文档内容
九年级模拟检测卷
数学
注意事项：
1．满分150分，答题时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的意义分析，即可求解．正数的绝对值是其本身，0
的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．
【详解】解： 的绝对值是 ，
故选：C．
2. 据统计，2024年全国出生人口954万人，将数据“954万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为 ，其中 ，n可以用整数位数
减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意 a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于 10时，
n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法进行解答即可．
【详解】解：“954万”用科学记数法表示为 ．
故选：B．
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了根据三视图还原几何体，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图
是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形，掌握三视
图的定义是解题关键．
【详解】解：由几何体的三视图可知，该几何体为：
故选：D．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、算术平方根、幂的乘方，据此相关性质内容进行逐项分
析，即可作答．
【详解】解：A、 ，故该选项不符合题意；
B、 ，故该选项不符合题意；
C、 ，故该选项不符合题意；
D、 ，故该选项符合题意；故选：D
5. 如图，直线 ，将直角三角板的直角顶点放在直线 上．若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，先根据 ，得出 ，由平行线的性质可得
，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
6. 若扇形 的弧长为 ， ，则扇形 的半径为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式，弧长公式为 ， 分别是圆心角，半径，据此列式代数进行计算，即
可作答．
【详解】解：依题意，设扇形 的半径为 ，
∵扇形 的弧长为 ， ，则
∴
解得 ，
故选：B
7. 已知反比例函数 （ 是常数，且 ）的图象与一次函数 的图象有一个交点的横
坐标是 ，则 的值为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出方程 的一个解为 ，
从而得出 ，求解即可．
【详解】解： 反比例函数 与一次函数 的图象的一个交点的横坐标为 ，
∵
方程 的一个解为 ，
∴
，
∴
解得： ，
故选：A．
8. 已知实数 ， 满足 ， ，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的性质．把 代入 求出 ，再根据
得出 ，最后根据不等式的性质进行计算和推理一一判断即可求解．
【详解】解：A．把 代入 ，得 ，解得： ，故该选项正
确，
B．∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，故该选项正确，
C． ，
∵ ，
∴ ，即 ，故该选项错误，符合题意．
D．∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，故该选项正确．
故选：C．9. 如图，在 中， ， 分别为边 ， 上的高， ， 相交于点 ， ，连
接 ，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】延长 交 于 ，先利用 证明 ，得出 ，可判
断A正确；由 ，得出 ，再由三角形外角的性质，可判断C错误；由
，得出 ，得出 ，可判断B
正确；由 ，可证明 垂直平分 ，得出 ，可判断D正确；进而可以解
决问题．
【详解】解：如图，延长 交 于 ，
∵ 分别为 边上的高，，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，故A正确；
，
，
，
，故C错误；
，
，
∴ ，
∴ ，故B正确；
，
，
，
，
∴ 垂直平分 ，∴ ，故D正确；
故选：C．
【点晴】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形
的性质，得到 是解决问题的关键．
10. 如图，在 中， ， ， ，以3为边长的正方形 的一
边 在直线 上，且点 与点 重合，现将正方形 沿 的方向以每秒1个单位长度的速度
向右匀速运动，当点 与点 重合时，停止运动．设在这个运动过程中，运动时间为 秒，正方形
与 的重合部分的面积为 ，则 与 之间的函数关系图象大致是（ ）
A. B.
C D.
.
