文档内容
2025 年安徽省初中学业水平考试模拟试卷
数学
（试题卷）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. -7的相反数是（ ）
A. 7 B. -7 C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】根据概念，（-7的相反数）+（-7）=0，则-7的相反数是7．
故选A．
2. 2025年1月15日举行的国新办发布会上获悉，2024年我国共授权发明专利104.5万件，其中104.5万用
科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，其表示形式为 ，其中 ， 为整数，正确确定 和 的
值是解题的关键．根据科学记数法的定义即可得到答案．
【详解】解： 万 ，
故选：C．
3. 如图放置的四个几何体（由完全相同的立方体拼成），其中主视图和俯视图完全一样的是（ ）A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了几何体的主视图和俯视图，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据各选项几何体的主视图和俯视图判断即可．
【详解】解：A． 的主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意；
B． 的主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意；
C． 主视图和俯视图相同，故该选项符合题意；
的
D． 的主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意；
故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂相乘，幂的乘方运算法则是解题的关键．根据合并
同类项，同底数相乘，幂的乘方逐项计算即可求解．
【详解】解：A、 ，故本选项错误，不符合题意；B、 与 不是同类项，不能合并，故本选错误，不符合题意；
C、 ，故本选项错误，不符合题意；
D、 ，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
5. 如图， 中， ，以 为直径的 交边 于点 ，若 ，则劣弧 的长为（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理的应用，等边三角形的判定与性质，考查了弧长的有关计算，连接 ，
根据 ，结合 ，证明 是等边三角形，易得 根据弧长公式即可得
到结果．
【详解】解：连接 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
6. 一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，与 轴交于点
，则 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
用待定系数法求出一次函数 的解析式 ，求出 ，得到 ，得到 ，
即可得到答案．
【详解】解：一次函数 的图象与 轴交于点 ，
，
，
一次函数的解析式为 ，
把 代入上式，得 ，
，
，把 代入 得 ，
，
故选：B．
7. 如图，正方形 中， ，以 为边向外作等边 ，连接 ，点 在 上，且
，则 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理和解直角三角形，过点 C作 于
点M，连接 ，求出 ，然后根据正弦定义得到 ，然后根据勾股定
理求出 和 长，然后根据线段的和差解题即可．
【详解】解：过点C作 于点M，连接 ，
是
∵四边形 正方形， 是等边三角形，∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
8. 设 ， ，定义新运算： ，若 ， ， ，则下列式子正确的是（
）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．各项利用题中的新定义计算得
到结果，即可做出判断．
【详解】解：A．∵ ，∴ ，故不正确；
B．∵ ，
，
∴ ，故正确；
C．∵ ， ，
∴ ，故不正确；
D． ， ，
∴ ，故不正确；
故选B．
9. 如图，在 中， ， 为边 上的动点，过 作 于点 ，连接 并
延长交 于点 ．当 取得最小值时，则 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角，点到圆上的距离，勾股定理，相似三角形的判定和性质，根据题意判断出点
的运动轨迹是解题关键．根据直径所对的圆周角是直角，得到点 在以 为直径的圆上运动，取的中点 ，以 为圆心， 的长为半径作 ，连接 与 交于点 ，连接 并延长交 于点
，由点到圆上的距离可知，当点 在 位置时， 取得最小值为 ,由勾股定理可得
，再证明 ,得到 ，求出 的长即可．
【详解】解： ，
，
点 在以 为直径的圆上运动，
如图，取 的中点 ，以 为圆心， 的长为半径作 ，连接 与 交于点 ，连接 并延
长交 于点 ，
由点到圆上的距离可知，当点 在 位置时， 取得最小值为 ,
在 中， ，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
