文档内容
专题强化05：二次函数的实际应用大题归纳
【题型归纳】
题型一：图形问题
题型二：拱桥问题
题型三：销售问题
题型四：投球问题
题型五：喷水问题
题型六：增长率问题
题型七：图形运动问题
【题型探究】
题型一：图形问题
1．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，某校准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线 表示墙面，已知
， 米， 米）和总长为 米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场 （细线表示篱笆，小
型农场中间 也是用篱笆隔开），点D在线段AB上，设 的长为x米．
(1)请用含x的代数式表示 的长；
(2)若要求所围成的小型农场 的面积为 平方米，求 的长；
(3)求小型农场 的最大面积．
2．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃 ，苗圃的一面靠墙（墙的
最大可用长度为 ）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，并在如图所示的两处各
留 宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为 ，设苗圃 的一边 长为 ．
(1)用含x的代数式表示苗圃靠墙一边 的长是__________ ；
(2)若苗圃 的面积为 ，求x的值；
(3)苗圃 的面积能否为 ？若能，请求出x的值；否则请说明理由．
题型二：拱桥问题
3．（23-24九年级上·河南南阳·期末）【综合与实践】小东在复习二次函数时，遇到这样一个问题：
如图1，一个横截面为抛物线形的公路隧道，其底部宽 ，最大高度 ．车辆双向通行，规定车辆必须在中
心线两侧、距离道路边缘 的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于 的空隙．你能否根据这些要
求，建立适当的平面直角坐标系，应用已有的函数知识，确定通过隧道车辆的高度限制？
如图2，小东以 点为原点，地面 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系，
请你帮小东解决问题：
(1)求出这条抛物线的函数解析式，并注明自变量 的取值范围；
(2)求出通过隧道车辆的高度限制应为多少 ？
(3)老师说：隧道检修过程中，计划搭建一个由矩形 的三条边 组成的“支撑架”，使 两点在
抛物线上， 两点在地面 上，如图3所示．为了筹备材料，需求出这个“支撑架”三根木杆 、 的
长度之和的最大值是多少，请你帮忙计算一下．4．（23-24九年级上·山东泰安·期末）《综合与实践》拱桥形状设计．拱桥是桥梁家族中的重要一员。拱桥跨度大，
造型优美灵活，可雄伟壮观，可小巧玲珑。拱桥按桥拱的形状可分为圆弧拱挢、抛物线拱桥和悬链线拱桥，
有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽 ，当水位上升3m时，水面宽 ．按如图所示建立平
面直角坐标系，
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)有一条船以 的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥 时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上
涨 ，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点 时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安
全通过此桥？
题型三：销售问题
5．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产
并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不
高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电
子产品的利润为S（万元）．
(1)求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式；
(2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润＝总售价﹣总成本﹣研发费用）；
(3)公司决定每销售1件该产品就捐赠m元 给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣
除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围．
6．（2024·湖北恩施·模拟预测）学校购买一批钢笔和笔记本奖励给 名获奖学生，获得一等奖的学生奖励 支钢
笔，获得二等奖的学生奖励 本笔记本，设获得一等奖的人数为 （人） ．已知购买 支钢笔和 本笔记本共 元，购买 支钢笔和 本笔记本共 元．
(1)钢笔和笔记本的单价分别为多少元？
(2)购买钢笔超过 支时，每增加 支，单价降低 元，若购买奖品的金额为 元，求获一等奖的学生人数；
(3)当获一等奖人数为多少时，购买奖品的金额最少？并求出最少金额．
题型四：投球问题
7．（2024·河南·模拟预测）掷实心球是河南中招体育考试素质类选考项目之一．王阳同学查阅资料了解到实心球
从出手到落地的过程中，其竖直高度y（单位： ）可近似看作水平距离x（单位： ）的二次函数．他利用先进
的高速抓拍相机记录了某次投掷后实心球在空中运动的过程，经测量发现，当x=2与x=6时实心球在同一高度，
当 时 ，当 时 ，根据上述数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，王
阳发现其图象是抛物线的一部分．
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)此次投掷过程中，实心球在空中的最大高度是 ．
(2)求满足条件的抛物线的解析式．
(3)根据中招体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于10 时，
即可得满分15分．王阳在此次投掷中是否得到满分？请说明理由．
8．（2024·安徽合肥·模拟预测）体育课上，同学们在老师的带领下，设计了一种抛小球入箱的游戏．如图，以水
平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，小球从点P处抛出 ，小球的运动轨迹为抛物线L：．无盖木箱的截面图为矩形 ，其中 ， ，且 在x轴上， ．
已知当小球到达最高点时，高度为 ，与起点的水平距离为 ．
(1)求抛物线L的表达式．
(2)请通过计算说明该同学抛出的小球能否投入箱内．
(3)若该小球投入箱内后立即向右上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且最大高度可达 ，则
该小球能否弹出箱子？请说明理由．
题型五：喷水问题
9．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆 垂直于
地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降
杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O
的距离为多少米．
10．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图1，某喷泉公司生产的可升降式喷头，喷出的水柱形状呈抛物线，如
图2，以圆形水池中心O为原点，水平方向为 轴，坚直方向为 轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，
喷头 的坐标为 ．(1)当水柱满足到水池中心水平距离为3米时，即 时，水柱达到最大高度5米，求第一象限内水柱的函数表
达式；
(2)若圆形水池的半径为7米，在（1）的条件下喷出的水柱是否会落在水池外（不考虑水柱落到水面后造成的迸
溅），请通过计算说明．
题型六：增长率问题
11．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个
14元，标价为每个20元．
(1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元
的价格售出，求商城每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出
10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大
利润是多少？
12．（2021·重庆沙坪坝·一模）中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，
我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住
了120间，总营业收入28000元．
（1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？
（2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，
将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了
a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值．
13．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，在 中， ， ， ，动点 从点
开始沿边 向点 以 的速度移动（不与点 重合），动点 从点 开始沿边 向点 以 的速度移动（不与点 重合）．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发；
(1)求出 的面积 随出发时间 的函数解析式；
(2)求经过多少秒，四边形 的面积最小？最小值是多少？
14．（23-24九年级上·天津河西·期末）如图，在菱形 中， ， ，动点P从点B出发，以1单
位长度/秒的速度沿折线 运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线 运动到点
D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设 的面积为y，运动时间为x秒．
(1)当点P运动到 的中点，求此时x的值和 的面积；
(2)①当 时，求y与x之间的函数关系式；
②当 时，求y与x之间的函数关系式；
(3)求在运动过程中 面积的最大值．（直接写出结果即可）【专题强化】
15．（23-24九年级上·山东济南·期末）某超市以每件 元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于
进价且不高于 元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关
系，部分数据如下表所示：
销售单价x/元 … …
每天销售数量y/件 … …
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)若该超市每天销售这种文具获利 元，则销售单价为多少元？
(3)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
16．（23-24九年级下·内蒙古赤峰·期中）掷实心球是某市初中毕业升学体育考试选考项目之一．如图1是一名男
生掷实心球情境，实心球行进路线呈拋物线形状，实心球行进最高点为 ，如图2所示．掷出时，测得起点处高
度 ，竖直高度 ，水平距离 ．根据某市初中毕业升学体育考试评分标准，投掷过程中，
实心球从起点到落地点的水平距离大于等于 时，即可得满分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
17．（23-24九年级下·北京·期中）某超市销售一种商品，成本是每千克30元，规定每千克售价不低于成本，经市
场调查，每天的销售量y（千克）与售价（元）满足一次函数关系，当售价每千克50元时，销售量y为80千克；
当售价每千克60元时，销售量y为60千克．
(1)求y月x之间的函数表达式；
(2)设该商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润=收入-成本）并求当售价为多少时，利
润为1600元．
18．（23-24九年级下·江西九江·期中）足球作为世界第一运动的地位，是其他运动项目都无法撼动的，在一次训练中，小鹏同学在距离球门12米的点O处起脚射门，即 米，已知足球的运动路线是抛物线，当足球飞行
过程中，距起脚点O的水平距离为8米时，可达到最高点，最高点距离地面4米，已知球门MN为标准高度2.44
米，建立直角坐标系如图所示，点O为坐标原点．
(1)求足球运动路线的函数解析式．
(2)计算并判断足球能否射门成功（不考虑其他因素）．
(3)若射门路线的形状及其最大高度均保持不变，小鹏同学带球向自己的正后方移动一定的距离后再朝球门方向起
脚射门，刚好使得足球经过点N正下方的40厘米处破门而入，求移动的距离．
19．（23-24九年级下·福建福州·期中）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与
售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 …
月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 …
该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
(1)求：三月份每件产品的成本是多少万元？
(2)四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份
下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关
于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．
20．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，
已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售
量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销
