专题 21.1 一元二次方程根与系数的关系
【典例1】已知关于x的二次方程x2−ax+a2−4=0．
（1）a为何值时，方程有两个不同的正根；
（2）a为何值时，方程只有一个正根．
【思路点拨】
（1）根据一元二次方程有两个不相等正根，则根的判别式Δ=(−a) 2−4(a2−4)>0，x₁+x₂＞0，x₁·x₂＞
0，组成不等式组求出a的取值范围即可；
（2）根据一元二次方程只有一个正实数根，分为三种情况，一是有且只有一个正根，二是有两个根其中
一个是正根，另一个根式负根或0，结合判别式以及根与系数的关系列不等式，求出a的值即可．
【解题过程】
解：（1）根据题意得，方程x2−ax+a2−4=0有两个不同的正根，
∴Δ=(−a) 2−4(a2−4)=−3a2+16＞0①，
且x₁+x₂=a＞0②，
x₁·x₂=a²-4＞0③，
4
解由①②③组成的不等式组得，2＜a＜ ❑√3，
3
4
故当2＜a＜ ❑√3时，方程有两个不同的正根；；
3
（2）Ⅰ 当方程x2−ax+a2−4=0只且只有一个正根时，
∴Δ=(−a) 2−4(a2−4)=−3a2+16=0①，
且x₁+x₂=a＞0②，
x₁·x₂=a²-4＞0③，
4 4
解①得：a= ❑√3或a=﹣ ❑√3，
3 34
当a= ❑√3时，满足②、③，
3
4
而a=﹣ ❑√3不满足②，故舍去，
3
4
故当a= ❑√3时，方程只有一个正根．
3
Ⅱ 当方程x2−ax+a2−4=0有一个正根，一个负根，
则Δ=(−a) 2−4(a2−4)=−3a2+16>0①，
且x₁·x₂=a²-4＜0②
4 4
解①得：− ❑√3<a< ❑√3，
3 3
解②得：-2＜a＜2，
即−2<a<2
Ⅲ 当方程x2−ax+a2−4=0有一个正根，一个0，
则Δ=(−a) 2−4(a2−4)=−3a2+16>0①，
且x₁·x₂=a²-4=0②
x₁+x₂=a＞0③
4 4
解①得：− ❑√3<a< ❑√3，
3 3
解②得： a=±2，
由③a＞0
即a=2
4
综上所述：−2<a≤2或 ❑√3
3
1．（2022·四川宜宾·九年级专题练习）关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有两个不等的实数根x，x，且
1 2
x＜1＜x，那么a的取值范围是（ ）
1 2
2 2 2 2 2
A．﹣ ＜a＜ B．a＞ C．a＜﹣ D．﹣ ＜a＜0
7 5 5 7 11
【思路点拨】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x＜1＜x，即（x-
1 2 1
1）（x-1）＜0，xx-（x+x）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围．
2 1 2 1 2
【解题过程】
解：∵方程有两个不相等的实数根，
则a≠0且△＞0，
由（a+2）2-4a×9a=-35a2+4a+4＞0，
2 2
解得− <a< ，
7 5
又∵x＜1＜x，
1 2
∴x-1＜0，x-1＞0，
1 2
那么（x-1）（x-1）＜0，
1 2
∴xx-（x+x）+1＜0，
1 2 1 2
a+2
∵x +x =− ，xx=9，
1 2 a 1 2
a+2
即9+ +1<0，
a
2
解得− <a<0，
11
2
综上所述，a的取值范围为：− <a<0.
11
故选D．
2．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）若方程x2+2px−3p−2=0的两个不相等的实数根
x 、x 满足x 2+x 3=4−(x 2+x 3)，则实数p的所有值之和为（ ）
1 2 1 1 2 2
3 5
A．0 B．− C．−1 D．−
4 4
【思路点拨】
先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到 ， ，进而推出
x 2+2px −3p−2=0 x +x =−2p
1 1 1 2
，则 ， ，
x 3=3px +2x −2px 2 x 3+x 2=3px +2x −2px 2+x 2 x 3+x 2=3px +2x −2px 2+x 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
即可推出 (3p+2)(x +x )+(1−2p)(x 2+x 2)=4 ，然后代入 x +x =−2p ， x 2+x 2=(x +x ) 2−4 p 得到
1 2 1 2 1 2 1 2 1 22p(4 p+3)(p+1)=0，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案．
【解题过程】
解：∵x 、x 是方程x2+2px−3p−2=0的两个相等的实数根，
1 2
∴x 2+2px −3p−2=0，x +x =−2p，x x =−3p−2，
1 1 1 2 1 2
∴x 2+2px =3p+2，
1 1
∴x 3+2px 2=3px +2x ，
1 1 1 1
∴x 3=3px +2x −2px 2 ，
1 1 1 1
∴x 3+x 2=3px +2x −2px 2+x 2 ，
1 1 1 1 1 1
同理得x 3+x 2=3px +2x −2px 2+x 2 ，
2 2 2 2 2 2
∵x 2＋x 3=4−(x 2+x 3)，
1 1 2 2
∴x 2+x 3+(x 2+x 3)=4，
1 1 2 2
∴3px +2x −2px 2+x 2+3px +2x −2px 2+x 2=4，
1 1 1 1 2 2 2 2
∴(3p+2)(x +x )+(1−2p)(x 2+x 2)=4，
1 2 1 2
∴(3p+2)(−2p)+(1−2p)[(−2p) 2−2(−3p−2))=4，
∴−6p2−4 p+(1−2p)(4 p2+6p+4)=4，
∴−6p2−4 p+4 p2+6p+4−2p(4 p2+6p+4)=4，
∴−2p2+2p−2p(4 p2+6p+4)=0，
∴−2p(4 p2+6p+4+p−1)=0，
∴2p(4 p2+7p+3)=0，
∴2p(4 p+3)(p+1)=0，3
解得p =0，p =−1，p =− ，
1 2 3 4
∵Δ=(2p) 2+4(3p+2)>0，
∴p2+3p+2>0，
∴(p+1)(p+3)>0，
∴p=−1不符合题意，
3
∴p +p =−
1 3 4
∴符合题意，
故选B．
3．（2022秋·全国·九年级专题练习）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，
关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的
根都负根；②(m−1) 2+(n−1) 2≥2；③−1≤2m−2n≤1，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【思路点拨】
设方程x2+2mx+2n=0的两根为x、x，方程y2+2ny+2m=0同的两根为y、y．①根据方程解的情况
1 2 1 2
可得出x•x=2n＞0、y•y=2m＞0，结合根与系数的关系可得出x+x=-2m、y+y=-2n，进而得出这两个方
1 2 1 2 1 2 1 2
程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，将
