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专题 21.1 一元二次方程
目录
一元二次方程的定义.........................................................................................................................1
一元二次方程项数系数.....................................................................................................................2
一元二次方程含参.............................................................................................................................4
一元二次方程的解.............................................................................................................................5
直接开平方法.....................................................................................................................................6
配方法.................................................................................................................................................8
一元二次方程判别式.......................................................................................................................11
含参求根的辨别式...........................................................................................................................12
根的辨别式综合运用.......................................................................................................................13
因式分解法.......................................................................................................................................16
十字相乘...........................................................................................................................................17
根与系数的关系...............................................................................................................................19
一元二次方程的定义
一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
【例1】下列方程中，不是一元二次方程的是
A． B． C． D．
【变式训练1】下列方程中是一元二次方程的是
A． B． C． D．
【变式训练2】下列是一元二次方程的是
A． B． C． D．【变式训练3】下列方程是关于 的一元二次方程的是
A． B． C． D．
【例2】已知关于 的方程 是一元二次方程．
（1）求 的值；
（2）解该一元二次方程．
【变式训练1】已知方程 是关于 的一元二次方程，求 的值．
【变式训练2】已知关于 的方程 ，试问：
（1） 为何值时，该方程是关于 的一元一次方程？
（2） 为何值时，该方程是关于 的一元二次方程？
【变式训练3】关于 的方程 能否为一元二次方程？若能，求
出 的值；若不能，请说明理由．
一元二次方程项数系数
一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式
．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中 叫做二次
项， 叫做二次项系数； 叫做一次项； 叫做常数项．
【例3】把一元二次方程 化成一般形式，正确的是
A． B． C． D．
【变式训练1】一元二次方程 的一次项系数、二次项系数、常数项的和是
A．1 B．8 C．7 D．2
【变式训练2】方程 化成一般形式后，二次项系数为正，其中一次项系数，常数项分别是
A．4， B．4，1 C． ， D． ，1
【变式训练3】把方程 化成 的形式，则 ， ， 的值分别
为
A．1， ，2 B．1，7， C．1， ，12 D．1， ，10
一元二次方程含参
【例4】若关于 的方程 为一元二次方程，则 满足
A． B． C． D．
【变式训练1】若 是关于 的一元二次方程，则 的值为
A．3 B． C． D．
【变式训练2】若方程 是关于 的一元二次方程，则 的值为
A．1 B． C． D．不存在
【变式训练3】已知关于 的方程 是一元二次方程，则
A． B． C． D．
一元二次方程的解
一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有
一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元
二次方程的根．
【例5】已知 为方程 的根，那么 的值为
A． B．0 C．2022 D．4044【变式训练1】若 是 的一个根，则 的值是
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【变式训练2】已知 是方程 的一个根，则 的值为
A． B．2022 C．2021 D．无法计算
【变式训练3】已知 是一元二次方程 的一个根，则 的值为
A． B．2021 C．2020 D．2022
一元二次方程与三角形
【例6】已知关于 的方程 ，其中 是方程的一个根．
（1）求 的值及方程的另一个根；
（2）若 的三条边长都是此方程的根，求 的周长．
【变式训练1】已知 是关于 的方程 的一个实数根，并且这个方
程的两个实数根恰好是等腰三角形 的两条边长．
（1）求 的值；
（2）求 的周长．
【变式训练2】已知关于 的方程 ．
（1）判断方程根的情况；
（2）若两根异号，且正根的绝对值较大，求整数 的值；
（3）若等腰 的一边长为3，另两边的长恰好是方程的两个根，求 的周长．
【变式训练3】已知2是关于 的方程 的一个根，而这个方程的两个根恰
好是等腰 的两条边长．
（1）求 的值；
（2）求 的周长．直接开平方法
一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
【例7】方程 的解为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【变式训练1】一元二次方程 的根是
A．4 B． C． D．16
【变式训练2】解方程 ．
【变式训练3】解方程： ．
【例8】解方程： ．
【变式训练1】解方程： ．
【变式训练2】用适当的方法解一元二次方程： ．
【变式训练3】解方程： ．配方法
（1）将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种
解一元二次方程的方法叫配方法.
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）把原方程化为 的形式；
（2）方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边;
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
（4）把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
（5）如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果
右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
【例9】一元二次方程 配方后可化为
A． B． C． D．
【变式训练1】把一元二次方程 配方后，下列变形正确的是
A． B． C． D．
【变式训练2】方程 经配方后，可化为
A． B． C． D．
【变式训练3】下列配方中，变形正确的是
A． B．
C． D．
【例10】用配方法解一元二次方程： ．
【变式训练1】解一元二次方程： ．【变式训练2】用配方法解方程： ．
【变式训练3】用配方法解方程： ．
一元二次方程判别式
利用一元二次方程根的判别式 判断方程的根的情况.
一元二次方程 的根与 有如下关系:
（1）当 时，方程有两个不相等的两个实数根；
（2）当 时，方程有两个相等的两个实数根；
（3）当 时，方程无实数根.
