于点 ， ．求证： ．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，连接 ， ，证明
，可得 ，再根据弧、弦、圆心角的关系即可求证，熟练掌握知识
点的应用是解题的关键．
【详解】证明：如图，连接 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∴ ．
16．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在 中， ， ，以点O为圆心，
的长为半径的 交 、 于点 、 ．
(1)求 、 的度数．
(2)如果弦 的长为 ，那么 的半径是多少?
【答案】(1) 的度数为 ， 的度数为
(2) 的半径是
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用
是解此题的关键．
（1）连接 ，先证明 为等边三角形，得出 ，即可得出 的度数，求出 ，
即可得出 的度数；
（2）由等边三角形的性质即可得解．
【详解】（1）解：如图：连接 ，
，∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，即 的度数为 ，
∴ ，即 的度数为 ；
（2）解：由（1）可得： 为等边三角形，
∵弦 的长为 ，
∴ ，
∴ 的半径是 ．
17．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图， 是 的直径， 是 的一条弦，且 于
点E．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理；
（1）由同弧或等弧所对的圆周角相等得 所对的圆周角 ，再由 得 ，
等量代换得出 .
（2）根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，可得 ，设圆的半径为 ，先求出 ，在 中利用勾股定理建立方程可求出半径 ，最后在 中利用勾股定理求出
.
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， 都是 所对的圆周角，
∴ ，
∴ .
（2）解：∵ 是 的直径， ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
设 的半径为 ，则
在 中，
即
解得
∴ ，
∴ ，
∴在 中， .
18．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）（1）如图 ， 为 的弦，已知 的半径是 ， ，
求 到 的距离；
（2）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结
果）
任务 ：如图 ， 为 的弦，画一条与 长度相等的弦；任务 ：如图 ，正五边形 内接于圆，请作出一条直径；
请你选择其中一个任务，完成作图．
【答案】（1） ；（2）解析．
【分析】（1）根据垂径定理得 ，再根据勾股定理即可得解；
（2）任务 ：分别过 、 作直径 和 ，连接 ，由 得 ；
任务 ：连接 ， ， ， 交 于点 ，作射线 交 于点 ，由 得
，从而得 是半圆，则 为直径．
【详解】解：（ ）过点 作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
解得 ，即 到 的距离为 ；
（2）选择任务1：如下图， ，选择任务 ：如图，如下图 为直径．
【点睛】本题主要考查了无刻度直尺作图，圆心角与弦弧的关系，全等三角形的判定及性质，勾股定理及
垂径定理，熟练掌握无刻度直尺作图，圆心角与弦弧的关系，全等三角形的判定及性质，勾股定理及垂径
定理是解题的关键．
19．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图， 为 的外接圆， 是直径， ，
，点D是 上的动点，且点 、 分别位于 的两侧．
(1)求 的半径；
(2)当 时，求 的度数；
(3)连接 ，设 的中点为 ，在点 的运动过程中，线段 是否存在最大值？若存在，求出 的
最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）结合直径所对的圆周角是90度，得 ，利用勾股定理求出 即可．（2）连接 ， ，证明 ， ，可得结论．
（3）如图 中，连接 ， ．证明 ，推出点 的运动轨迹以 为直径的 ，连接 ，
，求出 ， 的值，根据 ，可得结论．
【详解】（1）解：如图1中，
是直径，
，
， ，
，
∴
的半径为 ．
（2）解：如图 中，连接 ， ．
， ，
，
，
∵
，
，
是等边三角形，
，
．
（3）解：如图 中，连接 ， ．，
，
点 的运动轨迹以 为直径的 ，
连接 ， ，可知
是等边三角形， ，
，
，
，
的最大值为 ．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形
的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是寻找特殊三角形解决问题，正确寻找点M的运动轨迹．
20．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图①，点 、 、 均在 上， ，则锐
角 的大小为___________度；
（2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②， 是等边 的外接圆，点 在 上（点 不与点
、 重合），连接 、 、 ．求证： ．小明发现，延长 至点 ，使 ，
连接 ，通过证明 ，可推得 是等边三角形，进而得证．你能否写出完整的证明过程？
（3）【应用】如图③，已知四边形 内接于圆 ， ， ，连接 、 ，请直接
写出线段 、 、 之间的数量关系：___________．【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）
【分析】对于（1），根据圆周角定理解答；
对于（2），延长 至点E，使 ，连接 ，再根据“边角边”证明 ，可得
是等边三角形，则此题可证；
对于（3），延长 至点E，使 ，连接 ，先证明 ，由全等三角形的性质可得
， ，再证明 ，然后根据勾股定理即可求出解.
【详解】解：（1）∵ ，且是 所对的圆心角， 是 所对的圆周角，
∴ .
故答案为： ；
（2），延长 至点E，使 ，连接 ，
∵ 是等边三角形，
∴ .
∵ 是 的外角，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；（3）， .
延长 至点E，使 ，连接 ，
∵ 是 的外角，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形.
根据勾股定理，得 ，
即 ，
∴ .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，
等腰三角形的性质等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.
21．（24-25九年级上·河南周口·期末）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图 ， 和 是 的两条弦
（即折线 是弦 的一条折弦）， ， 是弧 的中点，则从 向 所作垂线的垂足
是折弦 的中点，即 ，下面是运用“截长法”证明 的部分证明过程
证明：如图2，在 上截取 ，连接 ， ， 和
是弧 的中点，
∴ ，……
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)实践应用：如图3， 内接于 ， ， 是弧 的中点， 于点 ，依据
阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为______.
(3)如图4，等腰 内接于 ， ， 为弧 上一点，连接 ， ， ，
，求 的周长.
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）首先证明 ，进而得出 ，再利用等腰三角形的性质得出
，即可证明结论；
（2）直接根据阿基米德折弦定理，即可证明结论；
（3）过点 作 ，根据阿基米德折弦定理，勾股定理求得 ，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图2，在 上截取 ，连接 ， ， 和 ．
是 的中点，
．
在 和 中，
，
，
又 ，
，
．
（2）解：根据（1）中的结论可得图中某三条线段的等量关系为
故答案为： ．
（3）解：如图所示，过点 作 ，
由阿基米德折弦定理得： ，
∵
∴
∴ ，
∴ 的周长为
【点睛】本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，理解“截长
法”是解答本题的关键．
【经典例题四 正多边形与圆综合】
22．（2025九年级上·湖北武汉·专题练习）如图， 的半径为 ，六边形 是圆内接正六边形，
四边形 是正方形．(1)求 的度数；
(2)求正六边形与正方形的面积比．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题侧重考查有关圆内接多边形的题目，需要掌握圆内接多边形的性质以及等腰三角形的性质．
（1）在等腰 中易得顶角的度数，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出底角 的度
数；
（2）根据正六边形中心角的度数及同圆半径相等得到 为等边三角形，设正六边形的边长为 ，从而
得到 的长；利用面积公式求出正六边形的面积以及正方形的面积，进而得到正六边形与正方形的面积
比．
【详解】（1）解：连接 ，
∵ 的半径为 ，六边形 是圆内接正六边形，四边形 是正方形．
∴ ， ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．（2）解：过 作 于 ，设正六边形的边长为 ．
∵ 为正六边形的中心角，
∴ ．
∵ ，
∴ 是边长为 的等边三角形，
∴ ， ，
∴正方形 的面积为 ，
∴ ，
正六边形的面积为 ，
∴正六边形与正方形的面积比为 ．
23．（24-25九年级上·广东江门·期中）已知正六边形 ，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保
留作图痕迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）．
(1)在图中作出以 为对角线的一个菱形 ；
(2)已知六边形的边长为2，求菱形 的面积．
【答案】(1)见解析（答案不唯一），
(2)见解析（答案不唯一）
【分析】本题考查了作图-复杂作图，复杂作图是结合了几何图形的性质和基本作图的方法，涉及到的知识点有菱形的性质和判定，解题的关键在于熟悉菱形的几何性质和正六边形的几何性质，将复杂作图拆解成
基本作图．
（1）利用正六边形的对称性找到 的垂直平分线，然后根据菱形的性质对角线互相垂直平分，即可作出
图形．
（2）根据正六边形的内角等于 度，利用等边三角形或30度直角三角形、勾股定理求出另一条对角线
长，由面积菱形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图，菱形 即为所求（点 ， 可以对调位置）：
（2）解：∵六边形 是正六边形，
∴ ， ，
又∵正六边形 是关于 所在直线的对称，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴
①如图1-1，连接 交 于点 ,
∵六边形 是正六边形，
∴ ， ， ， ，
∴ 是等边三角形， ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴菱形 的面积为 ，
②如图1-2，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴菱形 的面积 ，
③如图1-3，
由①可知： ， 是等边三角形，同理可求 ，
∴ ，
∴ ，∴菱形 的面积为 ．
24．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图， 是 的直径， ， 是 的弦， ，
延长 到 ，连接 ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)以 为边的圆内接正多边形的周长等于 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，根据等边对等角可得 ， ，根据三角形
的内角和定理求得 ，即可证明；
（2）根据 ，推得以 为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，根据直角三角形中， 所
对的边是斜边的一半求得 ，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
又∵ 是半径，
∴ 是 的切线；（2）解：∵ ，
