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专题 21.1 一元二次方程的定义及解【八大题型】
【人教版】
【题型1 一元二次方程的识别】..............................................................................................................................1
【题型2 由一元二次方程的定义求字母的取值范围】.........................................................................................1
【题型3 由一元二次方程的定义求字母的值】.....................................................................................................2
【题型4 一元二次方程的一般形式】......................................................................................................................2
【题型5 由一元二次方程的解求字母的值】.........................................................................................................3
【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值】.....................................................................................................3
【题型7 由一元二次方程的解求代数式的值（降次）】.....................................................................................3
【题型8 已知一元二次方程的根求另一方程的根】.............................................................................................4
【知识点1 一元二次方程的定义】
只含有一个未知数，并且未知数的 最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程.
【题型1 一元二次方程的识别】
【例1】（2021秋•恩施市期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
1
①3x2+7＝0：②ax2+bx+c＝0；③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1；④3x- =0．
x
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【变式1-1】（2021秋•蓬溪县期末）下列方程中，一元二次方程有（ ）
1 x
①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x2- =4；④x2＝1；⑤x2- +3=0
x 3
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-2】（2021秋•荥阳市校级月考）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的有（ ）
①x2＝0； ②ax2+bx+c＝0； ③a2+a﹣x＝0； ④（x+1）2＝2x2﹣9； ⑤x2﹣y2＝3．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-3】（2021秋•义马市期中）下列方程：①y2+2x＝0；②x2＝0；③（x2﹣1）2＝1；④3y2﹣2y
1 1
＝﹣1；⑤2x2﹣5xy+3y2＝0；⑥ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数）；⑦ + -2＝0；⑧（x+1）（x﹣
x2 x1）＝x2﹣1．其中属于一元二次方程的有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．6
【题型2 由一元二次方程的定义求字母的取值范围】
【例2】（2021秋•龙岗区校级期末）关于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，则a的取值范
围是（ ）
A．a≠±1 B．a≠0
C．a 为任何实数 D．不存在
【变式2-1】（2021秋•河口县期末）已知（m﹣2）xn﹣3nx+2＝0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．m≠0，n＝2 B．m≠2，n＝2 C．m≠0，n＝3 D．m≠2，n≠0
【变式2-2】（2021秋•龙江县期末）若方程ax2+2x﹣1＝2x2是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是
．
【变式2-3】（2022•湘桥区一模）若方程（m﹣1）x2+√m•x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范
围是 ．
【题型3 由一元二次方程的定义求字母的值】
【例3】（2022春•琅琊区校级月考）若（m+3）x|m|﹣1﹣（m﹣3）x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m
的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．±2
【变式3-1】（2021秋•望城区期末）若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值
(m-2)xm2-2+4x-7=0
为（ ）
A．m≠2 B．m＝±2 C．m＝﹣2 D．m＝2
【变式3-2】（2021秋•太平区期末）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值
是（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3
【变式3-3】（2022•张家港市一模）已知x＝1是关于x的一元二次方程 的解，则
(m+2)xm2-2-3x-2a=0
m﹣1+a的值为 ．
【知识点2 一元二次方程的一般形式】
一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，
a≠0）．这
种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项；c 叫做常数项．
【题型4 一元二次方程的一般形式】
【例4】（2021秋•双峰县期末）将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和
常数项分别为（ ）
A．2x2，﹣3，1 B．2x2，3，﹣1 C．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1
【变式4-1】（2021秋•黔西南州期末）若（1﹣m） 3mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则该方程
xm2+1+
的一次项系数是（ ）
A．﹣1 B．±1 C．﹣3 D．±3
【变式4-2】（2021春•花山区校级月考）一元二次方程2x2﹣（a+1）x＝x（x﹣1）﹣1化成一般形式后，
二次项系数为1，一次项系数为﹣1，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【变式4-3】（2021秋•宝山区校级月考）若m2x2﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，
且不含x的一次项，则m ，n＝ ．
【知识点3 一元二次方程的解】
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．一元二次方程的解也称为一元二次方
程的根．
【题型5 由一元二次方程的解求字母的值】
【例5】（2022春•温州期中）若关于x的方程x2+2ax+4a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（ ）
A．9 B．4.5 C．3 D．﹣3
【变式5-1】（2021秋•五常市期末）若方程8x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣7＝0的一个根为x＝0，则k的值是（
）
3
A．7 B． C．4 D．﹣7
16
【变式5-2】（2021秋•海淀区校级期末）若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一个解为x＝0，则k
为（ ）
A．±1 B．1 C．﹣1 D．0
【变式5-3】（2021秋•封丘县期末）关于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+k2﹣1＝0的一个根是0，则k的
值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值】
【例6】（2021秋•开州区期末）已知a是方程2x2﹣x﹣3＝0的一个解，则6a2﹣3a的值为 ．
【变式6-1】（2021秋•莲池区期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2022
﹣2a+2b的值为 ．
4
【变式6-2】（2021秋•盱眙县期末）若a是方程3x2﹣4x﹣3＝0的一个根，则代数式a2- a+6的值为
3
．
【变式6-3】（2022•桂林模拟）已知m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，则8m﹣2m2+2的值是（
）
A．4 B．6 C．8 D．10
【题型7 由一元二次方程的解求代数式的值（降次）】
【例7】（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（ ）
A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044
【变式7-1】（2022春•庐阳区校级期中）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2021的值为（
）
A．2020 B．﹣2020 C．2021 D．﹣2021
【变式7-2】（2021秋•泉州期末）已知实数a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，则a4+a3+8a﹣1的值为（
）
A．62 B．63 C．64 D．65
【变式7-3】（2021秋•石鼓区期末）已知a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则a4﹣3a﹣2的值为 ．
【题型8 已知一元二次方程的根求另一方程的根】
1
【例8】（2021秋•曲靖期末）已知关于x的一元二次方程 x2+3=2x2+b的根为±3，那么关于y的一
2022
1
元二次方程 （y2+1）+3＝2（y2+1）+b的解y＝ ．
2022
【变式8-1】（2022•启东市二模）若关于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一个根是x＝2022，则一元二
a
次方程 （x+2）2+bx+2b＝1必有一根为（ ）
2
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【变式8-2】（2022春•淄川区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为2022，则方程
a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有根为（ ）A．2022 B．2020 C．2019 D．2021
【变式8-3】（2021秋•泉州期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2021，则
方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
