文档内容
九年级模拟检测卷
数学
注意事项：
1．满分150分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项A，B，
C，D中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列实数是负数的是（ ）
A. 7 B. 1.9 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了负数的意义，利用负数的意义即比0小的数为负数解答即可．
【详解】解：A、7是正数，不符合题意；
B、1.9是正数，不符合题意；
是
C、 负数，符合题意；
D、 是正数，不符合题意．
故选：C．
2. 如图，在 中， ， ， ，则 的值为（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，正确理解正弦定义是解题的关键．直接利用正弦的定义求解．【详解】解： ，
，
故选：B．
3. 如图， ，若 ， ，则 与 的相似比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是掌握似三角形的对应边比等于相似比．根据相似三角
形的对应边之比等于相似比，进行求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ 与 的相似比为： ．
故选：D．
4. 反比例函数 （ ， ）的图象如图所示，若点 ， 都在该反比例函数的图象
上，则 与 的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性即可求得a与b的大小关系．【详解】解：∵ ， ，
∴反比例函数图象在第一象限，且y随x的增大而减小；
又∵点 与点 都在反比例函数 （ ， ）的图象上，且 ，
∴ ；
故选：A．
5. 图1是我国古代的鲁班锁，图2是其中的一个构件，则该构件的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据简单几何体三视图的画法画出它的主视图即可．
【详解】解：该构件的主视图为：
故选：B．
6. 若关于 的一元二次方程 （其中 ）有两个相等的实数根，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程 （ ，a，b，c为常数）根的判别式
的意义．当 ，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根．根据根的判别式的意义可得 ，然后解不等式即可．
【详解】解∶∵关于 的一元二次方程 （其中 ）有两个相等的实数根，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选∶C．
7. 如图，有四张形状、大小、材质均相同的扑克牌，扑克牌正面分别标有黑桃 ，红桃 ，方块 ，梅花
，将扑克牌反面朝上放在桌子上并洗匀，从中随机摸出 张扑克牌，则摸出的 张扑克牌是同一颜色
（即红桃、方块或黑桃、梅花）的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了画树状图或列表求概率，熟练掌握画出树状图或列表法是解题的关键．
设标有黑桃 ，红桃 ，方块 ，梅花 分别用 表示，画出树状图，利用概率公式计算即
可．【详解】解：设标有黑桃 ，红桃 ，方块 ，梅花 分别用 表示，
根据题意画树状图如下：
共有 种等可能的结果，摸出的 张扑克牌是同一颜色即为 ， ， ， 的结果数有 种，
∴摸出的 张扑克牌是同一颜色的概率是 ，
故选： ．
8. 如图，菱形 的三个顶点均在 上，连接 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ．
若 的半径为 ，则 的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切
点的半径是解题的关键．
连接 ，根据切线的性质定理得到 ，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到
为等边三角形，得到 ，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：如图：连接 ，∵ 是 的切线，
∴ ，
∵四边形 为菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
的半径为 ，
∴ ，
由勾股定理得， ．
故选B．
9. 如图，这是一个简易桶装水的取水装置和其出水示意图，从出水口 处喷出的水流可抽象为抛物线，点
是水流与水杯底部的接触点．若水流运动的高度 （单位：厘米）与水平距离 （单位：厘米）近似满
足函数关系式 ，则该抛物线的顶点坐标为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的应用，把点 、 代入已知函数关系式，运用待定系数法求
解，再化为顶点式即可
【详解】解：把点 、 代入 ，
得 ，
解得 ．
∴抛物线的解析式为 ；
∴顶点坐标为 ，
故选A．
10. 如图， 为 的中点，将矩形 绕着点 顺时针旋转 得到矩形 ，若 ，
， 与 交于点 ，则 的长为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点H
作 ，过点M和点O分别作 的垂线，垂足分别为P、Q，则 ，根据平行线的
性质可得 ，再证明 ，则可求出 的长，进而得到 的长，证明
，则 ，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点H作 ，过点M和点O分别作 的垂线，垂足分别为P、Q，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由旋转的性质可得 ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 化简： ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了分式化简，根据分式的运算法则计算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．12. 如图，点 在反比例函数 的图象上，点 在反比例函数 的图象上，点 在
轴上，连接 ， ， ，组成 ．若 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数图象与平行四边形相结合的题目，掌握反比例函数的图象和性质和平行
四边形的性质是解题的关键．
