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2025 年中考模拟试题数学试题卷
一、选择题：本题共 10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1. 的绝对值是（ ）．
A. B. 4 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，理解绝对值的定义是解题关键．绝对值是指一个数在数轴上
所对应点到原点的距离．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
根据绝对值的定义，即可获得答案．
【详解】解： ，
即 的绝对值是4．
故选：B．
2. 计算（﹣2x2y）3的结果是（ ）
A. ﹣2x5y3 B. ﹣8x6y3 C. ﹣2x6y3 D. ﹣8x5y3
【答案】B
【解析】
【分析】根据积的乘方法则，即可求解．
【详解】解：（﹣2x2y）3＝（﹣2）3（x2）3y3
＝﹣8x6y3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查积的乘方法则，掌握积的乘方等于各个因式乘方的积，是解题的关键．
3. 如图，这是将一个底面为等边三角形 的三棱柱切去一个角后的几何体，则该几何体的俯视图是（
）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三视图；
俯视图是从上面看得到的图形，注意看得见的棱用实线表示．
【详解】解：由图得：该几何体的俯视图是 ，
故选：B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. 故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，熟练掌握以上运算法则
是解题的关键．
5. 如图，烧杯内液体表面 与烧杯下底部 平行，光线 从液体中射向空气时发生折射，光线变成
，点 在射线 上．已知 ， ，则 的度数为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质．由题意知， ，则 ，根据
，计算求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
由题意知， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
6. 习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化
成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图， ， ，纸扇完全打开后，外
侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角 ．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面
的面积为（ ） ．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题．本题主要考查了扇形面
积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键．
【详解】解：由题知，
，
，
所以山水画所在纸面的面积为： ．
故选：C．
7. 如图，图1为四等分数字转盘，图2为三等分数字转盘．同时自由转动两个转盘，当转盘停止转动后
（若指针指在边界处，则重转），两个转盘指针指向的数字的积满足不等式 的解的概率为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了列表法球概率，解一元一次不等式，先列表得出所有符合条件的结果，再求出不
等式的解集，根据概率公式计算即可．
【详解】解：列表如下：
第一次 第
1 3
二次
1
23
4
一共有12种符合条件的结果，每种结果出现的可能性相同．
解不等式 ，
解得 ，
可知符合条件的有3，4，3，6，9，12，共6种，
所以两个转盘指针指向数字的积满足不等式的解得概率是 ．
故选：C．
8. 在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点 在同一个函数图象上，则该函数图象可
能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了函数的图象．由点 ，点 ，点 在同一个函数图象上，可得
与 关于 轴对称；当 时， 随 的增大而增大，继而求得答案．
【详解】解：∵点 ，点 ，
∴ 与 关于 轴对称，
即这个函数图象关于 轴对称，故选项A、D不符合题意；
∵点 ，点 ，
∴当 时， 随 的增大而增大，故选项C符合题意，选项B不符合题意．
故选：C．9. 如图， 是等腰直角三角形， ， 为 延长线上一点， 为 上一点，连接
交 于点 ，作 交直线 于点 ，若 ， ， ，则 的长
为（ ）．
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查等腰直角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，过点 E作 于
点M，作 于点N，根据正弦的定义求出 和 的长，然后证明 ，利用对应
边成比例解题即可．
【详解】解： 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
设
∵ ，
∴ ，
则
∴
∴
过点E作 于点M，作 于点N，∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴
∴ ，
∵
∴
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴∴
解得： （负值已舍去），
故选：D．
10. 如图，线段 ，点 是线段 上一动点（不与点 ， 重合），以 为直径作 ，过点
作 的切线，切点为 ，若 ， ，则 关于 的函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查切线的性质，函数图象以及勾股定理，设半径为 ，连接 ，则
，由 得 ，可求出 ，由勾股定理得 ，把
代入得 ，结合 可得函数图象．
【详解】解：连接 ，如图，∵ 是 的切线，
∴
设 则
∵ ，
∴ ，
∴ ；
在
中，由勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ，
整理得， ，
把 代入，整理得 ，
又
∴函数图象如图，
故选：C．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
11. 计算： _____．
【答案】
【解析】【分析】本题主要考查零指数幂和立方根，原式先计算 ， ，再计算减法即可得到答
案．
【详解】解：
，
故答案为： ．
12. 现有分别标有汉字“圆”“梦”“今”“夏”的四张卡片，它们除汉字外完全相同，若把四张卡片背
