文档内容
安庆四中 2025 届“二模”数学试卷
一．选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
1. 下列各数中，最小的数是（ ）
A. B. C. 1 D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】正数大于一切负数；0大于负数，小于正数；两个正数比较大小，绝对值大的数就大；两个负数
比较大小，绝对值大的数反而小．
【详解】解： ， ， ，
，
最小的数是 ．
故选：A．
【点睛】本题考查有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的方法是解题关键．
2. 全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成
造林约 公顷．用科学记数法表示 是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示形式 为整数 ，当原数
大于或等于 时，原数变为 时，小数点向左移动了几位， 的值就是几，由此即可求解．
【详解】解： ，
故选：A．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.【答案】C
【解析】
【分析】根据积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，逐一计算判断即可．
【详解】解：A、 ，选项计算错误，不符合题意；
B、 ，选项计算错误，不符合题意；
C、 ，选项计算正确，符合题意；
D、 ，选项计算错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则，正
确的计算，是解题的关键．
4. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查简单几何体的三视图，掌握俯视图是从上往下看到的图形是解题的关键．注意：可见部
分的轮廓线用实线表示，被其他部分遮挡而看不见的部分用虚线表示．根据俯视图的定义（从上面观察物
体所得到的视图是俯视图），即可得到答案．
【详解】解：根据主视图可以发现，榫的顶端是一个上宽下窄的梯形，
从上往下看立体图，可以得到俯视图的形状应该是四根实线夹着两根虚线的长方形，
即榫的俯视图如下：
故选：D．5. 小华将一副三角板（ ， ， ）按如图所示的方式摆放，其中
，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出 ，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图：设 交于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
6. 为了解九年级男生的身高情况，校体育部随机抽测了九年级部分男生的身高（单位：厘米），数据统计
如下：
组别 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组160及以下 160~165 165~170 170~175 175及以上
人数 5 13 17 12 3
该样本的中位数落在（ ）
A. 第二组 B. 第三组 C. 第四组 D. 第五组
【答案】B
【解析】
【分析】把这组数据从小到大排列，根据中位数的定义即可得答案．
【详解】这组数据共有5+13+17+12+3=50（个），
把这组数据从小到大排列，中间的两个数据是第25和26个，
在
∵第25和26个数据都 第三组，
∴该样本的中位数落在第三组，
故选：B．
【点睛】此题考查了中位数，给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中
位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．解题的关键是能准确的从表中获取数据进行
计算求解．
7. 如图，已知正方形 的边长为3，点 是对角线 上的一点， 于点 ， 于
点 ，连接 ，当 时，则 （ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】【分析】先证四边形 是矩形，可得 ， ，由等腰直角三角形的性质可得
，可求 ， 的长，由勾股定理可求 的长，由“ ”可证 ，可得
．
【详解】解：如图：
连接 ，
四边形 是正方形，
， ，
， ， ，
四边形 是矩形，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
， ，
，
， ， ，
，，
故选： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活运用
这些性质解决问题是解题的关键．
8. 已知点 在直线 上，且 ，则下列关系一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征及 ，可得出 ，在不等式 的两边
同时除以b可得出 ，化简后即可得出．
【详解】解：∵点 在直线 上，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在不等式 的两边同时除以b得 ，
∴ ．
故选：D．【点睛】本题考查了一次函数图象上点 的坐标特征以，以及不等式的性质，利用一次函数图象上点的
坐标特征及 求出b为正值是解题的关键．
9. 如图1，在平行四边形 中， ，已知点 在边 上，以1m/s的速度从点 向点
运动，点 在边 上，以 的速度从点 向点 运动．若点 ， 同时出发，当点 到达点 时，
点 恰好到达点 处，此时两点都停止运动．图2是 的面积 与点 的运动时间 之间的
函数关系图象（点 为图象的最高点），则平行四边形 的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得： ， ，设 ，则 ，作
交 的延长线于点 ，作 交 的延长线于点 ，则可得 ，
，从而得到 ，根据 的最
大值为3，求出 的值，从而得到 ，最后由平行四边形的面积公式
进行计算即可得到答案．【详解】解：根据题意可得： ， ，
设 ，则 ，
作 交 的延长线于点 ，作 交 的延长线于点 ，
，
，
，
， ，
，
由图象可得 的最大值为3，
，
解得： 或 （舍去），
，
，
平行四边形 的面积为： ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、解直角三角形、二次函数的图象与性质，熟练掌握平行四边
形的性质、二次函数的图象与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形，是解题的关键．
10. 如图，四边形 是矩形， ， ，点P是边 上一点（不与点A，D重合），
连接 ．点M，N分别是 的中点，连接 ， ， ，点E在边 上，，则 的最小值是（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得 ， ，通过证明四边形 是平
行四边形，可得 ，则 ，作点C关于直线 的对称点
M，则 ，点B，P，M三点共线时， 的值最小，最小值为 ．