设 点坐标为 ， 点坐标为 ，由平行四边形的性质可知 ，即 ，再由平行
四边形的面积可知 ，两式结合即可求出 值．
【详解】解：设 点坐标为 ， 点坐标为 ，
是
∵四边形 平行四边形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
13. 如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形 ，
是它的外接圆，连接 ， ，作 ．若劣弧 的长为 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出中心角 ，再根据弧长公式求得半径为2，然后解 即可．
【详解】解：∵正六边形 ， 是它的外接圆，
∴中心角 ，
∵劣弧 的长为 ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆圆与正多边形，解直角三角形，中心角的求解，弧长公式，综合性较强，熟练掌握
知识点是解题的关键．
14. 如图，在等腰直角 中， ， ， 是 上的一点，连接 ，以
为边在 边的右侧作正方形 ，连接 ， ．
（1） 的度数为______．
（2）连接 ，交线段 于点 ．若 ；则 的长为______．
【答案】 ①. 90°##90度 ②. ##
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练
掌握以上知识点是解题的关键．
（1）由正方形的性质和等腰三角形的性质易求 ，得出 ，再根据
角的和差即可求解；
（2）先求出 ，得到 ，再求出 ，得到 ，即可得
到 ，再把数值代入即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
，， ， ，
，
，
，
故答案为 ．
（2）解： 四边形 是正方形，
，
，
．
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
故答案为 ．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先根据特殊角三角函数值，负整数指数幂，二次根式的性质分别化简，然后合并即可．
【详解】解：原式
．
16. 如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别是 ， ， ．
（1）以点 为位似中心，在平面直角坐标系中画出 的位似图形 （点 ， ， 的对应点
分别为 ， ， ），使 与 的相似比为 ，且点 在第一象限．
（2）画出以点 为旋转中心，将 旋转 后得到的 ．
（3） 值为______．
的
【答案】（1）图见解析；
（2）图见解析； （3） ．
【解析】
【分析】本题考查了作图-复杂作图，位似的性质，旋转的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）分别连接 并延长，取格点 ，使得 ，依次连接 ，则 即为所求；
（2）分别连接 并延长，取格点 ，使得 ，依次连
接 ，则 即为所求；
（3）由（1）可得 ，由（2）可得 ，即可求解．
【小问1详解】
解：分别连接 并延长，取格点 ，使得 ，依
次连接 ，则 即为所求，如图：
【小问2详解】
解：分别连接 并延长，取格点 ，使得 ，依次连
接 ，则 即为所求，如图：
【小问3详解】
解：由（1）可得： ，即 ，由（2）可得 ，
∴ ，
故答案为： ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某风扇专卖店准备购进两款电风扇，一款是手持小电风扇，一款是落地大电风扇．已知第1批购进
台小电风扇和 台大电风扇共需要 元，第 批购进 台小电风扇和 台大电风扇共需要 元．
（1）设购进一台小电风扇和一台大电风扇分别需要 元， 元，请用含 ， 的代数式填表．
购进小电风扇的花 购进大电风扇的花 购进大，小电风扇的总花
批数
费 费 费
第
批
第
______
批
（2）在进价不变的情况下，若该专卖店第 批购进小电风扇 台，大电风扇 台，则购进这两种电风扇
共花费了多少元？
【答案】（1） ；
（2） 元．
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，有理数加法和乘法的应用，二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，
正确的列出方程组是解题的关键．
（ ）根据题意列出代数式即可；
（ ）根据题意得 ，解出方程 ，所以购进一台小电风扇需要 元，购进一台大
电风扇需要 元，然后代入求解即可．【小问1详解】
解：由题意得，第 批购进大电风扇的花费为 元，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：根据题意得， ，
解得： ，
∴购进一台小电风扇需要 元，购进一台大电风扇需要 元，
∴第 批购进小电风扇 台，大电风扇 台，共花费了 （元），
答：第 批购进小电风扇 台，大电风扇 台，共花费了 元．
18. 数学兴趣小组开展研学活动，研究了数式之间的规律问题．
指导老师将学生的发现进行整理，部分信息如下．
序号 表示结果
第1个等
式
第2个等
式
第3个等
式
第4个等
式
第5个等
式
…… ……
（1）根据表中你发现的规律，写出第10个等式：______．
（2）写出你猜想的第 个等式（用含 的式子表示），并证明．
【答案】（1）（2） ；证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了数字变化的规律．
（1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题；
（2）根据发现的规律写出第 个等式，再将等式两边分别展开，即可证明．
【小问1详解】
解：根据已给的5个等式，可得第10个等式为： ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：第n个等式可表示为： ，即 ，
证明：左边 ，
右边 ，
∴左边 右边，
∴第n个等式 成立．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 桑梯是我国古代的一种采桑工具．如图1，这是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑
梯，其示意图如图2所示，已知点 在线段 上， 米， 米， ，
， ， ，垂足分别是 ， ，求线段 的长．（参考数据：