【答案】B
【解析】
【分析】该题考查了动点的函数图象，根据题意解直角三角形算出 ，再分为①当 时，正
方形 与 的重合部分的图形是三角形，②当 时，正方形 与 的重合
部分的面积是梯形，分别解答即可．【详解】解： ，
，
①当 时， ；图象为开口向上的二次函数，且只有对称轴右半部分；
②当 时， ；图象为一次函数；
综上，可得： ，
∴正方形 与 的重合部分的面积 与运动时间 之间的函数关系图象大致是B图象．
故选：B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）
11. 若分式 有意义，则实数 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0求解即可．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴ ，则 ，
故答案为： ．
12. 我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼
近算法，使用一次“调日法”计算 的一个更为精确的近似分数为 ．请比较大小： ________ ．
（填“ ”或“ ”）
【答案】
【解析】【分析】本题考查的是无理数的大小比较，先计算 ， ，再结合 ，
从而可得答案．
【详解】解：∵ ， ，
而 ，
∴ ，
故答案为：
13. 在将标有“最”“美”“福”“建”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉
字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球（不放回），再随机摸出一个球，
则摸到的球上的汉字可以组成“福建”的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的
关键．列表可得出所有等可能的结果数以及摸到的球上的汉字可以组成“福建”的结果数，再利用概率公
式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
最 美 福 建
（最， （最， （最，
最
美） 福） 建）
（美， （美， （美，
美
最） 福） 建）
（福， （福， （福，
福
最） 美） 建）
（建， （建， （建，
建
最） 美） 福）
共有 种等可能的结果，其中摸到的球上的汉字可以组成“福建”的结果有：（福，建），（建，福），
共 种，∴摸到的球上的汉字可以组成“福建”的概率为 ．
故答案为： ．
14. 如图1，在平面直角坐标系中， 的直角边 在 轴的正半轴上，且 ，斜边 ，
为线段 上的一动点．
（1）点 的坐标为________
（2）如图2，若 为线段 的中点，连接 ，以 为折痕，在平面内将 折叠，点 的对应点
为 当 时， 的面积为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，折叠性质，坐标与图形，直角三角形斜边上的
中线性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
（1）利用勾股定理求出 即可；
（2）如图2中，设 交 于点 ．利用相似三角形的性质求出 ，再求出 ，可得结论．
【详解】解：（1）如图1中，在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ；（2）如图2中，设 交 于点 ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
由翻折的性质可知 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 的面积为 ．
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分满分16分）
15. 解方程： ．
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程．利用因式分解法求解即可．
【详解】解： ，
整理得 ，
因式分解得 ，
∴ 或 ，
解得 ， ．
的
16. 如图， 均在格点（网格线 交点）上，每一小格正方形的边长均为1．
（1）作 关于 轴对称的图形 ，请在图中作出 ．
（2）将 绕点 按顺时针方向旋转 后，得到 ，请在图中作出 ．（3）直接写出（2）中点 的坐标：________．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）
【解析】
【分析】本题考查了作图-旋转变换，作图-轴对称变换，点坐标，解决本题的关键是掌握旋转和轴对称的
性质．
（1）根据轴对称的性质画出点 、 、 的对应点分别为 ，即可画出 ；
（2）根据旋转的性质即可将 绕点 顺时针旋转 得到 ；
（3）根据图象写出点 的坐标即可．
【小问1详解】
解：如图所示； 即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示； 即为所求；
【小问3详解】解： ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建 ， 两种光伏车棚，第一批和第二批其投入的资金
如下表，求修建每个 种， 种光伏车棚分别需投入的资金．
种光伏车 种光伏车
进货批次 费用/万元
棚/个 棚/个
第一批 2 1 8
第二批 5 3 21
【答案】修建每个A种光伏车棚需投资3万元，每个B种光伏车棚需投资2万元
【解析】
的
【分析】本题考查了二元一次方程组 应用，设修建每个A种光伏车棚需投资x万元，每个B种光伏
车棚需投资y元，根据“修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏
车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设修建每个A种光伏车棚需投资x万元，每个B种光伏车棚需投资y元，根据题意得：
，
解得： ．
答：修建每个A种光伏车棚需投资3万元，每个B种光伏车棚需投资2万元．
18. 观察下列各个等式的规律：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
．．．．．．
用上述等式反映的规律解决下列问题：
（1）请写出第5个等式；（2）猜想第 个等式（用含 的代数式表示），并证明．
【答案】（1）
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查规律型：数字的变化类，解答本题的关键是明确题目中式子的变化规律，求出相应的式
子．
（1）根据规律可以直接得到答案；
（2）根据题目中的式子的变化规律可以猜想出第n等式并加以证明．
【
小问1详解】
解：根据规律可得：第5个等式为 ．
【小问2详解】
解：第n个等式为 ，证明如下：
∵ ，
∴ ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 图1为《天工开物》记载的用于春 捣谷物的工具——“碓（duì）”，图2为其平面示意图．