∴以 为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴以 为边的圆内接正六边形的周长为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，圆内接正六边形的性质，含 角的直角三角形
的性质，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题的关键．
25．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，正方形 内接于 ，E是 的中点，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）欲证明 ，只要证明 即可．
（2）连接 ，过点D作 交 的延长线于F．证明 ，推出 ，得到
，推出 ，再利用等腰三角形的性质构建方程求出 ，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵E是 的中点，∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：连接 ，过点D作 交 的延长线于F．
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性
质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
26．（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要
求作图．
（1）在图①中，以AB为边作等边三角形；
（2）在图②中，作一个含30°的直角三角形．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）连接AD，BE交于点O，即可得到所求三角形；
（2）连接AC，CF，即可得到所求三角形；
【详解】（1）如图①所示：∆AOB即为所求三角形；
（2）如图②所示：∆ACF即为所求三角形．
【点睛】本题主要考查正六边形的性质，熟练掌握正六边形的每条边都相等，每个内角都等于120°，是解
题的关键．
27．（2025九年级上·全国·专题练习）如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度中⊙O
上逆时针运动．
（1）求图①中∠APB的度数；
（2）图②中，∠APB的度数是 ，图③中∠APB的度数是 ；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请
说明理由．
【答案】（1）120°；（2）=，=；（3）能，∠APB=
【分析】（1）由题意可得 ，根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得 ，在利用三
角形外角的性质即可求解
（2）根据（1）的求解过程，即可求解
（3）结合（1），（2）的推理过程，即可得出结论
【详解】（1）∠APB=120°（如图①）
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM=∠CBN，
又∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，
∴∠APB=120°；
（2）同理可得：图②中∠APB=90°；图③中∠APB=72°．
（3）由（1），（2）可知，∠APB=所在多边形的外角度数，故在图n中，∠APB= ．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，以及正多边形外角的求法，
三角形外角的性质是解题关键．【经典例题五 圆中求阴影部分面积综合】
28．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务：
克罗狄斯•托勒密（约90年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．
在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：
圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形
ABCD内接于⊙O，则有 ．
任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 ．
（2）如图2，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝2，求对角线BD的长．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）由托勒密定理可直接求解；
（2）连接 ，根据圆周角与弦的关系可得 ，设 ，在四边形 中，根据托
勒密定理有， ，建立方程即可求得 的长
【详解】（1）由托勒密定理可得：
故答案为：
（2）如图，连接 ，
五边形 是正五边形，则 ,
设 ，
即解得 （舍去）
【点睛】本题考查了托勒密定理，圆周角与弦的关系，解一元二次方程，理解题意添加辅助线是解题的关
键．
29．（24-25九年级上·福建福州·月考）如图，C，D是以 为直径的半圆上的两点， ，连
接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到 ，根据 得到 ，
进而得到结论；
（2）连接 ，根据所求的阴影部分面积与扇形 的面积及 的关系即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，连接 交线段 于点M．
∵ °，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，平行线的判定，掌握定理以及扇
形面积公式是解题的关键．
30．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知 是半圆 的直径，点 是半圆上一点，连结 ，并
延长 到点 ，使 ，连结 ．
(1)求证： ．(2)若 ， ，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查直径所对圆周角为直角，圆周角定理，扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出
直角三角形是解答此题的关键．
（1）连接 ，由圆周角定理可知 ，故 ，再由 即可得出结论；
（2）连接 ，根据直角三角形的性质求出 的度数，由圆周角定理求出 的长，根据
即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接 ，
是半圆 的直径，
，
．
，
；
（2）解：连接 ，
， ，
， ，
．
， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
点 是 的中点，，
．
31．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图， 是 的直径，C是 上的一点，直线 经过点C，
过点A作直线 的垂线，垂足为点D，且 平分 ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ， ，
①求 的直径；
②求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①4；②
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质以及切线的判定方法进行解答即
可；
（2）①根据勾股定理，以及直角三角形的性质求出 ， ，根据圆周角定理可知 ，再根据
勾股定理，以及直角三角形的性质即可求出直径 ；
②先判定 是等边三角形，利用勾股定理得出 ，再根据 进行计算即可．
【详解】（1）证明：如图，连接 ．
，，
平分 ，
，
，
．
，
．
是半径，
是 的切线；
（2）解：①在 中， ，
∴ ， ，
是 的直径，
，
在 中， ， ，
，即 直径为4；
② ，
，
，
是等边三角形，
的高为： ，
．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，角平分线性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理
以及扇形面积的计算，掌握切线的判定和性质，角平分线，圆周角定理，勾股定理以及扇形面积的计算方
法是正确解答的关键．
32．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图， 是 的外接圆，半径为 ，连接 ， ，，
(1)过点 作 ，交 于点 ，若 ，求 的长；
(2)若 ，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用垂径定理得出 ，再结合勾股定理求出 ，进而得到 ．
（2）先根据圆周角定理求出圆心角 的度数，然后用扇形面积公式得到阴影部分面积．
【详解】（1）解： ， ，
，
在 中， ， ，
∴ ，
；
（2）解： ，
，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理、扇形面积公式，熟练掌握这些定理和公式是
解题的关键．
33．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知 是平行四边形 的两条邻边，根据要求解答下列各题：(1)在图1中，用直尺和圆规把该平行四边形补画完整（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)如图2，在平行四边形 中，以A为圆心， 的长为半径的圆恰好与 相切于点C，交 于点
E，延长 与 相交于点F．若 的长为 ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了基本作图，切线的性质，平行四边形的性质，弧长的求法，扇形面积的求法，知道
是解题的关键．
（1）分别以A，C为圆心，以 的长度为半径画弧，两弧交于一点D，连接 可得；
（2）由切线的性质和平行四边形的性质得到 ， ，
根据弧长公式求出弧长，得到半径，即可求得结果．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：∵ 与 相切，
∴ ，
在平行四边形 中，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 半径为r，
∴ 的长度 ，
解得 ，
∴ ．
34．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图， 内接于 ，点D为的 中点，连接 、 ， 平分
交 于点E．
(1)求证： ；
(2)如图2，若 经过点O，过点D作 的切线交 的延长线于点F，若 ，求阴影部
分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题意，得 ，则 ，因为 ，所以
，即可证明 ，则 ；
（2）证明 ，得 ，得 ，证明 是等边三角形，得
， ，再证明 ，得 ， ，由勾股定理得，求出 ， ，从而求出 ．
【详解】（1）证明：∵点D为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 交 于点E，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：连接 ，如图，
∵点D为 的中点，
∴ ，
∴ ，
由（1）知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，即 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、角平分线定义、切线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、
求扇形面积等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
35．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在 中，以 上一点 为圆心， 为半径的 与 、
相交于 、 ，连接 ．
(1)从以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程．
① 平分 ；② ；③直线 是 的切线．你选择的条件是______，结论是______
（填序号）；
(2)在（1）的条件下，若 ， ，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)①②，③
(2)
【分析】（1）选择的条件是①②，结论是③；理由：连接 ，根据等腰三角形性质可得 ，
根据角平分线性质得 ，可得 ，得 ，即得；
（2）先求出 ， ，得 ，再阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇
形的面积，即可．
【详解】（1）解：选择的条件是①②，结论是③．
理由如下：
如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线；