上面的结论反过来也成立.
【例11】方程 的根的情况为
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
【变式训练1】一元二次方程 的根的情况是
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【变式训练2】一元二次方程 的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有无数个实数根
【变式训练3】关于 的一元二次方程 ，下列选项正确的是
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与 的取值有关含参求根的辨别式
【例12】关于 的一元二次方程 有实数根，则实数 的取值范围是
A． B． 且 C． 且 D．
【变式训练1】若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值是
A．36 B．9 C．6 D．
【变式训练2】若关于 的方程 没有实数根，则 的最大整数值是
A． B． C．0 D．1
【变式训练3】关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的
取值范围是
A． B． C． 且 D． 且
根的辨别式综合运用
【例13】已知关于 的方程 有实数根．
（1）求实数 的取值范围．
（2）若此方程有一个根为1，求 的值．
【变式训练1】已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：对于任意实数 ，该方程总有两个不相等实数根；
（2）如果此方程有一个根为0，求 的值．
【变式训练2】已知关于 的一元二次方程 ．
（1）当 时，求一元二次方程 的解；
（2）求证：无论 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．
【变式训练3】已知关于 的方程 ．
（1）求证：无论 取任何实数值，方程总有两个实数根．（2）等腰 的底边长为2，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求 的周长．
因式分解法
因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令
每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解
就都是原方程的解．
【例14】方程 的解是
A． B． ， C． D． ，
【变式训练1】方程 的解是
A． B． ， C． ， D．
【变式训练2】方程 的解是
A． B． C． ， D． ，
【变式训练3】如果 ，那么 的值是
A．0 B．2 C．0，2 D．0，
十字相乘
用十字相乘法把形如 分解因式使 .
步骤:(1)坚分二次项与常数项
(2)交叉相乘,和相加
(3)检验确定,横写因式
顺口溜:坚分常数交叉验,横写因式不能乱.
【例15】方程 的根是A． ， B． ，
C． ， D． ，
【变式训练1】方程 的两个根为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【变式训练2】方程 的两个根为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【变式训练3】下列各数是方程 的根的是
A．2和5 B． 和3 C．5和3 D． 和2
根与系数的关系
k
如 果 一 元 二 次 方 程 y= x 的 两 根 分 别 为 x 1 、 x 2 ， 则 有 ：
k ≠0
。
不解方程，求二次方程的根x、x 的对称式的值，特别注意以下公式：
1 2
y =kx−1
①
k ≠0
②
x⋅y =k
③
k ≠0
④
k
y =
⑤ x
k ≠ 0
⑥
【例16】设方程 的两根分别是 ， ，则 的值为A．8 B． C．4 D．2
【变式训练1】下列一元二次方程两实数根和等于 的是
A． B． C． D．
【变式训练2】设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为
A．2022 B． C．2020 D．
【变式训练3】若矩形的长和宽是方程 的两个根，则该矩形的周长和面积
分别为
A．3和 B． 和3 C． 和6 D．6和
【例17】已知 、 分别是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为
A． B． C．1 D．
【变式训练1】关于 的方程 的两个实数根分别为 和 ，且
，则 的值是
A． B． C． D．
【变式训练2】已知 、 是一元二次方程 的两个实数根，则
的值是
A． B． C． D．
【变式训练3】一元二次方程 的两个实数根为 ， ，则 的值是
A． B． C．0 D．1【例18】关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若 、 是方程的两个实根，且 ，求 的值．
【变式训练1】已知关于 的方程 ．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为 ， ，若 求 的值．
【变式训练2】若 、 是关于 的一元二次方程 的两个实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若 ，求 的值．
【变式训练3】关于 的一元二次方程 有实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为 ， ，且满足 ，求 的值．
1．下列方程中，属于一元二次方程的是
A． B．
C． D．
2．下列方程中，属于一元二次方程的是A． B． C． D．
3．方程 的一次项系数和常数项分别是
A．2和2 B． 和2 C．3和 D． 和
4．若 是关于 的一元二次方程 的一个根，则 的值是
A． B． C．1 D．2
5．对于方程 下列叙述正确的是
A．不论 为何值，方程均有实数根
B．方程的根是
C．当 时，方程可化为： 或
D．当 时，
6．若 是方程 的一个根，则方程的另一个根是
A．3 B．4 C． D．
7．已知 ，则 的值是
A．4 B．5 C．6 D．7
8．一元二次方程 的解为
A． B． ， C． D．
9．如果关于 的方程 是一元二次方程，则 ．
10．若关于 的方程 是一元二次方程，则 ．
11．将方程 化成一元二次方程的一般形式为 ．
12．关于 的方程 有一个根是3，那么实数 的值是 ．13．试说明关于 的方程 无论 取何值，该方程都是一元二次
方程．
14．已知方程 是关于 的一元二次方程，求 的值．
15．把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．
（1） ；
（2） ．