（m-1）2+（n-1）2展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y+1）（y+1）-1、
1 2
2n-2m=（x+1）（x+1）-1，结合x、x、y、y 均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．综上即可得出
1 2 1 2 1 2
结论．
【解题过程】
解：设方程x2+2mx+2n=0的两根为x、x，方程y2+2ny+2m=0同的两根为y、y．
1 2 1 2
①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0
同样也有两个整数根且乘积为正，
∴x•x=2n＞0，y•y=2m＞0，
1 2 1 2
∵x+x=-2m，y+y=-2n，
1 2 1 2
∴这两个方程的根都是负根，①正确；
②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0
同样也有两个整数根且乘积为正，∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，
∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，
∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确；
③∵y•y=2m，y+y=-2n，
1 2 1 2
∴2m-2n=y •y+y+y=（y+1）（y+1）-1，
1 2 1 2 1 2
∵y、y 均为负整数，
1 2
∴（y+1）（y+1）≥0，
1 2
∴2m-2n≥-1．
∵x•x=2n，x+x=-2m，
1 2 1 2
∴2n-2m=x •x2+x+x=（x+1）（x+1）-1，
1 1 2 1 2
∵x、x 均为负整数，
1 2
∴（x+1）（x+1）≥0，
1 2
∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．
∴-1≤2m-2n≤1，③成立．
综上所述：成立的结论有①②③．
故选D．
4．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程
x2−(n+2)x−2n2=0的两个根为a ,b (n≥2)，则
n n
1 1 1
+ +⋯+ =
__________．
(a −2)(b −2) (a −2)(b −2) (a −2)(b −2)
2 2 3 3 2021 2021
【思路点拨】
由根与系数的关系得a +b =n+2，a ⋅b =−2n2 ，所以
n n n n
(a −2)(b −2)=a b −2(a +b )+4=−2n2−2(n+2)+4=−2n(n+1)，则
n n n n n n
1 1 1 1 1
=− =− ( − )，然后代入即可求解．
(a −2)(b −2) 2n(n+1) 2 n n+1
n n
【解题过程】
由根与系数的关系得a +b =n+2，a ⋅b =−2n2 ，
n n n n所以(a −2)(b −2)=a b −2(a +b )+4=−2n2−2(n+2)+4=−2n(n+1)，
n n n n n n
1 1 1 1 1
则 = =− ( − )，
(a −2)(b −2) 2n(n+1) 2 n n+1
n n
1 1 1
则
+ +⋯+
(a −2)(b −2) (a −2)(b −2) (a −2)(b −2)
2 2 3 3 2021 2021
1 1 1 1 1 1 1
=− [( − )+( − )+…+( − )]
2 2 3 3 4 2021 2022
1 1 1
=− ×( − )
2 2 2022
1 1010
=− ×
2 2022
505
=− ．
2022
505
故答案为：− ．
2022
m2
5．（2022秋·全国·九年级专题练习）关于x的方程x2−(m−2)x− =0两个实根x ,x 满足|x )=|x )+3
4 1 2 1 2
，则m的值为_______．
【思路点拨】
m2
先判断一元二次方程根的情况，然后利用根与系数的关系，得到x +x =m−2，x •x =− ≤0，结合
1 2 1 2 4
|x |−|x |=3，通过变形求值，即可求出m的值.
1 2
【解题过程】
m2
解：在方程x2−(m−2)x− =0中，有
4
m2
Δ=[−(m−2)] 2−4×1×(− )=2m2−4m+4=2(m−1) 2+2>0，
4
∴原方程有两个不相等的实数根；
根据根与系数的关系，有：
m2
−(m−2) −
x +x =− =m−2， 4 m2 ，
1 2 1 x •x = =− ≤0
1 2 1 4
∵|x |=|x |+3，
1 2
∴|x |−|x |=3，
1 2∴x2−2|x •x |+x2=9，
1 1 2 2
∴(x +x ) 2−2x •x −2|x •x |=9，
1 2 1 2 1 2
∴(x +x ) 2−2x •x +2x •x =9，
1 2 1 2 1 2
∴(m−2) 2=9，
解得：m =5，m =−1；
1 2
故答案为：5或−1.
6．（2022春·九年级课时练习）已知实系数一元二次方程ax2+2bx+c＝0有两个实根x，x，且a＞b＞c，
1 2
a+b+c＝0，设d=|x −x )，则d的取值范围为_____．
1 2
【思路点拨】
先根据一元二次方程根与系数的关系求出d2的表达式，再根据二次函数性质求其取值范围即可．
【解题过程】
解：∵实系数一元二次方程ax2+2bx+c＝0有两个实根x、x，
1 2
2b c
∴x+x＝﹣ ，x·x＝ ，
1 2 a 1 2 a
∴d2＝|x﹣x|2
1 2
=（x+x）2﹣4x·x
1 2 1 2
2b 4c
＝（﹣ ）2﹣
a a
2
[ 2(−a−c)) 4c
＝ − ﹣
a a
4(a2+2ac+c2)
4ac
= −
a2 a2
4(a2+ac+c2)
=
a2
c c
＝4[（ ）2+ +1]
a ac 1 3
＝4[（ + ）2+ ]，
a 2 4
∵a＞b＞c，a+b+c＝0，
∴a＞0，c＜0，a＞﹣a﹣c＞c，
c 1
解得：﹣2＜ ＜﹣ ，
a 2
c 1 3 c 1
∵y＝4[（ + ）2+ ]的对称轴为： ＝﹣ ，
a 2 4 a 2
c 1 c
∴当﹣2＜ ＜﹣ 时，y随 增大而减小，
a 2 a
∴3＜d2＜12，
∴❑√3<d<2❑√3，
故答案为：❑√3<d<2❑√3．
7．（2022秋·八年级单元测试）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，甲由于看错了二
次项系数，求得两个根为3和6，乙由于看错了某一项系数的符号，求得两个根为3+❑√21和3−❑√21，则
2b+3c
=____________
4a
【思路点拨】
先利用两根分别表示出错误的方程为：对于甲：设k(x−3)(x−6)=0，得：kx2−9kx+18k=0 ；对于
乙：设p(x−3−❑√21)(x−3+❑√21)=0，得：px2−6px−12p=0，乙的错误不可能是看错了一次项系
数的符号，分两种情况：①若乙看错了二次项系数的符号，那么甲和乙的方程里面一次项和常数项分别相
等；②若乙看错了常数项的符号，那么甲和乙的方程里面一次项相等，常数项互为相反数，则正确的方程
为px2−6px+12p=0，求代数式的值即可.