,
,
，
，即当 取得最小值时，则 的长为 ，
故选：C．
10. 如图，在 中， ， ， 的角平分线交斜边 于点 ，点 ， 分别
在边 ， 上（不含端点），且 ．设 ， 与 的面积之差为 ，则 关
于 的函数图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点 作 ，角平分线的性质，得到 ，证明四边形 为正
方形，利用 ，设 ，进而得到 ，求出
的值，进而求出 的长，求出 的值，分点 在点 的左侧和右侧，两种情况，分别求出，利用三角形的面积公式求出函数解析式，进行判断即可．
【详解】解：过点 作 ，则： ，
∵ 为 的角平分线，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 为正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
①当点 在 点右侧时：
∵ ，∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理，得： ，
∴ ，
∴ ，
整理，得： ，
②当点 在点 左侧时：
则： ， ， ，，
∴ ，
整理，得： ；
综上： ；
故图象为顶点在 轴上 的抛物线的一部分；
故选A．
【点睛】本题考查动点的函数图象，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象和
性质，正确的求出函数关系式，是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 的立方根是__________．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据立方根的定义进行求解即可得．
【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2，
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
12. 比较大小： ________ （填“>”或“<”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数比较大小，不等式的性质，利用作差法得到 ，
再证明 即可得到答案．
【详解】解： ，∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13. 如图，在一个正方形的网格上有 、 、 、 、 五个点，任意连接其中3个点，在构成的三角形
中，是直角三角形的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查的概率公式求概率．找到所有三角形和其中的直角三角形，然后利用概率公式求概率即
可．
【详解】解：从在格点上的点 中任取三个点构成的三角形有 、 、
、 、 、 、 、 ，共9个，根据网格的特点可得 、
、 、 、 、 、 是直角三角形， 不是直角三角
形，即在构成的三角形中，是直角三角形的个数是7个，
∴在构成的三角形中，是直角三角形的概率为 ，故答案为： ．
14. 为了适应新的考试评价改革，需要对学生的原始分进行转换．某班一次数学测试中，全班最高分是95
分，最低分是 45 分．现将全班学生成绩作线性转换，原始分记为 ，转换后的分数记为 ，满足
，其中 ．转换后使得最高分为100分，最低分为30分．
（1）某同学原始分是80分，则转换后的分数是________．
（2）若全班原始分数的方差是225，则转换后的班级分数的方差是________．
方差参考公式：
【答案】 ①. 79 ②. 441
【解析】
【分析】本题考查了新规定——转换新考分．熟练掌握考分转换规则，待定系数法求函数解析式，一次函
数 的性质，方差与平均数定义与计算，是解题的关键．
（1）把 ， 代入 求出a，b的值，得到解析式，再把 代入解析式即得；
（2）写出 ， ，代入 化简计
算即得．
【详解】解：（1）由转换分规则，
得 ，
解得 ，
∴ ，
当 时，
；
（2）∵ ，，
，
…，
．
．
∴
．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂、特殊角的三角函数值的运算、实数的性质，熟练掌握运算法则是解题
关键．先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值的运算、化简绝对值，再计算乘法与加减法即可得．
【详解】解：原式
．
16. 如图， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ．（1）以原点 为位似中心，在第一象限内将 放大为原来的2倍得到 ，作出 ，
写出 ， ， 的坐标；
（2）请用无刻度直尺作出 的角平分线（保留作图痕迹）．
【答案】（1）图见解析 ， ， ，
（2）图见解析
【解析】
【分析】（1）以原点 为位似中心，在第一象限内确定 的对应点 ，再顺次连接，结合点
的位置可得其坐标；
（2）如图，取格点 ，则射线 即为所求作的角平分线；
【小问1详解】
解：如图，
如图， 即为所求作．
∴ ， ， ；
【小问2详解】
解：如图所示 是 的角平分线；理由如下：如图，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线；
