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专题 21.1 一元二次方程
目录
一元二次方程的定义.........................................................................................................................1
一元二次方程项数系数.....................................................................................................................2
一元二次方程含参.............................................................................................................................4
一元二次方程的解.............................................................................................................................5
直接开平方法.....................................................................................................................................6
配方法.................................................................................................................................................8
一元二次方程判别式.......................................................................................................................11
含参求根的辨别式...........................................................................................................................12
根的辨别式综合运用.......................................................................................................................13
因式分解法.......................................................................................................................................16
十字相乘...........................................................................................................................................17
根与系数的关系...............................................................................................................................19
一元二次方程的定义
一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
【例1】下列方程中，不是一元二次方程的是
A． B． C． D．
【解答】解： ．根据一元二次方程的定义， 是一元二次方程，那么 不符合题
意．
．根据一元二次方程的定义， 是一元二次方程，那么 不符合题意．
．根据一元二次方程的定义， 不是一元二次方程，那么 符合题意．．根据一元二次方程的定义， 是一元二次方程，那么 不符合题意．
故选： ．
【变式训练1】下列方程中是一元二次方程的是
A． B． C． D．
【解答】解： ．由 ，得 ，那么 不是一元二次方程，
故 不符合题意．
．根据一元二次方程的定义， 是一元二次方程，故 符合题意．
．根据一元二次方程的定义， 不是一元二次方程，而是分式方程，故 不
符合题意．
．根据一元二次方程， 不是一元二次方程，故 不符合题意．
故选： ．
【变式训练2】下列是一元二次方程的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、当 时，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意；
、它符合一元二次方程的定义，故该选项符合题意；
、化简后它不含有二次项，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意；
、是分式方程，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意．
故选： ．
【变式训练3】下列方程是关于 的一元二次方程的是
A． B． C． D．
【解答】解： ．该方程是分式方程，故本选项不合题意；
．当 时， 不是关于 的一元二次方程，故本选项不合题意；
．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；、化简后不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选： ．
【例2】已知关于 的方程 是一元二次方程．
（1）求 的值；
（2）解该一元二次方程．
【解答】解：（1） 关于 的方程 是一元二次方程，
，
解得 ；
（2）方程为 ，
即 ，
， ， ，
，
故原方程无解．
【变式训练1】已知方程 是关于 的一元二次方程，求 的值．
【解答】解： 方程 是关于 的一元二次方程，
且 ，
解得： ．
【变式训练2】已知关于 的方程 ，试问：
（1） 为何值时，该方程是关于 的一元一次方程？
