文档内容
2025 年中考模拟考试九年级数学试卷
注意事项：
1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷
上的答案无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 有理数 的相反数是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相反数 的定义，根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可．
【详解】解：有理数 的相反数是2．
故选A．
2. 下列计算结果是 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，合并同类项，积的乘方，单项式乘单项式，熟知相关计算法
则是解题的关键．根据单项式除以单项式，合并同类项，积的乘方，单项式乘单项式的计算法则求解判断
即可．
【详解】解：A、 与 是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、 ，故此选项符合题意；
C、 ，故此选项不符合题意；
D、 ，故此选项不符合题意．
故选：B．
3. 一个长方体挖去一个几何体后的三视图如图所示，则挖去的几何体为（ ）A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球体 D. 三棱锥
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，熟练掌握三视图的意义是解题的关键，根据三视图可得
被挖去的几何体为圆锥，即可求解．
【详解】解：根据三视图可得被挖去的几何体的主视图是带有圆心的圆，左视图和俯视图都是三角形形，
则被挖去的几何体为圆锥．
故选：B
4. 不等式 的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集．需要注意的是：如果是表示大于
或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．先求出不等式的解集，
再将解集表示在数轴上即可．
【详解】解：由 得： ，
将解集表示在数轴上，如图所示：
故选：A．
5. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m可能取的值是（ ）A. 2026 B. 4 C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及定义，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
根据一元二次方程根的情况，可知一元二次方程根的判别式 ，再根据一元二次方程
根的定义得到 ，即可解题．
【详解】解：根据题意得： ，且 ，
解得： 且 ，
∴四个选项中只有D选项符合题意．
故选：D．
6. 如图， 的对角线相交于点 ， ， ， 平分 交 于点 ，交 于
点 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的
性质和角平分线的定义可得 ，即得 ，又根据相似三角形的判定可得
，即得 ，设 ， ，则 ，可得，即得 ，进而即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：在 中， ，
，
∵ 平分 交 于点 ，
∴ ，
，
，
，
，
，
设 ， ，则 ，
，
，
，
故选： ．
7. 若一次函数 的图象经过点 ，点A关于x轴的对称点B在双曲线 上，则
k的值为（ ）
A. 6 B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，求反比例函数的解析式，轴对称变换，熟练掌握待定系数法，
是解题的关键．先根据若一次函数 的图像经过点 ，求出点A的坐标为 ，根据关于x轴对称的两个点的坐标特征，求出点B的坐标为 ，然后代入求出反比例函数解析式即可．
【详解】解： 的图象经过，点 ，则 ，
点A的坐标为 ，
点A，B关于x轴对称，
点B的坐标为 ．
点B在双曲线 上，
．
故选：B．
8. 如图，一个正方体的表面涂上颜色，按棱四等分点把这个正方体切割成等大小正方体后，将这些小正方
体装在一个不透明的袋子中，摇匀后从中任意摸出一个小正方体，则下列说法正确的是（ ）
A. 摸出的小正方体一面涂色的与没有面涂色的概率相同
B. 摸出的小正方体一面涂色的与三面涂色的概率相同
C. 摸出的小正方体两面涂色的与三面涂色的概率相同
D. 摸出的小正方体一面涂色的与两面涂色的概率相同
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正方体切割后不同涂色情况小正方体的概率计算，解题关键是准确算出不同涂色情况小
正方体的数量；
先确定正方体切割后小正方体总数，分别找出三面、两面、一面涂色及无涂色小正方体的位置规律并计算
个数，根据概率公式计算各情况的概率，对比各概率，判断选项正误．
【详解】∵已知正方体按棱四等分点切割，
∴切成的小正方体总个数为 个．
∴三面涂色的小正方体：位于正方体的顶点处，正方体有 个顶点，所以三面涂色的小正方体有 个．
两面涂色的小正方体：在每条棱除顶点外的位置，每条棱上有 个，正方体有12条棱，则两面涂色的小正方体个数为 个．
一面涂色的小正方体：在每个面除棱外的位置，每个面上有 个，正方体有 个
面，所以一面涂色的小正方体个数为 个 ．
没有面涂色的小正方体：在正方体内部，个数为 个 ．
摸出三面涂色小正方体的概率 ．
