文档内容
2025 年初中学业水平模拟考试（一）
数学试题
注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共6页，“答题卷”共4页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，根据绝对值相同但符号相反的两个数互为相反数。
【详解】解： 的相反数是3，
故选：B ．
2. 今年春节档电影在网络上持续引发热议，根据国家电影局 3月14日发布的数据，《哪吒2》电影票房突
破150亿元，创造了中国电影票房新纪录．其中数据150亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为
的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n
的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于 10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1
时，n是负整数．
【详解】解：其中数据150亿用科学记数法表示为 ；
故选C
3. 如图所示的几何体从左面看到的形状图是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要从不同方向看几何体，熟练掌握几何体的特征是解题的关键；因此此题可根据几何体的
特征进行求解．
【详解】解：由图可知从左面看到的形状图是
故选A．
4. 马虎同学在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项，单项式除以单项式，单项式乘单项式的法则，完全平方公式进行计算，逐一判
断即可解答．
【详解】解：A、 与 不能合并，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ，故C不符合题意；
D、 ，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．5. 点 ， 在正比例函数 的图象上，若 ，则 的取值
范围为（ ）
A. B. C. D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】根据正比例函数的增减性，得出 的符号，即可求解，本题考查了正比例函数的增减性，解题
的关键是：通过已知条件得出 的符号．
【详解】解： 点 ， 在正比例函数 的图象上，若 ，
随 的增大而减小，
，
解得： ，
故选： ．
6. 如图，螺母的外围可以看作是正六边形 ，已知这个正六边形的半径是2，则它的面积是（
）
A. B. 12 C. D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；根据题意得出△AOB是等边三角形是
解题关键．由正六边形的性质证出 是等边三角形，由等边三角形的性质得出 ，即可得出
答案．【详解】解：设正六边形的中心为O，连接 ， ，过点O作 于点H，如图所示：
∵O是正六边形 的中心，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴正六边形 的面积 ．
故选：A．
7. 小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“惊蛰”“夏至”“秋分”“冬至”四张邮票中的两张送
给小乐．小明将这四张邮票背面朝上放在桌上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取两张，则小乐
恰好抽到“惊蛰”和“冬至”两张邮票的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解是解题的关键；因此此题可根据列举法求解概率．
【详解】解：由题意得：
小乐随机抽取两张邮票的情况有：（惊蛰、夏至），（惊蛰、秋分），（惊蛰、冬至），（夏至、秋分），
（夏至、冬至），（秋分、冬至）共6种可能，其中抽到“惊蛰”和“冬至”两张邮票就1种可能，所以小乐恰好抽到“惊蛰”和“冬至”两张邮票的概率是 ；
故选A．
8. 已知a，b，c为非零实数，且满足 ， ，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查不等式的性质以及代数式的变形，解题的关键是利用 将 用 和 表示出
来，再代入不等式进行分析．
先由 得出 ，将其代入 得到关于 和 的不等式，再对格选项逐一
分析判断．
【详解】因为 ，所以 ，将 代入 ，可得
，进一步变形为 ，
A、由 不能直接推出 ，所以选项A错误；
B、前面已推出 ，而不是 ，所以选项B错误；
C、将 代入 可得： ，
由 两边同时乘以2得 ，即 ，选项C正确；
D、将 代入 可得：
由 两边同时乘以 ，可得 ， ，选项D错误．9. 如图， ，在射线 ， 上分别截取 ，连接 ， 的平分线交
于点D，点E为线段 上的动点，作 交 于点F，作 交射线 于点G，
过点G作 于点H，点E沿 方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为
x，四边形 与 重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分三种情况分别求出S与x的函数关系式，根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ 是边长为6的正三角形，
∵ 平分 ，
