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2025-2026学年人教版数学九年级上学期期中复习压轴题型专练
【28个高频常考题型 共56题】
讲义简介：
同学你好，该份讲义针对 2025-2026学年上学期期中考试制作。考察范围为人教版九年级上
册第21章-第24章知识内容，精选近两年全国各地名校常考、易错、压轴类题型，结合常考
易错类型题，精心优选38个题型，题目难度偏上，适合提优拔尖同学考前复习使用，非常有
助于提升考试适应性，提高解题能力，掌握答题技巧。相信你在正式考试中取得满意成绩！
题型1 解一元二次方程...................................................................2
题型2 —元二次方的根与系数的关系.......................................................2
题型3 实际问题与一元二次方程...........................................................3
题型4 y=ax²+bx+c的图象与性质..........................................................4
题型5 根据二次函数的图象判断式子符号...................................................5
题型6 已知抛物线上对称的两点求对称轴...................................................5
题型7 根据二次函数的对称性求函数值.....................................................6
题型8 线段周长问题（二次函数综合）.....................................................7
题型09 面积问题（二次函数综合）........................................................8
题型10 角度问题（二次函数综合）........................................................9
题型11 特殊三角形问题（二次函数综合）.................................................10
题型12 特殊四边形（二次函数综合）.....................................................12
题型13 抛物线与x轴的交点问题.........................................................14
题型14 求x轴与抛物线的截线长.........................................................14
题型15 图象法解一元二次不等式.........................................................15
题型16 坐标与旋转规律问题.............................................................16
题型17 线段问题（旋转综合题）.........................................................17
题型18 面积问题（旋转综合题）.........................................................18
题型19 角度问题（旋转综合题）.........................................................19
题型20 坐标系中的动点问题（不含函数）.................................................20
题型21 中心对称图形规律问题..........................................................21
题型22 已知两点关于原点对称求参数.....................................................22题型23 垂径定理的推论与应用...........................................................23
题型24 圆周角定理及应用...............................................................24
题型25 点与圆的位置关系...............................................................25
题型26 切线定理的判定与性质...........................................................25
题型27 正多边形和圆的综合问题.........................................................26
题型28 弧长和扇形面积.................................................................28
题型1 解一元二次方程
1．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）（1）计算：(π−2) 0+|−6)+
(1) −1
−2×
❑√3
5 2
（2）解方程：x2−4x+1=0
2．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）用合适的方法解下列方程
(1)2(3x−2) 2−32=0 (2)2x2+7x−4=0；
(3) x2−6x+4=0 (4)3x2−1=4x．
题型2 —元二次方的根与系数的关系
3．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2−7x+10−m2=0．
(1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根：
(2)若此方程的两实数根x ，x 满足x2+x2=33，求实数m的值．
1 2 1 2
4．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）嘉淇准备完成题目：解方程：x2+x−20=0．发现系数“□”印刷不清楚．
(1)她把“□”猜成4，请你解方程x2+4x−20=0；
(2)她妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果有一个是2．”通过计算说明原题中“□”是几；
(3)若此方程两个实根都是整数，直接写出“□”中所有可能的正数之和．
题型3 实际问题与一元二次方程
5．（25-26九年级上·湖南常德·期中）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，
2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和
3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