【详解】解： 四边形 是矩形，
， ，
点M，N分别是 的中点，
， ， ， ，
， ，
，
又 ，
四边形 是平行四边形，
，
，如图，作点C关于直线 的对称点M，连接 ， ，
则 ，
当点B，P，M三点共线时， 的值最小，最小值为 ，
在 中， ， ，
，
的最小值 ，
故选C．
【点睛】本题考查矩形 的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性
质，轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代
换思想．
二．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
11. 分解因式：3a2﹣6a+3=____．
【答案】3（a﹣1）2．
【解析】
【详解】解：原式=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2．
故答案为：3（a﹣1）2．
【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用．
12. 若关于x的方程 的一个根是3，则此方程的另一个根是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据根与系数的关系 即可求出方程的另一个根．【详解】设另一个根为 ，
根据题意： ，
解得， ，
即另一个根为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，在利用根与系数 、 来
计算时，要弄清楚 、 、 的意义．
13. 如图，点A、B在x轴上，分别以 ， 为边，在x轴上方作正方形 ， ．反比例函数
的图象分别交边 ， 于点 P，Q．作 轴于点 M， 轴于点 N．若
，Q为 的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为_________．
【答案】24
【解析】
【分析】设 ，则 ，从而可得 、 ，由正方形的性质可得 ，由 轴 ， 点 P 在 上 ， 可 得 ， 由 于 Q 为 的 中 点 ， 轴 ， 可 得
，则 ，由于点Q在反比例函数 的图象上可得 ，根据阴影
部分为矩形，且长为 ，宽为a，面积为6，从而可得 ，即可求解．
【详解】解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在正方形 中， ，
∵Q为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵Q在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵P在 上，
∴P点纵坐标为 ，∵P点在反比例函数 的图象上，
∴P点横坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：24．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知
识是解题的关键．
14. 如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形
，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰 和等腰 ，③和④分别
是 和 ，⑤是正方形 ，直角顶点E，F，G，H分别在边
上．
（1）若 ， ，则 的长是______cm．（2）若 ，则 的值是______．
【答案】 ①. 4 ②. 3
【解析】
【分析】（1）将 和 用 表示出来，再代入 ，即可求出 的长；
（2）由已知条件可以证明 ，从而得到 ，设 ，
， ，用x和k的式子表示出 ，再利用 列方程，解出x，从
而求出 的值．
【详解】解：（1）∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：4；
（2）设 ，
∵ ，
∴可设 ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ，∴ ，
，
∵四边形 对角互补，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
整理得： ，
解得 ， （舍去），
∴ ．
故答案为：3．
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角函数定义，一元二次方程的解法等，弄清
图中线段间的关系是解题的关键．
三．解答题（本大题共2小题，每题8分，共16分）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值的意义、负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的三角函数值分别计算后，再根据二次
根式加减运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：．
【点睛】本题考查了绝对值的意义、负整数指数幂运算、零指数幂运算、特殊角的三角函数值、二次根式
加减运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
16. 为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生
产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了 ，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题：
（1）更新设备后每天生产_______件产品（用含x的式子表示）；
（2）更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件
产品．
【答案】（1）
（2）125件
【解析】
【分析】（1）根据“更新设备后生产效率比更新前提高了 ”列代数式即可；
（2）根据题意列分式方程，解方程即可．
【小问1详解】
解： 更新设备前每天生产x件产品，更新设备后生产效率比更新前提高了 ，
更新设备后每天生产产品数量为： （件），
故答案为： ；
【小问2详解】
解：由题意知： ，
去分母，得 ，
解得 ，
经检验， 是所列分式方程的解，
（件），
因此更新设备后每天生产125件产品．【点睛】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据所给数量关系正确列出方程．
四．解答题（本大题共2小题，每题8分，共16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ．
（1）将 向上平移4个单位、再向左平移2个单位得到 ；
（2）画出 绕点 按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的 ，则点 旋转过程中的
路径长为 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，
【解析】