摸出两面涂色小正方体的概率 ．
摸出一面涂色小正方体的概率 ．
摸出没有面涂色小正方体 的概率 ．
∴摸出的小正方体一面涂色的与两面涂色的概率相同，三面涂色的与没有面涂色的概率相同，
故选：D．
9. 在四边形 中， ， 与 相交点O，下列条件不能判定四边形 是菱形的是
（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形 的判定，全等三角形的性质和判定，等角对等边，熟练掌握菱形的判定
方法是解题的关键．根据菱形的判定定理依次对各个选项进行判定即可．
【详解】对于选项A，如图所示，∵ ，
．
，
，
，
四边形 是平行四边形．
，
四边形 是菱形，
选项A可以判定四边形 为菱形．
对于选项B， ， ，
四边形 是平行四边形．
，
四边形 是菱形，
选项B可以判定四边形 为菱形．
对于选项C， ，
， ．
，
，
，
四边形 是平行四边形．
，∴
，
四边形 是菱形，
选项C可以判定四边形 为菱形．
对于选项D，如图满足 ， ， ，
选项D不可以判定四边形 为菱形．
故选：D．
10. 已知正方形 的边长为 ，点P是对角线 上一动点（不与点A，C重合），连接 ，作
交射线 于点M，连接 ，设 ， ，则y关于x的函数关系的图象大致为
（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正方形性质、等腰直角三角形性质、三角形全等判定与性质以及二次函数的应用 ，解题
关键是通过作辅助线，利用相关几何性质建立 与 长度 的函数关系。
作 ， ，利用正方形性质得出 是等腰直角三角形，得到线段 、 、 、关于 的表达式，证明四边形 是正方形,通过角度关系证明 ，得出 ,
在 中，结合勾股定理得到 ，再在 中求出 关于 的表达式，进而得到
关于 的函数关系式，根据函数性质确定图象。
【详解】解：过点 作 于点 ，交 于点 ；过点 作 于点 ．
∵四边形 是正方形， ，
在 中， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
∵正方形边长为 ，
∴ ．
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，即 ．
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ．在 中，
根据勾股定理 ，
∵ ，
∴ ．
在 中，
，
将 ， 代入可得：
则 ，
∴函数图象开口向上，对称轴为直线 ，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据立方根的定义和负整数指数幂分别运算，再相加即可求解，掌
握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解： ，故答案为： ．
12. 在过去的2024年，安徽省计划义务教育薄弱环节改善与能力提升项目总数为981个，计划投入资金
元，数据 可用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数即可求解，解题的关键要正确确定 的值以及 的值．
【详解】解： ，
故答案为： ．
13. 如图，四边形 内接于 ， ，D是 的中点．若 的半径为1，
，则扇形 的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，扇形面积，根据圆心角、弧、弦的关系
得到 ，得到 ，由平行线性质可得 ，根
据三角形内角和定理求出 ，再扇形面积公式计算即可．【详解】解： ，
．
，
，
，
，
，
扇形 的面积为 ．
14. 已知抛物线 与 轴交于点 ， ，抛物线与 轴交于点 ．
（1）点 的坐标为______；
（2）当 时，点 是抛物线在第一象限上的一动点，连接 ， ， ，若 随 的
增大而增大，则 的取值范围是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，二次函数的最值，掌握知识点的应用是解题的关
键．
（ ）根据抛物线可得对称轴为直线 ，由 ，则有点 ，
（ ）当 时， ，故有点 ，求出直线 的解析式为 ，
作 轴于点 ，交 于点 ，由 ，最后通过二次函数的
性质即可求解．
【详解】解：（ ）由 ，∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵ ，
∴点 ，
故答案为： ；
（ ）当 时， ，
∵与 轴交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ，
设直线 的解析式为 ，
，解得
∴直线 的解析式为 ，
作 轴于点 ，交 于点 ，
∴，
∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大，
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值、二次根式的加减运算等知识点，掌握分式的加减运算法则成为
解题的关键．
先根据分式的加减运算法则化简，然后将 代入运用二次根式的加减运算法则计算即可．
【详解】解：
．当 时，原式 ．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点O，A，B，C均在格点（网格线的交
点）上．
（1）画出线段 ，使线段 ，与 关于点O成中心对称；
（2）用无刻度的直尺画出 的平分线 ， 交 于点P，保留画图痕迹，直接写出 的值．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析，
【解析】
