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2025 年安庆市中考模拟考试
数学试题
（满分150分 考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 今天是2025年1月10日，其中数据“2025”的相反数为（ ）
A. B. C. 2025 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：“2025”的相反数为 ，
故选：B．
的
2. 如图是某赛事领奖台 示意图，则此领奖台的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题是一道关于三视图的题目，解答本题的关键是熟练掌握左视图的定义．
根据左视图的定义即可得出答案．
【详解】解：由左视图的定义可得B选项正确，
故选：B．
3. 2024年前三季度安徽省地区生产总值37257亿元，其中数据“37257亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数即可求解，确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝
对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值 时， 是正整数；当原数的绝对值 时， 是负整数，
解题的关键要正确确定 的值以及 的值．
【详解】解：37257亿 ，
故选： ．
的
4. 下列计算正确 是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法运算，幂的、积的乘方运算，掌握计算公式是解题的关键．
分别利用同底数幂的乘除法运算，幂的、积的乘方计算公式进行判断即可．
【详解】解：A、 ，原写法错误，故不符合题意；
B、 ，原写法错误，故不符合题意；
C、 ，原写法错误，故不符合题意；
D、 ，原写法正确，故符合题意；
故选：D．
5. 一次函数 与反比例函数 的图象有一个交点坐标为 ，则它们的另一个交点坐标为（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数交点问题，解题的关键是理解两个交点关于原点对称即可较快求解．
【详解】解：一次函数 与反比例函数 的图象有一个交点坐标为 ，
，解得： ，
，
另一个交点坐标与 关于原点对称，
另一个交点坐标为 ，
故选：B．
6. 如图，边长为1的正方形 的顶点B在 上，顶点A，C在 内， 的延长线交 于点
D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查求不规则图形的面积，掌握扇形的面积公式，是解题的关键．
根据正方形的性质和勾股定理得 的半径为 ，结合扇形与三角形的面积公式，即可得到答案．
【详解】解：连接 ，
∵四边形 是正方形，∴ ，
∴ ，即 的半径为 ，
∴ = ．
故选：A．
7. 如图，已知正方形 边长为4，点 为 中点，连接 ，取 中点 ，过点 作 垂线，
交 于点 ，则 的长为（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，掌握垂直平分线上的点到线段两端距
离相等是解题关键．连接 、 ，由题意可知 垂直平分 ，则 ，设 ，利用勾
股定理列方程求解即可．
【详解】解：如图，连接 、 ，
正方形 边长为4，， ，
点 为 中点，
，
点 为 中点， ，
垂直平分 ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
解得： ，
故选：C．
8. 设 ， ， 为互不相等的实数，且 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了等式的性质，根据题意可得 ，进一步可得 ，
而根据现有条件无法得到A、B、D中的结论，据此可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，∴ ，故C选项结论正确，符合题意；
根据现有条件无法证明A、B、D三个选项中的结论，
故选：C．
9. 如图， 与 是两个全等的等腰直角三角形，其中 ，点 、 、
在同一条直线上， 与 相交于点 ，则以下判断错误的是（ ）
A. B. 为等边三角形
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点 作 ，三线合一，结合斜边上的中线以及全等三角形的性质，得到 ，
进而得到 ，求出 ，进而求出 ，推出 ，证明
为等边三角形，求出 ，证明 ，推出 ，作作
，设 ，利用含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出 的长，进而求
出 的长，勾股定理求出 的长，进而求出 长，求出 ，即可．【详解】解：∵ 与 是两个全等的等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
过点 作 ，
则： ，
在 中， ，
∴ ，故选项A正确，不符合题意；
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，故选项B正确，不符合题意；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；故选项C正确，不符合题意；
作 ，设 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ 是等腰三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，在 中， ，
∴ ，
∴ ；故选项D错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形
的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键．
10. 如图，正方形 边长为6，点 是 边的中点，点 在 上，且 ，动点 从点 沿
、 运动到点 ，过点 作 于点 ，作 于点 ，记点 运动的路程为 ，四边
形 的面积为 ，则 关于 的函数图象大致为（ ）
A. B.C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的变化列出函数解析式.
结合原图形上动点在不同的线段上运动得到不同的关系式，再根据不同的关系式得到不同的图象，最后结
合所给选项进行分析即可.
