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专题21.1一元二次方程（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1、掌握一元二次方程有关概念；
2、会把一元二次方程化成一般形式并确定各项及各项系数；
3、会用整体思想求解
【知识点梳理】
考点 1 一元二次方程的概念 ：
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方
程，叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
（1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在
分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有
根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方
程）
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数项的最高次数是2。
考点2 一元二次方程的一般形式：
一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²
叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数
项。注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方
程
（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各
项系数时不要漏掉前面的性质符号。
考点3 一元二次方程的解：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决
此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.
考点4 一元二次方程的重要结论：
（1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一
元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。
（2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是
一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。
【典例分析】
【考点 1 一元二次方程的概念】
【例1】（2022春•雨山区校级月考）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．4（x+2）＝25 B．2x2+3x﹣1＝0 C．ax2+bx+c＝0 D． ＝4
【变式1-1】（2021•镇原县期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+ ＝0 B．y2﹣3x+2＝0
C．x2＝5x D．x2﹣4＝（x+1）2
【变式1-2】（2021秋•平顶山期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣3＝x3 B．2x2+3x﹣6＝0
C．5xy﹣x+2＝0 D．（x+1）（x﹣2）＝x2
【变式1-3】（2021秋•灵川县期末）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣1＝2x B．x3+2x2＝0 C． D．x2﹣y+1＝0
【例2】（2021•袁州区校级期中）已知关于x的方程（a+1）x|a|+1﹣2x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．﹣1或1
【变式2-1】（2021秋•开封期末）关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，则
（ ）
A．a＞1 B．a＝1 C．a≠1 D．a≥0
【变式2-2】（2021秋•双阳区期末）如果（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程，则（
）
A．m≠0 B．m≠3 C．m＝0 D．m＝3
【变式2-3】（2021秋•钦州月考）方程（m﹣2）x +（ m+2）x+5＝0是关于x的一
元二次方程，则（ ）
A．m＝±2 B．m＝﹣2 C．m＝2 D．m＝1
【例3】（2020秋•商河县校级月考）已知关于x的方程（m﹣ ） ﹣x＝3，试问：
（1）m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？
（2）m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？
【变式 3-1】（2020 秋•城关区校级月考）当 k 取何值时，关于 x 的方程（k﹣5）x2+
（k+2）x+5＝0．
（1）是一元一次方程？
（2）是一元二次方程？
【变式3-2】（2020秋•安居区期中）已知方程（m﹣2） +（m﹣3）x+1＝0．
（1）当m为何值时，它是一元二次方程？（2）当m为何值时，它是一元一次方程？
【变式3-2】（2021秋•浦东新区月考）方程（m﹣3） +（m﹣2）x+5＝0
（1）m为何值时，方程是一元二次方程；
（2）m为何值时，方程是一元一次方程．
【考点 2 一元二次方程的一般形式】
【例4】（2021•武陵区校级期末）一元二次方程x2﹣3＝2x的二次项系数、一次项系数、
常数项分别是（ ）
A．1，﹣2，﹣3 B．1，﹣2，3 C．1，2，3 D．1，﹣3，2
【变式4-1】（2022春•琅琊区校级月考）将一元二次方程（x+3）（2x﹣1）＝﹣4化为一
般形式，结果是（ ）
A．2x2+5x﹣7＝0 B．2x2+5x+1＝0 C．2x2﹣5x+1＝0 D．x2﹣7x﹣1＝0
【变式4-2】（2021春•阜南县期末）把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，
则a，b，c的值分别为（ ）
A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，10
