文档内容
专题强化04：旋转、对称几何变换题型归纳
【题型归纳】
题型一：旋转的性质
题型二：旋转中的坐标问题
题型三：中心对称变换
题型四:旋转变换之线段问题
题型五：旋转变换之面积问题
题型六：旋转变换之角度问题
题型七：旋转与其他知识交汇问题
题型八：旋转的压轴问题
【题型探究】
题型一：旋转的性质
【例1】．（25-26九年级上·新疆阿克苏·期中）如图，在 中， ， ， ，将
绕点A顺时针旋转一定角度后，得到 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答的关键．
根据旋转的性质即可直接得出结果．
【详解】解：∵将 绕点A顺时针旋转一定角度后，得到 ， ，
∴ ，
故选：B．
【变式1】．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图， 是 的边 延长线上一点，连接 ，把 绕
点 逆时针旋转 恰好得到 ，其中 ， 是对应点，若 ，求 的度数．【答案】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的三要素．
由旋转得到旋转角 ，再由角度和差计算求解．
【详解】解：∵把 绕点A逆时针旋转 恰好得到 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【变式2】．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在 中， ， ． 将 绕点B
按逆时针方向旋转得 ，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求 的度数．
【答案】25度
【分析】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质，解题的关键是会确定旋转角．由旋转得
，通过等腰三角形及直角三角形可求 度数，进而求 的度数．
【详解】证明： 是由 旋转得到
， ，
，
题型二：旋转中的坐标问题
【例2】．（23-24九年级上·广东云浮·期末）已知线段 在平面直角坐标系中的位置如图所示，端点的坐标分别
为 ， 将线段 顺时针旋转 后得到 ，则点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，根据题意证 即可求解．
【详解】解：如图所示：
由题意得： ，
∵
∴
∵
∴
∴
∴点 的坐标为
故选：A．
【变式1】．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将 绕点 的坐标旋转
得到 ，设点 的坐标为 ，则点A的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用中心对称的性质可知，点C是 的中点，再根据中点坐标公式可得点A的坐标．
【详解】
解：由题知，点C是 的中点，
， ，
设 ， ， ．得 ， ．即 ．
故选：D．
【变式2】．（22-23九年级上·河南漯河·期中）如图，已知 三个顶点的坐标分别为 ， ，
，在给出的平面直角坐标系中：
(1)作出 绕点 顺时针旋转 后得到的 ；并直接写出 的坐标；
(2)作出 关于原点 成中心对称的 ；并直接写出 的坐标
【详解】（1）解： 绕点 顺时针旋转 ，如图所示，∴点 ．
（2）解：根据 关于原点 成中心对称的 ，作图如下，
原因原点的中心对称，则点 ， ， 与点 ， ， 的坐标关系是横纵坐标变为原来的相反数，
∴ ， ， ，
∴ ．
题型三：中心对称变换
【例3】．（25-26九年级上·河南周口·期中）已知点 和 关于原点对称，则 的值为
（ ）
A．1 B． C． D．5
【答案】B【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值．
利用关于原点对称的点的坐标特征，即横纵坐标均互为相反数，求出 和 的值，进而代入计算即可．
【详解】解：∵点 和 关于原点对称，
， ，
，
故选：B．
【变式1】．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判
断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一
个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这
个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选B．
【变式2】．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知点 与点 关于原点中心对称，则 点
的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点的坐标符号相反是解题
的关键．
根据关于原点对称的点横、纵坐标也互为相反数求解即可．
【详解】解：∵点 与点 关于原点中心对称，
∴ ，即 ，∴ ．
故答案为： ．
题型四:旋转变换之线段问题
【例4】．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知四边形 中， ， ， ，
， ， 绕B点旋转，它的两边分别交 ， （或它们的延长线）于E，F．当
绕B点旋转到 时，如图1，易证 ．（不用证明）
(1)当 绕B点旋转到 时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明；
(2)当 绕B点旋转到 时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段 ， ， 又有怎样
的数量关系？请给予证明．
【详解】（1）解：将 顺时针旋转 ，如图，
∵ ， ，
∴A与点C重合，
∴ ， ∵ ， ，
∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ；
（2）解：不成立，新结论为 ，
将 顺时针旋转 ，如图，∵ ， ，
∴A与点C重合， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式1】．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，等边三角形 ，边长为6，点D为 边上一点， ，
以D为顶点作边长为6的正方形 ，连接 ， ．将正方形 绕点D旋转，当 取最小值时，
的长为 ．
【答案】8
【分析】过点A作 于M，由等边三角形的性质得出 ， ，得出
，在 中，由勾股定理得出 ，当正方形 绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时， ，即此时 取最小值，在 中，由勾股定理得出 ，在
中，由正方形的边长及勾股定理即可得出 ．
【详解】解：过点A作 于M，
是等边三角形，边长为6，
，
，
，
，
，
在 中， ，
当点E在DA延长线上时， ，此时 取最小值，
在 中， ，
正方形 的边长为6，
，
在 中， ，
故答案为：8．
【变式2】．（23-24九年级上·广东东莞·期中）正方形 的边长为 ， ， 分别是 ， 边上的点，且
．将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ．
(1)求证： ；
(2)当 时，求 的长．【详解】（1）证明： ，
，
由旋转的性质可知， ， ，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设 ，
， ，
，
，
，
在 中，由勾股定理得：
，即 ，
解得： ，
则 ．
题型五：旋转变换之面积问题
【例5】．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）将两块斜边长度相等的等腰直角三角形板如图①摆放，如果把图
①中的 绕点C逆时针旋转 得 ，连接 ，如图②．下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形全等的判定方法一一进行判断即可得到答案．
【详解】解：∵ 和 是等腰直角三角形，且斜边相等，∴ ，
∴ (ASA) ，
故选项A正确；
根据旋转的性质可得 ，
故选项B正确；
∵ ， ， 并不一定相等，
∴ 不一定全等，
故选项C错误；
∵ ，
∴ ,
∵ ,
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
故选项D正确；
故选C．
【变式1】．（24-25九年级上·北京门头沟·期中）把边长为1的正方形 绕点 逆时针旋转 得到正方形
，边 与 交于点 ，则四边形 的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【详解】解：连接 ，如图，四边形 为正方形， ， ，
正方形 绕点 逆时针旋转 得到正方形 ，
点 在 上， ，
为等腰直角三角形，
而 ，
，
四边形 的面积 ．
故选C．
【变式2】．（22-23九年级上·河南安阳·期中）（1）如图1，在正方形 中，点 ， 分别在边 ， C
上，若 ，则 ， ， 之间的数量关系为________________；（提示：以点 为旋转中心，将
顺时针旋转90°）
解决问题：
（2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形， ， ， 是底边 上任意两点，且满足
，试探究 ， ， 之间的关系；
拓展应用：
（3）如图3，若把（1）中的正方形改为菱形 ， ，菱形的边长为 ， ， 分别为边 ， 上
任意两点，且满足 ，请直接写出四边形 的面积．
【详解】（1） ，理由如下：
如图，以点 为旋转中心，将 顺时针旋转 得 ，将 顺时针旋转 得 ，
， ， ，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
（2）如图，以点 为旋转中心，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ．
绕点 逆时针旋转 得到 ，
， ， ．
由题知， ， ，
． ．
．
， ．
．
是等腰直角三角形，
．
．，
．
（3） ．
如图，连接 ，过点 作 于 ，
四边形 是菱形， ，
， 是等边三角形，
， ，
，
，
，
是等边三角形， ，
，
题型六：旋转变换之角度问题
【例6】．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）如图， 中， ，将 绕点A逆时针
方向旋转 得到 ， 与 交于点G、F．(1)求 的度数；
(2)判断四边形 的形状，并说明理由．
【详解】（1）解：∵
∴ ，
∵将 绕点A顺时针方向旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ；
（2）四边形 是菱形，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵
∴
∴四边形 是平行四边形，且 ，
∴四边形 是菱形．
【变式1】．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）如图，在 中， ，点 为 边上一点
（不与点 重合），连接 ，将 绕点 逆时针旋转得到 ．
(1)若 ，写出旋转角及其度数；
(2)当 度数变化时， 与 之间存在某种不变的数量关系．请你写出结论并证明．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质得出旋转角为 ；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出 ， ，即
可求解；
【详解】（1）当 时，
，
∵ 旋转得到 ，其中 旋转到 .