【详解】解：
如图，延长线段 交 于点 ，则
, ，由勾股定理得，
，，
∴ ， ，该区间解析式为二次函数，图象为抛物线，
开口向下；
当 时， ，该区间解析式为一次函数， 随 的增大而减小；
.
故选：A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式 的加法计算，先化简二次根式，再根据二次根式的加法计算法则求
解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12. 方程 的根是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，把分式方程化为整式方程，注意分母不为0，即可作答．
【详解】解：∵ ，
∴ 且 ，
解得 ，
经检验： 是原分式方程的解，故答案为： ．
13. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测
四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶
液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．小周将任选的两瓶溶液滴入
酚酞溶液进行检测，则两瓶溶液恰好都变红色的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法求概率，根据列表可得共有12种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色的
结果有： ，共2种，进而根据概率公式计算即可求解．
【详解】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色的结果有： ，共2种，
两瓶溶液恰好都变红色的概率为 ．
故答案为： ．
在
14. 中， ， ， 平分 交 于点 ， 平分
交 于点 ．（1） ________ ；
（2）若 ，则 长为________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的性质定理，掌握以上知
识，合理作出辅助线是解题的关键．
（1）根据等边对等角得到 ，根据角平分线的定义得到
， ，由三角形内角和定理即可求
解；
（2）如图所示，延长 交 于点 ，过点 作 于点 ， ， ，
在 中， ， ， ，
，由此即可求解．
【详解】解：（1）在 中， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，∵ 平分 ，
∴ ，
在 中， ；
（2）如图所示，延长 交 于点 ，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ 是角平分线， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故答案为：① ；② ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式：
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元一次不等式的求解，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法，正确求出不
等式的解集．按一元一次不等式的解法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1即可求解求解，
注意系数化为1时变号．
【详解】解：
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 ，格点（网格线交
点） 、 、 的坐标分别为 、 、 ．
（1）作 关于y轴对称的 ．（2）请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
①在所给的网格图中，确定一个格点 ，使得 交 于点 ；在图中标出点 和点 ，并写
出 点坐标________；
②线段 的长为________．
【答案】（1）见解析 （2） 见解析， 或 ；
【解析】
【分析】本题考查作图--轴对称变换，及通过网格图确定垂直线和计算线段长度的知识点等知识，解题的
关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）利用轴对称的性质分别作出 的对应点 ，连接 ， ， 即可；
（2） 确定垂直线，可以利用网格的特点和直角的性质．作点C以B为中心逆时旋转 至 ，连接
，平移点 至A，点B至 ，连接 交 与 ，并延长可得 ，由图写出对应点坐标；
补全图形后， 所在的矩形面积去掉周围三个三角形的面积，由勾股定理求出 的长度，由
面积可得 的长度．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求．
