文档内容
2024-2025 学年度九年级调研检测
数学试题
（试题卷）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共6页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，请选择并在答题卡上将该项涂黑）
1. 下列各数中，绝对值最大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是实数的大小比较，熟知绝对值的性质是解题的关键．根据绝对值的意义，计算出各
项的绝对值，然后再比较大小即可．
【详解】解： ， ， ， ， ，
的绝对值最大，
故选：A．
2. 2025年上映的国产动画电影《哪吒2》在全球范围内取得巨大成功，打破了好莱坞电影的垄断地位，展
示了中华传统文化的魅力．影片截止 2025年3月2日票房达到144.17亿元，数据144.17亿用科学记数法
表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整数，
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：144.17亿 ，故选：C．
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由几何体的三视图判断几何体的形状，根据三视图即可判断求解，掌握三视图的画法
是解题的关键．
【详解】解：由三视图可知，该几何体为
故选： ．
4. 下列运算正确的是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方、整式的加法、同底数幂除法，掌握其中的运算法则是解体
的关键．
根据同底数幂乘法、幂的乘方、整式的加法、同底数幂除法的运算法则，分别进行判断即可得到答案．
【详解】解：A． ，故原式计算错误，不符合题意；B． ，故原式计算错误，不符合题意；
C． ，故原式计算错误，不符合题意；
D． ，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
5. 若关于 的分式方程 有增根，则 的值为（ ）
A. 1 B. C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，求出 的值，代入
整式方程中，求出 的值即可．
【详解】解： ，
方程去分母，得： ，
∵方程有增根，
∴ ，
∴ ，
把 代入 ，得： ，
∴ ；
故选：C．
6. 如图，正五边形 的两条边 ， 与 相切，切点为点 ， ，则 为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角定理、切线的定义、三角形外角的性质，首先根据多边形的内角定理求
出正五边形每个内角的度数为 ，根据切线的定义可知 ，从而可得
，再根据三角形外角的性质求出 的度数．
【详解】解：如下图所示，连接 并延长到点 ，
五边形 是正五边形，
，
又 、 是 的切线，
，
，
， ，
．
故选：D．
7. 在全市中小学编程大赛中，某县参赛的5名中学组选手成绩分别为：84，90，87，88，91（单位：分），
这组数据的中位数是（ ）
A. 87 B. 88 C. 89 D. 90【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求中位数，熟知中位数的定义是解题的关键：一组数据中处在最中间的那个数或
处在最中间的两个数的平均数即为该组数据的中位数．根据中位数的定义进行求解即可．
【详解】解：将选手的成绩从低到高排列为：84，87，88，90，91，处在第3名的成绩为88，
∴中位数为88，
故选：B．
8. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或
小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式组，
得到不等式组的解集，然后判断即可．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为： ，
∴表示在数轴上为：
故选：D．
9. 二次函数 的图象如图所示，下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的为（ ）
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数系数之间的关系，二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数系数之间的
关系以及二次函数图象和性质，采用数形结合的思想，是解题的关键．
由二次函数开口向下，与 轴相交于负半轴，得 ，根据对称轴 ，由此可得 ，
，即可判断①②，根据当 时， ，即可判断③，根据二次函数图象与 轴
有两个不同的交点，即可判断④．
【详解】解： 二次函数开口向上，与 轴相交于负半轴，
，
∵对称轴为 ，
∴ ，
∴ ， ，故②正确；
，故①正确；
当 时， ，故③正确；
二次函数图象与 轴有两个不同的交点，，即 ，故④错误；
综上所述：正确的是①②③．
故选：A．
10. 如图，在 中， ， ，点 为 中点，点 以每秒1个单位的速度从
出发沿 运动．当 为等腰三角形时， 的值为（ ）
A. 或18 B. 或18或19
C. 或18或19或 D. 或18或19或20
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形应用等知识，分点 P在 上和 上讨论，然后
根据等腰三角形的性质和解直角三角形的应用求解即可．
【详解】解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ， ，①当点P在 上时， ，
∴ 为等腰三角形时，只有 ，
∴ ，
过D作 于Q，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当点P在 上时，
∵ 为等腰三角形，
∴ 或 或 ，
当 时，如图，；
当 时，如图，过P作 于Q，
则 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
当 时，如图，过D作 于Q，
则 ，∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴
∴ ；
综上，t的值为 或18或19或 ，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）
11. 比较大小： _____ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较，利用比差法计算是解题的关键．