∴旋转角为 ；
（2）∵ ，，
∵ 旋转得到 ，
，
，
即 ，
，
即 ，
；
【变式2】．（2023·四川德阳·中考真题）将一副直角三角板 与 叠放在一起，如图1， ，
， ， ．在两三角板所在平面内，将三角板 绕点O顺时针方向旋转 （
）度到 位置，使 ，如图2．
(1)求 的值；
(2)如图3，继续将三角板 绕点O顺时针方向旋转，使点E落在 边上点 处，点D落在点 处．设
交 于点G， 交 于点H，若点G是 的中点，试判断四边形 的形状，并说明理由．
【详解】（1）根据题意，得旋转角 ，∵ ， ，
∴ ，
故 ．
（2）根据题意，得旋转角 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形．
题型七：旋转与其他知识交汇问题【例7】．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，以 的斜边 为一边在 同侧作正方形 ，
设正方形的中心为O，连接 ．若 ， ，则正方形 的边长为 ．
【答案】
【分析】把 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，根据旋转的性质可得
， ，，然后判断出 是等腰直角三角形，根据等腰直
角三角形的性质求出 ，然后求出点A、C、O、B四点共圆，求出 ，然后求出
，判断出点C、 三点共线，过点A作 于F，根据等腰直角三角形的性质可
得 ，再求出 ，然后利用勾股定理列式求出 ，再根据正方形的性质求解即可．
【详解】解：如图，把 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，∵正方形的中心为O，
∴ ，
∵ ，
∴点A、C、O、B四点共圆，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴点C、 三点共线，
过点A作 于F，则 ，
∴ ，
在 中， ，
∴正方形 的边长 ．
故答案为： ．
【变式1】．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）将矩形 绕点A顺时针旋转 ，得到矩形
．
(1)如图，当点E在 上时．
①若 ，则 _____________°；
②求证： ；
(2)探究：当 为何值时， ？请你画出图形，并说明理由．
【详解】（1）解：① 四边形 是矩形，
，
由旋转得： ，
，
，，
故答案： ；
②由旋转可得：
，
，
，
，
又 ，
，
，
在 和 中
，
（ ），
，
又 ，
．
（2）解：如图，当 时，
则点G在 的垂直平分线上，
①当点G在 右侧时，取 的中点H，连接 交 于M，
，
，
四边形 是矩形，
，
垂直平分 ，
，
是等边三角形，，
旋转角 ；
②如图，当点G在 左侧时，
同理可得 是等边三角形，
，
旋转角 ．
题型八：旋转的压轴问题
【例8】．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点M、N分别在正方形 的边 上，且
，把 顺时针旋转一定角度后得到 ．
(1)填空： 绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到 ；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求正方形 的边长．
【详解】（1）解：在正方形 中， ，
又 顺时针旋转一定角度后得到 ，绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到 ,
故答案为：A，90；
（2）证明：由旋转的性质得： ，
四边形 是正方形，
，即 ，
，即 ，
，
，
在 和 中，
，
；
（3）解：设正方形 的边长为 ，则 ，
，
，
由旋转的性质得： ，
，
由（2）已证： ，
，
又 四边形 是正方形，
，
则在 中， ，
即 ，
解得 或 （不符题意，舍去）
故正方形 的边长为 ．
【变式1】．（2023·广东惠州·一模）如图1，正方形 的边长为 ，点 为正方形 边上一动点，过点 作
于点 ，将 绕点 逆时针旋转 得 ，连接 ．(1)证明： ．
(2)延长 交 于点 ．判断四边形 的形状，并说明理由；
(3)若 ，求线段 的长度．
【详解】（1）证明：由题意和旋转的性质可得： ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即： ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：四边形 是正方形，理由如下：
由（1）得： ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形；
（3）解：∵正方形 的边长为 ，
∴ ，
设正方形 的边长为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，在 中， ， ，