【解题过程】
解：对于甲：设k(x−3)(x−6)=0
得：kx2−9kx+18k=0
对于乙：设p(x−3−❑√21)(x−3+❑√21)=0
得：px2−6px−12p=0
分情况讨论：
①若乙看错了二次项系数的符号，那么
{−9k=−6p)
18k=−12p解得：k=p=0，不符合题意，舍去
②若乙看错了常数项的符号，那么
{ −9k=−6p )
18k−12p=0
3
解得：p= k
2
则a=p,b=−6p,c=12p
2b+3c −12p+36p
= =6
4a 4 p
③若乙看错了一次项项的符号，那么
{ −9k=6p )
18k=−12p
3
解得：p=− k
2
则a=p,b=6p,c=−12p
2b+3c 12p−36p
= =−6
4a 4 p
故答案为±6
8．（2022春·四川内江·九年级专题练习）将两个关于x的一元二次方程整理成a(x+ ℎ) 2+k＝0（a≠0，
a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二
次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1) 2−2=0是“同源二次方
程”，且方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x 、x ，则b－2c＝______，ax +x x +ax 的最大值
1 2 1 1 2 2
是______．
【思路点拨】
利用ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1) 2−2=0是“同源二次方程”得出b=2a，c=a−2，即可求出
a−2
b−2c；利用一元二次方程根与系数的关系可得x +x =−2，x x = ，进而得出
1 2 1 2 a
( 1) 1
ax +x x +ax =−2 a+ +1，设a+ =t（t>0），得a2−t⋅a+1=0，根据方程a2−t⋅a+1=0有正
1 1 2 2 a a
数解可知Δ=t2−4≥0，求出t的取值范围即可求出ax +x x +ax 的最大值．
1 1 2 2【解题过程】
解：根据新的定义可知，方程ax2+bx+c=0（a≠0）可变形为a(x+1) 2−2=0，
∴a(x+1) 2−2=ax2+bx+c，
展开，ax2+2ax+a−2=ax2+bx+c，
可得b=2a，c=a−2，
∴b−2c=2a−2(a−2)=4；
a−2
∵x +x =−2，x x = ，
1 2 1 2 a
a−2 ( 1)
∴ax +x x +ax =a(x +x )+x x =−2a+ =−2 a+ +1，
1 1 2 2 1 2 1 2 a a
∵方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x 、x ，
1 2
∴Δ=b2−4ac=(2a) 2−4a(a−2)=8a≥0，且a≠0，
∴a>0，
1
设a+ =t（t>0），得a2−t⋅a+1=0，
a
∵方程a2−t⋅a+1=0有正数解，
∴Δ=t2−4≥0，
1
解得t≥2，即a+ ≥2，
a
( 1)
∴ax +x x +ax =−2 a+ +1≤−3．
1 1 2 2 a
故答案为：4，-3．
9．（2022秋·广东江门·九年级统考阶段练习）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，
且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正
确的有_____（填序号）．
①方程x2−x−2=0是“倍根方程”；
②若(x−2)(mx+n)=0是“倍根方程”，则4m2+5mn+n2=0；
③若p,q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是“倍根方程”；
④若方程ax2+bx+c=0是“倍根方程”，则必有2b2=9ac．
【思路点拨】
①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；
③当p,q满足pq=2时，有px2+3x+q= (px+1)(x+q)=0，求出两个根，再根据pq=2代入可得两个根
之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；
④用求根公式求出两个根，当x =2x 或2x =x 时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
1 2 1 2
【解题过程】
解：①解方程x2−x−2=0，得x =2，x =−1，
1 2
∵x ≠2x ，
1 2
∴方程x2−x−2=0不是“倍根方程”．故①不正确；
②∵(x−2)(mx+n)=0是“倍根方程”，且x =2，
1
因此x =1或x =4．
2 2
当x =1时，m+n=0，
2
当x =4时，4m+n=0，
2
∴4m2+5mn+n2=(m+n)(4m+n) =0，故②正确；
③∵pq=2，
∴px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，
1
∴x =− ，x =−q，
1 p 2
2
∴x =−q=− =2x ，
2 p 1
因此px2+3x+q=0是“倍根方程”，故③正确；
−b+❑√b2−4ac −b−❑√b2−4ac
④方程ax2+bx+c=0的根为x = ,x = ，
1 2a 2 2a
−b+❑√b2−4ac −b−❑√b2−4ac
若x =2x ，则 = × 2，
1 2
2a 2a
−b+❑√b2−4ac −b−❑√b2−4ac
即 − ×2=0，
2a 2a
b+3❑√b2−4ac
∴ =0，
2a
∴b+3❑√b2−4ac=0，
∴3❑√b2−4ac=−b，∴9(b2−4ac)=b2，
∴2b2=9ac，
−b+❑√b2−4ac −b−❑√b2−4ac
若2x =x ，则 ×2= ，
1 2
2a 2a
−b+3❑√b2−4ac
∴ =0，
2a
∴−b+3❑√b2−4ac=0，
∴b=3❑√b2−4ac，
∴b2=9(b2−4ac)，
∴2b2=9ac．故④正确，
故答案为：②③④．
10．（2023春·全国·八年级专题练习）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等
的实数根x，x．
1 2
（1）求k的取值范围；
1 1
（2）是否存在实数k，使 − ＝1成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
x x
1 2
【思路点拨】
（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求得k的取值范围．
1 1 x −x
（2）利用根与系数的关系，根据 − = 2 1,即可求出k的值，看是否满足（1）中k的取值范围，
x x x x
1 2 1 2
从而确定k的值是否存在．
【解题过程】
解：（1）由题意知，k≠0且△＝b2﹣4ac＞0
∴b2﹣4ac＝[﹣2（k+1）]2﹣4k（k﹣1）＞0，
即4k2+8k+4﹣4k2+4k＞0，
∴12k＞﹣4
1
解得：k＞− 且k≠0
3
（2）存在，且k=7±2❑√13.理由如下：2(k+1) k−1
∵x +x = ,x x = ,
1 2 k 1 2 k
1 1 x −x
又有 − = 2 1=1,
x x x x
1 2 1 2
∴x −x =x x ,
2 1 1 2
∴x2−2x x +x2=x2x2,
2 1 2 1 1 2
∴(x +x ) 2−4x x =(x x ) 2,
1 2 1 2 1 2
2k+2 2 4k−4 k−1 2
∴( ) − =( ) ,
k k k
∴(2k+2) 2−k(4k−4)=(k−1) 2,
∴k2−14k−3=0,
∵a=1,b=−14,c=−3,
∴Δ=b2−4ac=208,
14±4❑√13
∴k= =7±2❑√13.
