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2025 年中考模拟试卷数学试题
一、选择题：本题共 10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1. 下列四个数中，最大的数是（ ）
A. B. 0 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据正数大于0，0大于负数，以及无理数的大小比较方法即可判断．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故最大的数是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解题的关键．
2. 我国在芯片制造技术领域不断取得新进展，某公司已完成了 4nm（纳米）芯片 的设计．已知
．其中0.000000004用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法 的表现形式为 的形式，其中 ，
n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答
案．
【详解】解：0.000000004用科学记数法表示为 ，故选：A．
3. 下列计算结果等于 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方运算，根据以上运算法则进行计算即可求
解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A. B.
C. D.【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了根据三视图还原几何体，解题的关键是熟练掌握三视图的定义，主视图是在物体
正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在
物体正面从左向右观察到的图形.根据三视图得到该几何体是四棱柱，即可解题．
【详解】解：由几何体的三视图可知，该几何体为 ，
故选：A．
5. 已知， ，一副三角板如图放置，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．作 ，利用平行线的性质求得 ，再求
得 ，利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：作 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
6. 对于抛物线 ，下列判断正确的是（ ）
A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是
C. 对称轴为直线 D. 当 时，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握 的图象与性质是解题的关键．
根据 的图象与性质判断即可．
【详解】解：由解析式可得，抛物线的顶点坐标是 ，对称轴为直线 ，
故B错误，不符合题意；C正确，符合题意；
∵ ，
∴抛物线开口向下，故A错误，不符合题意；
当 时， ，故D错误，不符合题意，
故选：C．
7. 某果园实验基地种植了甲、乙两个品种的杨梅树，工作人员随机从甲、乙两品种的杨梅树中采摘了20
棵，统计了每棵的产量．下列关于两品种每棵产量的平均数和方差的描述中，能说明甲品种的杨梅产量较稳定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了方差的概念及性质，理解方差的大小与稳定性的关系是关键．
方差越小，越稳定，由此即可求解．
【详解】解：甲品种的杨梅产量较稳定，则甲的方差小于乙的方差，
∴ ，
故选：D ．
8. 已知点 在反比例函数 图像上， ．若 ，则
的值为（ ）
A. 0 B. 负数 C. 正数 D. 非负数
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质．根据反比例函数 可知反比例函数图象的两个分支分
别在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，据此即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴反比例函数图象 的两个分支分别在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵
∴ 或 ，
假设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
同理：当 ，则 ， ．故选：B．
9. 如图，矩形 的两条对角线相交于点 ， ， ，则 的周长是（ ）
A. 13 B. 15 C. 17 D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的相关性质是解题的关键．
由矩形得到 ，然后由勾股定理求出 ，即可求解
的周长．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为： ，
故选：D．
10. 如图，在菱形 中，点E在 的延长线上， ， ， ，求 的
长（ ）A. 5 B. 6 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用菱形的性质、平行线的性质得到 ，推出 ，
证明 ，利用相似三角形的性质求得 ，据此即可求解．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 的长为6，故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，证明 是解题的关键．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
11. 若 有意义，则 的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义，从而完成求解．根据平方根
的意义进行分析解答即可．
【详解】解： 有意义的 的取值范围是 ，
解得 ，
故答案为： ．
12. 若双曲线 与直线 相交于点 A，B，且点A的坐标为 ，则点 B的坐标为
______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象与正比例函数的图象中心对称性，根据反比例函数的图象是中心对称图
形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【详解】解：解：将 代入 得 ，则点A的坐标为 ，
∵点A和点B关于原点对称，
∴点B坐标为 ．
故答案为： ．
13. 反比例函数 与正比例函数 的图象经过点A，将正比例函数 的图象向上平移
3个单位后与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C，作 轴于点E，交 于点E．若点E是的中点，则k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数平移问题，一次函数与反比例函数交点问题，根据一次函数平移规律可得直