面朝上，洗匀后放在桌面上，然后随机抽出一张，不放回，再随机抽出一张，两次抽出的卡片上的汉字能
组成“圆梦”的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】“圆”“梦”“今”“夏”的四张卡片分别用 表示，画树状图如图所示：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上的汉字能组成“圆梦”有2种，
所以两次抽出的卡片上的汉字能组成“圆梦”的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；熟练掌握概率=所求情况数与总情况数
之比是解题的关键．
13. 中国的5G技术领先世界， 技术中的数学原理之一是香农公式： ，其中 表示最大信息传送速率， 为信道带宽， 为信道内所传信号的平均功率， 为信道内部的高斯噪声功率， 叫作
信噪比．已知某次信息传送的信道带宽 为200，信噪比为15，则这次信息传送的最大速率是______．
【答案】800
【解析】
【分析】本题主要考查乘方的应用，将相关数据代入 ，可得 ，再求解即可．
【详解】解：由题意，得
∴
∴
，
．
故答案为：800．
14. 如图，已知矩形 与矩形 ，矩形 的顶点 ， 分别在矩形 的边 ，
上，点 与点 重合．
（1）若 ，则 ______；
（2）若矩形 与矩形 的面积之差为 ，点 是 的中点，则阴影部分的面积为
______ ．【答案】 ①. ②. 7
【解析】
【分析】本题主要考查垂直的性质和矩形的性质，设 与 相交于点 ，由矩形的性质得
， ，可得出 ，由 可得
结 论 ； 连 接 , 可 得 ， 由 点 是 的 中 点 得
．
【详解】解：设 与 相交于点 ，连接 ,
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴
又 ，
∴ ，
∴ ；
由等底等高得：∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，即阴影部分的面积为 ．
故答案为： ；7．
三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15. 计算： ．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数，绝对值的意义，二次根
式的运算法则等计算即可．
【详解】解：原式
．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点 （格点是网格线的交点）．
（1）将 向右平移5个单位长度得到 ，画出 ；
（2）将 绕点 逆时针方向旋转 得到 ，画出 ；
（3）直接写出点 经过上述两种变化过程中所经过的路径的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）
【解析】
【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，弧长公式的应用，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）将点 分别向右平移5个单位长度，得到点 ，再顺次连接即可；
（2）将点 分别绕点 逆时针方向旋转 ，得到点 ，再顺次连接即可；
（3）分别求出平移的路径和旋转的路径，对于旋转的路径先由勾股定理求出半径，再由弧长公式即可求．
【小问1详解】
解：如图， 即为所作，
【小问2详解】
解：如上图， 即为所作；
【小问3详解】
解：平移时，点 经过的路径长为5；
∵ ，
旋转时， ，∴点 经过上述两种变化过程中所经过的路径的长为 ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道
进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预
备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项
任务，那么能否按要求完成任务？
清淤机 清淤船 时间
方案一 1台 2台 8天
方案二 2台 1台 7天
【答案】能按要求完成任务
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设一台清淤机的工作效率为 ，一台清淤船的工作效率
为 ，根据方案一和方案二建立方程求解即可．
【详解】解：设一台清淤机的工作效率为 ，一台清淤船的工作效率为 ．
根据题意，得
解得 ，
答：2台清淤机和2台清淤船共同工作，能按要求完成任务．
18. 观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
根据上述规律，解答下面的问题：
（1）直接写出第5个等式______；
（2）猜想第 个等式（用含 的式子表示），并给出证明．
【答案】（1）
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查的知识点是数字类规律探索、整式四则混合运算、完全平方公式，解题关键是能正确总
结概括出规律．
（1）根据前 个等式所总结 的规律即可写出第 个等式；
（2）根据规律猜想出第 个等式，证明方法：计算出左边的结果看是否等于1，即是否左、右相等．
【小问1详解】
解： 第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
故答案为： ．
【小问2详解】
解：猜想第 个等式为 ，
证明： 左边，
又 右边 ，
左边 右边，
即 ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度．
【实践工具】测距仪，测角仪等测量工具．
【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲
步道分别是 ， ， ，且A， ， ， 在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据：
， ， ， ．
【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以 为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）．
（1）求A， 两点间的距离；
（2）求该条待建环山路的长度（结果保留 ）．（参考数据： ， ，
， ）
【答案】（1）12
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的性质、弧长公式等知识点，灵活运用相
关性质成为解题的关键．
（1）如图：连接 ．过点 作 ，垂足为点 ．由等腰三角形的三线合一的性质可得、 ，再解直角三角形可得 ，进而求
得 即可解答；
（2）如图：连接 ．由等腰三角形的性质可得 ，再根据角的和差可得
，然后运用勾股定理求得 ，最后根据弧长公式计算即可．
【小问1详解】
解：连接 ．过点 作 ，垂足为点 ．
因为 ，
所以 ， ．
在 中，因为 ，
所以 ．
所以 ．
因此，A， 两点之间的距离为 ．
【小问2详解】
解：连接 ．因为 ，所以 ，
