文档内容
2025 年安徽省初中学业水平模拟考试
数学
（试题卷）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间共120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题，满分40分）
1. 互为倒数．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】该题考查了倒数的定义，根据互为倒数的两个数的乘积等于1即可求解．
【详解】解：∵ 互为倒数，
∴ ，
故选：C．
2. 2025年1月20日安徽省第十四届人民代表大会第三次会议在安徽大剧院开幕，《政府工作报告》中指
出2024年新能源汽车产量增长 ，达 万辆．用科学记数法表示 万正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 为
整数，据此解答即可．【详解】解： 万 ，
故选：B．
3. 下列几何体中，俯视图可能是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据俯视图的意义解答可．
本题考查了几何体的俯视图判断，熟练掌握俯视图的意义是解题的关键．
【详解】根据题意，俯视图可能是三角形的是
故选B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式，熟记运算法则是解题的关键．
根据能用同底数幂的乘法、幂的乘方，积的乘方，完全平方公式计算即可．
【详解】解：A、 ，故该选项正确，符合题意；
B、 ，故该选项不正确，不符合题意；
C、 与 不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
D、 ，故该选项不正确，不符合题意．
故选：A．
5. 安徽省新高考“ ”选科模式是指：语文、数学、外语3门学科为必选；历史和物理2门学科中
选择1科；思想政治、地理、化学、生物学4门学科中选择2科．若某同学已选“历史”学科，再从思想
政治、地理、化学、生物学4门学科中随机选择2科，则恰好选有“地理”学科的概率为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画树状图求出所有出现等可能的结果有 种，所选中 门
学科恰好有“地理”的结果有 种，根据概率公式即可求解．
【详解】解：把思想政治、化学、地理、生物分别记为A，B，C，D，画树状图如图所示：
由上图可知，所有出现等可能的结果有 种，所选中 门学科恰好有“地理”的结果有 种，
∴选中 门学科恰好有“地理”的概率为 ，
故答案为：D．
6. 如图，平行四边形 中， 的平分线 交 边于点 交 边于点
，则 的长为（ ）
A. 3 B. C. 6 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解题关键是熟悉上述知识，并能
熟练运用求解．
先证明四边形 是菱形，再利用勾股定理求出 ．
【详解】解：连结 ，∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴四边形 是平行四边形，
又 ，
∴四边形 是菱形，
∴ 与 互相垂直平分，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
7. 已知直线 经过点 ，则必经过另一个点（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先根据题意可得 ，再逐一检查分析各选项即可得到答案．
【详解】解：∵直线 经过点 ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，故A不符合题意；
当 时， ，
∴ ，故B符合题意；
当 时， ，
∴ ，故C不符合题意；
当 时， ，
∴ ，故D不符合题意；
故选：B
8. 已知反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于点 和 ，若 ，则 的值
为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数与正比例函数的交点问题，两点间的距离公式，熟练掌握反比例函数与
正比例函数的图像是解题的关键．
根据题意得到点 和 的坐标，再由两点间的距离公式进行计算即可．
【详解】解：联立 与 ，即 ，解得 ，对应 ，∴ ， ，
∴ 两点间的距离为 ，
解得： ，
故选：A．
