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专题 21.1 一元二次方程根与系数的关系
【典例1】已知关于x的二次方程x2−ax+a2−4=0．
（1）a为何值时，方程有两个不同的正根；
（2）a为何值时，方程只有一个正根．
【思路点拨】
（1）根据一元二次方程有两个不相等正根，则根的判别式Δ=(−a) 2−4(a2−4)>0，x₁+x₂＞0，x₁·x₂＞
0，组成不等式组求出a的取值范围即可；
（2）根据一元二次方程只有一个正实数根，分为三种情况，一是有且只有一个正根，二是有两个根其中
一个是正根，另一个根式负根或0，结合判别式以及根与系数的关系列不等式，求出a的值即可．
【解题过程】
解：（1）根据题意得，方程x2−ax+a2−4=0有两个不同的正根，
∴Δ=(−a) 2−4(a2−4)=−3a2+16＞0①，
且x₁+x₂=a＞0②，
x₁·x₂=a²-4＞0③，
4
解由①②③组成的不等式组得，2＜a＜ ❑√3，
3
4
故当2＜a＜ ❑√3时，方程有两个不同的正根；；
3
（2）Ⅰ 当方程x2−ax+a2−4=0只且只有一个正根时，
∴Δ=(−a) 2−4(a2−4)=−3a2+16=0①，
且x₁+x₂=a＞0②，
x₁·x₂=a²-4＞0③，
4 4
解①得：a= ❑√3或a=﹣ ❑√3，
3 34
当a= ❑√3时，满足②、③，
3
4
而a=﹣ ❑√3不满足②，故舍去，
3
4
故当a= ❑√3时，方程只有一个正根．
3
Ⅱ 当方程x2−ax+a2−4=0有一个正根，一个负根，
则Δ=(−a) 2−4(a2−4)=−3a2+16>0①，
且x₁·x₂=a²-4＜0②
4 4
解①得：− ❑√30①，
且x₁·x₂=a²-4=0②
x₁+x₂=a＞0③
4 4
解①得：− ❑√30，
∴p2+3p+2>0，
∴(p+1)(p+3)>0，
∴p=−1不符合题意，
3
∴p +p =−
1 3 4
∴符合题意，
故选B．
3．（2022秋·全国·九年级专题练习）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，
关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的
根都负根；②(m−1) 2+(n−1) 2≥2；③−1≤2m−2n≤1，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【思路点拨】
设方程x2+2mx+2n=0的两根为x、x，方程y2+2ny+2m=0同的两根为y、y．①根据方程解的情况
1 2 1 2
可得出x•x=2n＞0、y•y=2m＞0，结合根与系数的关系可得出x+x=-2m、y+y=-2n，进而得出这两个方
1 2 1 2 1 2 1 2
程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，将
（m-1）2+（n-1）2展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y+1）（y+1）-1、
1 2
2n-2m=（x+1）（x+1）-1，结合x、x、y、y 均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．综上即可得出
1 2 1 2 1 2
结论．
【解题过程】
解：设方程x2+2mx+2n=0的两根为x、x，方程y2+2ny+2m=0同的两根为y、y．
1 2 1 2
①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0
同样也有两个整数根且乘积为正，
∴x•x=2n＞0，y•y=2m＞0，
1 2 1 2
∵x+x=-2m，y+y=-2n，
1 2 1 2
∴这两个方程的根都是负根，①正确；
②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0