(1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
(2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，
这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这
种台灯售价应定为多少元？
6．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）某水果超市第一次花费2200元购进甲、乙两种水果共350
千克．已知甲种水果进价每千克5元，售价每千克10元；乙种水果进价每千克8元，售价每千克12元．
(1)第一次购进的甲、乙两种水果各多少千克？(2)由于第一次购进的水果很快销售完毕，超市决定再次购进甲、乙两种水果，它们的进价不变．若要本
次购进的水果销售完毕后获得利润1840元，甲种水果进货量在第一次进货量的基础上增加了2m%，售价
比第一次提高了m%；乙种水果的进货量为100千克，售价不变．求m的值．
题型4 y=ax²+bx+c的图象与性质
7．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−1，与x
轴的一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间，其部分图象如图，则下列结论：①b<0；②4ac−b2<0；③
a−b+c<0；④3a+c<0；⑤ak2+bk≤a−b（k为任意实数）；⑥若(−3,y ),(1,y )是抛物线上两点，
1 2
则y >y ．正确结论的个数是（ ）
1 2
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（25-26九年级上·吉林·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2−2x+c与x轴交
于A，B两点，动点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m,m+1，其中m<1，已知点A的坐标为(−1,0)．
(1)求此抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当点P与点Q恰好关于抛物线对称轴对称时，设抛物线的顶点为点E，求△PEQ的面积；
1
(3)当此拋物线在点P与点Q之间的部分（包含点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标之差为 时，直接
3
写出m的值．
题型5 根据二次函数的图象判断式子符号
9．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标
为x ，x ，与y轴正半轴的交点为C，−10；④a+b>0
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称
轴为直线x=1．有下列5个结论：①abc>0；②a−b+c<0；③4a+2b+c>0；④3a+c>0；⑤
n(an+b)>a+b，（n为实数且n≠1）其中正确的结论有 ．
题型6 已知抛物线上对称的两点求对称轴
1
11．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）已知二次函数y=− x2+x+c的部分图象如图所示．
4
(1)求该抛物线与x轴的另外一个交点坐标和c的值．
(2)将该抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，直接写出平移后抛物线的解析式并说
明点(−2,5)是否在平移后的抛物线上．
12．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线y=ax2−bx(a≠0)经过点(6,0)．
(1)求该抛物线的对称轴；(2)点A(x ,y )和B(x ,y )分别在抛物线y=ax2−bx和y=x2−x上（A，B与原点都不重合）
1 1 2 2
1
①若a= ，且x =x ，比较y 与y 的大小；
6 1 2 1 2
6 y x x
②当 2= 2 时，若 2 是一个与x 无关的定值，求a与b的值．
y x x 1
1 1 1
题型7 根据二次函数的对称性求函数值
13．（23-24九年级上·山西长治·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，函数y与自变量x的部
分对应值如表：
x … −1 0 1 2 …
y … 0 −3 −4 −3 …
(1)当x=3时，y=____________；
(2)求二次函数的表达式；
(3)若抛物线上两点 的横坐标满足 ，则 ____________0（填“ ”“
A(x ,y ),B(x ,y ) x >x >1 y −y > <
1 1 2 2 1 2 1 2
”或“=”）．
14．（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知抛物线y=x2−4mx+4m2−1．(1)求此抛物线的顶点的坐标；
(2)若点 ， 均在抛物线上，求线段 的长度；
P(2m+1,y ) M(x ,y ) PM
1 B 1
(3)若这条抛物线经过点 ， ，且 ，求 的取值范围．
P(2m+1,y ) Q(2m−t,y ) y 0)与抛物线的另一个交点为M，若∠MCB=2∠ABC，求点M的坐标．20．（24-25九年级上·广东汕头·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−5,0)，B(−1,0)两
点，与y轴交于点C(0,5)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上一点，点Q是平面内任意一点，当以A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形时，
求点P的坐标；
(3)过点B的直线交直线AC于点M，连接BC，当直线BM与直线AC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直
接写出点M的坐标．
题型11 特殊三角形问题（二次函数综合）
21．（24-25九年级上·重庆大足·期末）如图1，抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A(−5，0)和点B，交
y轴于点C(0,−5)．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若点P是线段AC上的一动点，作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，当PQ最大时，在抛物线对称
轴上找一点M，使QM+AM的值最小，求出此时点M的坐标；
(3)若点P在直线AC上的运动过程中，是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的
坐标；若不存在，请说明理由．
22．（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图，直线y=−x+n与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，
抛物线y=−x2+bx+c经过A，B两点，点E(m,0)是线段OA上的一个动点（不与点O和点A重合），过点