9. 如图，圆 的半径为2，半圆 经过点 ，且分别与圆 切于点 ，点 都是圆弧上的点．
动点 从 出发沿着圆弧，依次经过点 ，最后回到点 ．在运动过程中，点 运动的路程为
， 的度数为 ，则 关于 的函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，圆周角定理，函数解析式，弧长公式等知识点，难度较大，解题
的关键注意分类讨论思想的应用．连接 ，根据相切两圆的连心线经过切点得到 共线，然后分三种情况讨论，利
用弧长公式建立函数关系式，即可判断．
【详解】解：连接
∵半圆 经过点 ，且分别与圆 切于点 ，圆 的半径为2，
∴ 共线，半圆 的半径为1，
当点 在半圆 上时，
∵ 的度数为
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ,
当 时， 随 的增大而减小；
当点 在半圆 上时，∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 随 的增大而减小；
当点 在下半圆 上，
则 ，
∴
的
∴当 时， 随 增大而增大，
综上可得： 关于 的函数解析式为 ，故选：B．
10. 记 是两个实数 与 的一种运算．已知 ，函数 为正比例函数，
则 （ ）
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义运算，正比例函数的定义，根据题意设 ，得出
， 根 据 为 正 比 例 函 数 ， 得 出
为正比例函数，从而得出 ，求出 ，代入数据进行计
算即可．
【详解】解：∵ ，
∴设 ，
∴ ，
∵ 为正比例函数，
∴ 为正比例函数，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题，满分20分）
11. 要使式子 有意义，则 的取值范围是__________．【答案】 ##
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件可得关于x的不等式，解不等式即可得．
【详解】由题意得：
2-x≥0，
解得：x≤2
故答案为x≤2．
12. 三国时期数学家刘徽用“衰分术”证明了《九章算术》中的“勾中容圆径”公式：在直角三角形中，
若直角边边长分别为 ，斜边长为 ，则该直角三角形的内切圆直径 ．当 时，
该直角三角形的内切圆半径为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】该题考查了勾股定理，根据勾股定理求出 ，再代入 求解即可．
【详解】解：当 时，
则 ，
则 ，
故该直角三角形的内切圆半径为2，
故答案为：2．
13. 直线 与 的图象有两个不同的交点，则 的取值范围是_____．
【答案】 或
【解析】
【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，根据题意联立 与 ，得出，求解即可．
【详解】解：联立 与 ，则 ，整理得： ，
∵直线 与 的图象有两个不同的交点，
则 ，
解得： 或 ，
故答案为： 或 ．
14. 在水平面内确定一条直线为基准线，规定：对该平面内不重合两点 ，若以 为斜边能作出直
角三角形，且其中一条直角边垂直于基准线，则称两条直角边长度之和为点 的直角距离；若
两点所在的直线垂直或平行于基准线，则线段 的长度为点 的直角距离．记点
的直角距离为 ．如图，直线 与基准线 交于点 ，点 在直线 上， ，垂足为 ，
且 ．
（1） 的值为_____；
（2）若直线 与直线 的距离为2，则 的最小值为_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）先利用垂直的意义得出 ，再利用平行线的性质得出 ，， ， ，然后利用角的差求得
，同理可得： ，从而可证 ，列出比例式求得
，同时得到 ，再利用勾股定理得到关于 的方程求解求得 ，
，从而可求得 ；
（2）先利用待定系数法分别求得直线 与直线 的表达式，再将 向 到 的方向平移得到 ，
使 在 轴上，方便研究，但不影响结果，可得出 ， ，设 ，再分“
”、“ ”、“ ”、“ ”四段讨论，分别求出 ，再求出其最小
值．
【详解】（1）解：连结 ， ，过点 作 ，过点 作 ，
，
，
， ，
①，
，
又 ，
②，，
，得 ，
，即 ，
同理可得： ，
，
， ，
，
设 ，则 ，
，解得： （负值舍去），
， ，
；
为
（2）如图，以 坐标原点， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，
∵ ，
∴设 ，则 ，