同样也有两个整数根且乘积为正，∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，
∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，
∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确；
③∵y•y=2m，y+y=-2n，
1 2 1 2
∴2m-2n=y •y+y+y=（y+1）（y+1）-1，
1 2 1 2 1 2
∵y、y 均为负整数，
1 2
∴（y+1）（y+1）≥0，
1 2
∴2m-2n≥-1．
∵x•x=2n，x+x=-2m，
1 2 1 2
∴2n-2m=x •x2+x+x=（x+1）（x+1）-1，
1 1 2 1 2
∵x、x 均为负整数，
1 2
∴（x+1）（x+1）≥0，
1 2
∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．
∴-1≤2m-2n≤1，③成立．
综上所述：成立的结论有①②③．
故选D．
4．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程
x2−(n+2)x−2n2=0的两个根为a ,b (n≥2)，则
n n
1 1 1
+ +⋯+ =
__________．
(a −2)(b −2) (a −2)(b −2) (a −2)(b −2)
2 2 3 3 2021 2021
【思路点拨】
由根与系数的关系得a +b =n+2，a ⋅b =−2n2 ，所以
n n n n
(a −2)(b −2)=a b −2(a +b )+4=−2n2−2(n+2)+4=−2n(n+1)，则
n n n n n n
1 1 1 1 1
=− =− ( − )，然后代入即可求解．
(a −2)(b −2) 2n(n+1) 2 n n+1
n n
【解题过程】
由根与系数的关系得a +b =n+2，a ⋅b =−2n2 ，
n n n n所以(a −2)(b −2)=a b −2(a +b )+4=−2n2−2(n+2)+4=−2n(n+1)，
n n n n n n
1 1 1 1 1
则 = =− ( − )，
(a −2)(b −2) 2n(n+1) 2 n n+1
n n
1 1 1
则
+ +⋯+
(a −2)(b −2) (a −2)(b −2) (a −2)(b −2)
2 2 3 3 2021 2021
1 1 1 1 1 1 1
=− [( − )+( − )+…+( − )]
2 2 3 3 4 2021 2022
1 1 1
=− ×( − )
2 2 2022
1 1010
=− ×
2 2022
505
=− ．
2022
505
故答案为：− ．
2022
m2
5．（2022秋·全国·九年级专题练习）关于x的方程x2−(m−2)x− =0两个实根x ,x 满足|x )=|x )+3
4 1 2 1 2
，则m的值为_______．
【思路点拨】
m2
先判断一元二次方程根的情况，然后利用根与系数的关系，得到x +x =m−2，x •x =− ≤0，结合
1 2 1 2 4
|x |−|x |=3，通过变形求值，即可求出m的值.
1 2
【解题过程】
m2
解：在方程x2−(m−2)x− =0中，有
4
m2
Δ=[−(m−2)] 2−4×1×(− )=2m2−4m+4=2(m−1) 2+2>0，
4
∴原方程有两个不相等的实数根；
根据根与系数的关系，有：
m2
−(m−2) −
x +x =− =m−2， 4 m2 ，
1 2 1 x •x = =− ≤0
1 2 1 4
∵|x |=|x |+3，
1 2
∴|x |−|x |=3，
1 2∴x2−2|x •x |+x2=9，
1 1 2 2
∴(x +x ) 2−2x •x −2|x •x |=9，
1 2 1 2 1 2
∴(x +x ) 2−2x •x +2x •x =9，
1 2 1 2 1 2
∴(m−2) 2=9，
解得：m =5，m =−1；
1 2
故答案为：5或−1.