故答案为：①②，③（答案不唯一）；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故阴影部分的面积为 ．
【点睛】本题考查构造真命题，角平分线定义，等腰三角形性质，圆切线的判定和性质，扇形的面积，三
角形面积，勾股定理，含30度的直角三角形的性质等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【经典例题六 圆与三角形综合应用】
36．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，E是 的内心， 的延长线与 的外接圆 相交
于点D．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2) 的半径为
【分析】本题主要考查圆与三角形的综合运用，理解三角形内心的含义，掌握垂径定理的运用是解题的关
键，
（1）连接 ，根据三角形中点 是内心可得 ，根据三角形外角的性质，
等角对等边的性质可得 ，由此即可求解；
（2）连接 交 于点F，连接 ，由角平分线的性质可得 ， 垂直平分 ，在
中， ，设 的半径为r，则 ，由勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ，∵ 平分 平分 ，
，
又 ，
，
，
， ，
，
；
（2）解：连接 交 于点F，连接 ，
，
，
垂直平分 ，
，
，在 中， ，
设 的半径为r，则 ，
，
解得 ，的半径为 ．
37．（24-25九年级上·重庆江津·阶段练习）如图，点A为 外一点， 交 于 两点，
于点 ，交 于点 为 上一点，连接 交 于点 ，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先连接 ，根据圆周角定理，以及等腰三角形的性质得到 ，据此可
得到结果；
（2）作辅助线，根据题意可得到 是等边三角形，然后根据勾股定理可解得结果．
【详解】（1）证明：连接 ，如图所示：
， 于点 ，
，
，
，
，
，
，
，
，，
即 ，
，
为 的半径，
是 的切线；
（2）解：过点 作 于 ，如图所示：
， ，
是等边三角形，
，
在 ，
，
在 ，
，
．
【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题、圆周角定理、圆的切线定理、等边三角形的判定和性质、勾
股定理解三角形，找到角度之间的关系是解题的关键．
38．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图， 为 的直径，弦 垂足为 ，连结 ， ．
(1)求证： ．
(2)若弦 ， ，求 的半径．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据垂径定理得出 ，根据线段垂直平分线的判定定理推出 ，根据等腰三
角形的性质即可得解；
（2）根据垂径定理求出 ，根据勾股定理求出 ，连结 ，设半径为 ，根据勾股定理得出
，据此求解即可．
【详解】（1）证明： 是直径， ，
，
，
；
（2）解： ， ，
，
在 中， ，
，
连结 ，设半径为 ，
在 中， ，
，
，
即 的半径为 ．
【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理，熟记垂径定理、勾股定理是解题的关键．关键．
39．（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，A，B，C，D在 上， ，经过圆心O的线段
于点F，与 交于点E．
(1)如图1，当 半径为5， ，若 ，求弦 的长；
(2)如图2，当 半径为 ， ，若 ，求弦 的长．
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）连接 ，根据垂径定理求出 ，根据勾股定理得 ，设
，根据勾股定理得方程 ，解方程即可求出 ；
（2）如图2中，作 于H．先证明 是等腰直角三角形，得到 ．再证明四边形
是矩形得到 ，求出 ，证明 ，得到 ， ，
即可求出 ．
【详解】（1）解：如图1中，连接 ．
∵过圆心O的线段 于点F， ，∴ ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得 ，
设 ，则 ，
∵经过圆心O的线段
∴ ，
在 中，根据勾股定理得 ，
∴ （不合题意，舍去），
∴ ；
（2）解：如图2中，作 于H．
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
在 ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的性质与判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质等，
熟知各知识点，根据题意添加适当辅助线是解题关键．
40．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 是 延长线上一
点，连接 ， ，且 是 的切线．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2) 的半径为2
【分析】本题主要考查了圆的基本性质、圆周角、切线的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题
关键．
（1）连接 ，结合“直径所对的圆周角为直角”可得 ，即有 ，再结合
切线的性质可得 ，进而可得 ，可证明 ，结合 ，易
得 ，即可证明结论；
（2）设 ，在 中，根据勾股定理可得 ，代入数值并计算，即可获得
答案．【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线， 为 半径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
即 的半径为2．
41．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，四边形 中 ， ．以O为圆
心，以 为半径作 ．(1)求证： 是 的切线；
(2)连接 形延长交 于点D，延长 交 于点E，与 的延长线交于点F，
①补全图形；
②若 ，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)①补全图形见解析；②见解析
【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质进行推
理是本题的关键．
（1）连接 ，由“ ”可证 ，可得 ，由切线的判定可得结论；
（2）①依照题意画出图形，如图所示；②由全等三角形的性质可得 ，由在同圆或等圆中，
等弧所对的圆周角相等可得 ，由外角的性质和直角三角形的性质可得
，可得 ．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
， ， ，
∴ ，
∴ ，
是 的半径，
又∵ ，
∴ 是 的切线；
（2）①解：依照题意画出图形，如图所示，②证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
42．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图1， 为四边形 的外接圆， 与 相交于点 ，且
，连结 ，设 ．
(1)用含 的代数式表示 ．
(2)如图2，连结 ，交 于点 ，若 ，求证： ．
(3)在（2）的基础上，当 ， 时，求出 的值．【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接 ，根据圆周角定理得到 ，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到 ，可得 ，从而得到
再根据等腰三角形的性质得到 ，然后根据圆周角定理可得
，从而得到 ，进而得到 ，根据全等三角形的判
定定理即可得到结论；
（3）根据已知条件得到 ，由（2）得 ，根据全等三角形的性质得到
，延长 交 于点H，设 ，根据等腰三角形的性质得到
，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解： ，
，
，
∵ ，即 ，
， ，
，，
， ，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ，
；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
由（2）得 ，
，
延长 交 于点H，
，
，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
即
， ．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判
定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
【经典例题七 圆与函数问题综合应用】
43．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知：如图， 是 的直径，弦 于点E，G是 上一
动点， ， 的延长线交于点F，连结 ．
(1)若 ， ，求 的长；
(2)设 ， ，求 关于 的函数表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先证 是等边三角形，得出 ，再由垂径定理得出 ，
最后根据弧长公式即可求解；
（2）由圆周角定理可得 ， ，结合，即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接 ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵弦 ， 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的长为：
（2）解：∵ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查弧长的计算，垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质等，掌握圆周角定理及
垂径定理是解题的关键．
44．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，抛物线 的图象与x轴交于A、B两点，
与y轴交于C点，已知点B坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△ABC的形状，说出△ABC外接圆的圆心位置，并求出圆心的坐标．
【答案】（1） ；（2）该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为： ．
【详解】试题分析：（1）∵点B（4，0）在抛物线 的图象上
3
∴0=16a− ×4−2 2分
2
∴
∴抛物线的解析式为： 4分
（2）△ABC为直角三角形 5分
令 ，得：
∴C（0，－2）
令 ，得
∴ ，
∴A（－1，0），B（4，0） 7分
∴AB＝5，AC＝ ，BC=
∴
∴△ABC为直角三角形 8分
∴AB为△ABC外接圆的直径
∴该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（ ，0）
考点：二次函数解析式；直角三角形的判定点评：二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：
y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x）（x-x）．
1 2
45．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋2与x轴，y轴分别交于点
A，B，抛物线y=ax2＋bx－ 经过点A和点C(4,0)．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）连接CB，并延长CB至点D，使DB=CB，请判断点D是否在该抛物线上，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，过点C作x轴的垂线EC与直线y＝2x＋2交于点E，以DE为直径画⊙M，
①求圆心M的坐标；②若直线AP与⊙M相切，P为切点，直接写出点P的坐标．
【答案】（1） ；（2）在，理由见试题解析；（3）①M（0，7）；②P（－4，4）或P
（3，3）．
【详解】试题分析：（1）求出A、B的坐标，然后代入抛物线的解析式即可；
（2）过点D作DF垂直x轴于点F，由△CDF∽△CBO得到D的坐标，代入抛物线进行检验；
（3）①先求出E的坐标，设DE与y轴的交点为M′，证明M′就是圆心M，得出M的坐标；
②设P(x，y)，则直线PA⊥MA，且MA=5，因为两条直线垂直，它们的k相乘为－1以及两点间距离公式，
得到方程组，解方程组即可得到P的坐标．
2
试题解析：（1）依题意，可知 A（－1，
0），B（0，2），抛物线y=ax2+bx−
经过点A，C (4，0)
32 1
{ a−b− =0，) { a= ，)
3 6
所以有 ，解得 ，∴ ；
2 1
16a+4b− =0. b=− .