线 的解析式为 ，设 ，求出 ，根据点E是 的中点，可得 ，由
轴可得 点横坐标为 ，代入反比例函数求出 点纵坐标为 ，即 ，将其代入直线
解析式，求出 ，即可解答．
【详解】解：根据题意得：直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵点E是 的中点， ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ 点横坐标为 ，将 代入反比例函数，则 ，
∴ ，
将 ，代入直线 解析式，得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
14. 如图所示，矩形 中， ， ，点 为边 上一个动点，将 沿 折叠得到
， 的平分线分别交 于点 ，
（1）当 为 中点时， 的长为___________；
（2）当点 从 运动到 的过程中， 的最大值为___________；
【答案】 ①. ②.【解析】
【分析】 （1）根据 ，得 ，根据直角三角形 斜边中线性质得
，可得 ，得 ，得 ，即得 ；
（2）当点 在 上时， 的值最大，根据 ，得 ，得 ，得
，为 的最大值．
【详解】解：（1）由折叠的性质得 ，又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 中点时，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ，即 ，
∴ ；
故答案为： ；（2）如图，连接 ， ， ,当 三点共线时， 最小，则 的值最大．
∵矩形 ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ．
∵将 沿 翻折得 ，
∴ ， ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．∴ ．
∴ 的最大值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了矩形折叠．熟练掌握矩形性质，折叠性质，勾股定理，角平分线计算，直角三角
形斜边中线性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形判定是解题的关键．
三、解答题：（本题共2小题，共16分）
15. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的加法运算，正确化简是解题的关键．
先对分子进行因式分解，再化简，然后代入求值即可．
【详解】解：
，
当 时，原式
16. 如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为 ．（1）画出将 先向下平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度得到的 ；
（2）画出将 绕点 逆时针旋转 得到的 ，并写出点 的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，
【解析】
【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，旋转的性质等知识．熟练掌握平移作图，旋转作图，旋转的性
质是解题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据旋转的性质作图，进而可求点 的坐标．
【小问1详解】
解：由平移的性质作图，如图1， 即为所作；
【小问2详解】解：由旋转的性质作图，如图2， 即为所作；
∴点 的坐标为 ．
四、（本题共2小题，共16分）
17. 某新能源汽车制造厂第二季度的产量（单位：辆）比第一季度增加 ．第三季度的产量比第二季度
减少 ，设该新能源汽车制造厂第一季度的产量为 ．
（1）请用含 的代数式填写下表（填化简之后的结果）：
季
一 二 三
度
产
量/
辆
（2）求该新能源汽车制造厂第二、三季度产量的平均增长率．
【答案】（1）填表见解析
（2）该新能源汽车制造厂第二、三季度产量的平均增长率为
【解析】
【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键：
（1）根据第二季度的产量（单位：辆）比第一季度增加 ．第三季度的产量比第二季度减少 ，列
出代数式即可；
（2）设该新能源汽车制造厂第二、三季度产量的平均增长率为 ，根据题意，列出方程进行求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，第二季度的产量为： ；第三季度的产量为： ；
填表如下：
季度 一 二 三
产量/辆
【小问2详解】设该新能源汽车制造厂第二、三季度产量的平均增长率为 ，由题意，得：
，
解得： 或 （舍去）；
答：该新能源汽车制造厂第二、三季度产量的平均增长率为 ．
18. 我军舰在点A的北偏东 方向上的点C处，发现一艘靠近我内海的不明军舰，立即通知我军在点B
的执行任务的军舰进行跟踪伴行．已知点A在点B的南偏西 的方向上，点Ｃ在点B的北偏西 ，点
A，C之间相距 海里，求点B，C之间的距离．（结果保留 海里）参考数据： ，
，
【答案】点B，C之间的距离为 海里
【解析】
【分析】本题考查了方位角问题，掌握以上知识是解答本题的关键；
作 于点D，根据题意可得 ， ，然后在 中，可得 ，
最后在 中，根据三角函数即可求解；
【详解】作 于点D，如图：，
由题意知， ， ，
在 中， ， ，
∴ （海里），
在 中， ，
，
∴ （海里），
答：点 ， 之间的距离为 海里；
五、（本题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 某园林公司举行盆景展览，如图所示是用这两种盆景摆成的图案，黑色圆点为六月雪盆景，黑色正方
形为九里香盆景．图1中六月雪盆景数量为4，九里香盆景数量为2；图2中六月雪盆景数量为6，九里香
盆景数量为6；图3中六月雪盆景数量为8，九里香盆景数量为12；…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）图5中，六月雪盆景数量为_______，九里香盆景数量为_______；
（2）若园林公司用这两种盆景共132盆按如上规律摆成一个图案，请求出该图案中六月雪和九里香这两种盆景分别多少盆？
【答案】（1）12；30
（2）六月雪盆景有22盆，九里香盆景有110盆
【解析】
【分析】本题考查了图形规律探索、一元二次方程的应用，观察图形的变化找到隐含的规律是解题的关键．
（1）观察图形，得出第 个图中六月雪盆景数量为 ，九里香盆景数量为 ，再代入 即
可求解；
（2）设该图案为如上规律的第 个图，根据题意列出方程，解出 的值，即可解答．
【小问1详解】
解：图1中六月雪盆景数量为 ，九里香盆景数量为 ，
图2中六月雪盆景数量为 ，九里香盆景数量为 ，
图3中六月雪盆景数量为 ，九里香盆景数量为 ，
图4中六月雪盆景数量为 ，九里香盆景数量为 ，
…
第 个图中六月雪盆景数量为 ，九里香盆景数量为 ，
当 时， ， ，