6．（2022春·九年级课时练习）已知实系数一元二次方程ax2+2bx+c＝0有两个实根x，x，且a＞b＞c，
1 2
a+b+c＝0，设d=|x −x )，则d的取值范围为_____．
1 2
【思路点拨】
先根据一元二次方程根与系数的关系求出d2的表达式，再根据二次函数性质求其取值范围即可．
【解题过程】
解：∵实系数一元二次方程ax2+2bx+c＝0有两个实根x、x，
1 2
2b c
∴x+x＝﹣ ，x·x＝ ，
1 2 a 1 2 a
∴d2＝|x﹣x|2
1 2
=（x+x）2﹣4x·x
1 2 1 2
2b 4c
＝（﹣ ）2﹣
a a
2
[ 2(−a−c)) 4c
＝ − ﹣
a a
4(a2+2ac+c2)
4ac
= −
a2 a2
4(a2+ac+c2)
=
a2
c c
＝4[（ ）2+ +1]
a ac 1 3
＝4[（ + ）2+ ]，
a 2 4
∵a＞b＞c，a+b+c＝0，
∴a＞0，c＜0，a＞﹣a﹣c＞c，
c 1
解得：﹣2＜ ＜﹣ ，
a 2
c 1 3 c 1
∵y＝4[（ + ）2+ ]的对称轴为： ＝﹣ ，
a 2 4 a 2
c 1 c
∴当﹣2＜ ＜﹣ 时，y随 增大而减小，
a 2 a
∴3＜d2＜12，
∴❑√30），得a2−t⋅a+1=0，根据方程a2−t⋅a+1=0有正
1 1 2 2 a a
数解可知Δ=t2−4≥0，求出t的取值范围即可求出ax +x x +ax 的最大值．
1 1 2 2【解题过程】
解：根据新的定义可知，方程ax2+bx+c=0（a≠0）可变形为a(x+1) 2−2=0，
∴a(x+1) 2−2=ax2+bx+c，
展开，ax2+2ax+a−2=ax2+bx+c，
可得b=2a，c=a−2，
∴b−2c=2a−2(a−2)=4；
a−2
∵x +x =−2，x x = ，
1 2 1 2 a
a−2 ( 1)
∴ax +x x +ax =a(x +x )+x x =−2a+ =−2 a+ +1，
1 1 2 2 1 2 1 2 a a
∵方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x 、x ，
1 2
∴Δ=b2−4ac=(2a) 2−4a(a−2)=8a≥0，且a≠0，
∴a>0，
1
设a+ =t（t>0），得a2−t⋅a+1=0，
a
∵方程a2−t⋅a+1=0有正数解，
∴Δ=t2−4≥0，
1
解得t≥2，即a+ ≥2，
a
( 1)
∴ax +x x +ax =−2 a+ +1≤−3．
1 1 2 2 a
故答案为：4，-3．
9．（2022秋·广东江门·九年级统考阶段练习）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，
且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正
确的有_____（填序号）．
①方程x2−x−2=0是“倍根方程”；
②若(x−2)(mx+n)=0是“倍根方程”，则4m2+5mn+n2=0；
③若p,q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是“倍根方程”；
④若方程ax2+bx+c=0是“倍根方程”，则必有2b2=9ac．
【思路点拨】
①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；
③当p,q满足pq=2时，有px2+3x+q= (px+1)(x+q)=0，求出两个根，再根据pq=2代入可得两个根
之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；
④用求根公式求出两个根，当x =2x 或2x =x 时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
1 2 1 2
【解题过程】
解：①解方程x2−x−2=0，得x =2，x =−1，
1 2
∵x ≠2x ，
1 2
∴方程x2−x−2=0不是“倍根方程”．故①不正确；
②∵(x−2)(mx+n)=0是“倍根方程”，且x =2，
1
因此x =1或x =4．
2 2
当x =1时，m+n=0，
2
当x =4时，4m+n=0，
2
∴4m2+5mn+n2=(m+n)(4m+n) =0，故②正确；
③∵pq=2，
∴px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，
1
∴x =− ，x =−q，
1 p 2
2
∴x =−q=− =2x ，
2 p 1
因此px2+3x+q=0是“倍根方程”，故③正确；
−b+❑√b2−4ac −b−❑√b2−4ac
④方程ax2+bx+c=0的根为x = ,x = ，
1 2a 2 2a
−b+❑√b2−4ac −b−❑√b2−4ac
若x =2x ，则 = × 2，
1 2
2a 2a
−b+❑√b2−4ac −b−❑√b2−4ac
即 − ×2=0，
2a 2a
b+3❑√b2−4ac
∴ =0，
2a
∴b+3❑√b2−4ac=0，
∴3❑√b2−4ac=−b，∴9(b2−4ac)=b2，
∴2b2=9ac，
−b+❑√b2−4ac −b−❑√b2−4ac
若2x =x ，则 ×2= ，
1 2
2a 2a
−b+3❑√b2−4ac
∴ =0，
2a
∴−b+3❑√b2−4ac=0，