2
1
∵ k＞− 且k≠0，
3
1 1
∵7−2❑√13≈−0.21＞− , 7+2❑√13＞− .
3 3
∴满足条件的k值存在，且k=7±2❑√13 ．
11．（2022·浙江·九年级自主招生）已知方程x2+4x+1=0的两根是α、β．
（1）求|α−β|的值；
√α √β
（2）求❑ +❑ 的值；
β α
（3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于α、β的倒数的立方．（参考公式：
x3+ y3=(x+ y)(x2+ y2−xy)．
【思路点拨】
（1）利用一元二次方程根与系数的关系可得α+β=−4,αβ=1，再求得(α−β) 2的值，进而求得|α−β|
的值．√α √β ❑√α ❑√β α+β
（2）先根据二次根式的性质将❑ +❑ 化为 + ，然后通分化简可得 ，最后将
β α ❑√β ❑√α ❑√αβ
α+β=−4,αβ=1代入计算即可；
(1) 3 (1) 3 (1) 3 (1) 3 (1) 3 (1) 3
（3）由题意可得新一元二次方程的两个根为 和 ，然后求得 + 和 的值，然
α β α β α β
后根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．
【解题过程】
（1）解：∵方程x2+4x+1=0的两根是α、β
∴α+β=−4,αβ=1
∴(α−β) 2=(α+β) 2−4αβ=12
∴|α−β|=2❑√3；
（2）解：由（1）可知：α<0，β<0，
2
(√α √β)
∵ ❑ +❑
β α
α β
= + +2
β α
α2+β2
= +2
αβ
(α+β) 2−2αβ
= +2
αβ
=16，
√α √β
∴❑ +❑ =4（负值舍去）；
β α
(1) 3 (1) 3
（3）解：由题意可得新一元二次方程的两个根为 和
α β
(1) 3 (1) 3
则 +
α β
1 1 [ (1) 2 (1) 2 1 )
=( + ) + −
α β α β αβ
α+β[α2+β2 1 )
= −
αβ α2β2 αβα+β[(α+β) 2−2αβ 1 )
= −
αβ α2β2 αβ
−4[16−2 )
= −1
1 12
=−52
(1) 3 (1) 3 ( 1 ) 3
= =1
α β αβ
所以新的一元二次方程x2+52x+1=0．
12．（2022春·四川南充·九年级专题练习）已知：关于x的方程(k−1)x2−2kx+k+2=0有实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若x ，x 是方程(k−1)x2−2kx+k+2=0的两个实数根，问：是否存在实数k，使其满足
1 2
(k−1)x2+2kx +k+2=4x x ，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
1 2 1 2
【思路点拨】
（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式，再求解即可；
−2k 2k k+2
（2）根据已知得出(k−1)x2−2kx +k+2=0①，x +x =− = ，x ⋅x = 推出
1 1 1 2 k−1 k−1 1 2 k−1
2k 4k2 k+2 4k2 k+2
x = −x ，求出(k−1)x2−2kx +k+2+ =4⋅ ②，把①代入②得出 =4⋅ ，最
2 k−1 1 1 1 k−1 k−1 k−1 k−1
后求出k即可.
【解题过程】
解：（1）当k−1=0即k=1时，方程−2x+3=0，
3
x= ，即方程有实数根，
2
当k−1≠0时，Δ=(−2k) 2−4⋅(k−1)⋅(k+2)≥0，方程有实数根，即k≤2，
综合上述：k的取值范围是k≤2．
（2）∵x ，x 是方程(k−1)x2−2kx+k+2=0的两个实数根，
1 2∴(k−1)x2−2kx +k+2=0，①
1 1
−2k 2k k+2
x +x =− = ，x ⋅x = ，
1 2 k−1 k−1 1 2 k−1
2k
∴x = −x ，
2 k−1 1
∵(k−1)x2+2kx +k+2=4x x ，
1 2 1 2
∴(k−1)x2+2k ( 2k −x ) +k+2=4⋅ k+2 ，
1 k−1 1 k−1
4k2 k+2
∴(k−1)x2+ −2kx +k+2=4⋅ ，
1 k−1 1 k−1
4k2 k+2
即：(k−1)x2−2kx +k+2+ =4⋅ ，②
1 1 k−1 k−1
4k2 k+2
把①代入②得： =4⋅ ，
k−1 k−1
k2−k−2=0，
k=2，k=−1，
由（1）可知k需满足：k≤2且k≠1，
∴k=2或−1．
13．（2022秋·九年级单元测试）已知关于x的一元二次方程x2−2x−a2−a=0(a>0)．
（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2）若对于a=1，2，3，…，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α 和β ,α 和
1 1 2
β ,α 和β ，…，α 和β ,α 和β ，试求
2 3 3 2019 2019 2020 2020
( 1 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 1 )
+ + +…+ + + + + +…+ +
的值．