（2） 为何值时，该方程是关于 的一元二次方程？
【解答】解：（1）由题意，得
，
解得 ，当 时，该方程是一元一次方程；
，解得 ，
当 时，该方程是一元一次方程；
，解得 ，
时，该方程是一元一次方程；
（2）由题意，得
且 ，
解得 ，
当 时，该方程是关于 的一元二次方程．
【变式训练3】关于 的方程 能否为一元二次方程？若能，求
出 的值；若不能，请说明理由．
【解答】解：若关于 的方程 是一元二次方程，
则 ，
无解，
关于 的方程 不能为一元二次方程．
一元二次方程项数系数
一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式
．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中 叫做二次
项， 叫做二次项系数； 叫做一次项； 叫做常数项．【例3】把一元二次方程 化成一般形式，正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
即 ，
故选： ．
【变式训练1】一元二次方程 的一次项系数、二次项系数、常数项的和是
A．1 B．8 C．7 D．2
【解答】解：关于 的一元二次方程 的一次项系数、二次项系数、常数项分
别为4、1和 ．
所以一元二次方程 的一次项系数、二次项系数、常数项的和是 ．
故选： ．
【变式训练2】方程 化成一般形式后，二次项系数为正，其中一次项系数，常
数项分别是
A．4， B．4，1 C． ， D． ，1
【解答】解： 化成一元二次方程一般形式是 ，
它的一次项系数是 ，常数项是 ．
故选： ．
【变式训练3】把方程 化成 的形式，则 ， ， 的值分别
为
A．1， ，2 B．1，7， C．1， ，12 D．1， ，10【解答】解： ，
，
，
，
则 ， ， ，
故选： ．
一元二次方程含参
【例4】若关于 的方程 为一元二次方程，则 满足
A． B． C． D．
【解答】解： 方程 为一元二次方程，
，
解得 ．
故选： ．
【变式训练1】若 是关于 的一元二次方程，则 的值为
A．3 B． C． D．
【解答】解：由题意可知： ，
解得： ，
故选： ．
【变式训练2】若方程 是关于 的一元二次方程，则 的值为
A．1 B． C． D．不存在
【解答】解：由题意得： ，且 ，
解得： ，
故选： ．【变式训练3】已知关于 的方程 是一元二次方程，则
A． B． C． D．
【解答】解： 关于 的方程 是一元二次方程，
，
解得 ，
故选： ．
一元二次方程的解
一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有
一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元
二次方程的根．
【例5】已知 为方程 的根，那么 的值为
A． B．0 C．2022 D．4044
【解答】解： 为方程 的根，
，
，
原式
．
故选： ．
【变式训练1】若 是 的一个根，则 的值是A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【解答】解： 是 的一个根，
，
，
．
故选： ．
【变式训练2】已知 是方程 的一个根，则 的值为
A． B．2022 C．2021 D．无法计算
【解答】解： 是方程 的一个根，
，
即 ， ，
则 ．
故选： ．
【变式训练3】已知 是一元二次方程 的一个根，则 的值为
A． B．2021 C．2020 D．2022
【解答】解：把 代入方程 得 ，
所以 ，
所以 ．
故选： ．一元二次方程与三角形
【例6】已知关于 的方程 ，其中 是方程的一个根．
（1）求 的值及方程的另一个根；
（2）若 的三条边长都是此方程的根，求 的周长．
【解答】解：（1）把 代入方程得 ，
解得 ，
原方程为 ，
，
， ，
故它的另一个根是1；
（2）由题意知，三角形的三边中至少有两条边相等，则有下列两种情形：
①三边相等，边长为1，1，1；或3，3，3，
那么三角形的周长是3或9；
②仅有两边相等， ，
三角形的边长只能为3，3，1，
那么三角形的周长是7；
由①、②知，三角形的周长可以是3或7或
【变式训练1】已知 是关于 的方程 的一个实数根，并且这个方
程的两个实数根恰好是等腰三角形 的两条边长．
（1）求 的值；
（2）求 的周长．
【解答】解：（1）把 代入方程 得 ，
解得 ；
（2）方程化为 ，解得 ， ，
，
等腰三角形 的腰长为4，底边长为2，的周长为 ．
【变式训练2】已知关于 的方程 ．
（1）判断方程根的情况；
（2）若两根异号，且正根的绝对值较大，求整数 的值；
（3）若等腰 的一边长为3，另两边的长恰好是方程的两个根，求 的周长．
【解答】解：（1） △ ，
方程有两个实数根；
（2） ，
所以 ， ，
两根异号，正根的绝对值较大，
，
整数 的值为 ；
（3）当 时，三角形三边为2、2、3，则三角形的周长为 ；
当 时，三角形三边为2、3、3，则三角形的周长为 ．
综上所述，三角形的周长为7或
【变式训练3】已知2是关于 的方程 的一个根，而这个方程的两个根恰
好是等腰 的两条边长．
（1）求 的值；
（2）求 的周长．
【解答】解：（1）把 代入方程得 ，解得 ；
（2）当 时，原方程变为 ，解得 ， ，
该方程的两个根恰好是等腰 的两条边长，且不存在三边为2，2，6的等腰三角形
的腰为6，底边为2，
的周长为 ．直接开平方法
一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
【例7】方程 的解为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：方程 ，
开方得： 或 ，
解得： ， ．
故选： ．
【变式训练1】一元二次方程 的根是
A．4 B． C． D．16
【解答】解： ，
，
，
故选： ．
【变式训练2】解方程 ．
【解答】解： ，
，
，，
， ．
【变式训练3】解方程： ．
【解答】解： ，
，
，
，
， ．
【例8】解方程： ．
【解答】解：方程： ，
开方得： 或 ，
解得： ， ．
【变式训练1】解方程： ．
【解答】解： ，
或 ，
所以 ， ．
【变式训练2】用适当的方法解一元二次方程： ．
【解答】解： ，
所以 ， ．【变式训练3】解方程： ．
【解答】解： ，
所以 ， ．
配方法
（1）将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种
解一元二次方程的方法叫配方法.