【变式4-3】（2021秋•双峰县期末）将一元二次方程 2x2+3x＝1化成一般形式时，它的二
次项、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．2x2，﹣3，1 B．2x2，3，﹣1 C．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1
【考点 3 一元二次方程的解】
【例5】（2020•河南模拟）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，
则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
【变式5-1】（2021•南宁期末）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣kx＝0的一个根，
那么k＝ ．
【变式5-2】（2022春•琅琊区校级月考）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣mx﹣2m﹣4＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．
【变式5-3】（2022•罗湖区校级一模）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解
是x＝1，则代数式2022﹣a﹣b的值为（ ）
A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．2023
【例6】（2021•历城区期末）已知 m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式 2m2﹣
4m+2019的值为（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
【变式6-1】（2020春•瑶海区期中）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c
＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（ ）
A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定
【变式6-2】（2022春•柯桥区月考）若x＝1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+1＝0的一
个根，则2024+2a﹣2b的值为（ ）
A．2022 B．2020 C．2024 D．2018
【变式6-3】（2021•桐梓县期中）m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子m3+2m2+2018的值为
（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020专题21.1一元二次方程（一）（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
4、掌握一元二次方程有关概念；
5、会把一元二次方程化成一般形式并确定各项及各项系数；
6、会用整体思想求解
【知识点梳理】
考点 1 一元二次方程的概念 ：
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方
程，叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
（1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在
分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有
根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方
程）
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数项的最高次数是2。
考点2 一元二次方程的一般形式：一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²
叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数
项。
注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方
程
（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各
项系数时不要漏掉前面的性质符号。
考点3 一元二次方程的解：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决
此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.
考点4 一元二次方程的重要结论：
（3）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一
元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。
（4）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是
一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。
【典例分析】
【考点 1 一元二次方程的概念】
【例1】（2022春•雨山区校级月考）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．4（x+2）＝25 B．2x2+3x﹣1＝0 C．ax2+bx+c＝0 D． ＝4
【答案】B
【解答】解：A．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．该方程是分式方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