【点睛】本题考查的是画位似图形，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练
的作图是解本题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 观察下列各个式子：
，
按照以上规律，解决下列问题：
（1） ________ ________；
（2） ________ ________（用含 的式子填空），并证明该等式．
【答案】（1） ，（2） ， ，证明见解析
【解析】
【分析】（ ）根据已知等式写出式子即可；
（ ）根据分式的运算法则对等式的右边进行化简即可求证；
本题考查了数字规律变化问题，分式的运算，由已知等式找到变化规律是解题的关键．
【小问1详解】
解：由已知等式可得， ，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解： ．
证明：∵
，∴ ，
故答案为： ， ．
18. 为贯彻落实“立德树人”的根本任务，提高学生的劳动素养．某中学拟组织九年级师生去校外劳动教
育实践基地参加劳动实践活动，需向某客运公司租客车前往，下表是有关租车的信息：
客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租
信息1
金比45座客车每辆每天的租金多200元．
上周八年级师生去该基地参加劳动实践活动向这个客运公司租了5辆60座和
信息2
3辆45座的客车，一天的租金共计6200元．
信息3 九年级师生租用4辆60座的客车和4辆45座的客车正好坐满．
请根据以上表中的信息，解答下列问题；
（1）客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
（2）九年级师生到该客运公司租车一天，共需租金多少元？
【答案】（1）60座客车每辆每天的租金为850元，45座客车每辆每天的租金为650元
（2） （元）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解
题的关键．
（1）设60座客车每辆每天的租金为 元，则45座客车每辆每天的租金为 元．再根据租了5辆
60座和3辆45座的客车，一天的租金共计6200元列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求求出租用4辆60座的客车和4辆45座的客车的费用即可得到答案．
【小问1详解】
解：设60座客车每辆每天的租金为 元，则45座客车每辆每天的租金为 元．
由题意得， ，
解得 ．
答：60座客车每辆每天的租金为850元，45座客车每辆每天的租金为650元．
【小问2详解】解：由题意得，可知九年级师生租车的费用为： （元）．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在淮河的右岸边有一座高楼 ，左岸边有一坡度 的山坡 ，点 与点 在同一水
平面上， 与 在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼 的高度，在坡底 处测得楼顶 的仰
角为 ，然后沿坡面 上行了 米到达点 处， 在水平面上的投影为点 ，此时在 处测得
楼顶 的仰角恰好等于 ，求楼 的高度．（结果保留整数）（参考数据 ）
【答案】137米
【解析】
【分析】设 米，根据题意可有 米，利用勾股定理解得 的值，易得 米，
米；过点 作 ，垂足为 ，易知四边形 为矩形，可得 ，再证明
是等腰直角三角形，并设 米，则可确定 ， 的长度，然后在 中，利
用三角函数解得 的值，即可获得答案．
【详解】解：由于山坡 的坡度 ，设 米，则 米，
又∵ ，∴ ，即 ，
解得 米，
∴ 米， 米，
过点 作 ，垂足为 ，如图所示，
则有 ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 是等腰直角三角形，
设 米，
∴ 米， 米，
在 中， ，即 ，
解得 ，
答：楼 的高度约为137米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理等
知识，正确作出辅助线，熟练运用相关知识是解题关键．
20. 如图，在 中， ， 是 的中点， 的平分线交 于点 ．点 在 的
延长线上，以 为圆心， 为半径的 经过点 ， ．（1）若 ， ，求 的半径；
（2）设 与 的延长线交于点 ， 是 的中点， 的延长线与 交于点 ．求证：
．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握相
关知识点是解题的关键．
（1）因为 ， 是 的中点，所以 垂直平分 ．又 ， ，所以
， ，由于 是 的平分线，所以 ．从而
，又 ，得到 ，得出
．设 的半径为 ，则 ， ，所以
，解得 ．故 的半径为2．
（ 2 ） 在 中 ， 是 的 中 点 ， 所 以 ． 从 而 ，
． 由 于 ， ， 所 以 ，
， ，即 ，又 是 的平分线，所以
，故 ．
【小问1详解】
解：如图，连接 ，
， 是 的中点，
垂直平分 ．
， ，，
，
，
是 的平分线，
．
，
，
，
，
设 的半径为 ，则 ， ，
，
解得 ．
故 的半径为2．
【小问2详解】
证明：在 中， 是 的中点，
．
， ．
， ，
，
，
，，
是 的平分线，
，
．
六、（本大题满分12分）
21. 综合与实践
【项目背景】