∴ ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
∴ ，
∴线段 的长度为 ．
【变式2】．（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图， 和 都是等腰直角三角形，
．
(1)【猜想】如图1，点 在 上，点 在 上，线段 与 的数量关系是______，位置关系是______；
(2)【探究】：把 绕点 旋转到如图2的位置，连接 ， ，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)【拓展】：把 绕点 在平面内自由旋转，若 ， ，当A， ， 三点在同一直线上时，
直接写出 的长．
【详解】（1）解：∵ 和 都是等腰直角三角形， ，
∴ ， ， ，
，∵ ， ，
故答案为： ；
（2）解：（1）中结论仍然成立，
理由：
由旋转知， ，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①当点E在线段 上时，如图3，过点C作 于M，
∵ 是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
，
，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
，
在 中，
；
②当点D在线段 上时，如图4，过点C作 于N，∵ 是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
，
，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
，
在 中，
；
综上， 的长为 或 ．
【专题强化】
一、单选题
1．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形 中，E为 边上的点，连接 ，将 绕点C顺
时针方向旋转 得到 ，连接 ，若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由旋转的性质得 ， ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
2．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，点E是边长为4的正方形 内部一点， ，将
按逆时针方向旋转 得到 ，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 得到 ，则点E在以 为直径的圆上，取 中点G，当 过点G时，
有最小值，由旋转的性质得到 ，则此时 也取最小值，即可解答．
【详解】解：在正方形 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点E在以 为直径的圆上，
取 中点G，连接 ，当 过点G时， 有最小值，又∵ 按逆时针方向旋转 得到 ，
∴ ，
∴此时 也取最小值，
∵ ， 为 的半径，即 ，
∴此时 ，
∴ ，
即 的最小值为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了角度的转化与判断点的轨迹，解题的关键是运用数学结合思想处理题给条件，从而得到点的
轨迹．
3．（2023·浙江湖州·一模）如图，矩形 绕点B旋转得到矩形 ，在旋转过程中， 恰好过点C，过点
G作 平行 交 ， 于M，N．若 ，则图中阴影部分的面积的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】A
【分析】根据旋转的性质和矩形的性质结合勾股定理求出 的长，再运用四边形 、 是平行四边形进行转换求出面积即可解答；
【详解】解：∵矩形 绕点 旋转得到矩形 ，
，
，
，
，
∴四边形 是平行四边形,， ，
∴四边形 是平行四边形，
，
∴阴影部分的面积 ，
故选：A
4．（22-23九年级上·福建福州·期中）如图，将 绕点 逆时针旋转一个角度 得到 ，点 的对应点
恰好落在 边上，且 ， ， 三点在同一条直线上，若 ，则旋转角 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 绕点 逆时针旋转一个角度 得到 ，可得 ，在 中，
根据三角形内角和定理，可得 ，从而算出旋转角 的度数．
【详解】∵ 绕点 逆时针旋转 得到 ，点 的对应点是 ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ， 三点在同一条直线上，
∴在 中， ，
即 ，∴ ，
解得 ．
∴旋转角 的度数是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的旋转变换，熟练掌握三角形内角和定理和旋转的性质是解本题的关键．
5．（22-23九年级上·天津武清·期中）如图，P为正方形 内一点， ，将 绕点C逆时针旋转得