∴ ，
设直线 的表达式为 ，
∵ 在直线 上，
∴ ，解得： ，∴直线 的表达式为 ，
∵ ，
∴设直线 的表达式为 ，
交 轴于点 ，过点 作 于点 ，
∵直线 与直线 的距离为2，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
，
，
，解得： ，
，
，
在直线 上，∴ ，即 ，
∴直线 的表达式为 ，
设 ， ，且（ 、 为常数， ）
∵ ，
∴ ，
∴ ， （舍去），
∴ ，
∴ ，
将 向 到 的方向平移得到 ，使 在 轴上，
则 ， ，
设 ，
如图，过点 作 轴的平行线，交 的延长线于点 ，过点 作 的平行线交 的延长线于 ，
当 时，
， ， ，， ， ， ，
可知 越小， 越小，那么当 时， 最小，最小值为 ．
此时当 在 的延长线上，如图所示：
当 时，
， ， ，
， ， ， ，，
∴ ，
在
当 时， 与 重合， 、 都 原点，
， ， ，
；
当 时，， ， ，
，
对于 平移到 ，对本研究不影响， ，
综上所述， 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平面直角坐标系中的两点间的距离等知识，解
题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解．
三、（本大题共2小题，每小题，满分16分）
15. 解一元二次方程 ．
【答案】 或
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：
，
解得 或 ．
16. 在如图所示的平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 ．（1）画出线段 关于 轴对称的线段 ；
（2）以原点 为位似中心，将线段 在第一象限内放大为原来的2倍得 ，画出线段 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变换—轴对称，位似作图，掌握轴对称和位似图形的性质，是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质画出 即可；
（2）根据位似图形的性质画出 即可．
【小问1详解】
解：线段 ，如图所示；
【小问2详解】
解：线段 ，如图所示．
四、（本大题共2小题，每小题，满分16分）
17. 一辆汽车行驶 需8.4升汽油，一名工程师花费2880元将发动机的耗油量降到每 需6.4
升汽油．若汽油的价格每升7.2元，问此辆汽车至少行驶多少 才能弥补这2880元的改造费用？
【答案】汽车至少要行驶 才能弥补改造所需的费用【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设汽车需要行驶 才能弥补改造所需的费用，根据题意列
不等式，求出 的取值范围即可解题．
【详解】解：设汽车需要行驶 才能弥补改造所需的费用．
由题意得 ，
化简得 ，
解得 ，
即汽车至少要行驶 才能弥补改造所需的费用．
18. 【综合与实践】某校在10周年校庆前设计了吉祥物“育育”挂件，并根据挂件尺寸设计了长方体的包
装盒．设计组有细心的同学发现，把吉祥物“育育”装进包装盒后，拐角处还空余不少空间，这样比较浪
费，所以打算进一步探究节省材料的方案．
任务1 探究：对于底面积和高一定的长方体包装盒，什么情况下最省材料（即表面积最小）？
通过探究发现，问题等价于“底面矩形的面积一定时，周长何时最小？”设计组先假定底面积为16，列出
下表：
长 16 14 12 10 8 6 4
宽 1 1.6 2 4
周长 34 23.2 20 16
根据表格，可猜测：矩形的面积一定时，_____时周长最小．
为了证明上述猜测，小丫同学假设矩形面积为 ，设两邻边长分别为 和 （ 均为非负数），
则 ，得 ．
……（请表示出周长并补全后续的证明过程）．
任务2 计算对比，合理优化．设计组之前设计的长方体包装盒的尺寸为：长 、宽 、高 ，小明同学在保持底面积不变小
的前提下，建议将包装盒形状改为底面直径为 的圆，高保持不变的圆柱体，从节省材料的角度来看，
你觉得合理吗？请判断并说明理由．
【答案】任务1：长和宽相等，见解析；任务2：合理，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了整式乘法的应用、圆柱体和长方体体积与表面积计算，
任务1：观察表格可得结论：矩形的面积一定时，长和宽相等时周长最小，根据过程由 即
可得出结论.
任务2：分别计算长方体和圆柱体的的表面积即可得出结论.