【详解】解： ，
∴ ，
故答案为： ．
12. 若分式 的值为0，则 的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式值为0的条件；一元二次方程的解法，根据分式的值为0，则分母不为0，分子为0进行计算即可．
【详解】解：∵ 的值为0，
，
解得 ，
∴x的值为 ，
故答案为：
13. 如图所示的电路图中，随机闭合开关 ， ， 中的两个，能够点亮灯泡的概率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的知识点是求事件的概率，利用列表法或画树状图法比较容易得出答案．
用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出能够“点亮灯泡”的情况数，进而求出概率．
【详解】解：用列表法表示所有可能出现的情况如下：
，
，
，
，
， ，
的
共有6种可能出现 情况，其中能够点亮灯泡的有6种，∴P ，
（点亮灯泡）
故答案为： ．
14. 如图，矩形 的边 ， ， 为 的中点， 是矩形内部一动点，且满足
， 为边 上的一个动点，连接 ， ，则 的最小值为__________．
【答案】7
【解析】
【分析】先找出点 的运动路线为以 为直径的圆，设圆心为 ，作点 关于直线 的对称点 ，
连接 交 于点 ，可推出 的长即为 的最小值，再求出 的长即可．
【详解】解： 四边形 是矩形，
，
，
，
点 的运动路线为以 为直径的圆，
作以 为直径的 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ，
，则 ， ，
，
的最小值为 ；
连接 ，
四边形 是矩形，点 是 的中点，点 为 的中点，
， ， ，
四边形 是矩形，
，
点 关于直线 的对称点 ，
，
在 中，
由勾股定理，得 ，
的最小值为 ，
故答案为：7．
【点睛】本题考查轴对称 最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，能利用一条线段的长表示两线段的和
的最小值是解题的关键．
三、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，以及负整数指数幂的意义，现根据，特殊角
的三角函数值，绝对值、零指数幂和负整数指数幂的意义化简，再算加减即可．
【详解】解：原式16. 如图， 是平面直角坐标系 中的格点三角形（顶点都是网格线的交点），已知顶点 为
．
（1）作出 关于 轴对称的 ，并写出点 ， ， 的坐标；
（2）以点 为位似中心，在给定的网格里作 ，使得 与 位似，其中点 的坐标
为 ，并求出 与 的位似比．
【答案】（1）作图见解析； ， ，
（2）作图见解析； 与 的位似比为
【解析】
【分析】此题主要考查了作图位似变换，坐标与图形变化—轴对称，作出对应点的位置，是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质作出图形，根据图形写出点 ， ， 的坐标即可；
（2）利用点 和 的坐标特征得到 与 位似比为 ，连接 并延长至 点使得
，同理得到 点，顺次连接即可得到 ．
【小问1详解】解：如图， 即为所求作的三角形；
点 ， ， 的坐标分别为 ， ， ；
【小问2详解】
解：如图， 即为所求作的三角形；
∵ ， ，
∴ 与 的位似比为 ．
四、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）
17. 为拓展学生视野，提升学生综合实践能力，某中学组织全校师生开展研学活动，租用甲，乙两种客车
15辆，除一辆甲种客车有3个空座位，其余客车全部满座，且总租金为7600元．甲，乙客车的载客量和
租金如下表所示：
甲种客车 乙种客车
载客量（人/辆） 45 60
租金（元/辆） 400 600
该校一共多少师生参加此次研学活动？
【答案】该校一共792名师生参加此次研学活动
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用及有理数混合运算的应用，理解题意找到等量关系是解题的关键．设租用甲种客车 辆，乙种客车 辆，根据题意可得 ，解答可得到甲种客车
和乙种客车的数量，再计算师生人数即可．
【详解】解：设租用甲种客车 辆，乙种客车 辆，
由题意，得： ，
解得 ，
（名），
∴该校一共792名师生参加此次研学活动．
18. 观察下列等式：
；
；
；
；
……
根据上述规律，回答下列问题：
（1）写出第5个等式：____________________；
（2）写出第 个等式：____________________；并求出 的值．
【答案】（1）
（2） ；2025
【解析】
【分析】本题主要考查了规律型：数字的变化类，难度适中，注意找等式的规律时，要注意观察等式的左
边和右边的规律，还要注意观察等式的左右两边之间的关系．（1）根据题意材料即可得出第5个等式 即可；
（2）根据题意材料即可得出第n个等式 即可；根
据得出的一般等式进行计算即可．
【小问1详解】
解：∵ ；
；
；
；
……
∴第5个等式为：
；
【小问2详解】
解：∵ ；
；
；
；
……
∴第n个等式为：
；
当 时，．
五、（本大题共两小题，每小题10分，满分20分）
19. 宣纸是中国独特的手工艺品，具有质地绵韧、光洁如玉、不蛀不腐、墨韵万变之特色，享有“千年寿
纸”的美誉，被誉为“国宝”．宣纸制作包括108道工序，其中“打浆”这一工序需要使用工具“碓”
（图 1），图 2 是其示意图． 为转动点， ， 与水平线 的夹角 ，
， ，当 点绕 点旋转下落到 上时，线段 ， 旋转到线段
， 位置，那么点 在竖直方向上上升了多少？
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转变换，矩形判定和性质，含30度直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判
定和性质，位似三角形性质等知识，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键．
连接 ，过点 作 于点 ，过 作 于点 ， 于点 ，则四边形
是矩形，则 ， ，得 ，求出 ，证明
，得 ，得 ，得 ，根据 ，
即得 ．【详解】解：设 上升的高度为 ，
连接 ，过点 作 于点 ，过 作 于点 ， 于点 ，则四边形
是矩形，
，
， ，
，
于点 ， ，
，
，
，
，
，
．
，即 ，
，，
．
， ，
．
答：点 在竖直方向上上升了 ．
20. 如图， 中，以 为直径的 交 于点 ， 是 的切线，且 ，垂足为