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）把原方程化为 的形式；
（2）方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边;
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
（4）把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
（5）如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果
右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
【例9】一元二次方程 配方后可化为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，
，
故选： ．
【变式训练1】把一元二次方程 配方后，下列变形正确的是A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，
，
故选： ．
【变式训练2】方程 经配方后，可化为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
则 ，即 ，
故选： ．
【变式训练3】下列配方中，变形正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：
，
错误．．
错误．
．
正确．
错误．
故选： ．
【例10】用配方法解一元二次方程： ．
【解答】解：方程整理得： ，
配方得： ，即 ，
开方得： ，解得： ， ．
【变式训练1】解一元二次方程： ．
【解答】解： ，
，
，
则 ，即 ，
，
， ．
【变式训练2】用配方法解方程： ．
【解答】解： ，
，即 ，
或 ，
， ．
【变式训练3】用配方法解方程： ．
【解答】解： ，
，
，
，
，或 ，
， ．
一元二次方程判别式
利用一元二次方程根的判别式 判断方程的根的情况.
一元二次方程 的根与 有如下关系:
（1）当 时，方程有两个不相等的两个实数根；
（2）当 时，方程有两个相等的两个实数根；
（3）当 时，方程无实数根.
上面的结论反过来也成立.
【例11】方程 的根的情况为
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
【解答】解：方程 ，
△ ，
方程有两个不相等的实数根．
故选： ．
【变式训练1】一元二次方程 的根的情况是
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【解答】解：一元二次方程 中，
△ ，
有两个相等的实数根，
故选： ．【变式训练2】一元二次方程 的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有无数个实数根
【解答】解：对一元二次方程 ，
△ ，
有两个相等实数根，
故选： ．
【变式训练3】关于 的一元二次方程 ，下列选项正确的是
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与 的取值有关
【解答】解：方程 ，
△
，
，
，
则方程有两个不相等的实数根．
故选： ．含参求根的辨别式
【例12】关于 的一元二次方程 有实数根，则实数 的取值范围是
A． B． 且 C． 且 D．
【解答】解： 关于 的一元二次方程 有实数根，
△ ，且 ，
解得： 且 ．
故选： ．
【变式训练1】若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值是
A．36 B．9 C．6 D．
【解答】解： 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
△ ，
解得 ，
故选： ．
【变式训练2】若关于 的方程 没有实数根，则 的最大整数值是
A． B． C．0 D．1
【解答】解： 关于 的方程 没有实数根，
，
解得： ，
则 的最大整数值是 ．
故选： ．
【变式训练3】关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是
A． B． C． 且 D． 且
【解答】解：根据题意得 且△ ，
解得 且 ．
故选： ．
根的辨别式综合运用
【例13】已知关于 的方程 有实数根．
（1）求实数 的取值范围．
（2）若此方程有一个根为1，求 的值．
【解答】解：（1） 关于 的方程 有实数根，
△ ，
解得： ；
（2） 关于 的方程 的一个根为1，
把 代入方程得： ，
，
解得： 或 ，
故 的值为1或 ．
【变式训练1】已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：对于任意实数 ，该方程总有两个不相等实数根；