∴b=3❑√b2−4ac，
∴b2=9(b2−4ac)，
∴2b2=9ac．故④正确，
故答案为：②③④．
10．（2023春·全国·八年级专题练习）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等
的实数根x，x．
1 2
（1）求k的取值范围；
1 1
（2）是否存在实数k，使 − ＝1成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
x x
1 2
【思路点拨】
（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求得k的取值范围．
1 1 x −x
（2）利用根与系数的关系，根据 − = 2 1,即可求出k的值，看是否满足（1）中k的取值范围，
x x x x
1 2 1 2
从而确定k的值是否存在．
【解题过程】
解：（1）由题意知，k≠0且△＝b2﹣4ac＞0
∴b2﹣4ac＝[﹣2（k+1）]2﹣4k（k﹣1）＞0，
即4k2+8k+4﹣4k2+4k＞0，
∴12k＞﹣4
1
解得：k＞− 且k≠0
3
（2）存在，且k=7±2❑√13.理由如下：2(k+1) k−1
∵x +x = ,x x = ,
1 2 k 1 2 k
1 1 x −x
又有 − = 2 1=1,
x x x x
1 2 1 2
∴x −x =x x ,
2 1 1 2
∴x2−2x x +x2=x2x2,
2 1 2 1 1 2
∴(x +x ) 2−4x x =(x x ) 2,
1 2 1 2 1 2
2k+2 2 4k−4 k−1 2
∴( ) − =( ) ,
k k k
∴(2k+2) 2−k(4k−4)=(k−1) 2,
∴k2−14k−3=0,
∵a=1,b=−14,c=−3,
∴Δ=b2−4ac=208,
14±4❑√13
∴k= =7±2❑√13.
2
1
∵ k＞− 且k≠0，
3
1 1
∵7−2❑√13≈−0.21＞− , 7+2❑√13＞− .
3 3
∴满足条件的k值存在，且k=7±2❑√13 ．
11．（2022·浙江·九年级自主招生）已知方程x2+4x+1=0的两根是α、β．
（1）求|α−β|的值；
√α √β
（2）求❑ +❑ 的值；
β α
（3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于α、β的倒数的立方．（参考公式：
x3+ y3=(x+ y)(x2+ y2−xy)．
【思路点拨】
（1）利用一元二次方程根与系数的关系可得α+β=−4,αβ=1，再求得(α−β) 2的值，进而求得|α−β|
的值．√α √β ❑√α ❑√β α+β
（2）先根据二次根式的性质将❑ +❑ 化为 + ，然后通分化简可得 ，最后将
β α ❑√β ❑√α ❑√αβ
α+β=−4,αβ=1代入计算即可；
(1) 3 (1) 3 (1) 3 (1) 3 (1) 3 (1) 3
（3）由题意可得新一元二次方程的两个根为 和 ，然后求得 + 和 的值，然
α β α β α β
后根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．
【解题过程】
（1）解：∵方程x2+4x+1=0的两根是α、β
∴α+β=−4,αβ=1
∴(α−β) 2=(α+β) 2−4αβ=12
∴|α−β|=2❑√3；
（2）解：由（1）可知：α<0，β<0，
2
(√α √β)
∵ ❑ +❑
β α
α β
= + +2
β α
α2+β2
= +2
αβ
(α+β) 2−2αβ
= +2
αβ
=16，
√α √β
∴❑ +❑ =4（负值舍去）；
β α
(1) 3 (1) 3
（3）解：由题意可得新一元二次方程的两个根为 和
α β
(1) 3 (1) 3
则 +
α β
1 1 [ (1) 2 (1) 2 1 )
=( + ) + −
α β α β αβ
α+β[α2+β2 1 )
= −
αβ α2β2 αβα+β[(α+β) 2−2αβ 1 )
= −
αβ α2β2 αβ
−4[16−2 )
= −1
1 12
=−52
(1) 3 (1) 3 ( 1 ) 3
= =1
α β αβ
所以新的一元二次方程x2+52x+1=0．
12．（2022春·四川南充·九年级专题练习）已知：关于x的方程(k−1)x2−2kx+k+2=0有实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若x ，x 是方程(k−1)x2−2kx+k+2=0的两个实数根，问：是否存在实数k，使其满足
1 2
(k−1)x2+2kx +k+2=4x x ，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
1 2 1 2
【思路点拨】
（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式，再求解即可；
−2k 2k k+2
（2）根据已知得出(k−1)x2−2kx +k+2=0①，x +x =− = ，x ⋅x = 推出
1 1 1 2 k−1 k−1 1 2 k−1
2k 4k2 k+2 4k2 k+2
x = −x ，求出(k−1)x2−2kx +k+2+ =4⋅ ②，把①代入②得出 =4⋅ ，最
2 k−1 1 1 1 k−1 k−1 k−1 k−1
后求出k即可.
