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2025 届初三毕业模拟考试（二模）
数学试卷
（满分150）
一、单项选择题：本大题共10小题，共40分．
1. 在 ， ，0， 这四个数中，最大的数是（ ）
A. B. C. 0 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
根据实数的大小比较方法，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小，
比较即可．
【详解】解： 是负数， 既不是正数也不是负数， 和 是正数．
所以 最小．
， ．
因为 ，
所以 ．
综上， ，最大的数是 ，
故选：D．
2. 已知实数 ， ， ，下列结论中一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐项分析即可．
【详解】解：A、由 不一定有 ，例如 ，满足 ，但是 ，故此选项不符合题意；
B、当 时， 无意义，故此选项不符合同意；
C、由 不一定有 ，例如 ，满足 ，但是 ，故此选项不符合题
意；
D、由 可以得到 ，故此选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②
不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号
的方向改变．
3. 已知 ，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据比例的基本性质变形得到 ，整理后即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故选：D
【点睛】此题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
4. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】
【分析】由合并同类二次根式判断A，B，由二次根式的乘除法判断C，D．
【详解】解：A、 原计算错误，该选项不符合题意；
B、 原计算错误，该选项不符合题意；
C、 正确，该选项符合题意；
D、 原计算错误，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查合并同类二次根式，二次根式的乘法，二次根式的乘方运算，掌握以上知识是解题关键．
5. 如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（ ）
A. 长方体 B. 正方体 C. 三棱柱 D. 圆
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由三视图还原几何体，熟知常见几何体的三视图是解题的关键；
根据长方体的三视图即可求解.
【详解】解：长方体的主视图和左视图是长方形，俯视图可能是正方形，故该立体图形是长方体；
故选：A.
6. 在献爱心活动中，五名同学捐款数分别是 ， ， ， ， （单元：元），后来每人追加了
元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，不变的是（ ）
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的定义即可求解．
【详解】解：五名同学捐款数分别是 ， ， ， ， （单位：元），后来每人追加了 元．追加后的 个数据与之前的 个数据相比，不变的是方差；平均数，众数，中位数都会发生变化，
故选：D．
【点睛】本题考查了平均数，众数，中位数，方差的定义，熟练掌握平均数，众数，中位数，方差的定义
是解题的关键．
7. 如图，某地一座建筑物的截面图的高 ，坡面 的坡度为 ，则 的长为（ ）
A. B. C. 5m D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据坡度求得 ，解 即可求解，求得
是解题的关键．
【详解】解：∵坡面 的坡度为 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
故选：B．
8. 二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象经过（ ）A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标
为 ，结合图象得出 ， ，最后由一次函数的性质即可得出答案，采用数形结合的思想是
解此题的关键．
【详解】解： ，
抛物线的顶点坐标为 ，
由二次函数 的图象可得： ， ，
，
一次函数 的图象经过第二、三、四象限，
故选：D．
9. 点E是矩形 内一点，连接 ，已知 ，下列结论不正确的
是（ ）
的
A. 若 面积等于 的面积，则 的面积等于 的面积
B. 的最小值为40
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】D
【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质等知识，掌握这些知识是
解题的关键．根据 及 ，得 ，即可
判 定 A ； 连 接 ， 由 勾 股 定 理 求 得 得 ； ， ， 则
，可判断 B；由 ，则有 ， ，结合
， 则 ， 从 而 可 判 断 C ； 由 ， 得
， ；
由 可得 ；设 ，则 ，由勾股定理得 ，
即可求得 ，从而得 ，即可判定D；最后可作出结论．
【详解】解： ，
而 的面积等于 的面积，即 ，
∴ ，
即 的面积等于 的面积，故A正确；
如图，连接 ，由勾股定理得 ；
∵四边形 是矩形，
∴ ；
∵ ，
∴ ，即 的最小值为40，故B正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故C正确；
∵ ，
∴ ， ；
∵ ，
∴ ，即 ；
设 ，则 ，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，故D错误；
故选：D．
10. 如图，在 中， ，D为 上任一点，F为 中点，连
接 ，E在 上，且满足 ，连接 ，则 的最小值为（ ）A. B. 2 C. D. 1.5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，直角三角形的性质，三角形中位线定理，
取 的中点 ，连接 ，则由三角形中位线定理可得 ，解直角三角形可求出 的
长，则可求出 的长，再证明 ，得到 ，则 ，据此
可得 ，再由 即可得到答案．
【详解】解：如图所示，取 的中点 ，连接 ，
∵ 为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
当 三点共线的时， 的值最小，
∴ ，
故选A．二、填空题：本大题共4小题，共20分．
11. 若代数式 有意义，则实数x的取值范围是________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，一元一次不等式的求解，解题的关键是掌握二次根式有
意义的条件．
利用二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列出一元一次不等式，然后进行求解即可．
【详解】解：根据题意得 ，
解得 ，
故答案为： ．
12. 因式分解： _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．
先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