（2）如果此方程有一个根为0，求 的值．
【解答】（1）证明：对关于 的一元二次方程 ，
△ ，△ ，
对于任意实数 ，一元二次方程 总有两个不相等实数根；
（2）解：如果此方程有一个根为0，则 ，
，
解得 或 ，
答： 的值为0或
【变式训练2】已知关于 的一元二次方程 ．
（1）当 时，求一元二次方程 的解；
（2）求证：无论 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．
【解答】（1）解：当 时，方程可化为 ，
，
， ；
（2）证明： △ ，
而 ，
△ ．
对任意实数 ，方程有两个不相等的实数根．
【变式训练3】已知关于 的方程 ．
（1）求证：无论 取任何实数值，方程总有两个实数根．
（2）等腰 的底边长为2，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求 的周长．
【解答】（1）证明：△ ，
故不论 取何实数，该方程总有实数根；
（2）解：依题意有△ ，则 ，将其代入方程 ，得 ．
解得 ．
故 的周长是 ．
因式分解法
因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令
每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解
就都是原方程的解．
【例14】方程 的解是
A． B． ， C． D． ，
【解答】解： ，
，
，
或 ，
， ，
故选： ．
【变式训练1】方程 的解是
A． B． ， C． ， D．
【解答】解： ，
，，
或 ，
所以 ， ．
故选： ．
【变式训练2】方程 的解是
A． B． C． ， D． ，
【解答】解： ，
，
，
，
， ，
故选： ．
【变式训练3】如果 ，那么 的值是
A．0 B．2 C．0，2 D．0，
【解答】解： ，
，
或 ，
， ，
故选： ．十字相乘
用十字相乘法把形如 分解因式使 .
步骤:(1)坚分二次项与常数项
(2)交叉相乘,和相加
(3)检验确定,横写因式
顺口溜:坚分常数交叉验,横写因式不能乱.
【例15】方程 的根是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【解答】解： ，
，
或 ，
解得 ， ，
故选： ．
【变式训练1】方程 的两个根为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解： ，
，
或 ，
， ，
故选： ．【变式训练2】方程 的两个根为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解： ，
，
或 ，
， ，
故选： ．
【变式训练3】下列各数是方程 的根的是
A．2和5 B． 和3 C．5和3 D． 和2
【解答】解：方程 ，
分解因式得： ，
所以 或 ，
解得： 或 ．
故选： ．根与系数的关系
k
如 果 一 元 二 次 方 程 y= x 的 两 根 分 别 为 x 1 、 x 2 ， 则 有 ：
k ≠0
。
不解方程，求二次方程的根x、x 的对称式的值，特别注意以下公式：
1 2
y =kx−1
①
k ≠0
②
x⋅y =k
③
k ≠0
④
k
y =
⑤ x
k ≠ 0
⑥
【例16】设方程 的两根分别是 ， ，则 的值为
A．8 B． C．4 D．2
【解答】解：由 可知，其二次项系数 ，一次项系数 ，
由根与系数的关系： ．
故选： ．
【变式训练1】下列一元二次方程两实数根和等于 的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、两实数根的和等于 ，所以 选项不符合题意；
、两实数根的和等于4，所以 选项不符合题意；
、△ ，方程没有实数根，所以 选项符合题意；
、两实数根的和等于 ，所以 选项不符合题意．故选： ．
【变式训练2】设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为
A．2022 B． C．2020 D．
【解答】解：根据题意，得 ， ，
，
故选： ．
【变式训练3】若矩形的长和宽是方程 的两个根，则该矩形的周长和面积
分别为
A．3和 B． 和3 C． 和6 D．6和
【解答】解： 矩形的长和宽是方程 的两个根，设长为 ，宽为 ，
， ，
则该矩形的周长为 ，面积为 ．
故选： ．
【例17】已知 、 分别是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为
A． B． C．1 D．
【解答】解：根据题意，可知 ， ，
，
故选： ．
【变式训练1】关于 的方程 的两个实数根分别为 和 ，且
，则 的值是
A． B． C． D．【解答】解： 的方程 的两个实数根分别为 和 ，
， ，
，
，
解得 ，
根据题意，得△ ，
当 时，△ ，不符合题意，