α α α α α β β β β β
1 2 3 2019 2020 1 2 3 2019 2020
【思路点拨】
（1）设方程的两根是α ，β ，得出α +β =2，α ·β =−a2−a，代入(α −2)(β −2)，
1 1 1 1 1 1 1 1
=α β −2(α +β )+4，求出其结果是−a2−a，求出−a2−a<0即可；
1 1 1 1
（2）得出 ， ，把
α +β =2 α ·β =−a2−a=−a(a+1)
1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( + + +…+ + )+( + + +…+ + )变形为
α α α α α β β β β β
1 2 3 2019 2020 1 2 3 2019 2020
α +β α +β α +β α +β ，代入后得出
1 1+ 2 2+ 3 3+…+ 2020 2020
α β α β α β α β
1 1 2 2 3 3 2020 2020
1 1 1 1 1 1 1 1
−2×(1− + − + − +…+ − )，推出−2×(1− )，求出即可．
2 2 3 3 4 2020 2021 2021
【解题过程】
解：（1）证明：设方程的两根是α ，β ，
1 1
则α +β =2，α ·β =−a2−a，
1 1 1 1
∴(α −2)(β −2)
1 1
=α β −2(α +β )+4
1 1 1 1
=−a2−a−2×2+4
=−a2−a，
∵a>0，
∴−a2−a<0，
即这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2）∵α +β =2，α ·β =−a2−a=−a(a+1)
1 1 1 1
∵对于a=1，2，3，…，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α 和β ，α 和β ，α 和
1 1 2 2 3
β ，…，α 和β ，α 和β ，
3 2019 2019 2020 2020
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴ ( + + +…+ + )+( + + +…+ + )
α α α α α β β β β β
1 2 3 2019 2020 1 2 3 2019 2020
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= + + + + + +…+ + + +
α β α β α β α β α β
1 1 2 2 3 3 2019 2019 2020 2020
α +β α +β α +β α +β
= 1 1+ 2 2+ 3 3+…+ 2020 2020
α β α β α β α β
1 1 2 2 3 3 2020 2020
2 2 2 2
= + + +…+
−1×2 −2×3 −3×4 −2020×2021
1 1 1 1
=−2×( + + +…+ )
1×2 2×3 3×4 2020×20211 1 1 1 1 1 1
=−2×(1− + − + − +…+ − )
2 2 3 3 4 2020 2021
1
=−2×(1− )
2021
4040
=− ．
2021
14．（2022秋·九年级课时练习）一元二次方程x2+2ax+6−a=0的根x ,x 分别满足以下条件，求出实数
1 2
a的对应范围．
（1）两个根同为正根；
（2）两个根均大于1；
x
（3）
1=3．
x
2
【思路点拨】
△=(2a) 2−4(6−a)≥0①
（1）由一元二次方程x2+2ax+6−a=0有两个正根，可列不等式组∴{ x +x =−2a>0② ，再解
1 2
x x =6−a>0③
1 2
不等式组即可；
（2）由一元二次方程x2+2ax+6−a=0两个均大于1，可得(x −1)(x −1)>0, 即
1 2
x x −(x +x )+1>0,再结合根与系数的关系列不等式，结合△≥0，从而可得答案；
1 2 1 2
x
（3）由 1=3可得x =3x , 结合x +x =−2a,求解x ,x , 再利用x x =6−a, 再解方程求解a的值，再
x 1 2 1 2 1 2 1 2
2
检验即可.
【解题过程】
（1）解：∵ 一元二次方程x2+2ax+6−a=0有两个正根，
△=(2a) 2−4(6−a)≥0①
∴{ x +x =−2a>0②
1 2
x x =6−a>0③
1 2
由①得：a2+a−6≥0,
解得：a≥2或a≤−3,
由②得：a<0,
由③得：a<6,
所以a的取值范围为：a≤−3；（2）解： 由（1）得：a≤−3,
一元二次方程x2+2ax+6−a=0两个均大于1，
∴(x −1)(x −1)>0, 即x x −(x +x )+1>0,
1 2 1 2 1 2
而x +x =−2a,x x =6−a,
1 2 1 2
∴6−a+2a+1>0, 解得：a>−7,
综上−7<a≤−3
x
（3）解：∵ 1=3，则x =3x ,
x 1 2
2
∵x +x =−2a,
1 2
3 1
解得：x =− a,x =− a,
1 2 2 2
∵x x =6−a,
1 2
3
∴ a2=6−a,
4
整理得：3a2+4a−24=0,
−4±4❑√19 −2±2❑√19
∴a= = ,
6 3
∵ a≥2或a≤−3,
−2+2❑√19 −2−2❑√19
经检验：a= 或a= 都符合题意.
