文档内容
2025 年中考模拟考试九年级数学试卷
注意事项：
1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”部分．试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 在 ， ，0， 这四个数中，最小的数是（ ）
A. B. C. 0 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数比较大小，掌握其比较大小的方法是解题的关键．根据正数大于0，0大于负数，
两个负数，绝对值大的反而小，即可得到答案．
【详解】解：依题意得：
，
∴最小的数是 ；
故选B．
2. 的计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是积的乘方运算，根据积的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解： ；
故选：C
3. 如图所示的几何体的三视图是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图．熟练掌握三视图的定义是解题的关键．当我们从某一方向
观察物体时，所看到的平面图形，叫做物体的一个视图．在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做
主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的
视图叫做左视图．
根据三视图定义逐一判断，可得答案．
【详解】解：A. ，不是该几何体的三视图，不合题意；
B. ，不是该几何体的三视图，不合题意；
C. ，是该几何体的三视图，符合题意；
D. ，不是该几何体的三视图，不合题意．
故选：C．
4. 年前两个月，安徽省“新三样”（电动汽车、锂离子蓄电池、光伏产品）合计出口 亿元，
同比增长 ．其中数据“ 亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键，利用科学记数法
表示即可得到答案．
【详解】解： 亿 ，
∵
，
∴
故选：D．
5. 锐角 内接于 ，连接 ，已知 ， ，则劣弧 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接 ，作 于点D，则 ，求出 ， ，再根据弧
长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接 ，作 于点D，则 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的外角性质和弧长公式等知识，属于常考题型，熟练掌握以上基
本知识是解题关键．
6. 6的因数有1，2，3，6，这几个因数之间的关系是 ，像6这样的数叫作完全数．从6，10，
18，28这四个数中任选两个数，至少有一个数是完全数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了列表法或者树状图法求概率，先找到完全平方数，再用列表法求概率即可．
【详解】解：6的因数有1，2，3，6，这几个因数之间的关系是 ，故是完全数，
10的因数有1，2，5,10，而 ，故不是完全数；
的因数有1，2，3，6，9，18，而 ，故不是完全数；
的因数有1，2，4，7，14，28，而 ，故是完全数；
列表如下：
6 10
6 ， 6 ，
6 6，10
10
10 ， 10，
10 ，
6
， ，
6 10 ，28
，
，
，6 10
共12种等可能的结果，至少有一个数是完全数的情况为10种，∴至少有一个数是完全数的概率是 ，
故选D．
7. 如图，在菱形 中， 于点E．下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形两锐角互余，掌握菱形对角线平分一组对角是解题关键．根
据菱形的性质可得 ，再根据直角三角形两锐角互余，得到 ，可
判断A 选项；再根据A选项结论判断其余选项即可．
【详解】解： 四边形 是菱形，
，
，
是菱形 的对角线，
，
，
，
，
，A选项正确；
若 ，则 ，即 ， ，题目中没有说明，无法推出，B选项错误；
若 ，则 ，即 ，题目中没有说明，无法推出，C选项错误；
若 ，则 ，即 ， ，题目中没有说明，无法推出，D
选项错误；
故选：A．
8. 已知实数a，b满足 ，且 ， ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组和不等式组的解法，设 ，解关于 和 的方程组，利用 表
示出 和 ，然后根据 ， 即可列不等式组求得 的范围．正确利用 表示出 和 的值是解
题的关键．
【详解】解：设 ，
解关于 和 的方程组 ，
解得： ．
根据题意得： ，
解得： ，即 ，
故选：B．
9. 如图， 为线段 上一点， ， ， ， ， ，记
和 的面积分别为 ， ．设 ， ，则 关于 的函数图象为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与几何的综合应用、全等三角形的判定与性质，过点 作 ， 与
的延长线交于点 ，可证 ，所以可知 ，因为
，则 ， ，根据三角形的面积公式可得： ，根据二次
函数的图象与性质确定正确选项．
【详解】解：如下图所示，过点 作 ， 与 的延长线交于点 ，
， ， ，
，
， ，
，
又 ，
在 和 中，
，
， ，，
， ，
，
．
观察图象可知选B．
故选：B．
10. 如图，在 中， ，P是 边上一点，且 ，过点P作 ， ，
分别交 ， 于点D，E，连接 ，Q是 外部一点， 垂直平分 ，连接 ， ，
，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、平行四边形性质和三角形全等 的判定与性质的知识，掌握以上知识
是解答本题的关键；
本题先连接 ，根据平行四边形性质和外接圆圆心的知识可得 B正确，根据三角形全等的知识证明
，可得A正确，根据四边形内角和的知识可得C正确，由于 与 不一定平行，故D错误；
【详解】解：连接 ，如图：
，
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 的外接圆圆心为D，
∴ ，
故B正确．
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ．
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故A正确．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵在四边形 中， ，
∴ ，
故C正确．
∵ ，
∴
∵ 与 不一定平行，
∴ 不一定等于 ，
∴ 不一定成立，
故D错误，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 要使二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义 的条件：被开方数大于等于0即可解答．【详解】根据被开方数大于等于0列式计算，1﹣2x≥0，解得x≤ ．
故答案为x≤ ．
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解题的关键．
12. 一元二次方程 的正实数根是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，
公式法，因式分解法等．
利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：
∴
，
∴
，