3 2
（2）点D在该抛物线上．依题意，可得BO=2，CO=4．过点D作DF垂直x轴于点F，
∴△CDF∽△CBO，∴ ，∴DF=4，OF= CF－OC =4，∴ D（－4，4）．∵
1 1 2
×(−4) 2− ×(−4)− =4，∴点D在该抛物线上；
6 2 3
（3）①由题意可知E（4，10），设DE与y轴的交点为M′，∵M′B∥EC，∴ ，∴D
M′=EM′，∴M′ 即⊙M的圆心M，∴ ，∴M（0，7）．
{ y ⋅ y−7 =−1) {x =−4)
②设P(x，y)，则直线PA⊥MA，且MA=5，∵直线PA⊥MA，∴ x+1 x ，解得： 1 ，
y =4
x2+( y=25 1
，∴P（－4，4）或P（3，3）．
考点：二次函数综合题．
46．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）定义：平面直角坐标系中，过二次函数图象与坐标轴所有交点
的图，称为该二次函数的坐标圆．(1)二次函数 ；
①求该二.次函数与 、 坐标轴的交点 、 、 的坐标；
②已知点 ，以 为圆心， 为半径作图，请判断 是不是该二次函数的坐标圆，并说明理由；
(2)已知二次函数 图象的顶点为 ，交 轴于点 ，二次函数的坐标圆的圆心 在函数对称轴
上，求 周长最小值．
【答案】(1)① ；② 是二次函数 的坐标圆，理由见解析
(2)6
【分析】（1）①令 和 求得该二次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标；②利用两点坐标距离公
式和圆的定义判断三个点是否在 上，进而根据题中定义作出判断；
（2）连接 ， 的周长为 ，当点C、P、 共线时取等号，
进而可求解．
【详解】（1）解：①当 时， ，
当 时， ，
解得 ，
∴点 、 、 的坐标分别为 ；
② 是二次函数 的坐标圆，理由为：
∵二次函数 的图象与x轴的交点坐标为 ， ，与y轴的交点坐标为 ，
∵ ， ， ，
∴ ，故 是二次函数 的坐标圆；
（2）解：连接 ，则 ，
∴ 的周长为 ，当点C、P、 共线时取等号，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ 周长最小值为6．
【点睛】本题考查二次函数与圆的综合，涉及二次函数图象与坐标轴的交点、圆的定义、最短路径问题、
坐标与图形、两点坐标距离公式等知识，理解题中定义，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
47．（2025·山东济南·模拟预测）如图，在以 为圆心，1为半径的四分之一圆弧组成的扇形中，点 在弧
上运动（不与端点 重合），连接 ，作 垂直于半径 ，垂足为 ，设 ．
(1)设 的长度为 ， 是角 的函数吗？请说明理由；
(2)若 的面积为 ，请回答下列问题：
①当点 在弧 上运动时，随着角 的逐渐变大， 的变化规律为 （横线处填“逐渐变大”“逐渐变
小”“先变大再变小”“先变小再变大”）；
②求面积 关于角 的表达式，并写出角 的取值范围；
③当 取最大值时，请直接写出角 的值．【答案】(1)是，理由：对于变量 的每一个值， 的长度 都有唯一确定的值与之对应
(2)①先变大再变小；② ， ；③
【分析】本题考查函数的定义，三角形的面积．
（1）由函数的定义可直接判断，对于变量 的每一个值， 的长度 都有唯一确定的值与之对应，故
是 的函数；
（2）①随着角 的逐渐变大， 的变化规律为先变大再变小；②先求出底 ，再求高 即可；③当 取
最大值时，即当点 运动到弧 的中点，此时 ．
【详解】（1）解：是．
∵对于变量 的每一个值， 的长度 都有唯一确定的值与之对应
∴ 是 的函数；
（2）①先变大再变小，因为 在 时，面积为0，往 方向运动时，面积逐渐变大，到达 时，面积为
0，故先变大再变小；
故答案为：先变大再变小
②在 中，
∵
③当 取最大值时， ．
理由：设点 为 的中点，连结 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，连接 ．
∵点 为 的中点，∴
∴当点 运动到弧 的中点，使得 与 重合时， 的值最大此时， ，
∴ 为等腰直角三角形
∴ ．
48．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）【新定义】
在平面内，已知点O和直线l，设点O到直线l的距离为 ．对于给定的正数d，以点O为圆心、
为半径的圆上，到直线l的距离等于d的点称为该圆的“ 点”．记函数 表示圆上“
点”的个数．
【探究】
已知 ．
（1）当 __________时, ；
（2）当 __________时, ；
（3）随着r的变化，请写出 时，对应r的取值范围．
【巩固】
(4)当 时，讨论 随r的变化规律，写出 的取值及对应r的条件．
【应用】
(5)平面直角坐标系中，点P坐标为 ，在以点P为圆心3为半径的圆上，到直线l： 的距离
的“ 点”的个数 ，求b的取值范围．【答案】（1）2
（2）8
（3）当 时，
（4） 时：当 时， ；当 时， ；当 时， ；
（5） 或
【分析】本题考查了新定义“ 点”的理解、直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式，解题的关键
是将“圆上到直线l的距离为d的点的个数”转化为“圆与到直线l距离为d的两条平行线的交点总数”，
通过分析圆与这两条平行线的位置关系（相交、相切、相离）确定交点个数．
（1）到直线l距离为d的点的轨迹是两条平行于l的直线 、l₂），点O到l₁、l₂的距离分别为 、
₁
；当 时，圆与其中一条直线相切 个交点），与另一条相离 个），结合 、 ，得
．
（2）当 时，圆与一条直线相切 个），与另一条相交 个），故 ．
（3）当 时，圆与两条直线都相交，需 且 ，即 ．
（4）当 时，l₁与l重合（点O到l₁的距离为 ， 到O的距离为 ；分 （与l₁相交2个，与
相离，共2个）、 （与 相交2个，与 相切1个，共3个）、 （与两条直线都相交，共4
个）讨论．
（5）先求点 到直线 的距离 ，到l距离为2的两条平行线到P的距离为 、；由 （交点总数 ，得 且 ，解得b的范围．
【详解】（1）解：到直线l距离为3的轨迹是两条平行线l₁、l₂，点O到l₁的距离为 ，到l₂的距离
为 ．当 时，圆与l₁相切 ，与l₂相离，故 ；
故答案为：2．
（2）当 时，圆与l₂相切 ，与l₁相交 个交点），总3个，故 ；
故答案为：8．
（3）当 时，圆与l₁、l₂都相交，需 且 ，故 ；
故答案为： ．
（4）当 时，l₁与l重合 到l₁距离 ，l₂到O距离 ．
若 ，圆与l₁相交 个），与l₂相离， ；
若 ，圆与l₁相交 个），与l₂相切 个）， ；
若 ，圆与两条直线都相交， ．
（5）直线l： ，点 到l的距离 ．到l距离为2的平行线到P的距离为 、
．
，
∵
圆与一条平行线相交 个），与另一条相离 个），即 且 ，
∴
解得 ，即 ，
，
∴
故b的范围为 或 ；答：b的取值范围是 或 ．
49．（2025·广东广州·模拟预测）某个学习小组在探究一个问题：如图，已知圆O半径为10，在圆周上取
B、D两点 ，延长 至点A，使 ，连结 ，作 交 于点E，探究
、 、 之间的关系，设 ， ， ．
(1)小明同学通过画图、测量后得到以下近似的数据：
6. 11. 1
4
8 2 5
3. 7.
2 5.6
4 5
6. 2.
8 4.4
6 5
猜想：y关于x的函数表达式，z关于x的函数表达式，并给出证明；
(2)如图2，已知 中， ， ， ，在 上截取一点，使 ，连结 ，求：
① 的值；
② D的值．
【答案】(1) ， ，见解析
(2)① ；②
【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是：
（1）延长 交圆O于点C，连接 ，证明 是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一性质得出
，然后利用线段的和差关系即可求解；
（2）①以A为圆心， 为半径画圆，圆A与 交于点D，作 ，由（1）求出 ，然后利用勾
股定理求出 ， 即可；②证明 ，得出 ，进而得出 ，然后利用正切定义求解即可．
【详解】（1）解：延长 交圆O于点C，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：① 以A为圆心， 为半径画圆，圆A与 交于点D，作 ，
由（1）知 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴
∵ ， ，
∴
∴ ；
②∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【经典例题八 圆的常用辅助线的作法】
50．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）如图， 为 的直径， 为 的弦， 于点 ，
是 的切线．
(1)求证：
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 的长是2 ．【分析】（1）连接 ，并延长 交 于点 ，由切线性质可知 ，利用直径所对的圆周
角为直角可得 ，进而证明四边形 是矩形，得出 ， ，由垂直平分弦的
直径平分这条弦所对的弧，得到结论；
（2）设 ，利用中位线定理可得 ，进在 中求出而在 利用勾股定理
x.，可求 ．
【详解】（1）证明：连接 ，并延长 交 于点 ，
为 的直径，
，
是 的切线，
，
又 ，
，
四边形 是矩形，
，
又 经过圆心O，
.