到 ，则 的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据旋转的性质，旋转后的三角形 是等腰直角三角形，由勾股定理可求得
【详解】∵ 绕点C逆时针旋转得到 ，其旋转中心是点C，旋转角度是
∴ ,
∴ 是等腰直角三角形
∴
故选项是B．
【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形和旋转
的性质，得出三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键
6．（22-23九年级上·福建厦门·期中）如图，在边长为12的等边 中，D为边 上一点， ，点E是
上一动点，连接 ，将线段 绕点E顺时针旋转60°得到线段 ．当点F恰好落在边 上时，则
的面积是（ ）A．4 B． C．8 D．
【答案】D
【分析】先证明 ，再证明 ，最后用勾股定理三角形求出 的高即可求解．
【详解】解：如图，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，
在 中： ，
∴ ，故选：D．
二、填空题
7．（20-21九年级上·广东汕头·期中）如图，边长为1的正方形 绕点 顺时针旋转 到正方形 ，图
中阴影部分的面积为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，三角形的面积等知识点，能把不规则图形的面积转
化成规则图形的面积是解此题的关键．连接 ，根据旋转的性质和正方形的性质得出
， ， ， 三点共线， 三
点共线，根据勾股定理得求出 长，再分别求出 和 的面积即可求出阴影面积．
【详解】解：如图，连接 ， ，
正方形 绕点 顺时针旋转 到正方形 ， ，
点 三点共线， 三点共线，即点 在对角线 上，对角线 过点 ，
在 中， ，
，，
，
，
，
的面积 ，
的面积 正方形 的面积 ，阴影部分的面积 的面积 的面积
8．（23-24八年级下·四川成都·月考）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，
， ， ，将 绕点C顺时针旋转一定角度 ，如
果在旋转的过程中 有一边与 平行，那么此时 的面积是 ．
【答案】 或12
【分析】分两种情况画图讨论：如图1，当 时，过点B作 延长线于点F；当 时，过点B
作 延长线于点G，利用30度角 直角三角形即可解答．
【详解】如图1，当 时，过点B作 延长线于点F，
根据题意可知： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ；
如图2，当 时，过点B作 延长线于点G，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ 的面积
综上所述： 的面积是 或12．
故答案为： 或12．
10．（22-23九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ，
，线段 绕点 旋转一定的角度后与线段 重合 ， 均为格点 ，则旋转中心 点的坐标为 ．
【答案】 ，
【分析】画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】解：平面直角坐标系如图所示，作 、 的垂直平分线交于点 ，旋转中心是 点， ， ．故答案为 ， ．
【点睛】本题考查坐标与图形变化 旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
11．（2023九年级·辽宁抚顺·学业考试）如图， 中， ，将 绕点 逆时针旋转
到 的位置，当 时，连接 ，则 的度数为 ．
【答案】 /75度
【分析】根据旋转得出 ， ，得出等腰三角形，利用三角形的内角和计算即可．
【详解】解：∵ 中， ， ， ，
∴ ，
∵ 绕点C逆时针旋转到 的位置，
∴ ， ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是直角三角形和旋转，解题的关键是旋转前后的线段长度不变，旋转的角度相等．
三、解答题
12．（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）如图，点E是正方形 内一点，将 绕点A顺时针旋转至
，点E的对应点为点F．(1)若 ， ，求 的度数．
(2)连接 ，若 ，求线段 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）证明 即可求解；
（2）先证明 ，再利用勾股定理求解即可
【详解】（1）解∶ ，
，
绕点 顺时针旋转至 ，
，
；
（2） 绕点 顺时针旋转至 ，点 的对应点为点 ，
旋转至 的位置，旋转角为 ，
，
．
【点睛】本题考查旋转的性质、正方形的性质、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关
键是灵活运用所学知识解决问题。
.