3 3
15．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程
x2＋2（m﹣2）x＋m2﹣3m＋3＝0有两个实数根x，x．
1 2
（1）若x2+x2=2，求m的值；
1 2
mx mx
1 2
（2）令T＝ ＋ ，求T的取值范围．
1−x 1−x
1 2
【思路点拨】
首先根据方程有两个实数根及m是不小于-1的实数，确定m的取值范围，根据根与系数的关系，用含m的
代数式表示出两根的和、两根的积．
（1）变形x2+x2为（x+x）2-2xx，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m的取值
1 2 1 2 1 2
范围得到m的值；
（2）化简T，用含m的式子表示出T，根据m的取值范围，得到T的取值范围．【解题过程】
解：（1）∵关于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有两个实数根，
∴Δ=4（m-2）2-4（m2-3m+3）≥0，
解得m≤1，
∵m是不小于-1的实数，
∴-1≤m≤1，
∵方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0的两个实数根为x，x，
1 2
∴x+x=-2（m-2）=4-2m，x•x=m2-3m+3．
1 2 1 2
∵x2+x2=2，
1 2
∴（x+x）2-2xx=2，
1 2 1 2
∴4（m-2）2-2（m2-3m+3）=2，
整理得m2-5m+4=0，解得m=1，m=4（舍去），
1 2
∴m的值为1；
mx mx
1 2
（2）T＝ ＋ ，
1−x 1−x
1 2
mx (1−x )+mx (1−x )
1 2 2 1
=
(1−x )(1−x )
1 2
m[(x +x )−2x x ]
1 2 1 2
=
1−(x +x )+x x
1 2 1 2
m(4−2m−2m2+6m−6)
=
1−4+2m+m2−3m+3
−2m(m−1) 2
=
m2−m
−2m(m−1) 2
=
m(m−1)
=2-2m．
∵当x=1时，方程为1＋2（m﹣2）＋m2﹣3m＋3＝0，
解得m=1或m=0．
∴当m=1或m=0时，T没有意义．∴−1≤m<1且m≠0
∴0<2-2m≤4且T≠2．
即0<T≤4且T≠2．
16．（2022秋·福建泉州·九年级石狮市石光中学校考期中）已知关于x的一元二次方程
mx2+(3m+1)x+3=0 (m≠0)．
（1）求证：方程有两个实数根；
1
（2）若m<0，方程的两个实数根分别为x ,x （其中x <x ），若y是m的函数，且y=x − ，求这个
1 2 1 2 1 x
2
函数的解析式．
（3）若m为正整数，关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0 (m≠0)的两个根都是整数，a与a+b
(b≠0)分别是关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0的两个根．求代数式4a2+12ab+5b2+16b+8的值．
【思路点拨】
（1）利用Δ求出关于m的式子，然后证明关于m的式子大于或等于0即可；
（2）利用公式法确定两根，代入即可得出这个函数解析式；
（3）利用根与系数的关系求出m的值，即可得到a与a+b(b≠0)分别是关于x的方程x2+4x+3−b=0的
4+b
两个根，利用根与系数的关系得到a+a+b=−4，即a=− ，代入代数式化简即可求出答案．
4
【解题过程】
（1）解：∵由题意可知Δ=(3m+1) 2−4m×3=9m2−6m+1=(3m−1) 2≥0，
∴方程有两个实数根；
（2）mx2+(3m+1)x+3=0
解：由（1）可知，方程有两个实数根，
−(3m+1)±❑√(3m−1) 2
∴ x= ,(m<0)，
2m
−3m−1±(1−3m)
∴ x= ，
2m
∵x <x ，
1 2
1
∴x =−3，x =− ，
1 2 m1 1
y=x − =−3− =−3+m,(m<0)
∴ 1 x 1 ．
2 −
m
∴ y=−3+m,(m<0)．
（3）解：∵a与a+b (b≠0)分别是关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0的两个根．
3m+1 1 3
∴a+a+b=2a+b=− =−3− ，a(a+b)= ，
m m m
∵a与b是整数，
1 3
∴ 与 同为整数，
m m
∵m是正整数，
∴m=1，
∴方程为x2+4x+3=0，
∴a+a+b=2a+b=−4，
−4−b
∴a= ，
2
−4−b
将a= 代入4a2+12ab+5b2+16b+8
2
原式=4×
(−4−b) 2
+12b
(−4−b)
+5b2+16b+8
2 2
=16+8b+b2−24b−6b2+5b2+16b+8
=24．
17．（2022秋·福建·九年级统考期末）已知关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0有实数根．
（1）若方程的两根之和为整数，求m的值；
（2）若方程的根为有理根，求整数m的值．
【思路点拨】
（1）根据关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0有两个根，且为实数根，先利用一元二次方程的根的判别式
m−1
确定m的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x +x = ，若方程的两根之和为整
1 2 m
m−1
数，即 为整数，即可确定m的值；
m
（2）分两种情况讨论：当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，求解可得x=−2，符合题意；当m≠0(m−1)±❑√m2−10m+1
时，对于关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0可有x= ，若方程的根为有理根，且
2m
m为整数，则Δ=m2−10m+1为某一有理数的平方，据此分析即可获得答案．
【解题过程】
（1）解：∵关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0有两个根，且为实数根，
∴m≠0，且Δ=[−(m−1)] 2−4m×2=m2−10m+1≥0，
−(m−1) m−1
根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x +x =− = ，
1 2 m m
m−1
若方程的两根之和为整数，即 为整数，
m
m−1 1
∵ =1− ，
m m
1
∴ 是整数，
m
∴m=±1，
当m=1时，Δ=1−10+1=−8<0，不符合题意；
m−1 −1−1
当m=−1时，Δ=1+10+1=12>0， = =2，为整数，符合题意；
m −1
∴m的值为−1；
（2）当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，解得x=−2；
(m−1)±❑√m2−10m+1
当m≠0时，对于关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0的根为：x= ，
2m
若方程的根为有理根，且m为整数，
则Δ=m2−10m+1为完全平方数，
设m2−10m+1=k2（k为正整数），
10±❑√100−4+4k2