（2）设 ,
， ，
又
是 的中位线在 中 解得
在 中，
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理的应用，圆心角、弧、弦之间的关系定理，垂径定理及其推
论，掌握经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
51．（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）如图，在 中， ，以 为直径的半圆交斜边
于点 ， 为 的中点，连结 ， ．过点 作 于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连结 ，先由圆周角定理推论得出 ，则 ，再由直角三角形性质与
等腰三角形性质证得 ，即可 ，即可由切线的判定定理得出结论；
（2）先由勾股定理求得 ，然后证 ，得 ，代入条件即可求解．
【详解】（1）证明：连结 ，
为 的直径，，
，
在 中， 为 的中点，
，
，
，
，
，
为 的半径，
是 的切线；
（2）解：在 中， ， ，
由勾股定理得： ，
， ，
，
，即 ，
解得： ，
的半径为 ．
【点睛】本题考查切线的判定，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定
定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
52．（24-25九年级上·广西南宁·期中）小邕做数学题时遇到了如下问题：如图1， 是 的内接三
角形，直线l经过点A，点E是直线l上的一点，且 ．求证：直线l是⊙O的切线，小邕添
加了适当的辅助线后，得到了图2的图形，并利用它解决了问题．(1)请你根据小邕的思考，写出解决这一问题的过程；
(2)在图2中，作直径 ，连接 ，得到图3．若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）作直径 ，连接 ，根据圆周角定理得到 ， ，进而证明
，根据切线的判定定理证明结论；
（2）过点 作 于 ，根据含 角的直角三角形的性质求出 、 ，根据勾股定理求出 、
，进而求出 ，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】（1）证明：如图2，作直径 ，连接 ，
则 ，
∴ ，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴直线 是 的切线；
（2）解：如图3，过点 作 于 ，∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是切线的判定、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握经过半
径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
53．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）数学课上，老师给出这样一个题目：
如图1，已知 内接于 ，过点B的直线 与 相切．求证： ；
小明同学思考了片刻有了思路，做了这样的辅助线：过B作 的直径 ，连接 ．
(1)请按小明的做法完成证明．证明：过B作 的直径 ，连接 ．
(2)请利用题目中心结论，完成以下证明．
如图2，Q为 外一点，经过Q的直线交 于E、F．经过点Q的直线与 相切于点D．求证：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题属于圆的综合题，主要考查圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟
练掌握圆周角定理和切线的性质，利用相似三角形的性质求解是解答的关键．
（1）先根据圆周角定理和直角三角形的两个锐角互余得到 ，再根据切线性质得到
，进而利用同角的余角相等可得结论；
（2）连接 ，由（1）中结论得到 ，证明 得到 ，整理可得结
论．
【详解】（1）证明：过B作 的直径 ，连接 ，如下图，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵过点B的直线 与 相切，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图2，连接 ，由（1）知 ，
又∵ ，
∴ ，
，
．
54．（2025·广东广州·模拟预测）阅读理解：辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁，在众多类型的
辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，显得独特而隐蔽．
例如：在图(1)中， ，求证： ．(请写出证明过程)
证明：
方法运用：如图(1)已知 ， ， ，则∠CAD的度数为______．
方法拓展：
如图(2)在矩形ABCD中， ， ，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将 沿EF
所在直线折叠得到 ，连结 ，则 的最小值是______．
【答案】88°； ．
【分析】(1)同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，故∠BAC=2∠BDC．
(2)由AB=AC=AD，可得B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，然后由圆周角定理，证得
∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，继而可得∠CAD=2∠BAC．(3)当∠BFE=∠ ，点 在DE上，此时 的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知
，DE- 即为所求．
【详解】(1) 证明：以A点为圆心，AB为半径画圆，
∴AB=AC=AD，
∴B、C、D点都在圆A上，
∴∠DBC= ∠DAC，∠BDC= ∠BAC．
(2)解：∵ ，
∴B，C，D三点在以A为圆心，AB为半径的圆上，
∴∠CAD=2∠CBD， ，
∵∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，
∴∠CAD=2∠BAC=88°
∠CAD的度数为88°．
(3)如图，当∠BFE=∠ ，点 在DE上时，此时 的值最小，
根据折叠的性质△EBF≌△ ,
∴ ⊥ ，
∴ =EB，
∵E是AB边的中点，AB=4，
∴AE= =2，
∵AD=6，
∴DE= ，
∴ ．
的最小值是 ．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点 在何位置时， 的值最小，注意得到B,C,D在以A为圆心，AB为半径的圆上是解决问题的
关键．
55．（24-25九年级上·河北保定·期末）阅读与思考
直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了嘉嘉的重视，下面是嘉嘉的数学笔记，请仔细阅读
并完成相应的任务．
欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线.切线：几何上，切
线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线.平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切
线……
证明切线的常用方法：①定义法；②距离法（运用圆心到直线的距离等于半径）；③利用切线的判定定理
来证明．
添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直．
图1是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”然后带动磨
盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图2是一个“双连杆”，两个
固定长度的“连杆” ， 的连接点 在 上， ，垂足为 ，当点 在 上转动时，带动
点 ， 分别在射线 ， 上滑动．
(1)当点 恰好落在 上时， ，请判断此时 与 的位置关系，并说明理由；
(2)在图2中， 的半径为3， ，求 的长．
【答案】(1) 与 相切，理由见解析
(2)【分析】（1）连接 ，利用圆周角定理得到 ，进而得到 ，结合垂线性
质和等量代换得到 ，即可证明 与 相切；
（2）过点 作 于点 ，结合切线的性质证明 ，利用勾股定理得到 ，再结合
相似三角形性质求出 ， ，最后利用勾股定理求解，即可解题．
【详解】（1）解： 与 相切．
理由如下：如图12－2，连接 ，
点 恰好落在 上，
，
，
，
，
，
，
，
与 相切．
（2）解：如图12－2，过点 作 于点 ，
，
与 相切，，
，
由（1）可知： ， ，
，
，
，
， ， ，
，
，
， ，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题
的关键在于画出正确的辅助线．
56．（24-25九年级上·山东威海·期末）【阅读】
辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁．在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，显
得独特而隐蔽．
性质：如图①，若 ，则点 在经过 ， ， 三点的圆上．
【问题解决】
运用上述材料中的信息解决以下问题：
（1）如图②，已知 ．求证： ．（2）如图③，点 ， 位于直线 两侧．用尺规在直线 上作出点 ，使得 ．（要求：要有画
图痕迹，不用写画法）
（3）如图④，在四边形 中， ， ，点 在 的延长线上，连接 ，
．求证： 是 外接圆的切线．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】(1)作以 为圆心， 为半径的圆,根据圆周角性质可得;(2) 作以AB中点P为圆心， 为半径的
圆,根据圆周角定理可得；（3）取 的中点 ，则 是 的外接圆．由 ，可
得点 在 的外接圆上．根据切线判定定理求解.
【详解】（1）如图，由 ，可知:
点 ， ， 在以 为圆心， 为半径的圆上．
所以， ．
（2）如图，点 ， 就是所要求作的点．
（3）如图，取 的中点 ，则 是 的外接圆．由 ，可得点 在 的外接圆上．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
即 ．
∴ 是 外接圆的切线．
【点睛】考核知识点：多边形外接圆.构造圆，利用圆周角等性质解决问题是关键.
