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2025 年安徽中考第二次模拟考试数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1. ﹣6的相反数是（ ）
A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数的意义，即可解答．
【详解】解： 的相反数是6，
故选：C．
【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
2. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数21500000用科学记数法
表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解： ．
故选：A．
3. 下图是由一个大长方体挖去一个小长方体的立体图形，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左边看到得到的图形即可得解，也考查了空间
想象能力．
【详解】解：由题意可得，它的左视图一个长方形，且横着有一条看不到的线，用虚线表示，如图：
故选：D．
4. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了单形式乘以单项式，幂的运算，完全平方公式．根据单项式的乘法，同底数幂的除法，
积的乘方，完全平方公式计算即可判定．
【详解】解：A、 ，本选项不符合题意；
B、 ，本选项符合题意；
C、 ，本选项不符合题意；
D、 ，本选项不符合题意；
故选：B．
5. 一副三角板按如图所示的方式摆放，其中 ， ，则
的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，根据两直线平行，内错角相等得到
的度数，再由三角形内角和定理可得答案．
【详解】解；如图所示，设 交于H，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
6. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标之和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数
的图象上有且只有一个“零和点”，则m的值为（ ）
A. 9 B. 4 C. 6 D.
【答案】A
【解析】
【分析】设二次函数图象上的“零和点”坐标为 ，则有 ，根据二次函数
的图象上有且只有一个“零和点”，可知 ，计算求解即可．
【详解】解：设二次函数图象上的“零和点”坐标为 ，
将 代入得， ，即 ，
∵二次函数 的图象上有且只有一个“零和点”，
∴ ，解得 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的根的判别式．解题的关键掌握二次
函数与二次方程之间的关系．
7. 在 中， 是 边上的中线， 于点 ，若 ，则
的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】该题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质，设 ，则 ，勾股定理
求出 ，解直角三角形求出 ，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出 ，即可解答．
【
详解】解：设 ，则 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ 是 边上的中线，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
8. 已知实数 满足 ，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，不等式的性质，根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：∵ ，
，
，
，
，
，
解得： ，
，
，故A不符合题意；
，
，，
，
，
，
，故B不符合题意；
，
，
，
，
，
，故C符合题意；
，
，
，
，
，
，，
，
，故D不符合题意；
故选：C．
9. 如图（1）， 中， ， ，动点 从点 出发，沿折线 以每秒1个单位长
度的速度运动到点 ．图（2）是点 运动时， 的面积 随时间 变化的图像，则 的值为（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可知 ， ，则 ，利用勾股定理求出 ，再根据三角形的面
积公式计算即可．
【详解】解：由图可知， ， ，
则 ，
由 ，可得 是直角三角形，
由勾股定理可得 ，即 ，
解得 ，即 ，
所以 ，
所以 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了动点函数的图像以及勾股定理等知识，解决本题的关键是读懂函数图像，获得所
需信息．
10. 如图，动点 在等边 的边 上， ，连接 ， 于点 ，以 为边在其右
侧作等边 ， 的延长线交 于点 ，连接 ，则下列结论错误的是（ ）
A. 的最小值是 B. 的最小值是
C. 的最小值是1 D. 的最大值是2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三
角形，由垂线段最短可得，当 时， 最小，此时 ，再由勾股定理计算即可判断
A；作 于 ，连接 、 ，由 ，可得当 、 、 在同一直线上时，
的值最小，即可判断B；证明 、 、 、 四点共圆，得出当 取最大值时， 等于直径 ，
即可判断D；再由垂线最短结合解直角三角形即可判断C；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关
键．为
【详解】解：∵ 等边三角形，
∴ ， ，
∵动点 在等边 的边 上，
∴当 时， 最小，此时 ，
∴ 的最小值为 ，故A正确，不符合题意；
如图：作 于 ，连接 、 ，
则 ， ，
∵ ，
∴当 、 、 在同一直线上时， 的值最小，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，故B正确；
如图，连接 、 ，作 ，交 的延长线于 ，∵ 和 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 、 、 、 四点共圆，∴当 取最大值时， 等于直径 ，为 ，故D正确，不符合题意；
由垂线最短可得，当 时， 最小，此时 ，故C说法错误，符合题意；