【分析】本题考查了平移与旋转的性质，勾股定理，弧长公式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活
运用．
（1）按平移要求进行作图即可；
（2）根据旋转的性质作图即可，然后根据弧长公式计算解题．
【小问1详解】
如图， 即为所作；【小问2详解】
如图， 即为所作；
，
∴点 旋转过程中 的路径长为 ．
故答案为： ．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，0）、点A 的坐标为（2， 0）、点A 的坐标为（3，
1 2 3
0）、…，过点A、A、A、…、别作x轴垂线，交直线＝x于点B、B、B、…，△OAB 覆盖的整点（横、
1 2 3 1 2 3 1 1
纵坐标均为整数的点）的个数记为P，面积的值记为S；△OAB 覆盖的整点的个数记为P，面积的值记为
1 1 2 2 2
S；△OAB 覆盖的整点的个数记为P，面积的值记为S；…；
2 3 3 3 3
【注：连续x个正整数和的计算公式：1＋2＋3＋…＋x－1＋x＝ 】（1）由题意可知：P＝3、S＝ ；P＝6、S＝2；P＝10、S＝ ；则P＝ 、S＝ ；
1 1 2 2 3 3 4 4
（2）P－S＝ ；
7 7
（3）P－S 的值是否会等于2022？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由．
n n
【答案】（1）15；8
（2）
（3）不能，理由见解析
【解析】
【分析】(1)根据点的变化规律得到 ， ，由此进行解答；
(2)根据变化规律计算出P 和S 的值，再进行解答即可；
7 7
(3)根据规律计算出n的值，即可得知结果．
【小问1详解】
解：∵ ， ， =1+2+3=6， ， =1+2+3+4=10，
……
∴根据规律发现 =1+2+3+4+…+(n+1)= ,
∴ =1+2+3+4+5=15，
故答案为：15；8．
【小问2详解】
解：∵故答案为： ．
【小问3详解】
解：不能，
∵P－S＝ ＝2022，n＝ ，
n n
∵n不是整数，
∴P－S 的值不会等于2022．
n n
【点睛】本题考查归纳推理的应用，根据条件寻找规律是解决本题的关键．
五．解答题（本大题共2小题，每题10分，共20分）
19. 如图，堤坝 长为 ，坡度i为 ，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶
D处立有高 的铁塔 ．小明欲测量山高 ，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线 上，又在坝
顶B处测得塔底D的仰角 为 ．求堤坝高及山高 ．（ ， ，
，小明身高忽略不计，结果精确到 ）
【答案】堤坝高为8米，山高 为20米．
【解析】
【分析】过B作 于H，设 ， ，根据勾股定理得到
，求得 ，过B作 于F，则
，设 ，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：过B作 于H，
∵坡度i为 ，
∴设 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过B作 于F，
则 ，
设 ，
∵ ．
∴ ，
∴ ，
∵坡度i为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ （米），
∴ （米），
答：堤坝高为8米，山高 为20米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线
是解题的关键．20. 如图，在Rt ABC中， ，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点
E．
（1）若 ，⊙O的半径为3，求AC的长．
（2）过点E作弦EF⊥AB于G，连接AF，若 ．求证：四边形ACEF是菱形．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先证明 再求解 由 再建立方程求解即可；
（2）利用同弧所对的圆周角相等，得到∠AOE=4∠B，进而求出∠B与∠AFE的度数，根据EF与AD垂直，
得到一对直角相等，确定出∠GEB=∠AFE=60°，CA与EF平行，进而得到CB与AF平行，确定出四边形
ACEF为平行四边形，再由∠CAB为直角，得到CA为圆的切线，利用切线长定理得到CA=CE，利用邻边
相等的平行四边形为菱形即可得证．
【小问1详解】
解：如图，连接OE，
是 的切线，由
【小问2详解】
∵ ∠AFE=2∠ABC，
∴∠AOE=2∠AFE=4∠ABC，
∵∠AOE=∠OEB+∠ABC，
∴∠ABC=30°，∠AFE=60°，
∵EF⊥AD，
∴∠EGB=∠CAB=90°，
∴∠GEB=∠AFE=60°， ，
∴ ，
∴四边形ACEF为平行四边形，
∵∠CAB=90°，OA为半径，
∴CA为圆O的切线，
∵BC为圆O的切线，
∴CA=CE，
∴平行四边形ACEF为菱形．
【点睛】此题考查了切线的性质及切线长定理的应用，菱形的判定，锐角三角函数的应用，熟练掌握圆的
基本性质及重要的定理是解本题的关键．
六．解答题（本大题满分12分）
21. 某校在评选“劳动小能手”活动中，随机调查了部分学生 的周末家务劳动时间，根据调查结果，将劳动时长划分为A，B，C，D四个组别，并绘制成如下不完整统计图表
学生周末家务劳动时长分组表
组别 A B C D
t（小时）
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取______名学生，条形统计图中的 ______，D组所在扇形的圆心角的度数是
______；
（2）已知该校有900名学生，根据调查结果，请你估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有多
少人？
（3）班级准备从周末家务劳动时间较长的三男一女四名学生中，随机抽取两名学生参加“我劳动，我快
乐”的主题演讲活动，请用列表法或画树状图法求出恰好选中两名男生的概率．
【答案】（1）50，9，
（2）估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有666人；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据数据计算即可；
（2）根据（1）求出的D组所占的比例计算结果；
（3）列出所有可能情况求概率．
【小问1详解】
解：这次抽样调查共抽取的人数有： （人），
B组的人数为： （人），
D组所占的比例为：∴D组所在扇形的圆心角的度数是： ；
【小问2详解】
解：根据题意得， （人）
答：估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有666人；
【小问3详解】
解：列表如下：
男1 男2 男3 女
男1 （男2，男1） （男3，男1） （女，男1）
男2 （男1，男2） （男3，男2） （女，男2）
男3 （男1，男3） （男2，男3） （女，男3）
女 （男1，女） （男2，女） （男3，女）
共有12中等可能结果，其中恰好选中两名男生的结果数为6，
∴恰好选中两名男生的概率 .