∴ ， ， ，①当矩形 全部在 之中，即由图1到图2，此时 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ；
②如图3时，当 ，
则 ，解得 ，
由图2到图3，此时 ，
如图4，记 ， 的交点为 ，则 是正三角形，∴ ，
∴ ， 而 ，
∴ ，
∴
，
③如图6时， ，由图3到图6，此时 ，
如图5，同理 是正三角形，
∴ ， ， ，
∴
，
因此三段函数的都是二次函数关系，其中第1段是开口向上，第2段、第3段是开口向下的抛物线，故选：A．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，求出各种情况下S与x的函数关系式是正确解答的前提，理解各
种函数所对应的图象的形状是解决问题的关键．
10. 点 P 是矩形 内一点，Q 是 边上的任意一点，连接 、 、 、 ，已知
，下列结论不正确的是（ ）
A. 若 ，则 的最小值是10
B. 若 ，则
C. 的最小值为20
D. 若 ，则 的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质，三角形三边关系，三角形内
角和定理，线段垂直平分线的判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
根据矩形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质，三角形三边关系，三角形内角和定理，线段垂直
平分线的判定的性质逐项判断即可．
【详解】解：①如图：
若
则 ，
，
，，
的最小值是10，A正确；
②如图：
若 ，
则 ，
则 ， ，
同理可得 ，
那么 ，
即B、P、D三点共线，P是直角 斜边上的高，
，
根据面积公式可得 ，B项正确；
③因为 ，
故当点P是矩形 两对角线的交点时， 的值最小，
则 ，
所以 的最小值为 ，C项正确；
④如图：若 ，则
P在 上，
四边形 是矩形， ，
．
根据三角形面积公式
则 ，
解得 ，
作点 关于 的对称点 ，连接 ， ，
此时 ，
根据两点之间线段最短，当 共线且 时， 的值最小，即 的长，在 和 中，
， ，
，
，
，
，
的最小值为 ，D项错误．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： ______．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查负指数幂运算，算术平方根以及特殊角的三角函数值，解题的关键是分别正确计算各项
的值，再进行运算．
先计算出 的值，再计算 ，同时明确 的值，最后将两者计算结果相减．
【详解】解：
，
故答案为：0．
12. 已知方程 的一个根是 ，则方程的另一个根为______．【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，解题关键是掌握若方程 的两个根是
、 ，则 ， ．根据方程得到两根之和为 ，即可求出另一个根．
【详解】解： 方程 ，
方程的两根之和为 ，
方程的一个根为 ，
方程的另一个根为 ，
故答案为： ．
13. 矩形 绕点B旋转得到矩形 ，在旋转过程中， 恰好过点C，过点G作 平行于
交 于M，N．若 ，则四边形 的面积等于______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要查了矩形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
根据旋转的性质以及勾股定理可得 的长，再证明四边形 是矩形，可得 ， ，
设 ，则 ，然后根据 ，可得 ，即可求解．
【详解】解：∵矩形 绕点B旋转得到矩形 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平行于 ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 （舍去），∴ ，
∴四边形 的面积等于 ．
故答案为：3
14. 定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标一半的点，则把该函数称为“半值函数”，该点称为
“半值点”．例如：“半值函数” ，其“半值点”为 ．
（1）函数 的图象上的“半值点”是______．
（2）若关于x的函数 的图象上存在唯一的“半值点”，且当 时，n
的最小值为k，则k的值为______．
【答案】 ①. 和 ②. 0或
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数与反比例的函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与反比例函数的图象与
性质是解题的关键；
（1）设函数 的图象上的“半值点”的坐标是 ，则可求出 ，然后问题可求解；
（2）由题意易得 ，则有 ，然后可分当 时，当
时，当 时，进而根据二次函数的最值问题可进行求解．
【详解】解：（1）设函数 的图象上的“半值点”的坐标是 ，则有：
，解得： ，
∴函数 的图象上的“半值点”的坐标是 和 ，
故答案为 和 ；
（2）由题意得： ，
整理得： ，
∴ ，即 ，
此时可看作是n与m成二次函数关系，
即当 时，n有最小值，
∵ ，
∴当 时，则n的最小值为0，即 ，符合题意；
当 时，此时n随m的增大而增大，
∴当 时，n有最小值k，即 ，（此时方程无解）；
当 时，此时n随m的增大而减小，
∴当 时，n有最小值k，即 ，
解得： （不符合题意，舍去），
综上所述：k的值为0或 ；
故答案为0或 ．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则对原式进行化简．