【变式1-1】（2021•镇原县期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）A．x2+ ＝0 B．y2﹣3x+2＝0
C．x2＝5x D．x2﹣4＝（x+1）2
【答案】C
【解答】解：A、x2+ ＝0是分式方程，故错误；
B、y2﹣3x+2＝0是二元二次方程，故错误；
C、x2＝5x是一元二次方程，故正确；
D、x2﹣4＝（x+1）2是一元一次方程，故错误，
故选：C．
【变式1-2】（2021秋•平顶山期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣3＝x3 B．2x2+3x﹣6＝0
C．5xy﹣x+2＝0 D．（x+1）（x﹣2）＝x2
【答案】B
【解答】解：A．未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．该方程是二元二次方程，故本选项不合题意；
D．该方程（x+1）（x﹣2）＝x2化简后得，x+2＝0是一元一次方程，故本选项不合题
意．
故选：B．
【变式1-3】（2021秋•灵川县期末）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣1＝2x B．x3+2x2＝0 C． D．x2﹣y+1＝0
【答案】A
【解答】解：A．x2﹣1＝2x，故A符合题意；
B．x3+2x2＝0，不是一元二次方程，故B不符合题意；
C．x2+ ＝0，不是一元二次方程，故C不符合题意；
D．x2﹣y+1＝0，不是一元二次方程，故D不符合题意；
故选：A．
【例2】（2021•袁州区校级期中）已知关于x的方程（a+1）x|a|+1﹣2x﹣1＝0是一元二次方
程，则a的值为（ ）A．﹣1 B．1 C．0 D．﹣1或1
【答案】B
【解答】解：∵方程（a+1）x|a|+1﹣2x﹣1＝0是一元二次方程，
∴|a|+1＝2且a+1≠0，
∴a＝±1且a≠﹣1，
∴a＝1，
故选：B．
【变式2-1】（2021秋•开封期末）关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，则
（ ）
A．a＞1 B．a＝1 C．a≠1 D．a≥0
【答案】C
【解答】解：由题意得：a﹣1≠0，
解得：a≠1，
故选：C．
【变式2-2】（2021秋•双阳区期末）如果（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程，则（
）
A．m≠0 B．m≠3 C．m＝0 D．m＝3
【答案】B
【解答】解：∵（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程，
∴m﹣3≠0，
解得：m≠3．
故选：B
【变式2-3】（2021秋•钦州月考）方程（m﹣2）x +（ m+2）x+5＝0是关于x的一
元二次方程，则（ ）
A．m＝±2 B．m＝﹣2 C．m＝2 D．m＝1
【答案】B
【解答】解：由题意得：m2﹣2＝2且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2，
故选：B
【例3】（2020秋•商河县校级月考）已知关于x的方程（m﹣ ） ﹣x＝3，试问：（1）m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？
（2）m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？
【答案】（1）m＝ ，m＝ ， m＝±1（2）＝﹣
【解答】解：（1）由题意，得
m2﹣1＝1，
解得m＝ ，
当m＝ 时，该方程是一元一次方程；
m﹣ ＝0，解得m＝ ，
当m＝ 时，该方程是一元一次方程；
m2﹣1＝0，解得m＝±1，
m＝±1时，该方程是一元一次方程；
（2）由题意，得
m2﹣1＝2且m﹣ ≠0，
解得m＝﹣ ，
当m＝﹣ 时，该方程是关于x的一元二次方程．
【变式 3-1】（2020 秋•城关区校级月考）当 k 取何值时，关于 x 的方程（k﹣5）x2+
（k+2）x+5＝0．
（1）是一元一次方程？
（2）是一元二次方程？
【答案】（1）k＝5 （2）k≠5
【解答】解：（1）（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0，
当k﹣5＝0且k+2≠0时，方程为一元一次方程，
即k＝5，
所以当k＝5时，方程（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0为一元一次方程；
（2）（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0，当k﹣5≠0时，方程为一元二次方程，
即k≠5，
所以当k≠5时，方程（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0为一元二次方程．
【变式3-2】（2020秋•安居区期中）已知方程（m﹣2） +（m﹣3）x+1＝0．
（1）当m为何值时，它是一元二次方程？
（2）当m为何值时，它是一元一次方程？
【答案】（1）m为 或﹣ （2）m为2或±1，0
【解答】解：（1）∵方程（m﹣2） +（m﹣3）x+1＝0为一元二次方程，
∴ ，
解得：m＝± ，
所以当m为 或﹣ 时，方程方程（m﹣2） +（m﹣3）x+1＝0为一元二次方程；
（2）∵方程（m﹣2） +（m﹣3）x+1＝0为一元一次方程，
∴ 或 或m＝0，
解得，m＝2或m＝±1，0，
故当m为2或±1，0时，方程方程（m﹣2） +（m﹣3）x+1＝0为一元一次方程．
【变式3-2】（2021秋•浦东新区月考）方程（m﹣3） +（m﹣2）x+5＝0
（1）m为何值时，方程是一元二次方程；
（2）m为何值时，方程是一元一次方程．
【答案】（1）m＝﹣3 （2）m为3或±2 或±
【解答】解：（1）∵关于方程（m﹣3） +（m﹣2）x+5＝0是一元二次方程，
∴m2﹣7＝2且m﹣3≠0，
解得m＝﹣3．故m为﹣3时，方程是一元二次方程；
（2）∵关于（m﹣3） +（m﹣2）x+5＝0是一元一次方程，
∴m﹣3＝0且m﹣2≠0或m2﹣7＝1或m2﹣7＝0，
解得m＝3或m＝±2 或m＝±
故m为3或±2 或± 时，方程是一元一次方程．
【考点 2 一元二次方程的一般形式】
【例4】（2021•武陵区校级期末）一元二次方程x2﹣3＝2x的二次项系数、一次项系数、
常数项分别是（ ）