【小问2详解】
解： 如图，作点C以B为中心逆时旋转 至 ，连接 ，平移点 至A，点B至 ，连接交 与 ，并延长可得 ，
， ，
．
．
由图可知，点 坐标可为 或 ．
由图可知
，
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17. 某工厂准备在开学前生产甲、乙两种型号的开学文具礼盒共 万套．甲礼盒的成本为 元/套；乙礼
盒的成本为 元/套．该工厂计划筹集资金 万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各
生产多少万套？
【答案】甲，乙两种礼盒各 ， 万套
【解析】
【详解】本题考查二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的解法是解题的关键；
根据题意，设甲、乙两种礼盒各 、 万套，建立方程，求解即可；
解：设甲、乙两种礼盒各 、 万套．
解得：
答：甲，乙两种礼盒各 ， 万套；
18. 设 表示两位数，如：当 时， 表示82；数学兴趣小组研究 的平方规律，依次计算发现个
位上数字是2的两位数平方的规律：
第1个等式，
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
按照以上规律，完成下列问题：
（1）写出第5个等式：________．
（2）写出你猜想的第 个等式：________（用含 的等式表示），并证明．
【答案】（1）
（2） ，证明见解析【解析】
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，完全平方公式，正确理解题意是解题的关键．
（1）观察可知 的平方等于 乘以 的积加上4，据此写出第5个等式即可
（2）根据（1）的规律写出第n个等式，再利用完全平方公式把等式左边展开，利用单项式乘以多项式的
计算法则把等式右边展开即可证明结论．
【小问1详解】
解：由题意得，第5个等式为
【小问2详解】
解：猜想 ，证明如下：
∵左边 ，
又∵右边 ，
∴左边 右边，
∴ ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图， 是 的直径，点 在 上，作 于 交 于 ， 的平分线交
于点 ，交 于点 ，连结 ， ．
（1）若 的半径为6， ，求弦 的长；
（2）求证： ．
【答案】（1）
（2）详见解析【解析】
【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练掌握相关定理内容是解题的关键．
（1）连接 ，利用垂径定理得到 ， ，用勾股定理求出 即可求出答
案；
（2）利用角平分线的定义、圆周角定理等证明 即可得到结论．
【小问1详解】
解：连接 ，
∵ 为直径， ，
∴ ，
∵ ，半径
∴
在 中，
∴
【小问2详解】
∵ 平分
∴
∵
∴∵ 为直径
∴
∴
∵
∴
∴
20. 2025年亚冬会在哈尔滨举行．亚布力滑雪场初级赛道截面图，如图所示，平台 长10米，滑道
长400米，滑道的坡角 ，雪场电梯 坡角 ，点 、 、 在同一条直线上．
已知 ， ，运动员滑下后从 点走到 点的速度为50米/分，坐电梯从 到 点的速
度为100米/分．
（1）求雪场电梯 的长度．
（2）计算运动员从 点走到 点，再坐电梯从 到 点，所需的时间．（ ，
， ， ， ，结果保留整数）
【答案】（1）224米
（2）运动员从点 走到点 ，再坐电梯从点 到点 所需时间大约需要6分钟
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定
义是解题的关键．
（1）过点 作 于点 ．在 中，解直角三角形得 米，由矩形性质得
，在 中，利用直角三角形的性质即可得解；（2）在 中，解直角三角形得 米，由矩形性质得 ， 米，在
中，解直角三角形得 米， 米，从而即可得解．
【小问1详解】
解：过点 作 于点 ．
在 中， ， ，
（米）
∵四边形 是矩形，
∴
在 中， ， ，
∴ （米）
【小问2详解】
解：在 中， ， ，
（米）
∵四边形 是矩形，
∴
∴ （米）
在 中
∵ ，
∴ （米）
∴ （米）∴所需总时间为： （分钟）
答：运动员从点 走到点 ，再坐电梯从点 到点 所需时间大约需要6分钟．
六、（满分12分）
21. 为了解学生体育课程学习情况，某中学在九年级480名男生中随机抽取若干名，进行“一分钟跳绳”
和“立定跳远”两项测试，对数据进行整理分析，得到如下信息．
信息一：“一分钟跳绳”成绩如图（不完整）所示（成绩用 表示，单位：个）．分成六组： ；
； ； ； ； ．
信息二：“一分钟跳绳”成绩在 这一组的是：175，175，178，180，182，184，184，
185，188，188，189；
信息三：“立定跳远”成绩（成绩用 表示，单位：米）的人数（频数）分布表如表：