图5中，六月雪盆景数量为12，九里香盆景数量为30．
故答案为：12；30．
【小问2详解】
解：设该图案为如上规律的第 个图，
由题意得， ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
此时六月雪盆景数量为 盆，九里香盆景数量为 盆，
答：六月雪盆景有22盆，九里香盆景有110盆．
20. 如图， 为 的直径， 为 的弦， 交 于点 ，延长 至点 ，连接并延长与 的延长线交于点 ．
（1）求证： 为 的切线；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】本题主要考查了圆的切线的判定及性质，解直角三角形的相关知识．
（ 1 ） 连 接 ， 由 得 ， 由 得 ， 再 根 据
可得 ，即可得出结论；
（2）先由已知证明 ，即可得 ，设 ，则
， ， ， ，再由勾股定理可求出x和 的长．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，
，
，，
，
，
，即 ，
，而点 在圆上，
为 的切线；
【小问2详解】
解： ，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，∴ ．
六、（本小题12分）
21. （项目式学习）
【项目背景】
原产于安徽砀山的酥梨驰名中外，酥脆甘甜、皮薄多汁．酥梨采购季节，娟娟同学前往实地考察，对两块
外部环境一致的酥梨种植园进行调查，为农户的扩大再生产提供帮助．
【数据收集与整理】
从甲、乙两块酥梨种植园里各随机采摘酥梨100个后，分别测量每个酥梨的直径x（单位： ），根据测
量结果将样本数据进行分组，并绘制了如下不完整的表格．
直径
组别 甲种植园频数 乙种植园频数
1 8 6
2 31 27
3 34 b
4 a 22
5 7 5
根据表格中的数据，分别绘制了甲、乙两个种植园的频数直方图，部分信息如下：
任务1：表格中 ______， ______，并将上面的两个频数直方图补充完整．
【数据分析与运用】
任务2：乙种植园样本数据的中位数在第______组．
任务3：将第1，2，3，4，5五组数据的平均数依次取为3.5，4.5，5.5，6.5，7.5，请计算甲种植园样本数
据的平均数．
任务4 结合市场情况，砀山酥梨的直径在第3组、第4组的最优，定为一级；直径在第2组的尚可，定为
二级；直径在其他组的最次，定为三级．试估计哪个种植园的酥梨品质更优，并说明理由．【答案】任务1：20，40，图见解析；任务2：3；任务3： ；任务4：乙种植园，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了频数直方图，中位数，平均数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
任务1：根据总数分别减去其他组的频数，得出 的值，再将上面的两个频数直方图补充完整，即可作
答．
任务2：运用中位数的定义，将数值排序后，位于中间位置的数为中位数，进行作答即可；
任务3：运用求平均数的公式列式计算，即可作答．
任务4：结合砀山酥梨的直径在第3组、第4组的最优，定为一级，求出甲、乙种植园的一级品所占比例，
即可作答．
【详解】任务1：依题意， ，
故答案 为：20；40.
频数直方图补充如下：
任务2：一共随机采摘100个酥梨，
∴中位数排在第 和51名，
则 ，
∴乙种植园样本数据的中位数在第3组，
任务3：依题意， ，
∴甲种植园样本数据的平均数为 ．
任务4：乙种植园的酥梨品质更优．理由：依题意， ，
∵ ，
∴乙种植园的一级品所占比例大于甲种植园的一级品所占比例．（说法不唯一，合理即可）
七、（本小题12分）
22. 已知 和 是有公共顶点的等腰直角三角形，且 ， ．
（1）若 ， 在线段 上，连接 并延长交 于 ，如图 ．
①求证： ；
②求 的长．
（2）若 ，点 、 、 在一条直线上， 是 的中点， 是 的中点，连
接 、 ，如图 ，求 的值．
【答案】（1）①见解析；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据题目条件和等腰三角形的性质可以找到两条对应边相等，又有夹角 ，可以根据
证明三角形全等，再结合两组角分别对应相等的三角形是相似三角形，即可证明 ；②根据全等，可以得到 ，根据题目条件求出 、 的长，即可求出 的长．
（2）先求 、 的值，得到比值相等，然后证得 ，从而得到 ，
然后根据相似对应边成比例， 求出比值．
本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等，解题的关键
是找到全等和相似的关系．
【小问1详解】
解： 在线段 上， 和 是有公共顶点的等腰直角三角形，
，
又 ， ，
，
，
又 ，
；
由 可得， ，
， ，
， ，
；
【小问2详解】
解：连接 ，∵ 和 是有公共顶点的等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵F是 中点，G是 中点，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ．
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
八、（本小题14分）
23. 如图，二次函数 的图象经过点 ， ，且与 轴交于点 ．（1）试求此二次函数的解析式；
（2）试证明： （其中 是原点）；
（3）若 是线段 上的一个动点（不与 、 重合），过 作 轴的平行线，分别交此二次函数图象及
轴于 、 两点，试问：是否存在这样的点 ，使 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）存在，P 与
1
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法把 坐标代入抛物线解析式即可；
（2）根据已知条件求出 的正切值，根据正切值相等解答即可；
（3）利用待定系数法得到直线 的解析式，再根据两点之间的距离公式列方程解方程即可．
【小问1详解】
解：∵点 与 在二次函数图象上，
∴
解得 ，∴二次函数解析式为 ．
【小问2详解】
解：解：过 作 轴于点 ，由（1）得 ，
∵ ， ，
∴点 ，
∴ ， ， ， ，
∴在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：∵点 与 ，
设直线 的解析式为 ,∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，
则
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，
解得 （舍去），
∴ ，
当 时
解得 （舍去），
∴ ，综上所述，存在满足条件的点，它们是 与 ．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，两点之间的距离公式，二次函数与
锐角三角函数，二次函数与一次函数的解析式，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键．