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 因式分解： __________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了提公因式及公式法分解因式．先提取公因式再运用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
．
故答案为： ．
12. 某校九年级共有1，2，3，4四个班，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到
1班和3班比赛的概率是_____．
【答案】 ．
【解析】
【分析】根据题意画出树状图，根据树状图解答即可．
【详解】解：画树状图为：
∵共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到1班和3班的结果数为2，∴恰好抽到1班和3班的概率为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了树状图的问题，掌握树状图的性质是解题的关键．
13. 如图， 是直径，点 、 、 在半圆上，若 ，则 ___________．
【答案】 ##150度
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质等，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．
连接 ，根据直径所对的圆周角为90度可得 ，进而可得 ，再根据圆内接四边
形对角互补即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 是直径，点 在半圆上，
，
，
∵四边形 是 的内接四边形，
，
，
故答案为： ．14. 如图，点 为反比例函数 与正比例函数 图象的交点， 是直线 上的两点
且点 均在点 右侧，分别过 作 轴的平行线，交反比例函数 的图象于 两
点．
（1）当点 ， 是线段 的三等分点时， 的值为___________．
（2）连接 ， ，若 ，则 的值为___________．
【答案】 ①. ②. 6
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，两点距离计算公式，熟知一次函数与反比例函数的
相关知识是解题的关键．
（1）先联立直线和反比例函数解析式求出点 A的坐标，再根据中点坐标公式求出点 B和点C的坐标，进
而求出点D和点E的坐标，据此求出 的长即可得到答案；
（2）设 ，则 ， ，则 ，
∵ ，据此可得 ，则可推出 ，再利用两点
距离计算公式得到 ，据此可得答案．【详解】解：（1）联立 ，解得 或 （舍去），
∴ ，
∵点 ， 是线段 的三等分点，
∴点A和点B分别是 的中点，
∴ ，
∴ ，
在 中，当 时， ，当 时， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴
，
故答案为：6．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先求算术平方根，零次幂，绝对值，再计算加减即可．
【详解】解：原式
．16. 如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫格点，点 ， ， ， 为格点．
（1）以点 为对称中心，作 关于点 的对称图形 ，作出 ；
（2）用无刻度的直尺作 ，其中 在线段 上．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】此题考查了作关于已知点中心对称的图形，利用网格作垂线．
（1）连接 ，延长使 ，连接 ，延长使 ，连接 ，延长使 ，即可
得 ；
（2）根据网格的特点作出 交 于点H即为所求．
【小问1详解】
如图所示， 即为所求；
【小问2详解】
如图所示， 即为所求；
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣：“今有妇人河上荡
杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人
共羹，四人共肉，凡用杯七十八．’问客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗，问有多少客人？”
【答案】72个
【解析】
【分析】设共有客人x人，根据“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗”列出
方程即可．
【详解】解：设有x个客人，则
，
解得， ，
答；有72个客人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，
找出合适的等量关系列出方程．
18. 【观察思考】
下列图案是由圆形构成的图案，每个圆形的边上都有“★”或“▲”．第 1个图案中“★”有 4个，
“▲”有4个；第2个图案中“★”有8个，“▲”有7个；第3个图案中“★”有12个， “▲”有10
个；第4个图案中“★”有16个，“▲”有13个．
【规律发现】
（1）请求出第n个图案中“★”和“▲”各有多少个；（用含n的式子表示）
【规律应用】
（2）在第30个图案中，分别求“★”的数量和“▲”的数量．
【答案】（1）第n个图案中“★”有 个，“▲”有 个；（2）在第30个图案中， “★”有120
个， “▲”有91个．
【解析】
【分析】此题考查了图形个数规律题，发现正确的规律是解题的关键．
（1）根据题中的规律进行解答即可；
（2）利用（1）中的规律分别求出“★”的数量和“▲”的数量即可得到答案．
【详解】（1）第1个图案中“★”有 个；“▲”有 个；
第2个图案中“★”有 个；“▲”有 个；第3个图案中“★”有 个；“▲”有 个；
第4个图案中“★”有 个；“▲”有 个；
……
第n个图案中“★”有 个，“▲”有 个；
（2）第30个图案中，“★”的数量为； （个），
“▲”的数量为： （个），
∴在第30个图案中， “★”有120个， “▲”有91个．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 2025年春节，《哪吒》系列电影上映，是传统文化的传承与创新，也加大了文化的输出与交流，更让
我国影视业的综合实力迈向一个更高台阶．根据相关协会公布的准则，为了保证观影效果，观众视线与银
幕水平线之间的仰角不宜超过 ．如图，某电影院的观众席成阶梯状，每一级台阶的水平宽度都为 ，
垂直高度都为 ．已知在点 和点 两个位置看屏幕顶端 的仰角分别 和 ，请根据已有数据，