【解题过程】
解：（1）当k−1=0即k=1时，方程−2x+3=0，
3
x= ，即方程有实数根，
2
当k−1≠0时，Δ=(−2k) 2−4⋅(k−1)⋅(k+2)≥0，方程有实数根，即k≤2，
综合上述：k的取值范围是k≤2．
（2）∵x ，x 是方程(k−1)x2−2kx+k+2=0的两个实数根，
1 2∴(k−1)x2−2kx +k+2=0，①
1 1
−2k 2k k+2
x +x =− = ，x ⋅x = ，
1 2 k−1 k−1 1 2 k−1
2k
∴x = −x ，
2 k−1 1
∵(k−1)x2+2kx +k+2=4x x ，
1 2 1 2
∴(k−1)x2+2k ( 2k −x ) +k+2=4⋅ k+2 ，
1 k−1 1 k−1
4k2 k+2
∴(k−1)x2+ −2kx +k+2=4⋅ ，
1 k−1 1 k−1
4k2 k+2
即：(k−1)x2−2kx +k+2+ =4⋅ ，②
1 1 k−1 k−1
4k2 k+2
把①代入②得： =4⋅ ，
k−1 k−1
k2−k−2=0，
k=2，k=−1，
由（1）可知k需满足：k≤2且k≠1，
∴k=2或−1．
13．（2022秋·九年级单元测试）已知关于x的一元二次方程x2−2x−a2−a=0(a>0)．
（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2）若对于a=1，2，3，…，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α 和β ,α 和
1 1 2
β ,α 和β ，…，α 和β ,α 和β ，试求
2 3 3 2019 2019 2020 2020
( 1 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 1 )
+ + +…+ + + + + +…+ +
的值．
α α α α α β β β β β
1 2 3 2019 2020 1 2 3 2019 2020
【思路点拨】
（1）设方程的两根是α ，β ，得出α +β =2，α ·β =−a2−a，代入(α −2)(β −2)，
1 1 1 1 1 1 1 1
=α β −2(α +β )+4，求出其结果是−a2−a，求出−a2−a<0即可；
1 1 1 1
（2）得出 ， ，把
α +β =2 α ·β =−a2−a=−a(a+1)
1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( + + +…+ + )+( + + +…+ + )变形为
α α α α α β β β β β
1 2 3 2019 2020 1 2 3 2019 2020
α +β α +β α +β α +β ，代入后得出
1 1+ 2 2+ 3 3+…+ 2020 2020
α β α β α β α β
1 1 2 2 3 3 2020 2020
1 1 1 1 1 1 1 1
−2×(1− + − + − +…+ − )，推出−2×(1− )，求出即可．
2 2 3 3 4 2020 2021 2021
【解题过程】
解：（1）证明：设方程的两根是α ，β ，
1 1
则α +β =2，α ·β =−a2−a，
1 1 1 1
∴(α −2)(β −2)
1 1
=α β −2(α +β )+4
1 1 1 1
=−a2−a−2×2+4
=−a2−a，
∵a>0，
∴−a2−a<0，
即这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2）∵α +β =2，α ·β =−a2−a=−a(a+1)
1 1 1 1
∵对于a=1，2，3，…，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α 和β ，α 和β ，α 和
1 1 2 2 3
β ，…，α 和β ，α 和β ，
3 2019 2019 2020 2020
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴ ( + + +…+ + )+( + + +…+ + )