当 时，△ ，符合题意，
，
故选： ．
【变式训练2】已知 、 是一元二次方程 的两个实数根，则
的值是
A． B． C． D．
【解答】解：根据根与系数的关系得 ， ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练3】一元二次方程 的两个实数根为 ， ，则 的值是
A． B． C．0 D．1
【解答】解： 一元二次方程 的两个实数根为 ， ，
， ， ，．
故选： ．
【例18】关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若 、 是方程的两个实根，且 ，求 的值．
【解答】（1）证明： △
，
方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意得 ， ，
，
，
解得 或4，
即 的值为1或4
【变式训练1】已知关于 的方程 ．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为 ， ，若 求 的值．
【解答】（1）证明： △ ，
方程有两个不相等的实数根；（2）解： ， ，
，
化简，得 ，
解得 或 ．
【变式训练2】若 、 是关于 的一元二次方程 的两个实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若 ，求 的值．
【解答】解：（1） 关于 的一元二次方程 有两个实数根，
，且△ ，
解得 且 ；
（2）由根与系数的关系可得 ， ，
解得 ， ．
， ，
．
【变式训练3】关于 的一元二次方程 有实数根．
（1）求 的取值范围；（2）若方程的两个实数根为 ， ，且满足 ，求 的值．
【解答】解：（1） 关于 的一元二次方程 有实数根，
△ ，
解得： ．
（2） 关于 的一元二次方程 的两个根分别为 ， ，
， ，
，
，即 ，
整理得： ，
，
解得： ， ，
．
的值为2
1．下列方程中，属于一元二次方程的是
A． B．
C． D．【解答】解： ． ，是一元一次方程，故 不符合题意；
． 是分式方程，故 不符合题意；
．方程整理可得 ，是一元一次方程，故 不符合题意；
． 是一元二次方程，故 符合题意；
故选： ．
2．下列方程中，属于一元二次方程的是
A． B． C． D．
【解答】解： ．是二元一次方程，故本选项不合题意；
．是一元二次方程，故本选项符合题意；
．是分式方程，故本选项不合题意；
．是一元一次方程，故本选项不合题意；
故选： ．
3．方程 的一次项系数和常数项分别是
A．2和2 B． 和2 C．3和 D． 和
【解答】解： ，
，
方程 的一次项系数和常数项分别是 和 ，
故选： ．
4．若 是关于 的一元二次方程 的一个根，则 的值是
A． B． C．1 D．2
【解答】解：把 代入方程 得： ，
解得： ．
故选： ．5．对于方程 下列叙述正确的是
A．不论 为何值，方程均有实数根
B．方程的根是
C．当 时，方程可化为： 或
D．当 时，
【解答】解：当 ，方程没有实数解；当 时，方程有实数根，则 ，解
得 ， ，当 时，解得 ．
故选： ．
6．若 是方程 的一个根，则方程的另一个根是
A．3 B．4 C． D．
【解答】解：设另外一根为 ，
由根与系数的关系可知： ，
，
故选： ．
7．已知 ，则 的值是
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：已知等式移项得： ，
即 ，
， ，
， ，
解得： ， ，
则 ．故选： ．
8．一元二次方程 的解为
A． B． ， C． D．
【解答】解： ，
则 ，
解得： ， ．
故选： ．
9．如果关于 的方程 是一元二次方程，则 ．
【解答】解：由题意得： ，且 ，
解得： ，
故答案为： ．
10．若关于 的方程 是一元二次方程，则 ．
【解答】解：由题意，得 且 ，
解得 ，
故答案是： ．
11．将方程 化成一元二次方程的一般形式为 ．
【解答】解： ，
，
，
，
故答案为： ．12．关于 的方程 有一个根是3，那么实数 的值是 ．
【解答】解： 关于 的方程 有一个根是3，
，即 ，
解得 ．
故答案是： ．
13．试说明关于 的方程 无论 取何值，该方程都是一元二次
方程．
【解答】解：
又 ，
，
关于 的方程 无论 取何值，该方程都是一元二次方程．
14．已知方程 是关于 的一元二次方程，求 的值．
【解答】解： 方程 是关于 的一元二次方程，
且 ，
解得： ．
15．把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）化简后为 ，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数
项为 ；
（2）化简后为 ，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1．