【经典例题九 圆中最值问题(含隐圆、阿氏圆)】
57．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在矩形 中， ， ，点 从点
出发沿 以 的速度向点 移动；同时，点 从点 出发沿 以 的速度向点 移动．
(1)几秒钟后 的面积等于 ；
(2)在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D恰好落在以点Q为圆心， 为半径的圆上？若存在，求
出运动时间；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)2秒或4秒(2)存在， 秒
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及割补法求三角形面积，本题关键在于设未知
数，找出等量关系，列方程求解．
（1）设运动 秒钟后 的面积为 ，利用割补法将 的面积用含x的式子表式出来，列方程，
解出x即可．
（2） 为半径的圆正好经过点 即为 ，即 ，根据勾股定理将 、 分别用x表
示出来，列方程求出x的值即可．
【详解】（1）解：设运动 秒钟后 的面积为 ，
则 ， ， ， ，
，
，
，
，解得： ， ．
答：运动2秒或4秒后 的面积为 ．
（2）假设运动开始后第 秒时，满足条件，则： ，
∵ ，
，
∴ ，
整理，得： ，解得： ，
∵ ，∴运动开始后第 秒时，点D恰好落在以点Q为圆心， 为半径的圆上．
58．（2025·湖北武汉·模拟预测）我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明没有圆，但解决问题时要
用到，这就是所谓的“隐圆”问题：
下面让我们一起尝试去解决：
(1)如图1， 中， ，P是 内部的一个动点，且满足 ，
则线段 长的最小值为________；
(2)如图2，在正方形 中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边 上移动，
连接 和 交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动．若 ，则线段 的最小值是
_______；
(3)如图3，矩形 中， ，点E，F分别为 边上的点，且 ，点G为 的中
点，点P为 上一动点，则 的最小值为多少？
【答案】(1)2
(2)
(3)4
【分析】（1）证明 ，得到点 在以 为直径的圆上运动，取 的中点 ，连接 ，
易得 ，进行求解即可；
（2）先证明 ，推出 为 ，取 的中点O，连接 ，斜边上的中线求出 的长，
根据两点之间线段最短得C，P，O三点共线时线段 的值最小，勾股定理求出 的长，再利用线段之
间的和差关系进行求解即可；
（3）易得G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于 的对称点 ，连接 ，交 于
P，交以D为圆心，以1为半径的圆于点G，此时 的值最小，最小值为 的长，勾股定理求出
的长，再利用线段之间的和差关系进行求解即可．【详解】（1）如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点P在以 为直径的 上，连接 交 于点P，此时 长度最小，
在 中，
∵ ，
∴ ==5，
∴ ．
∴ 最小值为2．
故答案为：2；
（2）如图，
∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边 上移动，
∴ ，在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
取 的中点O，连接 ，则 ，
根据两点之间线段最短得C，P，O三点共线时线段 的值最小，
在 中，根据勾股定理得，CO= = = ，
∴ ．
故答案为： ；
（3）如图，
∵ ，点G为 的中点，
∴ ，
∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，
作A关于 的对称点 ，连接 ，交 于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于点G，此时
的值最小，最小值为 的长；
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为4．
【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，圆周角定理，斜边上的中点等知识点，解题的
关键是确定动点的轨迹，根据轴对称和两点之间线段最短进行求解．
59．（2025·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知点 ，线段 轴于点 为平
面内一条线段，将点 绕点 旋转 后得到点 ．若点 到点 的距离为1，则称线段 为点 的
“隐圆线段”．
(1)若点 在 轴上时，点 的“隐圆线段”长为_____________；
(2)求点 的“隐圆线段”长的最大值；
(3)若点 的“隐圆线段”所在直线为 ，直接写出 的取值范围．
【答案】(1) 和
(2)3
(3)
【分析】（1）由点C在x轴上，且点C到点O的距离为1，得到 或 ．由中心对称得到点D
是线段 的中点，因此可得点D的坐标，根据两点间的距离公式即可求解；（2）连接 ，取 的中点 ，连接 ， ，则 ，由三角形中位线的性质得到
，因此点D在以点 为圆心，半径 的圆上运动，根据“一箭穿心”模型即可解
答；
（3）由（2）可知点D在 上运动，又直线 过点B，因此，过点B作 的切线，切点分别为
点M，N，设直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，则 ．根据相似三
角形的判定及性质，待定系数法分别求出 ， 即可解答．
【详解】（1）解：∵点C在x轴上，且点C到点O的距离为1，
∴ 或 ．
①当点C为 时，
∵点 绕点 旋转 后得到点 ，
∴点D是线段 的中点，
∵ ，
∵线段 轴于点 ，
∴ ，
∴ ．
②当点C为 时，
∵点 绕点 旋转 后得到点 ，
∴点D是线段 的中点，
∵ ，
∵线段 轴于点 ，∴ ，
∴ ．
综上所述，点A的“隐圆线段” 长为 或 ．
（2）解：连接 ，取 的中点 ，连接 ，
∵ ，
∴点C在以点O为圆心，半径为1的圆上运动，
∵点D是 的中点，点E是 的中点，
∴ ，
∴点D在以点 为圆心，半径 的圆上运动，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，
即点 的“隐圆线段”长的最大值为3．
（3）解：由（2）可知点D在 上运动，又点 的“隐圆线段” 所在直线为 ，
∴直线 过点B，
∴如图，过点B作 的切线，切点分别为点M，N，
设直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，
∴ ．
①连接 ，过点E作 轴，交 于点F，过点F作 轴于点G，
由（2）有 ， ，
∴在 中， ，
∵ ， 轴， 轴，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ 轴，
∴ ，
∵ 与 相切于点M∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴把点 ， 代入直线 的解析式 ，得
，解得 ．
②连接 ，过点E作 轴，交 于点H，交 于点K，∴ ， ， ，
∵ ， 是 的切线，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴∴ ，即 ，
∴把点 ， 代入直线 的解析式 ，得
，解得 ．
综上， ．
【点睛】本题考查中心对称图形的性质，两点间的距离公式，三角形中位线的性质，圆的定义，圆外一点
到圆上的点的最短距离，相似三角形的判定及性质，切线的性质，待定系数法等，综合运用相关知识是解
题的关键．
60．（2025·湖北武汉·模拟预测）小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添
加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．
【特例感知】
（1）如图①， 为半圆的直径， 为圆心， ， 为半圆上的两点，若 ， ，求
的值；
【类比迁移】
（2）如图2，在 中， ， ， ，点 在直线 的右侧，且满足 ，
请探究线段 最小值：
【问题解决】
（3）如图③，有一块矩形 型板材， 米， 米，由于工作需要，工人王师傅想在这块板
材上找一点 ，裁出 与 ，并满足 ， ．请问王师傅的设想可以实
现吗？如果可以，请帮他计算所裁得的 的面积；如果不能，请说明你的理由．【答案】（1） ；（2） ；（3）可以，7
【分析】（1）利用半圆直径所对圆周角为直角，得到 ，再依据同弧所对圆周角相等，将
转化为 ，结合三角函数定义求解．
（2）根据 的条件，构造以特定线段为直径的圆，利用圆的性质确定点 的轨迹，再通过相似
三角形、勾股定理等知识求出 的最小值．
（3）先根据三角形面积比推出 平分 ，再构造圆确定点 的位置，最后借助三角函数、三角形面
积公式等计算 的面积，判断设想是否可实现．
【详解】解：（1）如图 中，
∵ 是直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）如图 ，在 中， ， ， ，点 在直线 的右侧，且满足 ，
在 上截取 ，以 为直径作 ，
∵ ，
∴ 过点 ， ，
连接 交 于 ，连接 、 ，则 ，
∴ ，此时 取最小值，
过点 作 于 ，则 ，∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即线段 最小值为 ；
（3）存在．
理由：如图③中，如图②中，在 上取一点 ，使得 ，连接 ，以 为直径作 ，作
的平分线交 于点 ，即可实现设想
∵ ，
∴当点 在 上，且在直线 的右边时，满足条件 ，
过点 作 于点 ， 于点 ，延长 交 于点 ．
∵ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 平分 ，∴ ，
过点 作 于
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质（直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等 ）、三角函数的定
义与应用、三角形面积计算、相似三角形判定与性质以及最值问题求解．解题关键在于准确“化隐圆为显
圆”，即根据已知条件构造合适的圆，将分散的几何条件集中到圆上，利用圆的性质和相关几何知识解决
问题，同时要灵活运用三角函数、三角形面积公式等知识进行计算和推理．
61．（2025·广东广州·模拟预测）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点
A、B，则所有满足 的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故