【点睛】本题主要考查了统计的实际问题，涉及用样本估计总体的数量、求圆心角的度数，求概率等，属
于基础题要认真读图.
七．解答题（本大题满分12分）
22. 如图，在 中， ，D是 的中点，延长 至E，连接 ．
（1）求证： ；
（2）在如图1中，若 ，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作 于F，设H是的中点，过点H作 交 于G，交 于M．
求证：
① ；
② ．
【答案】（1）证明见解析
（2）①见解析，②见解析
【解析】
【分析】（1）先证出 是 的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质得到 ，最后由
证得 ；
（2）①连接 ，由三角形中位线的性质得到 ，从而 ，再由
， ，得到 ，可证得 ，从而
，又 ，等量代换即可；
②先证明 ，再由 为 的中位线，得到 ，从而 为 中点，
由于 为 中点，故得证 .
【小问1详解】
证明：∵ 是 的中点，
∴ 是 的垂直平分线，
又∵E在 上，
∴ ，
在 和 中，
∴
【小问2详解】
证明：①连接 ，∵ 分别是 和 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
②在 和 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵A、H分别为 和 中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴ ，即 为 中点，
又∵ ，
∴ 为 中点，
∴ .
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定和性质、
三角形中位线的定义和性质，熟练掌握相应的判定和性质是解答此题的关键.
八．解答题（本大题满分14分）
23. 如图，抛物线 与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点
且横坐标为m．（1）A，B，C三点的坐标为____________，____________，____________；
（2）连接 ，交线段 于点D，
①当 与x轴平行时，求 的值；
②当 与x轴不平行时，求 的最大值；
（3）连接 ，是否存在点P，使得 ，若存在，求m的值，若不存在，请说明理
由．
【答案】（1） ; ;
（2）① ；②
（3）存在点P，
【解析】
【分析】(1)令x=0，则y=4，令y=0，则 =0，所以x=-2或x=3，由此可得结论；
(2)①由题意可知，P(1，4)，所以CP=1，AB=5，由平行线分线段成比例可知， ．②过点P作PQ∥AB交BC于点Q，所以直线BC的解析式为：y=- x+4．设点P的横坐标为m，则P(m，-
)，Q( ，- )．所以PQ=m-( )=- ，因为
PQ∥AB，所以 = ，由二次函数的性质可得结论；
(3)假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP=90°，即0＜m＜3．过点C作CF x轴交抛物线于点F，由
∠BCO+2∠PCB=90°，可知CP平分∠BCF，延长CP交x轴于点M，易证△CBM为等腰三角形，所以M(8，
0)，所以直线CM的解析式为：y=- x+4，令 =- x+4，可得结论．
【小问1详解】
解：令x=0，则y=4，
∴C(0，4)；
令y=0，则 =0，
∴x=-2或x=3，
∴A(-2，0)，B(3，0)．
故答案为：(-2，0)；(3，0)；(0，4)．
【小问2详解】
解：①∵ 轴， ，
∴ ， ，
又∵ 轴，
∴△CPD∽△BAD
∴ ；②过P作 交 于点Q，
设直线BC的解析式为 ，
把B(3，0)，C(0，4)代入，得
，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴△QPD∽△BAD
∴ ，∴当 时， 取最大值 ；
【小问3详解】
解：假设存在点P使得 ，即 ，
过C作 轴，连接CP，延长 交x轴于点M，
∴∠FCP=∠BMC，
∵ ，
∴ 平分 ，
∴∠BCP=∠FCP，
∴∠BCP=∠BMC，
∴BC=BM，
∴ 为等腰三角形，
∵ ，
∴ ， ， ，
设直线CM解析式为y=kx+b，
把C(0，4)， 代入，得，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得 或 (舍)，
∴存在点P满足题意，即 ．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行线分线段成比例，角度的存在性等相关内
容，解本题的关键是求抛物线解析式，确定点P的坐标．