， ， ）【答案】0.34米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据三角形内角和算出 ，结合 ，得出
（米），再得出 （米），然后根据线段的和差进行列
式计算，即可作答．
【详解】解：依题意， ，
在 中， ，
（米）．
米， 米，
（米）．
在 中， ，
（米），
（米），
答：线段 的长为0.34米．
20. 如图，在 中， ，点 在边 上，以点 为圆心的 与边 相切于点 ，与边 相切于点 ，交 于点 ，延长 ，交 于点 ，过点 作 于点 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）2．
【解析】
【分析】（1）连接 ，由切线的性质得到 ，从而证明 为 的平分线，得到
，再由 得到 ，最后得到 ；
（2）由切线长定理得到 ，然后通过求三角函数值得 ，从而得到
，继而求出 ， ，最后利用含 角的直角三角形的性质求出 ．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，
和 都是 的切线，
，
， ，
为 的平分线，
，， ，
，
．
【小问2详解】
和 都是 的切线，
，
，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
，
的长为2．【点睛】本题考查了圆的切线性质和切线长定理，三角函数值的应用，角平分线的判定和含 角的直角
三角形的性质．添加辅助线 和熟练掌握和运用相关性质是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 综合与实践
“为自己和他人的生命健康与安全加一份保障”．某校为了解学生对急救护理知识的掌握情况，开展了急
救护理知识的测试，现从参试的全校 名学生中随机抽取若干名学生的测试成绩（百分制），并对其
进行整理，描述和分析（成绩用 表示，共分成 组： ． ； ． ； ．
； ． ），给出了如图所示的部分信息．
（1）该校共抽查了______人？
（2）根据调查结果，请估计全校学生成绩在 组的有多少人．
（3）现从 组中成绩最好的 名男生和 名女生中随机抽取 名学生，对全校进行宣传讲解，请用画树
状图或列表的方法，求恰好选取男生，女生各一名的概率．
【答案】（1） ；
（2） 人；
（3） ．【解析】
【分析】本题考查了从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，利用树状图法求解随机事件的概
率，掌握以上基础知识是解题的关键．
（ ）根据 组人数除以 组在扇形所占比即可求出该校共抽查的人数；
（ ）计算出样本中 组的学生所占比例乘以总人数即可求解；
（ ）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解．
【小问1详解】
解：该校共抽查了： （人），
故答案为： ；
【小问2详解】
解：由（ ）得，该校共抽查了 人，
∴估计全校学生成绩在 组的有： （人），
答：估计全校学生成绩在 组的有 人；
【小问3详解】
解：画出树状图如下，
共有 种等可能的结果，恰好选取男生，女生各一名的结果数有 种，
∴恰好选取男生，女生各一名的概率是 ．
七、（本题满分12分）
22. 如图1，在 中， ， ， ， ， 分别为边 ， 的中点，连
接 ，将 绕着点 顺时针旋转，旋转角为 ．（1）如图2，当 时，设点 的初始位置为点 ，连接 ， ，求证： ．
（2）当 ， ，连接 ，求 的值．
（3）如图3， ，连接 ， ，交于点 ， 与 交于点 ，当 是 的中点时，求
的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）3
【解析】
【分析】（1）由题意得，F是 的中点， ， ，再根据旋转的性质证明四
边形 是平行四边形，即可求证；
（2）过点 作 ，交 的延长线于点 ，推出四边形 是矩形，根据勾股定理求出
，再结合中位线及旋转的性质求出 ， ，再利用勾股定理求出 ，最后
由 可计算出答案；
（3）因为 的中点为G，且 ， ，求证 即可求解．
【小问1详解】
证明： 为边 的中点， ，
，， ，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
；
【小问2详解】
解：如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
是题图1中 的中位线，
， ，
，
在 中， ，；
【小问3详解】
解： ，
，
， ，
，
，
，
．
， 是 的中点，
，
，
，
，
， ，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行旋转的性质，四边形的判定，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性
质，全等三角形的判定和性质．
八、（本题满分14分）23. 已知二次函数 的图象经过点 ， ．
的
（1）求 ， 值．
（2）求当 时，二次函数 的最大值．
（3）现将该二次函数 的图象沿着 轴的正方向平移 个单位长度得到新的二次函
数图象，当 时，新的二次函数有最小值，最小值为7，求平移后新的二次函数的表达式．
【答案】（1） ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数 的性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数
图象与几何变换，正确的理解题意是解题的关键．
（1）把点 ， 代入 ，即可求得b、c的值；
（2）根据二次函数的性质即可求得；
（3）平移后新的二次函数的表达式为 ，分三种情况讨论：①当 ，即
时， 在对称轴的右侧，②当 ，即 时， ③当 ，即 时，
在对称轴的左侧，然后根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：将点 ， 代入，
得 解得
， 的值分别是 ， ．【小问2详解】
解： 二次函数的表达式为 ，
二次函数图象的对称轴为直线 ．
，
二次函数图象的开口向上，当 时， 随 的增大而减小．
，
当 时，二次函数 有最大值，最大值为 ．
【小问3详解】
解：平移后新的二次函数的表达式为 ，该二次函数图象的对称轴为直线 ．
分三种情况讨论：
①当 ，即 时， 在对称轴的右侧，
二次函数在 取得最小值，
，解得 或 ，不符合题意．
②当 ，即 时，二次函数在 取得最小值，此时最小值为 ，不符合题意．
③当 ，即 时， 在对称轴的左侧，
二次函数在 时取得最小值，
，解得 或 （舍去），
此时二次函数的表达式为 ，即 ．
综上所述，平移后新的二次函数的表达式为 ．