称“阿氏圆”．如图①，在 中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，
求 最小值．第一步：如图②，连结圆心C与动点P；
第二步：以半径 为公共边，构造“母子”型相似 ．
第三步：计算 的长度，由 可得 ，即 ．
第四步： ，如图③，当A、P、M三点共线时 最小，此时
______．
【模型探究】如图④，在 中， ，D为 上一点，小明同学认为当 时，
的长是 长的一半，于是给出如下证明：
∵ ，
∴
证明过程缺
失
∴
∴
请补全缺失的证明过程．
【模型应用】如图⑤，在扇形 中， ，点P为扇形上一动点，则
的最小值为______．
【答案】【模型认知】 ；【模型探究】见解析；【模型应用】13
【分析】本题主要考查了圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，两点
之间，线段最短，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键．
模型认知：连结圆心C与动点P，以半径 为公共边，构造“母子”型相似 ，利用相似
三角形的判定与性质求得 ，则 当A、P、M三点共线时 最小，
利用勾股定理解答即可；
模型探究：利用相似三角形的判定与性质解答即可；
模型应用：延长 至点E使 ，连接 ，利用相似三角形的判定与性质得到 ，则，当点E，P，B在一条直线上时， 为线段 ，利用勾股定理解答即可得出
结论．
【详解】解：模型认知：连结圆心C与动点P，以半径 为公共边，构造“母子”型相似
，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ．
∴ ，
∴当A、P、M三点共线时 最小，如图，
∵ ，
此时 ．
故答案为： ；
模型探究：证明：∵ ，∴
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
模型应用：解：延长 至点E使 ，连接 ，如图，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴当点E，P，B在一条直线上时， 最短为线段 ，
∴ 的最小值 ．
∴ 的最小值为13．故答案为：13．
62．（24-25九年级上·广西南宁·期中）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边
形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们
把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．
(1)若平行四边形 是“婆氏四边形”，则四边形 是____________．（填序号）
①矩形；②菱形；③正方形
(2)如图1， 中， ，以 为弦的 交 于 ，交 于 ，连接 、 、 ．
其中， 交 于 ， ， ，若四边形 是“婆氏四边形”，求 的长．
(3)如图2，四边形 为 的内接四边形，连接 ， ， ， ， ， ，已知
．
①求证：四边形 是“婆氏四边形”；
②当 时，请直接写出 半径的最小值．
【答案】(1)③
(2) ；
(3)①见解析；② 半径的最小值为 ．
【分析】（1）根本圆内接四边形对角互补和平行四边形对角相等可得 ，从而可证明
四边形 为矩形，再根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可判断；
（2）根据垂径定理和圆周角定理可得 ， ，设 ，则 ，
，在 中解直角三角形即可；
（3）①根据圆周角定理即可得出 ，从而可得 ，继而证明结论；
②作 ，垂足分别为M，N，证明 ，设 ，则 ，
， ，在 中，根据勾股定理和二次函数的性质即可得出半径的最小值．
【详解】（1）解：如图，∵平行四边形 为 的内接四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴平行四边形 为矩形，
∵四边形 是“婆氏四边形”，
∴ ，
∴矩形 为正方形，
故答案为：③；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ， 为直径，
∴ ，
∵四边形 是“婆氏四边形”，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，则 ， ，
在 中，根据勾股定理，
，即 ，
解得 ，即 ；
（3）解：①设 相交于点E如图所示∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
又∵四边形 是 的内接四边形，
∴四边形 是“婆氏四边形”；
②如图，作 ，垂足分别为M，N，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
设 ，则 ， ， ，在 中，
，
当 时，取得最小值 ，即 半径的最小值为 ．
【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质、勾股定理、正方形的判定定理、二次函
数的性质等．（1）中能正确证明出四边形的一个角是 是解题关键；（2）中能正确表示出 的
三个边是解题关键；（3）中①正确利用圆周角定理是解题关键；②正确作出辅助线构造全等三角形是解
题关键．
63．（2025·四川乐山·模拟预测）某数学兴趣班研究锐角三角函数在代数与几何中的应用．
第一小组研究锐角三角函数在测量中的应用，如图①，同学们在观测点K处测得顶端P的仰角 ，
观测点与树的距离KH为m米，点O到地面的距离OK为h米，从而通过计算可得树高PH的值．请你根据
测量数据，写出PH=_______．（用含α、m、h的式子表示）
第二小组通过学习得知，当α为锐角时有： ， ，则关于锐角α的代数式
有最小值，请你写出当 ______°时，代数式的最小值为______．
第三小组通过对第一、第二小组的研究结果学习，进行综合研究如图②，半径为 的 与直线l相切于点
，P是 上的一个动点（不与点A重合），过点 作 ，垂足为 ，连接 ．设 ， ，
求出了 的最大值．请你书写出第三小组求解 最大值的过程．【答案】第一小组： ；第二小组： ， ；第三小组：见解析
【分析】本题考查了利用三角函数解直角三角形和配方法求最值，把实际问题转化成成几何图形求解是解
决本体的关键．
第一小组：根据四边形 是矩形， 即可解答；
第二小组：运用配方法，配成完全平方公式即可求出最小值；
第三小组：利用垂径定理和解三角形，可得 ， ，进而表示出
．再利用配方法求出最大值．
【详解】第一小组：由题意可知：四边形 是矩形，
∴ 米； 米， ，
∴
第二小组：
∵ ，
∴当 时，即 ，
的最小值为 ．
第三小组：解：连接 ，作
由 为切线，
设
在 中，
∴ ，
在 中，
∴
令
当 时，即 时， 取最大值
的最大值为1．
【经典例题十 圆的材料阅读理解型问题(新定义)】
64．（24-25九年级上·全国·单元测试）新定义如图，P为圆外一点， 交圆于点A，B， 交圆于点C，
D， 的度数为 ， 的度数为 ．
(1)求 的度数；
(2)如果我们把顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角，请你仿照圆周角定理“圆周角的度数等于
它所对弧的度数的一半”来概括出圆外角的性质；
(3)请你定义“圆内角”，并概括出圆内角的性质．
【答案】(1)
(2)圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半
(3)圆内角的定义：圆的两条弦在圆内相交所成的角叫做圆内角．圆内角的性质：圆内角的度数等于它和它的对顶角所对两弧的度数和的一半
【分析】本题主要考查了圆周角定理的应用以及弧度与圆心角的关系和探索性问题，根据已知探索方法进
行模仿变式进而得出新的规律是解题关键．
（1）首先连接 ，根据圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，即可求得 与 的度数，
继而求得答案；
（2）由（1）的证明方法可证得圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半．
（3）利用图形可以得出圆内角的度数等于它和它的对顶角所对两弧的度数和的一半，根据圆周角定理得
出 ， ，再利用三角形的外角性质得出答案即可．
【详解】（1）解：连接 ，
∵ 的度数为 ， 的度数为 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：圆外角的性质：圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半．
理由：连接 ，
∵圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，
∴ ， ，
∴ ，
∴圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半；（3）解：圆内角的定义：圆的两条弦在圆内相交所成的角叫做圆内角；
圆内角的度数等于它和它的对顶角所对两弧的度数和的一半．
证明：如图，延长 ，交圆于点D，延长 ，交圆于点E，连接 ．
∵ 是 的一个外角，
∴ ．
∵圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，
∴ ， ．
∴ ．
∴命题成立．
65．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦．
(1)如图 ， ， 是 的等垂弦， ， ，垂足分别为 ， 求证：四边形 是
方形；
(2)如图 ， 是 的弦，作 ， ，分别交 于 ， 两点，连接 求证： ，
是 的等垂弦．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形 是矩形，根据垂径定理得出 ，即
可判定矩形 是正方形；（2）连接 ，由圆心角、弦的关系可得 ，由圆周角定理可得 ，
，可得结论．
【详解】（1）证明：∵ ， 是 的等垂弦， ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ， 是 的等垂弦，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴矩形 是正方形；
（2）证明：设 交 于点 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 、 是 的等垂弦．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角的性质，圆心角、弦的关系，正方形的判定，新定义等垂弦，熟练
掌握垂径定理的定义是解题关键．
66．（2025·山西·模拟预测）阅读与思考下面是小明同学的读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
每个平面图形都有自己的最小覆盖圆
一本课外读物上看到下面的材料：