【分析】（1）根据成中心对称的线段的对应点到对称中心的距离相等求作；
（2）延长 到 ，使 ，连结 ，利用勾股定理分别求得 和 ，从而可说明点 为
的中点，连结 ，再利用等腰三角形三线合一说明 的角平分线，再证明 ，
列出比例式求出 ．
【小问1详解】
解：连结 ，并延长到 ，使得 ，延长 到 使得 ，连结 ，线段 即
为所求作；【小问2详解】
延长 到 ，使 ，连结 ， 交网格点于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴点 为 的中点，
连结 ，
∵ ， ，
∴ 的角平分线， 交 于点P，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了网格作图中心对称图形，用无刻度的直尺作角平分线，等腰三角形三线合一，相似三
角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 观察以下等式：第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：_________；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】（1）
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是仔细观察各个等式并从中找到规律．
（1）根据题意写出第 个算式即可．
（2）根据规律写出第n个等式，然后利用完全平方公式，平方差公式证明左边 右边即可．
【小问1详解】
解：第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
则第5个等式为： ；
故答案为： ；
【小问2详解】
第n个等式为： ．证明： 左边 ，
右边 ，
左边 右边，
原等式成立．
18. 如图，一测量船在点A处测得灯塔P在A的北偏东 的方向上，测量船以20海里每小时的速度向正
东方向航行，3小时到达点B，测得灯塔P在B的北偏西 的方向上，求灯塔P到测量船的航行路程
的最短距离．（结果保留0.1海里，参考数据： ， ， ．）
【答案】灯塔P到测量船的航行路程AB的最短距离是15.9海里
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点P作 于点C，设 海里．解直角三角形得
出 海里， 海里，结合 计算即可得解．
【详解】解：如图，过点P作 于点C，
设 海里．
在 中， ， ， ，海里．
在 中， ， ，
，
海里．
，
，
解得 ．
答：灯塔P到测量船的航行路程AB的最短距离是15.9海里．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 根据下列材料解答相应问题：
A，C两地的铁路途经B地，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中动车列车从A站
材料1 始发，经停B站后到达C站，高铁列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程
中保持各自的行驶速度不变．
列车运行时刻表
A站 B站 C站
车次
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
材料2
动车列车 8：00 9：00 9：10 10：50
高铁动车 8：30 途经B站，不停车 10：30
材料3 A，C两地的铁路是双轨，两辆列车可在某些时段同向而行．
问题1 动车列车从A站到B站行驶了______ ，从B站到C站行驶了______ ；
设动车列车的行驶速度为 ，高铁列车的行驶速度为 ，若 ，则
问题2
______．问题3 高铁列车在什么时刻追上动车列车？
【答案】问题1：60，100；问题2： ；问题3：高铁列车在9：30追上动车列车
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，速度、时间、路程的关系．
问题1：直接根据表中数据解答即可；
问题2：分别求出动车列车和高铁列车从A站到C站行驶的时间，然后根据路等于速度乘以时间求解即可；
问题3：设动车列车开出 被高铁列车追上，由题意得， ，再将 代入
得关于x的方程，解方程即可．
【详解】解：问题1：动车列车从A站到B站行驶了 ，从B站到C站行驶了 ，
故答案为：60，100；
问题2：根据题意得动车列车从A站到C站共需 分钟，高铁动车从A站到C站共需
，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
问题3： ，
高铁列车在B，C之间追上动车列车，
设动车列车开出 被高铁列车追上，
由题意得，，
，
解得 ．
答：高铁列车在9：30追上动车列车．
20. 如图， 是 的内接三角形， 是 的直径， ，点D在 上，连接 ， ，
作 于点M， 于点N．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、相似三角形 的判定定理、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握
以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由圆周角定理可得 ，由垂线的定义得出 ，结合 ，
即可得证；
（2）延长 交 于点E，连接 ，过点O作 于点G，交 于点G，连接 ．证明四
边形 是矩形，得出 ， ，再证明四边形 是矩形， ，最后求出 的长即可得解．
【
小问1详解】
证明： 是 的直径，