售利润最大？最大利润是多少？
21．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，为探究锅珠在斜面的滚动距离s（单位：m）与滚动时间t（单位：
s）之间的关系式，测得如下表所示数据：
滚动时间 0 0.5 1 1.5 2
滚动距离 0 3
(1)经计算，发现s与t满足二次函数关系，请直接写出这个函数解析式；
(2)在斜面顶端每隔 就释放一颗钢珠．
①当斜面足够长时，第1颗钢珠出发多长时间后会和第2颗钢珠相距3米？
②若斜面长13米，则斜面上同时最多有多少颗小钢珠？
22．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活
动，如图1所示，他在会场的两墙 、 之间悬挂一条近似抛物线 ，如图2所示，已知墙 与
等高，且 、 之间的水平距离 为8米．(1)如图2，两墙 、 的高度是 米，抛物线的顶点坐标为 ；
(2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙 距离
为3米，使抛物线 的最低点距墙 的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离．
23．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤作为一边，用总长为 的
围网在水库中围成了如图所示的两块矩形区域；已知岸堤的可用长度不超过 ，设 的长为 ，矩形区域
的面积为 ．
(1)求y与x之间的函数解析式，并求自变量x的取值范围；
(2)当 的长度是多少时，矩形区域 的面积y取得最大值，最大值是多少？
24．（23-24九年级上·浙江·期中）杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，
每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于38元，在销售过程中发现该商品每
周的销售量 （件）与销售单价 （元）之间满足一次函数关系；当销售单价为32元时，销售量为36件；当销售单价为34元时，销售量为32件．
(1)请求出 与 的函数关系式；
(2)设该网店每周销售这种商品所获得的利润为 元，
①写出 与 的函数关系式；
②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？
25．（23-24九年级上·浙江温州·期中）根据以下线索，探索完成任务．
如何绿色环保的达到利润最大化？
中国某大型工厂销售一种化工品，其每吨利润m万元与天数x天满足关系 ．经市
场部调研后发现，这种化工品的销售情况如下：
素
材 时间x（天） 第1天 第2天 第5天 第7天 第10天 ……
1
日销售量y（吨） 3 3.2 3.8 4.2 4.8 ……
素
第20天时，厂长发现此化工品日销售量趋于稳定，为保证每天都能售完，将第21天起的日生产量控制在
材
6.8千克．
2
任
确定销
务 利用学过的函数知识，选择一种模型来确定y与x的函数关系式．
售模型
1
任
利润最
务 求本月（30天）的日利润W万元哪一天达到最大，最大值为多少？
大化
2
任 第2个月开始，该工厂引入新技术对化工污染进行处置，使得每吨成本增加a万元，但售价保
绿色生
务 持不变．假设日销售量和上月对应天数的日销售量相同，前20天的日销售额W万元随着时间
产
3 x的增大而增大，求a的取值范围．
26．（22-23九年级上·河南南阳·期末）消毒洗手液与百姓生活息息相关，某药店的消毒洗手液很畅销．已知该消
毒洗手液的进价为每瓶22元，经市场调查，每天洗手液的销售量y（瓶）与销售单价x（元/瓶）之间满足一次函
数关系，部分数据记录如表所示：x（元/瓶） 22 24 26 27
y（瓶） 90 80 70 65
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；（不需要写自变量x的取值范围）
(2)若该药店每天想从这批消毒洗手液的销售中获利325元，又想尽量给顾客实惠，问这批消毒洗手液每瓶的售价
为多少元？
(3)该药店上级主管部门规定，消毒洗手液的每瓶利润不允许高于进价的 ，设这种消毒洗手液每天的总利润为
w元，那么售价定为多少元时该药店可获得的利润最大？最大利润是多少元？
27．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，一小球从点A处以4米/秒的速度水平匀速抛出，下落过程中水平方向速
度不变，忽略空气阻力，点M是下落路线的某位置，点A，点M的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成
正比，且 秒时， 米．
(1)求h关于t的函数表达式．
(2)已知A点的离地高度 为 米，求小球的落地位置P点与A点的水平距离 ．
28．（22-23九年级上·吉林·期末）一名身高为 的篮球运动员甲在距篮筐（点B）水平距离 处跳起投篮，篮
球准确落入篮筐，已知篮球的运动路线是抛物线，篮球在运动员甲头顶上方 处（点A）出手，篮球在距离篮
筐水平距离为 处达到最大高度 ，以水平地面为x轴，篮球达到最大高度时的铅直方向为y轴，建立如图
所示的平面直角坐标系．
(1)求篮球运动路线（抛物线）的函数解析式；(2)求篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度是多少米？
29．（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图①，排球场长为 ，宽为 ，网高为 ．某校排球队员站在底
线O点处向正前方发球，球从点O的正上方 的C点发出，运动路线是抛物线的一部分（如图②），当球运
动到最高点A处时，高度为 ，即 ，这时水平距离 ．以直线 为x轴，直线 为y轴，
建立平面直角坐标系．
(1)求球运动的高度 与水平距离 之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）
(2)根据比赛规则，发球过网，使其落在对方区域的地面上且不出界即为有效发球．请判断这次发球是否为有效发
球（即能否过网？是否出界？），并说明理由．
30．（23-24九年级上·吉林白城·期末）如图，在 中， ， ．动点P从点A出发，沿
方向以 的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿 方向以 的速度向终点A运动．以
为一边向上作正方形 ，过点Q作 ，交 于点F．设点P的运动时间为 ，正方形
和 重叠部分图形的面积为 ．(1)当点D落在 上时，x的值为______．
(2)当点D落在 上时，求x的值．
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
31．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）为保持室内空气的清新，某车间的自动换气窗采用以下设计，窗子的形状
是六边形 ，它可以看作是由一个矩形和等腰梯形组成的．通风口是一个倒立的等腰 ，其顶点固
定在矩形底边AB的中点O上，横杆 在 和 两侧移动且保持与底边AB平行．经测量， ，AB
与DE之间的距离为2米， 米， 米， ， ．
(1)设等腰 的底边上的高为x，结合图1和图2分别表示 并写出x的范围；
(2)横杆 在两侧滑动时， 有没有最大值？若有，请求出；若没有，说明理由．