13．（21-22九年级上·河北廊坊·期末）如图， 中， ，D为 内一点，连接 ，
将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，连接 ．
(1)求证： ；(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由旋转的性质可知 ， ，从而可求 ，进而可证
，即得出 ；
（2）设 相交于点F，则 ．由等边对等角结合三角形内角和定理可求出 ，从而可
求出 ，进而可得 ．
【详解】（1）证明：由题意可知 ， ，
∴ ，即 ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，设 相交于点F，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识．解答
此题的关键是要明确：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋
转前、后的图形全等．
14．（2022·湖北·模拟预测）【模型建立】
（1）如图1，在正方形 中，点E是对角线上一点，连接 ， ．求证： ．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形 中，点E是对角线上一点，连接 ， ．将 绕点E逆时针旋转 ，交 的延长线于点F，连接 ．当 时，求 的长．
【模型迁移】
（3）如图3，在菱形 中， ，点E是对角线上一点，连接 ， ．将 绕点E逆时针旋转
，交 的延长线于点F，连接 ， 与 交于点G．当 时，判断线段 与 的数量关系，并
说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） ，理由见解析．
【分析】（1）利用SAS证明即可；
（2）先证 ,再利用勾股定理求解；
（3）先证 ,再利用等边三角形的判定性质证明即可．
【详解】（1）证明：如图1中，∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：如图2中，设 交 于点J．
由（1）知， ，，
∵EF是 绕点E逆时针旋转 得到，
∴ ，
在 中， ；
（3）解：结论： ．
理由：如图3中，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
是 绕点E逆时针旋转 得到的，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
15．（21-22九年级上·广东广州·期中）如图，在 中， ， ，将 绕点B按逆时针方
向旋转 ，得到 ，连接 ， 交于点F．(1)求证： ；
(2)求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据条件证出 ，即可得证．
（2）根据条件求出 的度数，然后根据四边形 内角和求出 的度数，最后用
的度数即可．
【详解】（1）
解：证明：∵ 绕点B按逆时针方向旋转 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ．
（2）
解：由旋转可得： ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了图形的旋转、全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识点，充分利用旋转性质是解题关
键．
6．（21-22九年级上·天津南开·期中）把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A
按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角α（0°＜α＜360°）．（Ⅰ）当DE⊥AC时，旋转角α＝ 度，AD与BC的位置关系是 ，AE与BC的位置关系是 ；
（Ⅱ）当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；
（Ⅲ）当旋转角α＝ 时，△ABD的面积最大．
【答案】（Ⅰ） ；垂直；平行；（Ⅱ） ；（Ⅲ） 或
【分析】（Ⅰ）根据题意画出图形，由等腰直角三角形的性质和 即可求出旋转角 的度数，再利用角度
之间的关系求出 ，即可得到 与 的位置关系，再根据平行线的判定即可求出 与 的位置关
系；
（Ⅱ）利用全等三角形的判定得出 ≌ ，从而得出 ，再根据角之间的关系得出
，从而得出 的度数；
（Ⅲ）由题意可知，点 在以点 为圆心， 长为半径的圆周上运动，在 中，当以 为底边，点 到
的距离最大时， 的面积最大，即 时 的面积最大，从而求出旋转角的度数．
【详解】解：（Ⅰ）如图所示，
∵ 为等腰直角三角形
∴
∵
∴
∴
∵ 为等腰直角三角形
∴ ，
∴
∴旋转角
∵ ，
∴
∴
∴ 与 的位置关系是垂直
∵ ,
∴
∴
∴ ∥
（Ⅱ）如图所示∵ ，
∴
∵ 与 为等腰直角三角形
∴
在 与 中
∴ ≌
∴
∵
∴
∴
（Ⅲ）如图3、图4所示
∵ 绕点 按逆时针方向旋转
∴点 在以点 为圆心， 长为半径的圆周上运动
∴当以 为底边，点 到 的距离最大时， 的面积最大
∴当 时 的面积最大
∴旋转角 或 时 的面积最大
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角的判定与性质，熟练掌握旋转的性质以
及全等的判定，根据题意画出相应图形是解答此题的关键．