α α α α α β β β β β
1 2 3 2019 2020 1 2 3 2019 2020
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= + + + + + +…+ + + +
α β α β α β α β α β
1 1 2 2 3 3 2019 2019 2020 2020
α +β α +β α +β α +β
= 1 1+ 2 2+ 3 3+…+ 2020 2020
α β α β α β α β
1 1 2 2 3 3 2020 2020
2 2 2 2
= + + +…+
−1×2 −2×3 −3×4 −2020×2021
1 1 1 1
=−2×( + + +…+ )
1×2 2×3 3×4 2020×20211 1 1 1 1 1 1
=−2×(1− + − + − +…+ − )
2 2 3 3 4 2020 2021
1
=−2×(1− )
2021
4040
=− ．
2021
14．（2022秋·九年级课时练习）一元二次方程x2+2ax+6−a=0的根x ,x 分别满足以下条件，求出实数
1 2
a的对应范围．
（1）两个根同为正根；
（2）两个根均大于1；
x
（3）
1=3．
x
2
【思路点拨】
△=(2a) 2−4(6−a)≥0①
（1）由一元二次方程x2+2ax+6−a=0有两个正根，可列不等式组∴{ x +x =−2a>0② ，再解
1 2
x x =6−a>0③
1 2
不等式组即可；
（2）由一元二次方程x2+2ax+6−a=0两个均大于1，可得(x −1)(x −1)>0, 即
1 2
x x −(x +x )+1>0,再结合根与系数的关系列不等式，结合△≥0，从而可得答案；
1 2 1 2
x
（3）由 1=3可得x =3x , 结合x +x =−2a,求解x ,x , 再利用x x =6−a, 再解方程求解a的值，再
x 1 2 1 2 1 2 1 2
2
检验即可.
【解题过程】
（1）解：∵ 一元二次方程x2+2ax+6−a=0有两个正根，
△=(2a) 2−4(6−a)≥0①
∴{ x +x =−2a>0②
1 2
x x =6−a>0③
1 2
由①得：a2+a−6≥0,
解得：a≥2或a≤−3,
由②得：a<0,
由③得：a<6,
所以a的取值范围为：a≤−3；（2）解： 由（1）得：a≤−3,
一元二次方程x2+2ax+6−a=0两个均大于1，
∴(x −1)(x −1)>0, 即x x −(x +x )+1>0,
1 2 1 2 1 2
而x +x =−2a,x x =6−a,
1 2 1 2
∴6−a+2a+1>0, 解得：a>−7,
综上−70， = =2，为整数，符合题意；
m −1
∴m的值为−1；
（2）当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，解得x=−2；
(m−1)±❑√m2−10m+1
当m≠0时，对于关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0的根为：x= ，
2m
若方程的根为有理根，且m为整数，
则Δ=m2−10m+1为完全平方数，
设m2−10m+1=k2（k为正整数），
10±❑√100−4+4k2
则：m= =5±❑√24+k2，
2
∵m为整数，
设24+k2=n2（n为正整数），
∴(k+n)(n−k)=24，
{k+n=12) {k+n=6) {k+n=8) {k+n=24)
∴ 或 或 或 ，
n−k=2 n−k=4 n−k=3 n−k=15 23
{ k= ) { k= )
{k=5) {k=1) 2 2
解得： 或 或 （不合题意，舍去）或 （不合题意，舍去）
n=7 n=5 11 25
n= n=
2 2
∴m2−10m+1=12=1或m2−10m+1=52=25；
当m2−10m+1=1时，解得m=10或m=0（舍去）；
当m2−10m+1=25时，解得m=−2或m=12，
综上所述，若方程的根为有理根，则整数m的值为0或10或−2或12．