则：m= =5±❑√24+k2，
2
∵m为整数，
设24+k2=n2（n为正整数），
∴(k+n)(n−k)=24，
{k+n=12) {k+n=6) {k+n=8) {k+n=24)
∴ 或 或 或 ，
n−k=2 n−k=4 n−k=3 n−k=15 23
{ k= ) { k= )
{k=5) {k=1) 2 2
解得： 或 或 （不合题意，舍去）或 （不合题意，舍去）
n=7 n=5 11 25
n= n=
2 2
∴m2−10m+1=12=1或m2−10m+1=52=25；
当m2−10m+1=1时，解得m=10或m=0（舍去）；
当m2−10m+1=25时，解得m=−2或m=12，
综上所述，若方程的根为有理根，则整数m的值为0或10或−2或12．
18．（2022秋·四川资阳·九年级统考期末）定义：已知x ，x 是关于x的一元二次方程
1 2
x
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，若x <x <0，且3< 1<4，则称这个方程为“限根方程”．如：一
1 2 x
2
−10
元二次方程x2+13x+30=0的两根为x =−10，x =−3，因−10<−3<0，3< <4，所以一元二次
1 2 −3
方程x2+13x+30=0为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断一元二次方程x2+9x+14=0是否为“限根方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程2x2+(k+7)x+k2+3=0是“限根方程”，且两根x 、x 满足
1 2
x +x +x x =−1，求k的值；
1 2 1 2
（3）若关于x的一元二次方程x2+(1−m)x−m=0是“限根方程”，求m的取值范围．
【思路点拨】
（1）解该一元二次方程，得出x =−7，x =−2，再根据“限根方程”的定义判断即可；
1 2
k+7 k2+3
（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出x +x =− ，x x = ，代入x +x +x x =−1，即
1 2 2 1 2 2 1 2 1 2
可求出k =2，k =−1．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可；
1 2
（3）解该一元二次方程，得出x =−1，x =m或x =m，x =−1．再根据此方程为“限根方程”，即得
1 2 1 2
出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出Δ>0，m<0且m≠−1，可求出
m的取值范围．最后分类讨论即可求解．
【解题过程】
（1）解：x2+9x+14=0，
(x+2)(x+7)=0，
∴x+2=0或x+7=0，∴x =−7，x =−2．
1 2
−7 7
∵−7<−2，3< = <4，
−2 2
∴此方程为“限根方程”；
（2）∵方程2x2+(k+7)x+k2+3=0的两个根分比为x 、x ，
1 2
k+7 k2+3
∴x +x =− ，x x = ．
1 2 2 1 2 2
∵x +x +x x =−1，
1 2 1 2
k+7 k2+3
∴− + =−1，
2 2
解得：k =2，k =−1．
1 2
分类讨论：①当k=2时，原方程为2x2+9x+7=0，
7
∴x =− ，x =−1，
1 2 2
x 7
∴x <x <0，3< 1= <4，
1 2 x 2
2
∴此时方程2x2+(k+7)x+k2+3=0是“限根方程”，
∴k=2符合题意；
②当k=−1时，原方程为2x2+6x+4=0，
∴x =−2，x =−1，
1 2
x
∴x <x <0， 1=2<3，
1 2 x
2
∴此时方程2x2+(k+7)x+k2+3=0不是“限根方程”，
∴k=−1不符合题意．
综上可知k的值为2；
（3）x2+(1−m)x−m=0，
(x+1)(x−m)=0，
∴x+1=0或x−m=0，
∴x =−1，x =m或x =m，x =−1．
1 2 1 2
∵此方程为“限根方程”，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴Δ>0，m<0且m≠−1，∴(1−m) 2+4m>0，即(1+m) 2>0，
∴m<0且m≠−1．
分类讨论：①当−1<m<0时，
∴x =−1，x =m，
1 2
x
∵3< 1<4，
x
2
−1
∴3< <4，
m
1 1
解得：− <m<− ；
3 4
②当m<−1时，
∴x =m，x =−1，
1 2
x
∵3< 1<4，
x
2
m
∴3< <4，
−1
解得：−4<m<−3．
1 1
综上所述，m的取值范围为− <m<− 或−4<m<−3．
3 4
19．（2022秋·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校联考期中）已知方程①：2(x−k)=x−4为关于x
的方程，且方程①的解为非正数；方程②：(k−1) x2+2mx+3− k+n=0（k、m、n均为实数）为关于x
的一元二次方程．
（1）求k的取值范围；
（2）如果方程②的解为负整数，k−m=2，2k−n=6且k为整数，求整数m的值；
（3）当方程②有两个实数根x ，x 满足(x +x )(x −x )+2m(x −x +m)=n+5，且k为正整数，试判断
1 2 1 2 1 2 1 2
m2≤4是否成立？并说明理由．
【思路点拨】
（1）将k当作已知数解出方程2(x−k)=x−4的解，根据该方程的解为非正数，可得出k的取值范围，方
程②：(k−1)x2+2mx+3− k+n=0（k、m、n均为实数）为关于x的一元二次方程，二次项系数不为0，
即k−1≠0，解得k≠1，即可求出k的取值范围；
（2）根据k−m=2，2k−n=6可得m=k−2，n=2k−6，代入方程②，可得2
(k−1) x2+2(k−2) x+(3− k)+2k−6=0，可得x =−1+ ，x =−1，由于②的解为负整数且k为整
1 k−1 2
数，所以k− 1=或−1k− 1=，−2可得k=0或−1，即可求出整数m的值；
（3）方法1：由（1）可知k≤2且k≠1，且k为正整数，可知k=2，所以方程②为x2+2mx+1+n=0，因
为方程②有两个实数根x ，x ，所以Δ≥0，x +x =−2m，x ⋅x =1+n，由Δ≥0可求出m2≥n+1，
1 2 1 2 1 2
将x +x =−2m，x ⋅x =1+n，代入(x +x )(x −x )+2m(x −x +m)=n+5，可得n=2m2 −5，将其代
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
入m2≥n+1，即可证明m2≤4；方法2：先得出k=2，m2≥n+1，x +x =−2m，x ⋅x =1+n，根据
1 2 1 2
x +x =−2m，x ⋅x =1+n求出(x −x ) 2=4(m2 − 1−n)，可得x −x =±2❑√m2 − 1−n，分两类
1 2 1 2 1 2 1 2
x −x =2❑√m2 − 1−n和x −x =−2❑√m2 − 1−n，与x +x =−2m，x ⋅x =1+n，代入
1 2 1 2 1 2 1 2
(x +x )(x −x )+2m(x −x +m)=n+5，可得n=2m2 −5，将其代入m2≥n+1，即可证明m2≤4．
1 2 1 2 1 2