A．1，﹣2，﹣3 B．1，﹣2，3 C．1，2，3 D．1，﹣3，2
【答案】A
【解答】解：方程x2﹣3＝2x，即x2﹣2x﹣3＝0的二次项系数是1、一次项系数是﹣2、
常数项是﹣3，
故选：A．
【变式4-1】（2022春•琅琊区校级月考）将一元二次方程（x+3）（2x﹣1）＝﹣4化为一
般形式，结果是（ ）
A．2x2+5x﹣7＝0 B．2x2+5x+1＝0 C．2x2﹣5x+1＝0 D．x2﹣7x﹣1＝0
【答案】B
【解答】解：（x+3）（2x﹣1）＝﹣4，
2x2﹣x+6x﹣3+4＝0，
2x2+5x+1＝0，
故选：B．
【变式4-2】（2021春•阜南县期末）把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，
则a，b，c的值分别为（ ）
A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，10
【答案】D
【解答】解：x2+2x＝5（x﹣2），
x2+2x＝5x﹣10，
x2+2x﹣5x+10＝0，x2﹣3x+10＝0，
则a＝1，b＝﹣3，c＝10，
故选：D．
【变式4-3】（2021秋•双峰县期末）将一元二次方程 2x2+3x＝1化成一般形式时，它的二
次项、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．2x2，﹣3，1 B．2x2，3，﹣1 C．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1
【答案】B
【解答】解：将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式为：2x2+3x﹣1＝0，
∴它的二次项、一次项系数和常数项分别为：2x2，3，﹣1，
故选：B．
【考点 3 一元二次方程的解】
【例5】（2020•河南模拟）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，
则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
【答案】B
【解答】解：根据题意将x＝0代入方程可得：a2﹣1＝0，
解得：a＝1或a＝﹣1，
∵a﹣1≠0，即a≠1，
∴a＝﹣1，
故选：B．
【变式5-1】（2021•南宁期末）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣kx＝0的一个根，
那么k＝ ．
【答案】1
【解答】解：根据题意，将x＝1代入x2﹣kx＝0，得：1﹣k＝0，
解得：k＝1，
故答案为：1
【变式5-2】（2022春•琅琊区校级月考）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣mx﹣2m﹣4＝0的
一个解，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．
【答案】A
【解答】解：把x＝﹣1代入x2﹣mx﹣2m﹣4＝0得1+m﹣2m﹣4＝0，解得m＝﹣3．
故选：A．
【变式5-3】（2022•罗湖区校级一模）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解
是x＝1，则代数式2022﹣a﹣b的值为（ ）
A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】D
【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx+1＝0得a+b+1＝0，
所以a+b＝﹣1，
所以2022﹣a﹣b＝2022﹣（a+b）＝2022+1＝2023．
故选：D．
【例6】（2021•历城区期末）已知 m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式 2m2﹣
4m+2019的值为（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
【答案】B
【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，
∴m2﹣2m＝1，
∴2m2﹣4m+2019＝2（m2﹣2m）+2019
＝2×1+2019
＝2021．
故选：B．
【变式6-1】（2020春•瑶海区期中）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c
＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（ ）
A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：在这个式子中，如果把 x＝1代入方程，左边就变成a+b+c，又由已知
a+b+c＝0可知：当x＝1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是 1，同理可以判
断方程必有一根是﹣1．则方程的根是1，﹣1．
故选：C
【变式6-2】（2022春•柯桥区月考）若x＝1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+1＝0的一
个根，则2024+2a﹣2b的值为（ ）A．2022 B．2020 C．2024 D．2018
【答案】A
【解答】解：∵x＝1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+1＝0的一个根，
∴a﹣b+1＝0，
∴a﹣b＝﹣1，
∴2024+2a﹣2b＝2024+2（a﹣b）＝2024+2×（﹣1）＝2022．
故选：A．
【变式6-3】（2021•桐梓县期中）m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子m3+2m2+2018的值为
（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【答案】C
【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴m2+m＝1
∵m3+2m2+2018
＝m3+m2+m2+2018
＝m（m2+m）+m2+2018
＝m+m2+2018
＝1+2018
＝2019．
故选：C．