E作ED⊥x轴，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接PB．
(1)求抛物线解析式；
(2)当线段PD的长度最大时，求点P的坐标；
(3)若线段BD和PD为等腰三角形PBD的腰，求此时点E的坐标．题型12 特殊四边形（二次函数综合）
23．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，已知抛物线 ，与 轴交于 ，
L:y=ax2+bx+c(a>0) x A B
两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3OA，点A(−1,0)．
(1)求抛物线L的函数表达式；
(2)若抛物线L的顶点为D，抛物线的对称轴交直线BC于点E，点P为直线DE右侧抛物线上一点，点Q在
直线BC上，是否存在以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点Q的坐标，若不
存在，请说明理由．
24．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x+4与x轴交于点A，1
与y轴交于点B，抛物线y=− x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C，D为抛物线上的一个
2
动点，连接BC，BD，AD．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点D在直线AB上方时，求△ABD面积的最大值；
(3)当点D在y轴右侧时：
①连接CD，当△BCD的面积是△OBC面积的一半时，直接写出点D的坐标______；
②设E(1,m)是抛物线对称轴上一动点，当A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合
条件的m的值．题型13 抛物线与x轴的交点问题
25．（25-26九年级上·广东·期中）如图是二次函数 的部分图象，有下列结论：①
y=ax2+bx+c(a≠0)
方程ax2+bx+c=0的两个根是x =−3，x =2；②3a+c>0；③a−b−2 y 2c；④如果OB=OC，则a=−1．其中正确的结论有 ．
1 2 1 2
题型14 求x轴与抛物线的截线长
27．（24-25九年级上·全国·阶段练习）二次函数y=−x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，则AB
的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．528．（2025·浙江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 ．
y=ax2−2ax+c(a>0)
(1)当a=c时，
①求抛物线的顶点坐标．
②将抛物线向下平移m个单位(m>0)，若平移后的抛物线过点(0,−8)，且与x轴两交点之间的距离为6，
求m的值．
(2)已知点M(2,2n+1)，N(−1,3n+2)在抛物线上，且c<0，求n的取值范围．
题型15 图象法解一元二次不等式
29．（25-26九年级上·新疆克孜勒苏·阶段练习）已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点
A(−1,0),C(0,3)．
(1)求二次函数的解析式：
(2)根据图象，直接写出当y≤0时，x的取值范围．30．（25-26九年级上·山东日照·阶段练习）小明同学学习二次函数后，对函数 研究．
y=−(|x)−2) 2+1
在经历列表、描点、连线步骤后得到如下的函数图象，请根据函数图象回答下列问题：
(1)观察研究
①方程 的解为________．
−(|x)−2)
2+1=−3
②关于x的方程 有四个实数根时a的取值范围是____
−(|x)−2)
2+1=a
(2)综合应用：当函数 的图象与直线 也有三个交点时，求出b的值．
y=−(|x)−2) 2+1 y=x+b
题型16 坐标与旋转规律问题
31．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，射线OB是第一象限的角平
分线，线段OB=2❑√2，将△OAB绕原点顺时针旋转，每次旋转45°，则第2025次旋转结束后，点B的对
应点的坐标为（ ）A． B． C． D．
(−2，−2) (2❑√2，0) (0，−2❑√2) (2，2)
32．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在平面直角坐标系中，将△AOB绕点A顺时针旋转
到△AC B 的位置，点O、B分别落在点C 、B 处，点B 在x轴上，再将△AC B 绕点B 顺时针旋转
1 1 1 1 1 1 1 1
到△A C B 的位置，点C 在x轴上，将△A C B 绕点C 顺时针旋转到△A C B 的位置，点A 在x
1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2
轴上，依次进行下去……，若点A(3,0),B(0,4)．则点B 的坐标是 ．
2026
题型17 线段问题（旋转综合题）
33．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知正方形ABCD，P是正方形ABCD内一点．若
PA=❑√2，PB=2，将△BPA绕点B顺时针旋转至△BEC处，此时点A、P、E三点正好在同一直线上．
(1)求∠APB的度数；
(2)求PC的长；
(3)求△BPC的面积．34．（2025·安徽池州·二模）已知：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=9．点D是边AC
上一点且AD=6，点E是边AB上的动点，线段DE绕点D逆时针旋转90°至DF，连接EF，CF．
（1）如图2，当点E与点A重合时，线段BF= ．
（2）点E运动过程中，线段CF的最小值是 ．
题型18 面积问题（旋转综合题）
35．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知△ABC中，∠ACB=90°,AB=25,BC=20，将
△ABC绕着点C顺时针旋转，得到△MNC．
(1)如图1，当点M落在AB边上时，求线段BM的长；(2)如图2，当△ABC绕着点C顺时针旋转到△MNC的位置时，连接AM、AN、BM、BN．
①判断线段AM与BN的位置关系并说明理由；
②求AN2+BM2的值；
③在△ABC的旋转过程中，直接写出△ACN的面积与△BCM的面积之和的最大值为________．
36．（24-25九年级上·广西钦州·期末）综合与实践．
【问题初探】（1）如图1，在△ABC中，BA=4，BC=6，BD为AC边上的中线，求BD的取值范围．
解答这个问题，我们可以将△ABD绕点D旋转180°，得到△CED，则BD的取值范围可解．请作出
△CED并直接写出BD的取值范围；
【问题解决】（2）如图2，P为等边三角形内一点，满足PB=1，PA=❑√2，PC=❑√3，试求∠BPA的大
小（提示：将△BPA绕点B顺时针旋转60°）；
【问题拓展】（3）如图3，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD边上的点，且满足∠EAF=45°，
AB=2，BE+DF=❑√3，求△AEF的面积．
题型19 角度问题（旋转综合题）