【解题过程】
（1）解：∵关于x的方程2(x−k)=x−4的解为x=2k−4，且该方程的解为非正数，
∴2k−4≤0，解得k≤2，
又∵关于x的方程(k−1) x2+2mx+(3− k)+n=0是一元二次方程，
∴k−1≠0，k−1≠0，解得k≠1，
综上所述，k的取值范围是k≤2且k≠1．
（2）解：由（1）可知k≤2且k≠1，
∵k−m=2，2k−n=6，
∴m=k−2，n=2k−6，
∴方程②为(k−1) x2+2(k−2) x+(3− k)+2k−6=0，
即(k−1) x2+2(k−2) x+k−3=0，
[(k−1)x+(k−3))(x+1)=0，
3− k −(k−1)+2 2
解得：x = = =−1+ ，x =−1，
1 k−1 k−1 k−1 2
∵方程②为(k−1) x2+2(k−2) x+(3− k)+2k−6=0，方程②的解为负整数，
∴k− 1=或−1k− 1=，−2
∴k=0或−1，
当k=0时，m=k− 2=0− ，2=−2
当k=−1时，m=k− 2=− 1− ，2=−3∴m的值为−2或−3．
（3）解：方法1：m2≤4成立，理由如下：
由（1）可知k≤2且k≠1，
又∵k为正整数，
∴k=2，
∴方程②为x2+2mx+1+n=0，
∵方程②有两个实数根x ，x ，
1 2
∴Δ≥0，x +x =−2m，x ⋅x =1+n，
1 2 1 2
∴(2m)2 −4×1×(1+ n)≥0，
∴m2≥n+1（*）
∵(x +x )(x −x )+2m(x −x +m)=n+5，
1 2 1 2 1 2
∴−2m(x −x )+2m(x −x +m)=n+5
1 2 1 2
即−2m(x −x )+2m(x −x )+2m2=n+5，
1 2 1 2
即2m2=n+5，即n=2m2 −5代入（*）
∴m2≥2m2 −5+1
∴m2≤4；
方法2：m2≤4成立，理由如下：
由（1）可知k≤2且k≠1，
又∵k为正整数，
∴k=2，
∴方程②为x2+2mx+1+n=0，
∵方程②有两个实数根x ，x ，
1 2
∴Δ≥0，x +x =−2m，x ⋅x =1+n，
1 2 1 2
∴(2m) 2 −4×1× (1+n)≥0，
∴m2≥n+1，
∵(x −x ) 2=(x +x ) 2 −4x ⋅x =(−2m) 2 −4(1+n)=4(m2 − 1−n)，
1 2 1 2 1 2
∴x −x =±2❑√m2 − 1−n，
1 2
∵(x +x )(x −x )+2m(x −x +m)=n+5
1 2 1 2 1 2∴当x −x =2❑√m2 − 1−n时，
1 2
(−2m)⋅2❑√m2 − 1−n+2m(2❑√m2 − 1−n+m)=n+5，
∴2m2=n+5，
∴n=2m2 −5，
∴m2≥2m2 −5+1，
∴m2≤4；
当x −x =−2❑√m2 − 1−n时，（漏1种情况扣1分）
1 2
(−2m)⋅(−2❑√m2 − 1−n)+2m [(−2❑√m2 − 1−n)+m)=n+5，
∴2m2=n+5，
∴n=2m2 −5，
∴m2≥2m2 −5+1，
∴m2≤4；
综上所述，m2≤4成立．
20．（2022春·湖南邵阳·九年级邵阳市第二中学校考自主招生）已知关于x的方程
|x2+2px−3p2+5)−q=0．其中p，q都是实数．
1 1 8
（1）若q=0时方程有两个不同的实数根x ，x ，且 + = ．求实数p的值．
1 2 x x 43
1 2
1 1 1
（2）若方程有三个不同的实数根x ，x ，x ，且 + + =0．求实数p和q的值．
1 2 3 x x x
1 2 3
（3）是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根x ，x ，x ，x ，且
1 2 3 4
(x +x +x +x ) 4
x x x x =3 1 2 3 4 ？若存在，求出所有满足条件的p，q．若不存在，请说明理由．
1 2 3 4 4
【思路点拨】
（1）利用根的判别式，根与系数关系定理，转化为一元二次方程求解即可．
（2）根据方程根的情况，判定去绝对值后的两个方程，一个有两个不相等实数根，一个有两个相等实数
根，运用根的判别式，根与系数关系定理，转化为一元二次方程求解即可．
（3）根据方程根的情况，判定去绝对值后的两个方程，都有两个不相等实数根，运用根的判别式，根与系数关系定理，质数的性质，分类转化为一元二次方程求解即可．
【解题过程】
解：（1）当q=0时，方程为x2+2px−3p2+5=0，
5
∴由Δ>0得p2>
，
4
∵方程有两个不同的实数根x ，x ，
1 2
∴x +x =−2p，x x =5−3p2 ，
1 2 1 2
1 1 8
+ =
∵ ，
x x 43
1 2
x +x 8
∴
1 2=
，
x x 43
1 2
−2p 8
=
∴ ，
5−3p2 43
整理，得12p2−43p−20=0，
5
解得：p=4，p=− 舍去，
12
故P=4．
（2）原方程化为：x2+2px−3p2+5−q=0，x2+2px−3p2+5+q=0．
由题意可知q>0，
∴Δ =4(4 p2−5+q)>0，Δ =4(4 p2−5−q)=0，
1 2
∴x2+2px−3p2+5−q=0，x2+2px+p2=0，
不妨设x +x =−2p，x x =−3p2+5−q，x =−p，
1 2 1 2 3
1 1 1
∵
+ + =0，
x x x
1 2 3
x +x 1
∴
1 2=−
，
x x x
1 2 3
−2p 1
∴
=−
，
−3p2+5−q −p
整理，得p2=5−q，
∵4 p2−5−q=0，解得q=3，p=±❑√2．
（3）同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根x ，x ，x ，x ，且
1 2 3 4
(x +x +x +x ) 4
x x x x =3 1 2 3 4 ，
1 2 3 4 4
原方程化为：x2+2px−3p2+5−q=0，x2+2px−3p2+5+q=0．
由题意及q>0，
∴Δ =4(4 p2−5+q)>0，Δ =4(4 p2−5−q)＞0，
1 2
不妨设x +x =−2p，x x =−3p2+5−q，x +x =−2p，x x =−3p2+5+q，
1 2 1 2 3 4 3 4
(x +x +x +x ) 4
∵x x x x =3 1 2 3 4 ，
1 2 3 4 4
∴(3p2−5+q)(3p2−5−q)=3p4，
∵q>0，p为质数，
∴3p2−5+q>3p2−5−q，且3p2−5+q>p2，
又3p4=3p4×1=p4×3=3p3×p=p3×3p=3p2×p2，
{3p2−5+q=3p4
)
∴ ，此时Δ =36−4×3×11＜0，方程组无解；
3p2−5−q=1 1
{3p2−5+q=3p3
)
，此时3p3−6p2+p+10=0，
3p2−5−q=p
∴3p2 (p−2)+p+10=0，
∵q>0，p为质数，
∴3p2 (p−2)+p+10＞0，
此时方程组无解；
{3p2−5+q=p3
)
，此时p3−6p2+3p+10=0，
3p2−5−q=3p(p−2)(p2−3p−5)=0，
∴p=2或p=5或p=-1(舍去)；
当p=2时，q=1；
当p=5时，q=55；
{3p2−5+q=p4
)
，此时Δ =36−4×13×1＜0，方程组无解；
3p2−5−q=3 4
{3p2−5+q=3p2 ) {p=❑√5) {p=−❑√5)
，解得 或 ，
3p2−5−q=p2 q=5 q=5
∵p是质数，
∴不符合题意；