，延长 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据已知可得 ，则 ，又 ，等量代换得出
，即可证明 ；
（2）连接 ，证明 ，在 中， ，求得， 根 据 得 出 ， 进 而 可 得 ， 根 据
，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接 ，
∵以 为直径的 交 于点 ， 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：连接 ，如图，
则 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，平行线分线段成比例，正切的定义，熟练掌
握以上知识是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 某校七年级准备开展以“火星冲日”为主题的项目化学习．为了了解学生对“火星冲日”天文景象的
知晓情况，该校七年级备课组随机对七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示
“非常了解”，B表示“比较了解”，C表示“不太了解”，D表示“从未听说过”．根据调查统计结果，
绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．（1）在此次调查中一共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中B部分的圆心角是多少度？
（3）在A类学生中，有2名男生和2名女生，现需要从这4名学生中随机抽取2名，在课前进行“火星冲
日”天文景象的介绍，请利用画树状图或列表的方式，求所抽取的2名学生中恰好是1名男生和1名女生
的概率．
【答案】（1）50名，补充图表见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图相结合描述数据，通过部分得出总体，扇形圆心角度数，
补全条形图，根据树状图或列表法计算概率等，解题的关键是理解题意，综合运用这些知识点．
（1）通过部分得出总体，总体减去已知的数据，即可得出 数据；
（2）利用 占比即可求出 部分圆心角度数；
（3）画出树状图，利用树状图求解即可．
【小问1详解】
解： （名）
答：此次调查一共抽取了50名学生．
（名）
补充条形统计图如图所示．【小问2详解】
解：
答：扇形统计图中 部分的圆心角是 ．
【小问3详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
所抽取的2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率是 ．
七、（本题满分12分）
22. 已知在正方形 中， 是边 上一动点，将正方形 沿着 所在的直线折叠，点 落在
点 处，连接 ．
（1）如图①，延长 交 于点 ，判断 与 的数量关系以及位置关系，并说明理由；（2）如图②，若 为 的中点， 与 的交点为 ，连接 、 ，求 的值．
【答案】（1） ， ，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质得， ，证明 ，得到 ，即可求解．
（2）由折叠的性质得， 垂直平分 ，证明 为 的中位线，得到 ， ，
再证明 ，得到 ， ，进而得出 是等腰直角三角形，即可求解．
【小问1详解】
解： ， ，理由如下：
由折叠的性质得， ，
，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：由折叠的性质得， 垂直平分 ，
，即 是 的中点，
为 的中点，
为 的中位线，
， ，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
， ．
是等腰直角三角形，
， ，
．
【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形中位线定理，相似三
角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，掌握相关知识点是解题关键．
八、（本题满分14分）
23. 如图，抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点 右侧），与 轴交于点 ，直线
经过点 ， ，点 为抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 在第一象限内直线 上方的抛物线上运动，过点 作 垂直抛物线的对称轴于点 ，作
于点 ，当 时，求点 的坐标；
（3）点 在抛物线对称轴上运动，当点 ， 关于直线 对称时，请直接写出点 的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）点 坐标为 或
的
【解析】
【分析】（1）先由一次函数求出 ， ，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）过点P作 轴交直线 于点F，求出 ，得到 ，设点P的坐标为
，则 ，得到 ，求出抛物线的对称轴为直线 ，得到
，则 ，解方程求出答案；
（3）设对称轴与直线 相交于点G，与x轴相交于点M，连接 ，分点P在直线 上方和点P
在直线 下方两种情况分别画出图形，分别进行解答即可．
【小问1详解】
解：当 时， ，解得 ，
当 时， ，∴点 ， ，
经过点 ， ，
解得
抛物线的函数解析式为：
【小问2详解】
过点P作 轴交直线 于点F，
∵
∴ ，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设点P的坐标为 ，则 ，∴ ，
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
解得 （不合题意，舍去）
∴
【小问3详解】
设对称轴与直线 相交于点G，与x轴相交于点M，连接 ，
如图，当点P在直线 上方时，
∵ 轴，
∴ ，
∵点 ， 关于直线 对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得到 ，
则 ，∴点P的纵坐标为1，
把 代入 得到 ，
解得 （不合题意，舍去）
∴ ，
∴ ，
∴点Q的坐标为 ，
同理，如图，当点P在直线 下方时，
∵ ，
∴点P的纵坐标为1，
把 代入 得到 ，
解得 （不合题意，舍去）， ，
∴ ，
∴ ，
∴点Q的坐标为 ，
综上可知，点Q的坐标为 或 ．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、轴对称的性质、待定系数法求函数解析式、一次函数和二次
函数的交点问题、解直角三角形等知识，综合性强，分情况讨论是解题的关键．