．
，
．
，
．
【小问2详解】
解：延长 交 于点E，连接 ，过点O作 于点F，交 于点G，连接 ．
∵ ，
∴ ，
是 的直径，
．
，
四边形 是矩形，
， ，
．，
， ，
，四边形 是矩形，
．
，
，
，
，
．
六、（本题满分12分）
21. 综合与实践 心胸有六尺，世间颂家风
【调查目的】2024年10月17日，习近平考察安徽省桐城市的六尺巷，2025年习主席在新年贺词中再次提
出“六尺巷礼让家风代代相传”．好的家风对青少年的健康成长起着重要的作用．某校在做“校风与家
风”的课题研究，并开设相应的校本课程．为此举行了“校风与家风”的知识竞赛（满分100分），抽查
了部分同学的成绩进行数据分析．
【数据收集与整理】
收集 将被抽查的九年级学生竞赛分数x（单位：分）按从小到大的顺序收集如下：
…，69，70，72，72，73，73，74，75，76，78，78，78，79，80，80，81，82，83，84，84，85，85，
86，87，…
整理 ①各年级抽查人数的扇形统计图如图所示：
②抽查的50名九年级学生竞赛的分数整理后绘制成频数分布表，如下表所示分组 频数 频率 组中值
3 55
10 65
m 75
n 85
10 95
③七年级抽查的学生有8人90分及90分以上，八年级抽查的学生有10人90分及90分以上．
【数据分析】请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共抽查了______人，七年级抽查了______人；
（2）①表中m的值是______，n的值是______；
②表中每组的组中值可以近似作为该组的平均分，求抽查的九年级学生的平均分．
【数据应用】（3）已知该校七年级学生有800人，八、九年级学生各有750人，请你估计该校有多少人
90分及90分以上．
【答案】（1）150，40；（2）①12，15；②抽查的九年级学生的平均分是 分；（3）该校约有435人
90分及90分以上
【解析】
【分析】本题考查抽样调查，频数分布表，加权平均数，用样本估计总体．
（1）将抽查九年级学生人数50除以比例，即可求出本次共抽查的人数，将总人数乘以七年级的占比即可
解答；
（2）①由收集的数据可知数据在分组 中的有12人即可得到m，将九年级抽查的人数人数减去
各组人数即可得到n； ．
②根据加权平均数计算即可；
（3）将各级人数分别乘以对应的90分及以上的比例即可解答．
【详解】解：（1）由题意可知抽查了50名九年级学生，占总体的 ，
所以本次共抽查了 （人），七年级抽查了 （人）．
故答案为：150；40．
（2）①由收集的数据可知数据在分组 中的有12人，故 ．
∴ ．
故答案为：12；15．
②
答：抽查的九年级学生的平均分是 分．
（3） （人）．
答：该校约有435人90分及90分以上．
七、（本题满分12分）
22. 如图， ， ，点D是 上一点（ ），连接 ，将 绕点A逆
时针旋转 得到 ，M为 的中点， ， 的延长线相交于G， 与 相交于点F．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）
【解析】
【分析】（1）证明 ，推出 ，即可证明 ；
（2）利用两对角分别相等，证明 ，即可得到 ；
（3）在 上取点N，使 ，连接 ．证明 ，推出 ，
，利用等角的余角相等求得 ，再证明 ，据此求解即
可．
【小问1详解】
证明： ， ，
．
由旋转可知， ， ，
，
，
，
；
【小问2详解】
证明： ， ，
，
．
为 的中点，
， ，
，
．，
，
，
，
．
【小问3详解】
解：如图，在 上取点N，使 ，连接 ．
，M为 的中点，
．
， ，
，
， ，
．
，
，．
，
，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，图形的旋转变换及其性质，全等三角形的判定和性质，
相似三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 如图，抛物线 与x轴的两个交点为 ， ，与y轴交于点C，直线
经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 是直线 上方抛物线上的一个动点．
①作 轴于点D，交直线 于点E，若 ，求 的长；
②作 轴于点N， 与抛物线的另一交点为M．已知点Q是抛物线上一动点，其横坐标为
，连接 ．若 ，求 的值．
【答案】（1）（2）①4；②
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①根据点 在抛物线上得 ，再由 可求出m、n的值，求出直
线 的解析式，进而可得E点坐标，即可求 的长；
②过点Q作 轴于点H，交 的延长线于点G，点G的坐标为 ，根
据抛物线解析式得对称轴为直线 ，根据对称性质得 ，进而可得
， ，再根据正切值的定义即可得解．
【小问1详解】
解： 抛物线 经过点A，B，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
【小问2详解】
解：①点 在抛物线上，，
，
，
解得 ， （舍去），
，
点P的坐标为 ，
直线 经过点A，
，
解得 ，即 ，
把 代入 得 ，
，
；
②过点Q作 轴于点H，交 的延长线于点G，如图，则 ，
点 是抛物线上的一个动点，，
点G的坐标为 ，
，
抛物线的对称轴为直线 ，
，
点P在直线 的右边，
轴，
点P，M关于直线 对称，
，
，
点Q在抛物线上，
，
，
．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，直角坐标系中
点的坐标，三角函数．