于点 ， 与水平线 相交于点 ，且 ．若 ， ，
，求点 到水平线 的距离 ．（结果精确到 ，参考数据： ）．
【答案】【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，对顶角的性质，勾股定理，熟练掌握
矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．过点C作 于点M，交 于
点N，证明四边形 是矩形，利用勾股定理，含 角的直角三角形的性质，解答即可．
【详解】解：过点C作 于点M，交 于点N，
∵ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
20. 如图， 为 的直径， 为 上的一点，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，
连接 ， ，过点 作 于点 ，交 于点 ．（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2） 的半径为 ．
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识点．
（1）根据直角三角形的两锐角互余及对顶角相等可得 ，由圆周角定理可得 ，继
而得到 ， ；
（2）由等腰三角形的性质及垂径定理得到 ， ，设 ，则
， ，在 中， ，可得 ，
求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵在 中， 和 都是 所对的圆周角，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： 或 （不合题意，舍去），
∴ ，
∴ 的半径为 ．六、（本题满分12分）
21. 【项目背景】
苹果是我省某地区特产，该地区某村有甲、乙两块苹果园．在苹果收获的季节，某班级同学前往该村开展
综合实践活动，其中一个项目是在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对这两块苹果园
的优质苹果情况进行调查统计，为苹果园的发展规划提供一些参考．
【数据收集与整理】
从这两块苹果园采摘的苹果中，各随机选取相同个数的苹果．在技术人员的指导下，测量每个苹果的直径，
作为样本数据．苹果直径用 （单位： ）表示．
将所收集的样本数据进行如下分组：
组别
/
整理样本数据，并绘制甲、乙两块苹果园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下：
根据上面图表，请解答下列问题．
（1）求乙苹果园图中 的值．
（2）求甲苹果园样本直径的平均数．（每组数取组中值，例如 取4， 取5）
（3）求甲苹果园样本直径的方差．（每组数取组中值来计算）
（4）已知乙苹果园样本直径的平均数为 ，乙苹果园样本直径的方差为 ．请你结合（2）
（3）中所求的数据，评价哪个苹果园的苹果质量更好．
【答案】（1）50 （2）
（3）
（4）甲苹果园的苹果质量更好
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图，频数分布表，加权平均数、方差，解题的关键是读㯵图象信息．（1）用 200 分别减去其它各组的频数可得 的值；
（2）根据加权平均数公式计算即可；
（3）分别根据中位数、众数的定义解答即可；
（4）根据平均数和方差判断即可．
【小问1详解】
解：由题意得，甲、乙样本总数 ，
∴ （个）；
【小问2详解】
解： ，
∴甲园样本数据的平均数为 ．
【
小问3详解】
解：甲园样本数据的方差
．
【小问4详解】
解：甲园的苹果品质更优，理由如下：
甲苹果园样本直径的平均数为 ，甲苹果园样本直径的方差为 ．
乙苹果园样本直径的平均数为 ，乙苹果园样本直径的方差为 ．
， ，
由平均数和方差可得：甲苹果园的苹果质量更好．
七、（本题满分12分）
22. 在平面直角坐标系中，二次函数的解析式为 ．
（1）求证：对任意实数 ，都有 与 对应的函数值相等；
（2）若 对应的 的整数值有4个，求 的取值范围；
（3）若抛物线与 轴交于不同的点 ， ，且 ，求 的取值范围．【答案】（1）见解析 （2）
（3） 或
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点、一元二次方程的判别式，解答
本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
（1）根据二次函数的对称轴即可证明；
（2）代入x的值，当 时， ，当 时， ，根据有4个整数值分情况求解即可；
（3）将函数转换为一元二次方程，根据题意根的判别式大于零列出不等式组求解即可．
【小问1详解】
证明：∵抛物线的对称轴为 ，
∴ 与 关于直线 对称，
∴对任意实数 ，都有 与 对应的函数值相等．
【小问2详解】
解：当 时， ，
当 时， ，
若 ，当 时， ，
又∵当 时对应的 的整数值有4个，
∴ ，
若 ，当 时， ，
又∵当 时对应的 的整数值有4个，∴ ；
【小问3详解】
解：若 ，
∵抛物线与 轴交于不同的两点 ， ，且 ，
∴ ， ．
∴
∴ ．
若 ，
∵抛物线与 轴交于不同的两点 ， ，且 ，
∴ ， ．
∴
∴ ．
综上，当 或 时，抛物线与 轴交于不同两点 ， ，且 ．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在正方形 的对角线 上取一点 ，使得 ，连接 ，并延长到点 ，
使得 ， 与 相交于点 ．
（1）求证： ．（2）求证： ．
（3）若 ，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质可以得出 ， ，通过 证
明 ，可以得出 ；
（2）在 上取一点G，使 ，连接 ，利用全等三角形的性质及等边三角形的判定及性质，
可利用 证明 ，进而可得 ，即可证明结论；
（3）过 D作 交于 M，根据勾股定理求出 ，根据三角形的面积公式即可求出高
，根据勾股定理可求得 ， ，解直角三角形求得 ，
根据等边三角形性质得到 ，根据相似三角形的判定得 ，进而可得
，即可求出答案．
【小问1详解】
解：∵四边形 是正方形，
， ， ．
在 和 中，，
，
【小问2详解】
在 上取一点G，使 ，连接 ，
，
．
，
，
，
．
，
，
．
，
是等边三角形．
， ，
，
．
， ，．
在 和 中，
，
，
．
，
∴
【小问3详解】
过D作 交于M，
∵四边形 是正方形，
∴
在 中，根据勾股定理求出 ，
由面积公式得： ，
∴ ，
，
，中， ，在 中， ，
在 中， ，
中， ，
∴ ， ．
∴ ，
在 中， ，
是等边三角形，
∴ ，
， ，
．
∴
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的面积、勾股定理、含 角的直
角三角形的性质以及三角形相似性质，掌握其基础知识，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键．