13. 如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上． 轴，过点A作 轴于
点D连接OB，与AD相交于点C，若 ，则k的值为________．【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质；由点A在 上，设 ，
则 ；由 轴， 得 ，则得 ，则可得点B的坐
标，代入 中即可求得k的值．
【详解】解：∵点A在 上，
∴设 ，
∴ ， ；
∵ 轴，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴
∴ ，∴ ，
∴点B的坐标为 ，
把点B的坐标代入 中，
即 ，
∴ ；
故答案为：6．
14. 二次函数 的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变，翻
折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线 与该新图象有两个
公共点，则m的取值范围为________．
【答案】 或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是利用根的判别式得出不等式及数形结合来求解，先确
定二次函数与 轴的交点，再分析直线经过特殊点以及与翻折后抛物线相切时的情况，从而确定直线与新
图象有两个公共点时 的取值范围．
【详解】解：如图：
对于二次函数 ，令 ，即 ，
解得 或 ，
所以该二次函数与 轴交点为 和 ．
当直线 经过点 时，
把 ， 代入直线方程得
，
解得 ；
当直线 经过点 时，
把 ， 代入直线方程得
，
解得 ．
由此可知，当 时，直线 与新图象有两个交点．
先将二次函数 ，其图象 轴上方部分沿 轴翻折到 轴下方后，翻折后的抛
物线为 ．
联立直线 与翻折后抛物线 的方程
，
，
．
∵直线与抛物线相切时，方程组有一组解，
∴一元二次方程的判别式 ．
则 ，即 ，解得 ．
由图象可知，当 时，直线 与新图象有两个交点．
综上， 的取值范围是 或 ．
三、解答题：本大题共9小题，共90分．
15. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，1．
【解析】
【分析】先计算完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将 的值代入
即可得．
【详解】解：原式 ，
，
将 代入得：原式 ．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．
16. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解题的关键是熟练掌握解不等式组的步骤．
利用解不等式组的步骤进行求解即可．
【详解】解：
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
所以，该不等式组的解集为 ．
17. 无人机是当下年轻人娱乐竞技的方式之一．某无人机兴趣小组在广场上开展竞技活动（如图），比赛谁测量某写字楼BC的高度精确，其中小明操作的无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者小明
（点A）的俯角为37°，测得写字楼顶端点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离
为57米，请帮助小明根据以上数据计算写字楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．（参
考数据： ， ， ）
【答案】13米
【解析】
【分析】过点D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥DE于F，在Rt△ADE中，利用三角函数求出AE 40，证明
四边形BCFE是矩形，求出DF=CF 17，即可求出BC．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥DE于F，
由题意得，AB=57，DE=30，∠A=37°，∠DCF=45°，
在Rt△ADE中，∠AEF=90°，
∴tan37°= ，
∴AE 40，
∵DE⊥AB，CB⊥AB，CF⊥DE，
∴四边形BCFE是矩形，
∴CF=BE 57-40=17，
在Rt△DCF中，∠DFC=90°，
∴∠CDF=∠DCF=45°，
∴DF=CF=17，
∴BC=EF=DE-DF 30-17=13，答：教学楼BC的高度约为13米．
【点睛】此题考查了三角函数的实际应用，正确理解题意构造直角三角形以及熟练掌握各三角函数值的计
算公式是解题的关键．
18. 某公司设计生产一种学生毕业纪念册，并投放市场，已知制造成本为18元/件，经过市场调查发现，
销售单价为32元时，每月的销售量为36（万件）；销售单价为24元时，每月的销售量为52（万件）；如
果每月的销售量y（万件）与销售单价x（元/件）成一次函数关系．
（1）求每月销售量y（万件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式．
（2）求每月的利润w（万元）与销售单价x（元件）之间的函数关系式（结果化为一般式）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了列一次函数式与二次函数式，找到等量关系是解题的关键；
（1）由题意知，设 ，当 时， ；当 时， ；代入解方程组即可求解；
（2）根据利润等于单件利润乘销售量即可得到w关于x的函数关系式．
【
小问1详解】
解：设 ，由题意知当 时， ；当 时， ；
则 ，解得： ，
∴ ；
【小问2详解】
解：由题意得： ，
整理得： ．
19. 观察以下等式：
第1个等式： ；第2个等式： ；第3个等式： ；第4个等式：；第5个等式： ；…；
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【答案】（1）
（2） ，见解析
【解析】
【分析】本题考查了数字 的变化规律，观察等式并找到规律是解题关键．
（1）按照所给的等式，逐项的探究规律，写出第6个等式即可；
（2）根据（1）得到的规律，写出第n个等式，再通分，利用分式的加减法则计算即可解答此题．
【小问1详解】
解：（1） 第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
第5个等式： ．
第六个等式为： ，
故答案 为： ；【小问2详解】
解：猜想第 个等式为： ．
证明：左边 ，
右边 ，
左边 右边，
猜想成立；
故答案为： ．
20. 如图， 为 的直径， 和 相交于点F， 平分 ，点C在 上，且 ，
交 于点P．
（1）求证： 是 的切线；
（2）求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共
角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表
示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了切线的判定．
（1）连接 ，如图，先证明 ，然后利用 得到 ，然后根据切线的判定方
法得到结论；（2）证明 ，然后利用相似三角形的性质得到结论．
【小问1详解】
证明：如图1，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
证明：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
21. 打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题