所以 ．
在 中，由勾股定理可得 ，
所以 ．
所以 的长 ．
因此，待建环山路的长度为 ．
20. 如图，在 中， ，D为 的中点．
（1）以 为直径的 分别交 于点E，F，过点F作 于点G，求证： 是 的
切线．
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）0.9
【解析】
【分析】（1）如图，连接 ，根据直角三角形的性质得到 ，得到 ，根据等
腰三角形的性质得到 ，得到 ，推出 ，即可求解；（2）连接 ，根据勾股定理得到 ，根据圆周角定理得出 ，根据三角函数的定义即
可得出结论．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，
∵ ，D为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 相切．
【小问2详解】
解：如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵D为 的中点，∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，正确的
作出辅助线是解题的关键．
六、（本满分12分）
21. 蚌埠市“智慧大阅读”活动进入第五个年头．某校“综合与实践”小组为了解全校3600名学生的读书
情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（部分内容）：
xx学校学生读书情况调查报告
调查主题 xx学校学生读书情况
调查 xx 学校学生对
调查方式 抽样调查
象
您平均每周阅读课外书的时间大约是（只能
平均每周阅读课外书
第 单选，每项含最小值，不含最大值） 的时间调查统计图
数据收集、
一
整理与描述 A．8小时及以上；
项
B． 小时；C． 小时；
D． 小时．
阅读 的课外书的
您阅读 的课外书的主要来源是（可多 主要来源调查统计图
选）
第 E．自行购买；
二
F．从图书馆借阅；
项
G．免费数字阅读；
H．向他人借阅．
调查结论 …
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）图中平均每周阅读时间大约在 小时的人数 _____；
（2）求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数；
（3）估计该校3600名学生中平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数；
（4）该小组要根据以上调查报告在全班进行交流，假如你是小组成员，请结合以上两项调查数据分别写
出一条你获取的信息．
【答案】（1）
（2）参与本次抽样调查的学生人数为300人，这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数为186人
（3）估计该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数有1152人
（4）见解析（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需
要的条件．
（1）先求解被调查的总人数，再由总人数乘以C类百分比即可得到答案；
（2）用总人数乘以F类所占百分比，即可求解；（3）利用样本估计总体的思想即可解决问题；
（4）从平均每周阅读课外书的时间和阅读的课外书的主要来源写出一条你获取的信息即可．
【小问1详解】
解：被调查的总人数为： （人），
∴ ；
【小问2详解】
解：由（1）得：参与本次抽样调查的学生人数为300人；
（人）；
答：参与本次抽样调查的学生人数为300人，这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数为186人；
【小问3详解】
解： （人）．
答：估计该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数有1152人；
【小问4详解】
解：例如：第一项：①平均每周阅读课外书的时间在“ 小时”的人数最多；②平均每周阅读课外书的
时间在“ 小时”的人数最少，③平均每周阅读课外书的时间在“8小时及以上”的学生人数占调查总
人数的 ；
第二项：①阅读的课外书的主要来源中选择“从图书馆借阅”的人数最多；②阅读的课外书的主要来源中
选择“向他人借阅”的人数最少．
七、（本满分12分）
22. 如图（1）， 是菱形 边 上一点，将线段 绕点 顺时针旋转 度到 位置，连接
，且 交 于点 ，
（1）如图（2），当 时，求证： ；（2）如图（1），探究 与 的数量关系．并说明理由；
（3）如图（3），当 时，若菱形 边长为 ，且 ，求 长．
【答案】（1）见解析 （2） ，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形和正方形的性质，正确作
出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）利用一线三等角，证明 即可解答；
（2）在 上截取 ，使 ，连接 ，证明 ，再通过角度的转换
即可解答；
（3）过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，利用（2）中性质可得 ，则
可得 即可解答．
【小问1详解】
证明：如图，作 的延长线，
，
，，
在 和 中
，
， ，
，
，
；
【小问2详解】
解： ，理由如下：
如图，在 上截取 ，使 ，连接 ，
，
，
．
，
．
．
，，
．
；
【小问3详解】
解：如图，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，
设菱形的边长为 ，
，
，
，由（2）知， ，
，
，，
，
．
八、（本满分14分）
23. 已知抛物线 与抛物线 相交于点 ．
（1）求出p的值；
（2）设点 在抛物线 上，点 在抛物线 上．
当 时，求n的取值范围；
①当M，A，N三点共线时，求m的值．
②
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】题目主要考查二次函数的性质，待定系数法确定函数解析式，理解题意，综合运用这些知识点是
解题关键．
（1）根据待定系数法代入即可得出结果；
（2）由（1）得 ，将点 M 代入得 ，且 ；①根据题意得出
，然后代入函数解析式确定 ，再由二次函数的性质即可得出n的取
值范围；②根据题意得出 ，再利用一次函数的待定系数法及三点共
线得出方程求解即可．
【小问1详解】解：将点 代入 ，
得 ，
解得： ；
【小问2详解】
由（1）得 ，
∵点 在抛物线 上，
∴ ，
∴ ；
①∵ ， ，
∴ ，
∵点 在抛物线 上，
∴ ，
整理得： ，
当 时， 或 ，当 时， ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴设直线 的函数解析式为： ，
代入得： ，解得 ，
∵ ，
∴ ；设直线 的函数解析式为： ，
代入得： ，解得 ，
即 ，
∵M，A，N三点共线，
∴ ，
解得： ．