先对括号内式子通分计算，再将除法转化为乘法，然后根据分式基本性质约分得到最简分式，最后代入求
值．
【详解】解：原式
，
当 时，原式 ．
16. 如图均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为 1，点A、B、
C、D均在格点上．
（1）如图①，连结 交于点E，直接写出： 的值为______；
（2）如图②，在 上找一点F，使 ；（只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画
图，保留作图痕迹，不要求写画法）（3）如图③， 交于点P，直接写出 的值______．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了作图-基本作图，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正弦的定义，熟练掌握相似三
角形的判定和性质是解题的关键．
（1）证明 得到 ；
（2）取点格点 ，连接 交 于点 ，点 即为所求；
（4）取格点 连接 交 于点 ，得到 ， ，证明 ，得到
，即可得到答案．
【小问1详解】
解： ，
，
，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：如图，取点格点 ，连接 交 于点 ，点 即为所求；，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图，取格点 连接 交 于点 ，
由图可知 ， ，
， ，
，
，，
，
，
，
故答案为： ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，一次函数与反比例函数 的图象交于点 ，与x轴交于点C，与y轴交
于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接 、 ，求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；
（1）把点A的坐标代入进行求解即可；
（2）由（1）可先得出点B坐标，然后再求出点C坐标，最后根据割补法可进行求解
【小问1详解】解：将点 代入 得， ，
∴反比例函数的解析式为 ；
【小问2详解】
解：由（1）得，点 ，
过点A作 轴于点M，过点B作 轴于点N，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴
∵ ，
，
∴ ，
．18. 【问题呈现】我们知道， ，那么如何求 的值？
【观察思考】请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系：
【归纳猜想】
（1） ______．
（2） ______．
【拓展应用】
（3）求 的值．
【答案】（1）225；（2） ；（3）
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及规律型：图形的变化类，得出规律并运用规律解决实际问题
是解本题的关键．
（1）根据前四个图直接推出结论，即可；
（2）由（1）发现规律可得 ，即可．
【详解】（1）解：根据题意得： ，
，
，
；故答案为： 225
（2）解：由（1）发现：
；
（2）解：
．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图1是小区常见 的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕
轴旋转，如图2，从侧面看立柱 高 ，踏板静止时踏板连杆与 上的线段 重合， 长为
，当踏板连杆绕着点A旋转到 处时，测得 ，此时点C离地面 的距离是 ，
求 和 的长．（结果精确到 ．参考数据： ， ， ）
【答案】 的长约为 ， 的长约为
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数的定义是解题的关键．
过点 作 于 ，则四边形 是矩形，根据矩形的性质可得 ，设
,则 ．根据 列方程求解即可．
【详解】解：过点C作 与G，设 ．
则 ．
在 中，
即
解得
答： 的长约为 ， 的长约为 ．
20. 如图， 是 的外接圆， 是直径， 的平分线交外接圆于D，交 于E，过点D
的切线交 的延长线于F．（1）求证： ；
（2）若 ，求 的半径．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查切线的性质、圆周角的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握切线
的性质、圆周角的性质及三角函数是解题的关键；
（1）连接 ，由题意易得 ， ，则有 ，然后
根据切线的性质可进行求证；
（2）连接 ，由题意易得 ，则有 ，然后根据三角函数可进行求
解．
【小问1详解】
证明：连接 ，
∵ 为 的直径，
．
∵ 是 的平分线．
，
，∵ 为 的切线．
，
，
；
【小问2详解】
解：连接 ，
（公共角），
，
，
，即 ，
在 中， ，
∴ 的半径为 ．
六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）
21. 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶 的特征对树木进行分类”的实践活动
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各 10片，通过测量得到这些树叶的长 （单位：