的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：
其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不
完整的统计图（如图所示）．
根据图中信息，请回答下列问题；
（1）条形图中的 ________， ________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度；
（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画
树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
【答案】（1）18，6，
（2）480人 （3）
【解析】
【分析】（1）根据选择“E：其他类”的人数及比例求出总人数，总人数乘以A占的比例即为m，总人数
减去A，B，C ，E的人数即为n，360度乘以B占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角；
（2）利用样本估计总体思想求解；
（3）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算．
【小问1详解】解：参与调查的总人数为： （人），
，
，
文学类书籍对应扇形圆心角 ，
故答案为：18，6， ；
【小问2详解】
解： （人），
因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为480人；
【小问3详解】
解：画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有2种，
因此甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为： ．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、利用画树状图或者列表法求概率等，解
题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理．
22. 如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，
∠ABD+∠ADB=∠ACB．
（1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为 ；
（2）求 的值；（3）将 ACD沿CD翻折，得到 A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD= ，求PC
△ △
的长．
【答案】（1）∠BAD+∠ACB=180°；（2） ；（3）1
【解析】
【分析】（1）在 ABD中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：∠BAD+∠ACB=180°；
（2）如图1中，作△DE∥AB交AC于E．由 OAB≌△OED，可得AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=x，
△
OA=OE=y，由 EAD∽△ABC，推出 ，可得 ，可得4y2+2xy-x2=0，即
△
，求出 的值即可解决问题；
（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．想办法证明 PA′D∽△PBC，可得 ，可得
△
，即 ，由此即可解决问题；
【详解】解：（1）如图1中，在 ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，
又△∵∠ABD+∠ADB=∠ACB，
∴∠BAD+∠ACB=180°，
故答案为：∠BAD+∠ACB=180°．
（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．
∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，
∵OB=OD，∴△OAB≌△OED，
∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，
∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，
∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，
∴ ，∴ ，
∴4y2+2xy﹣x2=0，∴ ，
∴ （负根已经舍弃），∴ ．
（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．
由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，
∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°，∵△EAD∽△ACB，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C，
∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D∥BC，
∴△PA′D∽△PBC，
∴ ，
∴ ，即
∴PC=1．
【点睛】本题考查几何变换综合题、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质
等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构造
方程解决问题，属于中考压轴题．
23. 如图，抛物线 与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点
且横坐标为m．
（1）连接AP，交线段BC于点D．
①当CP与x轴平行时，求 的值；
②当CP与x轴不平行时，求 的最大值；
（2）连接CP，是否存在点P，使得 ，若存在，求m的值，若不存在，请说明理
由．
【答案】（1）① ；②（2）存在，
【解析】
【分析】（1）①分别求出抛物线与坐标轴的三个交点，利用平行线分线段成比例定理即可求解；
②过点P作 交BC于点Q；由B，C的坐标可求得直线 的解析式；根据点P的横坐标为m，
可得点P与Q的坐标，进而表示出 ，由平行线分线段成比例定理得到关于m的二次函数，即可求得最
大值；
（2）假设存在点P使得 ，即 ．过点C作 轴交抛物线于点F，
则由角的关系可得 ；延长CP交x轴于点M，易得 为等腰三角形，求得点M的坐
标，进而求得直线CM的解析式，与二次函数联立即可求得点P的坐标．
【小问1详解】
解：①对于 ，令 ，则 ，
∴ ；
令 ，解得 ，
∴ ，
则 ；
轴， ，
，解得 或1，
，
，
轴，．
②如图，过点P作 交BC于点Q，
设直线BC的解析式为： ．
把点B的坐标代入得： ，解得 ，
直线BC的解析式为： ．
设点P的横坐标为m，
则 ．
，
，
，
当 时， 的最大值为 ．
【小问2详解】
解：存在满足题意的点P，且 ；假设存在点P使得 ，即 ．
过点C作 轴交抛物线于点F，
，
，
延长CP交x轴于点M，
轴，
，
，
为等腰三角形，
，
，
；
设直线CM的解析式为： ，
把点M的坐标代入得： ，解得 ，
直线CM的解析式为： ，
令 ，
解得 或 （舍），∴存在点P满足题意，此时 ．
【点睛】本题是二次函数 的综合，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，
二次函数的最值，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，二次函数与一元二次方程等知识，熟练
掌握这些知识是解题的关键．