37．（24-25八年级下·福建福州·期末）把边长为5的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形
AB′C′D′，边BC与D′C′交于点E，则四边形ABED′的周长是（ ）A．5+5❑√2 B．10+❑√2 C．15❑√2−5 D．10❑√2
38．（24-25七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）将一副直角三角板ABC和DEF如图放置，此时F，B，E，
C四点在同一条直线上，点A在边DF上，其中∠ABC=∠≝=90°，∠EDF=30°，∠BAC=45°．将
图中的三角板DEF绕点A以每秒10°的速度，按顺时针方向旋转一定的角度α° (0°
2 2 2
44．（22-23九年级下·浙江金华·阶段练习）对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向
上平移2个单位，这种点的运动称为点A的斜平移，如点P(2,3)经1次斜平移后的点的坐标为(3,5)，已
知点A的坐标为(2,1)．(1)分别写出点A经1次，2次斜平移后得到的点的坐标．
(2)如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C．
①若A、B、C三点不在同一条直线上，判断△ABC是否是直角三角形？请说明理由．
②若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为(8，7)，求出点B的坐标及n的值．
题型23 垂径定理的推论与应用
45．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，一座拱桥呈圆弧形，它的跨度AB=60m，拱
高PD=18m．
(1)求圆弧所在圆的半径OP的长；
(2)当水位上涨至跨度只有30m时，必须采取紧急措施，若水位上涨至离拱顶4m，即PE=4m，此时是否
需采取紧急措施？
46．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，一条隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围
成的，隧道宽BC=10米，矩形部分高AB=3米，抛物线的最高点E离地面OE=6米，按如图建立以BC所
在直线为x轴，OE所在直线为y轴的直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)该隧道内设双车道，现有一辆货运卡车高4.5米、宽3米，这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？请说明理
由．
(3)在（2）的条件下，若将隧道横截面的“抛物线”部分看成“圆弧”，E为弧AD的中点，其余条件均
不变，此时，卡车还能顺利通过吗？请说明理由．
题型24 圆周角定理及应用
47．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，
MD恰好经过圆心O，连接MB．
(1)若CD=16,BE=4，求⊙O的直径；
(2)若∠D=2∠M，求∠D的度数；
(3)若弦CD分⊙O为5:7的两部分，点F在⊙O上，求弦CD所对的圆周角∠CFD的度数．
48．（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与
点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接EC，DE．(1)若CD=1，BD=2，求DE的长；
(2)如图2，在Rt△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，且∠ADC=45°，线段AD,BD,CD之间
满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论：
(3)如图3，已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且∠ADC=45°，求证：AD+BD=❑√2CD．
题型25 点与圆的位置关系
49．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB是⊙O的直径，点D是
⊙O上的一点，连接BD，CD，若∠ABC=30°，则∠D=（ ）
A．100° B．110° C．115° D．120°
50．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图， 在平面直角坐标系中，C(0,4)，A(3,0)，⊙A半
径为2，P为⊙A上任意一点，E是PC 的中点，则 OE 的最小值是（ ）
如
3 7
A．1 B． C．2 D．
2 2题型26 切线定理的判定与性质
51．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径的⊙O交
1
AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ= ∠DOQ．
2
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)若AQ=AC,AD=6时，求BP的长．
52．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，
边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，
⊙F与y轴相交于另一点G．
(1)求证：BC是⊙F的切线；
(2)若点A、D的坐标分别为A(0,−1)，D(2,0)，则⊙F的半径为______；
(3)在（2）的条件下，求CE的长．题型27 正多边形和圆的综合问题
53．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，⊙O的半径为R，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，
四边形EFGH是正方形．
(1)求∠OGF的度数；
(2)求正六边形与正方形的面积比．
54．（2025·浙江杭州·三模）已知，正方形ABCD和它的外接圆⊙O．(1)如图1，若点E在弧AB上，F是DE上的一点，且DF=BE=2，过点A作AM⊥DE，AM=1．求
⊙O的半径；
(2)如图2，若点E在弧AD上，过点A作AM⊥BE，试探究此时线段BE、DE、AM之间的关系．请写出
你的结论并证明；
(3)如图3，在正方形ABCD中，CD=❑√2，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP
的距离．
题型28 弧长和扇形面积
55．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，已知扇形OAB，在其内部作一个菱形ODCE，其中点D ，E
分别在OA，OB上，点 C 在AB上．若OA=2，∠AOB=60°，则图中阴影部分的面积为（ ）
π ❑√3 π 2❑√3 2π 2❑√3 2π ❑√3
A． − B． − C． − D． −
3 3 3 3 3 3 3 3
56．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在△ABC中，AC=BC，以AB为直径作⊙O，与AC
相交于点D．连接OC，与⊙O相交于点E．(1)如图1，连接DE，求∠ADE的度数；
(2)如图2，若点D为AC的中点，且AC=6，求D´E的长．