最小覆盖圆的定义：将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖圆．其中，能
完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．
例如：如图 ，以线段 为直径的圆记为 ，则 就是线段 的最小覆盖圆，理
由如下：在线段 的垂直平分线上取除点O外的任意一点 ，以 为半径作圆
，则 也是线段 的覆盖圆，根据垂线段最短可得， ，说明 是线段
的最小覆盖圆．
根据上面的知识，我对三角形的最小覆盖圆进行探究、证明，并得出
以下正确的结论：
直角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆；
锐角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆；
钝角三角形的最小覆盖圆是以它最长边为直径的圆．
利用小明的结论完成下面的任务：
(1)已知一个边长为 的等边三角形，则它的最小覆盖圆的面积为______；（结果保留 ）
(2)如图 ， 中 ， ， ，求 最小覆盖圆的半径；
【答案】(1) ；
(2) 最小覆盖圆的半径为 ．
【分析】本题考查了外接圆，解直角三角形，勾股定理，圆的面积，三角形内角和定理，等边三角形的性
质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）由题意得，锐角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆，如图，过 作 于点 ，过 作
于点 ，交于点 ，则 即为最小覆盖圆，半径为 ，由 是等边三角形，则， ，然后求出 长即可求解；
（ ）由三角形内角和定理可得 是钝角三角形， 则 最小覆盖圆为以 为直径的圆，过点
作 交 的延长线于点 ，得出 ，所以 ， ，设
，则 ， ，故有 ，求得 ，然后代入即可
求解．
【详解】（1）解：由题意得，锐角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆，如图，过 作 于点 ，
过 作 于点 ，交于点 ，
则 即为最小覆盖圆，半径为 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴覆盖圆的面积为 ，
故答案为： ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ 是钝角三角形，
∴ 最小覆盖圆为以 为直径的圆，
过点 作 交 的延长线于点 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，则 ， ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ 最小覆盖圆的半径为 ．
67．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）阅读下列材料，并回答问题．
[材料]自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的龙老师增加了一个习惯，就是在
每个新章节备课时都会查阅新课标，了解该章知识的新旧课标的变化，并在上课时告诉学生．他通过查阅
新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在学习完
《切线的性质与判定》后，龙老师布置了一道课外思考题：“已知：如图， 及 外一点 ．求作：
直线 ，使 与 相切于点 ”．班上小岩同学所在的学习小组经过探索，给出了如下的一种作图
方法：（1）连接 ，以 为圆心， 长为半径作大圆 ；（2）若 交小圆 于点 ，过点 作小圆
的切线与大圆 交于 两点（点 在点 的上方）；（3）连接 交小圆 于 ，连接 ，则
是小圆 的切线．
[问题](1)请问小岩同学所在的学习小组提供的作图方法是否正确？请你按照步骤完成作图（尺规作图，保留作图
痕迹），并说明理由．
(2)延长 交大圆 于 ，连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)作图方法正确；作图见解析；理由见解析
(2)
【分析】（1）作图方法正确，作出图形，如图所示，要证 是小圆 的切线，由图及“连半径、证垂
直”的方法，先根据条件判定 ，进而得到 ，即可确定
，从而得证；
（2）连接 ，如图所示，在 中， ， ，利用勾股定理得到
，再由垂径定理得到 ，结合 ，利用三角形中位线定理得到
，在 中，由勾股定理可得 ．
【详解】（1）解：小岩同学所在的学生习小组提供的作图方法正确，如图所示：
以上即为所求作的图形；
理由如下：
∵ 是小圆 的切线，
∴ ，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 为半径，
∴ 是小圆 的切线；
（2）解：连接 ，如图所示：
在 中， ， ，
∴ ，
∵ ， 为圆的半径，
，
，
∴ ，
∵ 为大圆 的直径，
∴ ，
在 中， ．
【点睛】本题考查圆综合，涉及切线证明、两个三角形全等的判定与性质、勾股定理、垂径定理、三角形
中位线的判定与性质等知识，读懂题意，作出图形，熟练掌握切线判定、垂径定理及勾股定理的运用是解决问题的关键．
68．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读与思考．
对几何图形的研究通常是从定义、性质、判定、应用四个方面进行的，小明借助这种研究过程与方法，在
以“数学世界里的风筝 筝形”为主题的数学实验课上开展了对“筝形”的探究实验活动．
【定义理解】
两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
如图 ，在四边形 中，因为 ， ，所以四边形 叫做“筝形” ．
【性质探究】
用测量、折纸等方法小明发现“筝形”有一组对角相等，对角线垂直，请你帮助小明用已学过的知识证明
他的猜想．
（1）已知：如图 ，在“筝形” 中， ， ．求证： ， ；
【性质应用】
（2）“筝形”又称偏菱形，对照菱形的面积的探索过程，探索“筝形” 的面积公式；
（3）内切圆是指与一个多边形的每条边都相切的圆，请用尺规作图作出“筝形”的内切圆．
【答案】（1）见解析（2） （3）见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的性质，作图 基本作图，掌握相关知识是解决问题
的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到 垂直平分 ，根据全等三角形的性质得到
（2）设 与 交于 ，由（1）知， ，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）由题意得，内切圆分别与四边形 的四条边相切．如图，作 的平分线，交 于点 ，
过点 作 的垂线交 于 ，以 为圆心， 为半径作圆，则 即为所求．
【详解】（1）证明： ， ，
垂直平分 ，
，
在 与 中，，
≌ ，
；
（2）解：设 与 交于 ，
由（1）知， ，
， ，
“筝形” 的面积 ；
（3）解：由题意得，内切圆分别与四边形 的四条边相切．
如图，作 的平分线，交 于点 ，
过点 作 的垂线交 于 ，
以 为圆心， 为半径作圆，
则 即为所求．
69．（24-25九年级上·山西大同·期末）阅读以下材料，并完成相应的任务．
定义：若三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段长的积等于这个点与该
边所对顶点之间的距离的平方，则称这个点为三角形中该边的“中顶点”．
例：如图（1），在 中，点 在 上，若 ，则点 为 中边
的中顶点．任务：
(1)如图（2）， 的三个顶点是 的正方形网格的格点（网格线的交点），请用无刻度的直尺作出
中 边的一个中顶点 ，且点 不是格点．
(2)如图（3）， 内接于 ，点 是 中 边的中顶点，连接 并延长，交 于点 ．
①求证：点 是 的中点．
②若 的半径为5， ， ， 与过点 的切线垂直，垂足为点 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 见解析；
① ②
【分析】（1）过点A作 的垂线交 与点D即可．根据 ，由相似三角形性质即可
得出．
（2）①连接 ，证明 ，由相似三角形的性质得出 ，再根据中顶点的定
义得出 ，进而可得出 ．
②连接 ，根据 ，得出 是 的直径，且为10，再根据勾股定理得出 ，再得出
，再根据正弦的定义即可求解．
【详解】（1）解：点 如图（1）所示．
（2）解：①证明：如图（2），连接 ．， ，
，
，
．
点 是 中 边的中顶点，
，
，
，
即点 是 的中点．
②如图（2），连接 ．
，
是 的直径，
．
由①可知点 是 的中点，
，
．
是 的切线，
，
．
，
．
【点睛】本题主要考查了作垂线，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形的计算等知识，
掌握“中顶点”的定义是解题的关键．
70．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）阅读与思考
下面是乐学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．【定义】顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角．例如，如图①， 与 相切
于点C， 是 的弦，则 和 都是 的弦切角．
【性质探究】弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
已知：如图②， 与 相切于点C，点D，E在 上，连接 ．求证： ．
证明：连接 并延长交 干点F，连接 ，如图③，
∵ 为 的直径，
∴ （依据），
∴ ．
…
任务一：上述证明过程中的依据是指______．
任务二：请补全上述证明过程．
任务三：在图①中，若 ， ，则 的半径为多少？请直接写出答案．
【答案】任务一：直径所对的圆周角是直角；任务二：见解析；任务三：
【分析】（1）利用圆周角定理的推论即可解决；
（2）圆切线的性质及通过根据同角的余角相等得到 ，再利用 说明 即可；
（3）先求出 ，得 ， ，即可解决．
【详解】解：任务一：连接 并延长交 干点F，连接 ，如图③，
∵ 为 的直径，
∴ （直径所对的圆周角是直角），
∴ ．
…
故答案为：直径所对的圆周角是直角；
任务二：证明：连接 并延长交 干点F，连接 ，如图③，
∵ 为 的直径，∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
任务三：
解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ,
由勾股定理得， ,
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质等知识点，
熟记知识点是解题的关键．