【详解】解：任务1：长和宽相等
设两邻边长分别为 和 （ 均为非负数），则 ，得 ．
矩形周长为 ．
所以 ，即矩形为正方形时，周长最小．
任务2：长方体的体积 ，圆柱体的体积 ,
长方体的表面积为： ．
圆柱体的表面积为： ．
因为 ，所以改为圆柱体更节省材料．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 筷子是中国常用餐具，成人筷子长度约是 ．某科技社团用一根成人筷子进行一次光的折射实验．
如图，将筷子 斜放入一个透明水槽内，筷子底端刚好抵水槽右端，筷子顶端刚好与水槽左上端重合．水槽内水面高度 为 ，光线自点 处发出，沿筷子所在的直线方向经水面点 折射到池底点 处，
点距 点 ．已知入射角 ，点 在同一条竖直线上，点 都在同一竖
直平面内．折射角为 ，求 的值．（保留一位小数）
参考数据： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，过点 作 ，垂足为 ，求解
，可得 ，再进一步求解即可．
【详解】解：过点 作 ，垂足为 ．
由题意可知， ，又 ，
∴ ，
在三角形 中， ，
∵ 点距 点 ，
∴ ，在三角形 中， ．
20. 已知 三点在圆 上，点 在圆 内， ．
（1）请用“尺规作图”作出圆心 的位置（保留作图痕迹）；
（2）求出圆 半径的大小．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查复杂作图、三角形的外接圆与外心、矩形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，解决问题．
（1）作线段 的中垂线 ，再作线段 的中垂线 ，交直线 于 点，则点 就是圆心的位置；
（2）由（1）作图，设线段 的中垂线 与 的延长线交于点 ， 的延长线并交于圆 于点 ，
线段 的中为 ，连接 ，易知四边形 为矩形，求出 ，由垂径定理得到 ，
设 ， 由 得 ， 解 得 ， 所 以 圆 半 径
．
【小问1详解】
解：如图所示，点O为所求：【小问2详解】
解：由（1）作图，设线段 的中垂线 与 的延长线交于点 ， 的延长线并交于圆 于点 ，
线段 的中为 ，连接 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴圆 半径 ．
六、（本题满分12分）
21. 甲、乙两班各有50名学生，体育老师从这两个班分别随机选出10名同学进行定点投篮测试，每位同学
均投篮5次，投中一次得1分，现将测试成绩整理统计，部分信息如下：
甲班测试成绩 2 3 3 4 4 3 2 a 4 5
乙班测试成绩 1 5 3 b 2 4 5 3 2 5
其中，甲班测试成绩的众数为4分，乙班测试成绩的中位数为3.5分，且甲班测试成绩的平均数小于乙班
测试成绩的平均数．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1） ______， ______．
（2）认定测试成绩不低于3 分的为优秀．
（ⅰ）比较两班测试学生优秀率的大小；
（ⅱ）估计甲班投篮优秀的学生人数．
【答案】（1）4；4 （2）（ⅰ）甲班测试学生优秀率大于乙班测试学生优秀率
（ⅱ）40人
【解析】
【分析】本题考查算术平均数、中位数、众数意义和求法，理解各个统计量的意义，掌握平均数、众数、
中位数的求法是解决问题的前提．
（1）根据众数的定义可得 的值；根据中位数的定义可得 的值；
（2）（ⅰ）分别求出两个班的优秀率即可；（ⅱ）用50乘甲班样本优秀率即可．
【小问1详解】
解： 甲班测试成绩的众数为4分，
；乙班测试成绩的中位数为3.5分，即第五、第六个数的平均数为3.5，
，
故答案为：4；4；
【小问2详解】
解：（ⅰ）甲班测试学生优秀率为： ，乙班测试学生优秀率为： ，
，
故甲班测试学生优秀率大于乙班测试学生优秀率；
（ⅱ） （人），
即估计甲班投篮优秀的学生人数大约为40人．
七、（本题满分12分）
22. 系列纸张尺寸是国际通用的标准尺寸，以 为基础，通过等比例缩放的方式衍生出 、
等规格．日常生活普遍使用的 规格的打印纸，就是其中一种． 系列纸张形状为矩形，有如下特点：