安全防范教育是培养学生健康成长的重要环节，提高学生的安全意识，使其具备安全知识和自我救护能力，
养成良好的安全行为习惯，对于保障学生的人身安全和营造平安和谐的校园环境有重要意义．某校为加强
安全教育，开展了“防溺水”安全知识检测．
【数据收集与整理】
某校七、八年级各有1000名学生．现从七、八年级学生中各随机抽取了 名学生进行测试，将各年级测
试成绩按下表分组方式分成6个组（得分用 表示）：
组别
绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：
已知八年级测试成绩 组的全部数据为75，77，78，79．
【数据分析与运用】
根据以上信息，完成以下任务：
任务1 ________， ________；
任务2 请直接写出七年级测试成绩的中位数落在哪一组；
任务3 若测试成绩不低于85分，则认定该学生对“防溺水”安全知识了解程度高，请估计该校七、八两
个年级中，哪个年级对“防溺水”安全知识了解程度更高一些，并说明理由．
【答案】任务1： ， ；任务2 ： ；任务3 八年级对“防溺水”安全知识了解程度更高一些，理由
见解析【解析】
【分析】本题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图的综合运用，求中位数，样本估计总体，读懂统计
图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
任务1：根据八年级测试成绩 组的人数除以占比，得出八年级的人数即可求得 的值，进而求得 的值；
任务2：根据中位数的定义解答即可；
任务3：分别求得七、八两个年级测试成绩不低于85分的占比，进而即可求解．
【详解】解：任务1：依题意， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：80，16；
任务2：∵ ， ，
∴中位数落在 ，即C组；
任务3 七年级测试成绩不低于85分的学生人数为： ，
八年级测试成绩不低于85分的学生人数为：
，
由于两个年级学生数和抽取的学生数均相同，所以八年级对“防溺水”安全知识了解程度更高一些．
七、（本大题满分12分）
22. 如图1，菱形 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上， ．
（1）求证： ；
（2）求 的最小值；（3）如图2，线段 的中点是点 ，连接 ， ，求四边形 的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】此题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质，三角函数，
（1）由 ，所以 ．因为 是菱形，且 ，所以 与
都是正三角形，从而 ， ，故 ．
（2）解：过 作 延长线的垂线，交于点 ，设 ，则 ，根据勾股定
理，得 ，所以当 时， 有最小值为 ．
（3）解：方法一：过点 作边 的垂线，交 与点 ，交 于点 ．再过点 向边 所在的直
线作垂线，交 的延长线于点 ．设 ，则 ，可得四边形 的
面积．方法二：取 中点 ，连接 ，过 作 于 ，得
，求出 ， ，可得四边形 的面
积．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ 与 都是正三角形，
∴ ， ，
∵
∴ ，
∴ ；【小问2详解】
解：过 作 延长线的垂线，交于点 ，设 ，则 ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
在 中，据勾股定理，得
，
∴当 时， 有最小值为 ．
【小问3详解】
解：方法一：过点 作边 的垂线，交 于点 ，交 于点 ．再过点 向边 所在的直线作
垂线，交 的延长线于点 ．设 ，则 ，
∵线段 的中点是点 ，
∴ ．
故 ．
过点 作边 的垂线，交 于点 ．
同理可得 ，∴四边形 的面积 ．
方法二：取 中点 ，连接 ，过 作 于 ，
则 ，
∵ ，
所以 ，
同理： ，
∴ ．
八、（本大题满分14分）
23. 已知 ， 是抛物线 上的两个不同点．
（1）若 ， 两点都在直线 上，求线段 的长；
（2）若抛物线关于 轴对称，直线 过坐标原点 ，求 的值；
（3）若点 ， 在抛物线对称轴的左侧， ， 为整数，且 ，证明： 为正值．
【答案】（1）
（2）（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意得到直线 平行于 轴，令 ，求出 ，然后代入
求解即可；
（2）首先求出 ，然后分两种情况：当直线 落在 轴上时，可得 ，
当直线 不在 轴上，然后联立 求出 ，设 ，求出 ， ，然
后代入 求解即可；
（3）首先得到 ，根据 求出 ，然后结
合 即可证明．
【小问1详解】
解：∵直线 平行于 轴，
∴令 ，即 ，
解得 ，
∴线段 的长度为 ．
【小问2详解】
解：∵抛物线 关于 轴对称，∴
∴抛物线
若直线 落在 轴上，
∴当 时，即
解得
∴
∴ ；
若直线 不在 轴上，
设直线 的解析式为 ，联立方程，
得 ，
解得 ．
不妨设 ，
∴ ， ，
∴ ．
【小问3详解】
证明：∵ ，且 ， 为整数，
∴ ，即
∴ ，
又 ，
∴ 为正值．
【点睛】此题考查了二次函数 的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系等知识，解题的关键是
掌握二次函数的图象和性质．