∴
∴
或 （舍去）
∴
正实数根是
∴
故答案为： ．
13. 在平面直角坐标系 中，一次函数 与反比例函数 交于A，B两点，A点在第
一象限，与x轴交于点C，已知 的面积为2，则k的值为________．
【答案】12
【解析】【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题．先求出点C的坐标，再根据 的面积为2
求出点A的坐标，把点A的坐标代入 求出答案即可．
【详解】解：如图，
当 ， ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
设点A的坐标为 ，
∵ 的面积为2，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，解得 ，
∴点A的坐标为 ，
∵一次函数 与反比例函数 交于A，B两点，∴ ，解得
故答案为：
14. 如图，现有正方形纸片 ， 为 的中点，连接 ， ，沿对角线 折叠正方形纸
片 ， 与 重合，然后还原．连接 分别交 于点 ， 于点 ，连接 ．
（ ）若 ，则 ________．（用含 的式子表示）
（ ）若 ，则 的长为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质可知 ， ，根据正方形的性质可知 ，
， 利 用 可 证 ， 根 据 全 等 三 角 形 的 性 质 可 知
，从而可证 ，所以可得 ；
（2）过点 作 于 ，根据正方形的性质可证 ，根据 ，
，可证 ，根据相似三角形对应边成比例可知 ，
利用勾股定理求出 ，再利用相似三角形的性质可以求出 ．【详解】（1）解：由折叠的性质知 ， ，
四边形 是正方形，
， ，
在 和 中， ，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为： ．
（2）解：如下图所示，过点 作 于 ，
，
，
，
，， ，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性
质．解决本题的关键是作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求解．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，正确理解实数的运算法则和运算性质是解决本题的关键．
先计算负整数指数幂、化简绝对值、二次根式的乘法运算，再算加减法即可．
【详解】解：．
16. 某超市开展端午节促销活动，将某品牌粽子降价 出售，用 元购买该品牌粽子，比促销前多买
了 盒．求促销前该品牌粽子每盒的价格．
【答案】促销前该品牌粽子每盒的价格为 元．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设促销前该品牌粽子每盒的价格为 元，由题意
，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设促销前该品牌粽子每盒的价格为 元，
由题意得， ，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，
答：促销前该品牌粽子每盒的价格为 元．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的顶点均为格点（网格线的交点）．（1）将 先向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到 ，画出 ．
（2）将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，画出 ．
（3）在所给的网格图中画图说明 （可作简要说明）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了网络作图．熟练掌握平移性质，旋转性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键．
（1）把A，B，C向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到 ，顺次连接各点即
得 ，
（2）把A，B，C绕点 顺时针旋转 ，得到 ，顺次连接各点即得 ；
（3）把点A绕点B逆时针旋转 ，得到点D，连接 ，则 ．
【小问1详解】
解：如图， 即所求．【小问2详解】
如图， 即所求．
【小问3详解】
如图把点A绕点B逆时针旋转 ，得到点D，连接 ，
则 是等腰直角三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ ．（答案不唯一）18. 数学兴趣小组发现 在实数范围内不能因式分解，接着他们研究 的因式分解问题，过程如下．
（1）当x为正整数时：
；
；
；
；
……
按照以上规律，回答下列问题：
（ⅰ） __________=____________；
（ⅱ） _________=___________．
（2）在（1）的研究基础上，请你猜想：当x为任意实数时， 因式分解所得的结果．并证明该因式
分解结果的正确性．
【答案】（1）（ⅰ） ， ；（ⅱ） ，
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解的规律问题．熟练使用因式分解方法是解答关键．
（1）通过观察已给出的等式，找出相应的规律求解即可．
（2）利用（1）得出的规律来进行猜想，证明求解即可．
【小问1详解】
解：（1）（ⅰ） ；
故答案为： ， ；
（ⅱ） ；
故答案为： ， ；【小问2详解】
猜想： 因式分解的结果为 ．
证明： ，
∵
是正确的．
∴
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 九年级光学探究社团进行一次光的反射实验，如图，一束光线 先后经平面镜 ， 反射后，反
射 光 线 与 平 行 ， 已 知 ． 求 的 长 ． （ 参 考 数 据 ：
．）
【答案】
【解析】
【分析】题目主要考查平行线的性质，解三角形的应用，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
根据题意得出 ，再由各角之间的关系得出 ．利用三角形内角和定理
得出 ，然后利用正切函数求解即可．
【详解】解：由题意得 ，
．
∴
，
∵
．
∴，
∵
．
∴
．
∴
在 中， ，
，
∵
．
∴
20. 如图， 内接于 ， 于点D， 于点E，交 于点F，交 于点G，连
接 ．
（1）求证： ．
（2）若 于点H，求 的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明 ，结合 ，可得 ，进一步可得结论；
（2）如图，作直径 ，连接 ，可得 ，证明 ． ，．结合 ，可得 ，进一步可得结论．
【小问1详解】
证明：∵ 于点D， 于点E，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：如图，作直径 ，连接 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，平行
线分线段成比例，作出合适的辅助线是解本题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 综合与实践
【项目背景】
为支持乡村振兴，班级同学在老师的带领下前往青山乡开展综合实践活动，其中一个项目是调查该乡每户
农民的年收入（以下称为户年收入），为乡村振兴工作提供参考．
【数据收集与整理】
班级同学从该乡随机调查了120个家庭的户年收入x（单位：万元）作为样本，收集整理后进行如下分组：
组别 A B C D E
5