计 算 大 银 幕 高 度 ． （ 结 果 保 留 整 数 ； 参 考 数 据 ： ，
【答案】大银幕 高度大约为6米
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，过点 作 于点 ，过点 作 于
点 ． 设 米 ， 则 米 ． 分 别 求 解 ，，再建立方程求解即可．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ．
设 米，则 米．
在 中， ， ，
∴ （米）
在 中， ，
（米）
由题意得： ，
即 ，
解得 ．
所以 （米）．
答：大银幕 高度大约为6米．
20. 如图， 是 的直径，点 是 上一点，过点 作 的切线与 的延长线相交于点 ，弦
平分 ，交 于点 ，连接 ．（1）求证： ；
（2）若 ， ，求弦 的长．
【答案】（1）见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】 根据圆周角定理可知 ，根据切线的性质可知 ，所以可得
， ，根据同角的余角相等可得 ，从而可证
，根据角平分线的性质可证 ，根据三角形外角的性质可知
，又因为 ，所以可得 ，根据等角
对等边可证结论成立；
连接 ，过点 作 于点 ，根据角平分线的性质可证 是等腰直角三角形，因为
，可得 ，所以 ，利用勾股定理可以求出 ，从而可知
，利用勾股定理可以求出 ，从而可得 ．
【小问1详解】
证明： 为 的直径，
，
，
又 切 于点 ，
，，
，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如下图所示，连接 ，过点 作 于点 ，
平分 ，
，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，，
，
，
在 中， ，
，
解得 ，
则 ，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆的综合、勾股定理、等腰直角三角形的性质、切线的性质、解决本题的关键是
作辅助线构造等腰直角三角形．
六、（满分12分）
21. 某校开展“书香校园”课外读书周活动，活动结束后，经初步统计，所有学生这一周的课外阅读时长
都不低于6小时，但不足12小时．从七、八年级中各随机抽取了20名学生，对他们在活动期间课外阅读
时长 （单位：小时）进行整理、描述和分析（ ．记为 6 小时； ，记为 7 小时：
，记为8小时．．．以此类推），如图分别给出了抽取的学生课外阅读时长的部分信息．七、八年级抽取的学生课外阅读时长统计
表
年级 七年级 八年级
平均数
中位数 8
众数 9
根据以上信息回答下列问题：
（1）计算统计表中 的值；
（2）填空： ___________， ___________；
（3）根据以上数据，你认为该校七年级学生共600人，八年级学生共480人，试估计两个年级的学生在活
动期间课外阅读时长不低于8小时的共有多少人？
【答案】（1）
（2） ；
（3）共有762人
【解析】
【分析】题目主要考查平均数、中位数、众数的计算方法，理解题意，根据图表得出相关信息是解题关键．
（1）根据平均数的计算方法求解即可；
（2）由中位数及众数的定义求解即可；
（3）用样本估计总体的方法解答即可．
【小问1详解】解： ；
【小问2详解】
解： ，
∴第 、 名学生的阅读时长分别为8小时，9小时，
，
七年级阅读时长中， 8 小时人数最多，
，
故答案为： ，8；
【
小问3详解】
解： （人），
答：估计两个年级的学生在活动期间课外阅读时长不低于8小时的共有762人．
七、（满分12分）
22. 如图，正方形 中，点 是线段 的中点，点 是线段 上的动点，连接 与 交于点
，连接 并延长交 于点 ．
（1）①如图1，当点 与点 重合时，求证： ．
②如图2，当点 是线段 的中点时， 的值：
（2）如图3，若 ，求证： ．【答案】（1）①见解析；②
（2）见解析
【解析】
【分析】①证明 ，得出 ，再证出 ，即可
得出 ；
②如图2，连接 ．交 于点 ．证明四边形 是平行四边形，得出 ，证
明 ，得出 ，证明 ，得出 ，即可求解．
（2）证明 ，得出 ，再证明 ，得出
，证明 ，即可证明 ．
【小问1详解】
解：①如图1，四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
，；
②如图2，连接 ．交 于点 ．
四边形 是正方形，
，
点 、 分别是 、 的中点，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图3，， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，又 ，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的
性质和判定等知识，用到的知识点较多，难度较大，属于中考压轴题．
八、（满分14分）
23. 已知二次函数 （ 为常数，且 ）．（1）若二次图象经过坐标原点，请求出此时函数图象的顶点坐标；
（2）二次函数的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，当点 的纵坐标取到最大值时，求出此
时 的面积：
（3）当 时，函数在 处取得最大值，请直接写出 的范围．
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（ ）将 代入函数解析式求得函数解析式，然后配方成顶点式即可求解；
（ ）令 ，则 ，则 ， ，故 ，当
时， ，当 时， 有最大值 ，然后利用面积公
式即可求解；
（ ）分 当 时，当 时两种情况，然后根据二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：将 代入 可得 ，
解得 （舍去），
∴函数解析式为
∴此时函数图象的顶点坐标 ；
【小问2详解】
解：令 ，则 ，解得： ， ，
∴ ，
当 时， ，
∴当 时， 有最大值
∴ ，
∴此时 的面积为 ；
【小问3详解】
解：由 得，则与 轴交点为 ， ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
当 时，开口向上，且 ，
∴抛物线的对称轴直线必在点 的左侧，
当 离对称轴越远， 的值越大，即 时，函数在 处取得最大值，
∴ ，解得 ，
当 时，开口向下，且 ，当 离对称轴越远， 的值越小，
∴抛物线 的对称轴直线必在点 的右侧，而当对称轴直线位于 之间时，函数不可能在
处取得最大值，
∴当 时，函数在 处取得最大值，解得： ，
∴ 的取值范围为 或 ．
