专题21.3一元二次方程与韦达定理（强化）（原卷版）_初中数学人教版_9上-初中数学人教版_07专项讲练_题型分层练九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版）

专题 21.3 一元二次方程与韦达定理 【例题精讲】 【例1】已知关于 的一元二次方程 ． （1）求证：不论 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根为 ， ，且 ，求 的值． 【例2】已知 ， 且 ．则 ． 【例3】一元二次方程 的根 ， 分别满足以下条件，求出实数 的对 应范围． （1）两个根同为正根； （2）两个根均大于1； （3） ．【题组训练】 一．韦达定理的直接应用（共14小题） 1．已知关于 的方程 有两个实数根 ， ． （1）求实数 的取值范围； （2）若 ， 满足 ，求实数 的值． 2．阅读材料：若关于 的一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ， ．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ， ． （2）类比应用：已知一元二次方程 的两个根分别为 、 ，求 的值． （3）思维拓展：已知实数 、 满足 ， ，且 ，求 的 值．3．已知关于 的方程 的两根分别是 ， ，且满足 ，则 的 值是 ． 4．若 ， 是方程 的两个实数根，则代数式 的值等于 A．2022 B．2026 C．2030 D．2034 5．已知关于 的一元二次方程 ． （1）求证：无论 为何实数，方程总有两个不相等的实数根： （2）若该方程的两个实数根 ， ，满足 ．求 的值． 6．关于 的一元二次方程 有实数根． （1）求 的取值范围； （2）如果 ， 是方程的两个解，令 ，求 的最大值．7．已知关于 的一元二次方程 ． （1）求证：不论 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根为 ， ，且 ，求 的值． 8．关于 的一元二次方程 有实数根． （1）求 的取值范围； （2）如果 ， 是方程的两个解，令 ，求 的最大值．9．已知关于 的方程 ． （1）求证：无论 为何实数，方程总有实数根． （2）如果方程有两个实数根 ， ，当 时，求出 的值． 10．已知关于 的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为 、 ，且 ，求 的值．11．关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． （1）求 的取值范围． （2）设出 、 是方程的两根，且 ，求 的值． 12．关于 的方程 ． （1）求证：无论 为何值，方程总有实数根． （2）设 ， 是方程 的两个根，记 ， 的值能为 2吗？若能，求出此时 的值；若不能，请说明理由．13．已知关于 的方程 有两个正整数根 是正整数）． 的三边 、 、 满足 ， ， ．求： （1） 的值； （2） 的面积． 14．设 是不小于 的实数，关于 的方程 有两个不相等 的实数根 、 ， （1）若 ，求 值； （2）求 的最大值．二．用韦达定理构造一元二次方程（共10小题） 15．请写出一个以 和 为根的一元二次方程 ． 16．写出一个以3和 为根的一元二次方程是 ． 17．已知实数 ， 满足 ， ，且 ，且 的值为 A． B． C． D． 18．如果 ， 是两个不相等实数，且满足 ， ，那么 等于 A．2 B． C． D．6 19．已知 ， ，且 ，则 ． 20．已知实数 ， 满足等式 ， ，则 的值是 ． 21．若 ， ，且 ， ，则 ． 22．已知 ， ，且 ，则 的值为 ． 23．若 ，且有 ， ，则 ． 24．已知 ， 且 ．则 ． 三．根的分布情况（共14小题） 25．已知方程 有一正一负实根，求实数 的取值范围．26．已知方程 有两个负根，求 的取值范围． 27．若方程 有一正实根和一负实根，则 的取值范围是 ． 28．方程 的根的情况，下列结论中正确的是 A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 29．已知方程 ． （1）若方程在 和 内各有一个实根，求实数 的取值范围； （2）若方程有一个根小于1，另一个根大于1，求实数 的取值范围； （3）若方程在 内有两个实数根，求实数 的取值范围．30．一元二次方程 根的情况是 A．无实数根 B．有一个正根，一个负根 C．有两个负根 D．有两个正根 31．已知关于 的方程 ． （1）不解方程，判断方程根的情况，并说明理由； （2）如果该方程有一个根大于0，求 的取值范围． 32．关于 的方程 有两个不相等的实数根 ， ． （1）求 的取值范围． （2）若 ，试说明此方程有两个负根． （3）在（2）的条件下，若 ，求 的值．33．已知关于 的一元二次方程 ． （1）请判断这个方程的根的情况，并说明理由； （2）若这个一元二次方程有一个实根小于0，求 的取值范围． 34．一元二次方程 的根 ， 分别满足以下条件，求出实数 的对应范 围． （1）两个根同为正根； （2）两个根均大于1； （3） ．35．已知关于 的一元二次方程 ． （1）请判断这个方程的根的情况，并说明理由； （2）若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求 的取值范围． 36．已知：关于 的方程 ． （1）请判断这个方程根的情况； （2）若该方程的一个根小于1，求 的取值范围．37 ． 关 于 的 方 程 ： ① 和 关 于 的 一 元 二 次 方 程 ： ② 、 、 均为实数），方程①的解为非正数． （1）求 的取值范围； （2）如果方程②的解为负整数， ， 且 为整数，求整数 的值．38．关于 的一元二次方程 有两个不相等且非零的实数根，探究 ， ， 满足的条件． 小华根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小华的探 究 过 程 ， 第 一 步 ， 设 一 元 二 次 方 程 对 应 的 二 次 函 数 为 ； 第二步：借助二次函数图象．可以得到相应的一元二次方程中 ， ， 满足的条件，列 表如下： 方程两根的情况 对应的二次函数的大致图象 ， ， 满足的条件 方程有两个不相等的负实根 ① 方程有两个不相等的正实根 ② ③ （1）请帮助小华将上述表格补充完整； （2）参考小华的做法，解决问题： 若关于 的一元二次方程 有一个负实根和一个正实根，且负实根大于 ，求实数 的取值范围．