18．（2022秋·四川资阳·九年级统考期末）定义：已知x ，x 是关于x的一元二次方程
1 2
x
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，若x 0，m<0且m≠−1，可求出
m的取值范围．最后分类讨论即可求解．
【解题过程】
（1）解：x2+9x+14=0，
(x+2)(x+7)=0，
∴x+2=0或x+7=0，∴x =−7，x =−2．
1 2
−7 7
∵−7<−2，3< = <4，
−2 2
∴此方程为“限根方程”；
（2）∵方程2x2+(k+7)x+k2+3=0的两个根分比为x 、x ，
1 2
k+7 k2+3
∴x +x =− ，x x = ．
1 2 2 1 2 2
∵x +x +x x =−1，
1 2 1 2
k+7 k2+3
∴− + =−1，
2 2
解得：k =2，k =−1．
1 2
分类讨论：①当k=2时，原方程为2x2+9x+7=0，
7
∴x =− ，x =−1，
1 2 2
x 7
∴x 0，m<0且m≠−1，∴(1−m) 2+4m>0，即(1+m) 2>0，
∴m<0且m≠−1．
分类讨论：①当−10得p2>
，
4
∵方程有两个不同的实数根x ，x ，
1 2
∴x +x =−2p，x x =5−3p2 ，
1 2 1 2
1 1 8
+ =
∵ ，
x x 43
1 2
x +x 8
∴
1 2=
，
x x 43
1 2
−2p 8
=
∴ ，
5−3p2 43
整理，得12p2−43p−20=0，
5
解得：p=4，p=− 舍去，
12
故P=4．
（2）原方程化为：x2+2px−3p2+5−q=0，x2+2px−3p2+5+q=0．
由题意可知q>0，
∴Δ =4(4 p2−5+q)>0，Δ =4(4 p2−5−q)=0，
1 2
∴x2+2px−3p2+5−q=0，x2+2px+p2=0，
不妨设x +x =−2p，x x =−3p2+5−q，x =−p，
1 2 1 2 3
1 1 1
∵
+ + =0，
x x x
1 2 3
x +x 1
∴
1 2=−
，
x x x
1 2 3
−2p 1
∴
=−
，
−3p2+5−q −p
整理，得p2=5−q，
∵4 p2−5−q=0，解得q=3，p=±❑√2．
（3）同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根x ，x ，x ，x ，且
1 2 3 4
(x +x +x +x ) 4
x x x x =3 1 2 3 4 ，
1 2 3 4 4
原方程化为：x2+2px−3p2+5−q=0，x2+2px−3p2+5+q=0．
由题意及q>0，
∴Δ =4(4 p2−5+q)>0，Δ =4(4 p2−5−q)＞0，
1 2
不妨设x +x =−2p，x x =−3p2+5−q，x +x =−2p，x x =−3p2+5+q，
1 2 1 2 3 4 3 4
(x +x +x +x ) 4
∵x x x x =3 1 2 3 4 ，
1 2 3 4 4
∴(3p2−5+q)(3p2−5−q)=3p4，
∵q>0，p为质数，
∴3p2−5+q>3p2−5−q，且3p2−5+q>p2，
又3p4=3p4×1=p4×3=3p3×p=p3×3p=3p2×p2，
{3p2−5+q=3p4
)
∴ ，此时Δ =36−4×3×11＜0，方程组无解；
3p2−5−q=1 1
{3p2−5+q=3p3
)
，此时3p3−6p2+p+10=0，
3p2−5−q=p
∴3p2 (p−2)+p+10=0，
∵q>0，p为质数，
∴3p2 (p−2)+p+10＞0，
此时方程组无解；
{3p2−5+q=p3
)
，此时p3−6p2+3p+10=0，
3p2−5−q=3p(p−2)(p2−3p−5)=0，
∴p=2或p=5或p=-1(舍去)；
当p=2时，q=1；
当p=5时，q=55；
{3p2−5+q=p4
)
，此时Δ =36−4×13×1＜0，方程组无解；
3p2−5−q=3 4
{3p2−5+q=3p2 ) {p=❑√5) {p=−❑√5)
，解得 或 ，
3p2−5−q=p2 q=5 q=5
∵p是质数，
∴不符合题意；