分组
人数 2 10 9 6 2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）被随机抽取的男生人数为________人，并请补全条形统计图；
（2）下列结论正确的是________（将所有正确的序号填在横线上）；
① ；
②一分钟跳绳成绩达到160个及以上的人数占抽取人数的百分比低于 ；
③立定跳远成绩的中位数记为 ，则 ；
（3）若一分钟跳绳成绩达到180个及以上时，成绩记为满分，请估计全年级男生一分钟跳绳成绩为满分的
人数．【答案】（1）40；图见解析
（2）
（3）全年级男生一分钟跳绳满分人数约276人
【解析】
【分析】本题考查条形统计图与频数分布表，中位数，用样本估计总体．
（1）将D组的人数除以其百分比，即可求出被随机抽取的男生人数，将人数减去其他各组的人数，求得
B组的人数，即可补全条形统计图；
（2）①将抽取的男生人数40减去各分组的人数，求出m的值，即可判断；
②由条形统计图可得，一分钟跳绳成绩达到160个及以上的人数为 （人），除以总人数即可判
断；
③根据中位数的定义判断即可；
（3）由题意得到C组中一分钟跳绳成绩达到180个及以上有8人，因此抽查的学生中满分的有23人，进
而计算 即可解答．
【小问1详解】
解： （人）
∴被随机抽取的男生人数为40人．
B组的人数为： （人）
补全条形图如下：
故答案为：40；
【小问2详解】解：① ，故①正确；
②由条形统计图可得，一分钟跳绳成绩达到160个及以上的人数为 （人），
占抽取人数为 ；故②错误；
③抽取的男生人数为40，故立定跳远成绩的中位数是第20，21个数据的平均数，由分布表可知第20，21
个数据位于第三组，故中位数n满足 ；故③正确．
综上，结论正确的是①③．
故答案为：①③
【小问3详解】
解：由题意可得，C组中一分钟跳绳成绩达到180个及以上有8人，因此抽查的学生中满分的有
（人）
∴估计全年级男生一分钟跳绳成绩为满分的人数为 （人）
七、（满分12分）
22. 已知：在矩形 中，点 是 边上中点．
（1）如图1，连接 并延长交 延长线于点 ，连接 交 于点 ．
①求证：
②求 的值；
（2）如图2，过点 作直线分别与 、 的延长线交于点 、点 ，连接 、 ．求证：
．
【答案】（1）①证明见解析；② ；
（2）证明见解析．【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关
知识是解题的关键．
（1）①由矩形的性质得到 ，再得出 ，由点 是 中点，得到 ，
即可证明；
②由 ，得到 ，再证明 ，即可求解；
（2）延长 交 延长线于点 ，由 得到 ， ，
， ，得出 ，再得到 ，即可得出结论．
【小问1详解】
①证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 中点，
∴ ，
在 与 中，
，
，
②解：由①可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；【小问2详解】
证明：延长 交 延长线于点 ，
∵
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在矩形 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
八、（满分14分）
23. 已知抛物线 过点 ，抛物线 （其中 为常数）．
（1）求 的值和 的顶点坐标．
（2）已知无论 为何值， 与 总交于一个定点，这个定点的坐标为________；
（3）当 时，平移抛物线 ，使其顶点在抛物线 上．平移后的抛物线与 轴交点记为 ，顶点为
，点 为坐标原点．当 时，求 面积的最大值．
【答案】（1） ，顶点坐标为（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式及顶点坐标，二次函数的性质，二次函数的
平移，以及利用二次函数解决几何面积最值问题，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）解析式联立利用根的判别式确定交点的个数，整理解析式即可求解；
（3）根据题意画出图形，利用函数解析式表示出顶点纵坐标，利用三角形面积公式列出关于 的二次函
数，根据顶点坐标求最值即可．
【小问1详解】
解：将 代入 得： ，
解得 ，
，
顶点坐标为 ；
【小问2详解】
解：联立 得，
整理得
∴两个图形一定有交点，
整理得∴当 时，无论 取何值 ，
由（1）得， 的顶点坐标为 ，
∴ 与 总交于一个定点的坐标为 ，
故答案为： ；
【小问3详解】
解：
如图所示，
当 时，抛物线 ，
平移之后顶点坐标为 ，即
∴平移之后
，此二次函数抛物线开口向下，
可求顶点横坐标为 ， ，
∴顶点纵坐标为最大值
当 时，代入二次函数得 ，∴ 面积的最大值