），宽 （单位： ）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
芒果树叶的长宽比
荔枝树叶的长宽比 2.0
【实践探究】分析数据如下：平 均 中 位
众数 方差
数 数
芒果树叶的长宽
比
荔枝树叶的长宽
比
【问题解决】
（1）上述表格中： ______， ______；
（2）① 同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”
② 同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”
上面两位同学的说法中，合理的是______（填序号）；
（3）现有一片长 ，宽 的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并说明
理由．
【答案】（1） ；
（2）B （3）这片树叶更可能是荔枝树叶，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了中位数、众数、方差、平均数：
（1）根据数据中的中位数及众数的概念即可求解；
（2）①根据方差判断数据稳定性的方法即可求解；②根据平均数、众数、中位数的性质即可求解；
（3）求出树叶的长宽比，根据表格中数据对比即可求解；
【小问1详解】
解；把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为 ，
∴中位数 ；∵这10片荔枝树叶的长宽比中长宽比为 出现了四次，出现的次数最多，
∴众数 ,
故答案为： ； ；
【小问2详解】
解： ，
芒果树叶的形状差别小，故 同学说法不合理；
荔枝树叶的长宽比的平均数 ，中位数是 ，众数是 ，
同学说法合理．
故答案为： ；
【小问3详解】
解：这片树叶更可能是荔枝树叶，理由如下：
，
这片树叶更可能是荔枝树叶．
22. 如图1，四边形 的对角线 ， 相交于点O， ．
（1）在图1中，过点A作 交 于点E，求证： ；
（2）如图2，将 沿AB翻折得到 ．
①求证： ；
②若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）①证明见解析；②
【解析】【 分 析 】 （ 1 ） 由 题 意 易 得 ， 则 有 ， 然 后 可 得
，进而问题可求解；
（2）①过点A作 交 于E，交 于F，由题意易得 ， ，
则有 ，然后问题可求证；
②由题意易得四边形 是平行四边形，则有 ，然后可得 ，进而可得
， ，最后根据方程 进行求解即可．
【小问1详解】
证明：如图1，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
①证明：过点A作 交 于E，交 于F，如图2，由（1）知， ．
，
是 翻折得到的，
，
，
，
，
；
②解： ， ，
∴四边形 是平行四边形，
，
，
，
又 ，
，
，即 ，
，
，即 ，
，
， ，
， ，，
解得 （负值舍去）．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质与判定、平行线的性质及判定及折叠
的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质与判定、平行线的性质及判定及折叠的性
质是解题的关键．
七、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系 中，抛物线 （ 为常数）与 轴交于点 ，其对称轴与 轴交
于点 ，若抛物线的对称轴为直线 ．
（1）求 的值；
（2）若点 是抛物线上不与点 重合的点，且 ，求证：点 ， ， 三点共线；
（3）点 ， 是抛物线上的两点 ，记抛物线在 ， 之间的部分为图象 （包含
， 两点），图象 上任意两点纵坐标差的最大值记为 ，若 ，求 的值．
【答案】（1）1 （2）见解析
（3）0或3
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）根据对称轴即可解得；
（2）根据题意求出直线 的解析式为 ，求出 即可证明；
（3）由题意得出， ， ，分当 ， 均在对称轴左侧；
当点 ， 在对称轴两侧；当 ， 均在对称轴的右侧三种情况分析即可．
【小问1详解】
解： 抛物线 （ 为常数）的对称轴为直线 ，
，
解得 ；【小问2详解】
证明：由（1）知 ，
，
抛物线与 轴交于点 ，对称轴与 轴交于点 ，
， ，
设经过点 ， 的直线的解析式为 ，将其坐标代入，得
，解得 ，
直线 的解析式为 ，
点 是抛物线上不与点 重合的点，
，解得 或 ，
，
，
将 代入直线 ，得当 时， ，
点 在直线 上，即点 ， ， 三点共线；
【小问3详解】
解：由（1）知 ，
，
点 ， 是抛物线上的两点，
， ，
抛物线的开口向上，对称轴为 ，
分以下三种情况：
①当 ， 均在对称轴左侧，即 时， 随 的增大而减小，此时点 的纵坐标最大，点 的纵坐标最小，
，解得 ；
②当点 ， 在对称轴两侧，则 ，即 ，此时图象 上的最低点是抛物线的顶点，其纵
坐标为2，
，
当点 与对称轴 距离小于点 与对称轴的距离时，则 ，即 ，
的
，此时点 的纵坐标最大，
，
解得 （不符合题意，舍去）或 （不符合题意，舍去）；
当点 与对称轴的距离大于点 与对称轴的距离时，
则 ，
即 ，
，此时点 的纵坐标最大，
，
解得 （不符合题意，舍去）或 （不符合题意，舍去）；
③当 ， 均在对称轴的右侧，则 ，即 时， 随 的增大而增大，
此时点 的纵坐标最小，点 的纵坐标最大，
，解得 ；
综上所述， 的值为0或3．