将其沿垂直于长边的线对折成两个全等的矩形后，得到的矩形与原矩形相似．如图1，矩形 表示某
系列纸张 ．
（1）求 ；
（2）若点 为边 的中点．
（i）如图2，求 ；
（ii）若 ，如图3，将 绕点 逆时针旋转，使得点 的对应点 在线段 上，点 为点
的对应点，求线段 的长．【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）
【解析】
【分析】（1）设 ，则对折后纸张长宽分别为 ，再利用相似矩形的性质建立
方程求解即可；
（2）（i）过点 作 ，垂足为 ．设 ，由（1）知 ，可得
，结合点 为边 的中点，求解 ．设 ，
则 ．再进一步求解即可；
（ii）证明 ，可得 ，可得 与 的交点就是点 ，如图，证明 ，
，可得 ，结合 ，且 ，再进一步求解即可．
【小问1详解】
解：设 ，则对折后纸张长宽分别为 ．
∵对折前后的矩形相似，
∴ ，
∴ ，
∴ ，（负根舍去）
即 ．
【小问2详解】解：（i）过点 作 ，垂足为 ．
设 ，由（1）知 ，
∴ ，
∵点 为边 的中点，
∴ ，
∴ ．
设 ，则 ．
由 得：
，
解得 ，
∴ ，
∴ ；
（ii）∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ，
∴ 与 的交点就是点 ，如图，
∵由 旋转得到 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，相似三角形的判定与
性质，锐角三角函数的应用，熟练的利用相似三角形的性质解题是关键．
八、（本题满分1）
23. 如图1，以点 A，B 为端点的实线是一条开口向下的抛物线的一段，点C 是抛物线的顶点，直线 是抛物线的对称轴， 于点 D， ，则称实线表示的部分为该抛物线上的“正抛线”，点A，
B 分别为“正抛线”的左、右端点，点 C 为“正抛线”的顶点， 的长为“正抛线”的高．
的
（1）已知高为4 “正抛线”左端点在坐标原点，求该“正抛线”所在抛物线的表达式；
（2）已知抛物线 上的“正抛线”以原点为左端点，求b；
（3）如图2，一种图案由大小两种不同的“正抛线”组成，在平面直角坐标系中，所有大“正抛线”的端
点都在x轴上，小“正抛线”的端点都在与其相邻的大“正抛线”上，所有“正抛线”的顶点都在同一条
直线上．求大“正抛线”与小“正抛线”高之比．
【答案】（1） 或
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据题意，得左端点 ， ，得到右端点 ，垂足点 ，顶
点 或 ，设抛物线解析式为 或 ，把 分别代入
解析式，确定 的值即可．
（2）根据题意，得 ，解得 ，且抛物线以原点为左端点，得左端点 ，，得到右端点 ，垂足点 ，根据抛物线 ，得顶点
，设抛物线解析式为 ，点
代入解析式，计算即可．
（3）设抛物线的左端点为A，右端点为B，垂足点为D，顶点为C，小抛物线的左端点为E，右端点为
F，垂足点为H，顶点G，根据题意，设左端点 ，右端点 ， 垂足点
，顶点 ，设抛物线解析式为 ，抛物线解析式为
，设 ，则 ，计算解答即可．
【
小问1详解】
根据题意，得左端点 ， ，右端点 ，垂足点 ，顶点 或
，
设抛物线解析式为 或 ，把 分别代入解析式，∴
或 ，
解得 或 ，
故抛物线解析式为 或 ．
【小问2详解】
根据题意，得 ，解得 ，
∵抛物线以原点为左端点，
∴左端点 ， ，右端点 ，垂足点 ，
∵抛物线 ，
∴顶点 ，
设抛物线解析式为 ，
把点 代入 ，得 ，
整理，得 ，
解得 （舍去），
故 ．
【小问3详解】
设抛物线的左端点为A，右端点为B，垂足点为D，顶点为C，小抛物线的左端点为E，右端点为F，垂足
点为H，顶点G，
根据题意，设左端点 ，右端点 ， 垂足点 ，
∵抛物线 ，
∴顶点 ，
设抛物线解析式为 ，把点 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
设 ，则 ，
则 ， ，
∴
整理，得 ，
解得 ，
故 或 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ．【点睛】本题考查了抛物线的解析式的确定，新定义抛物线，熟练掌握待定系数法，正确理解新定义是解
题的关键．
