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数学练习
温馨提示：
1．数学试卷6页，八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟，请合理分配时间．
2．请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题．
3．请将答案写在答题卷上，在试卷上答题无效，考试结束只收答题卷．
4．请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数，则 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义．根据两个数相乘积是1，则该两个数互为倒数，即可求解．
【详解】解： 的倒数是 ．
故选：B．
2. 截至2025年3月1日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2800万次，刷新
了我国自主量子算力服务规模记录．其中数据“2800万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为 ，其中 ， 为整数．确定 的
值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值
时，n是正数；当原数绝对值 时，n是负数．根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】解：2800万 ，
故选：C．
3. 鲁班锁是中国传统的智力玩具．如图，这是鲁班锁一个组件的示意图，则该组件的俯视图是（ ）A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的就是俯视图．根据从上面看得到的图形是俯视
图，可得答案．
【详解】解：从上面看的图形如下：
．
故选：C．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了幂的运算，单项式除以单项式以及合并同类项，掌握运算法则，正确计算是解题的关
键．
分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，幂的、积的乘方运算法则以及单项式除以单项式运算法则依
次判断即可．
【详解】解：A、 与 不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、 ，原写法错误，故不符合题意；
C、 ，原写法错误，故不符合题意；D、 ，原写法正确，故符合题意；
故选：D．
5. 如图，烧杯内液体表面 与烧杯下底部 平行，光线 从液体中射向空气时发生折射，光线变成
，点 在射线 上．已知 ， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质．由题意知， ，则 ，根据
，计算求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
由题意知， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
6. 某数学项目化学习小组在研究沪杭高铁不同车次的平均运行速度 （ ）和运行时间t（ ）之间
的关系时，上网查阅了相关资料．下表是他们收集的数据：
车次 G7506 G7382 G1866 G7492
（单位：
）
t（单位：
1
）则最符合下 与t之间的关系式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据沪杭高铁之间的距离是定值，结合 ，判定 与t是成反比例函数的，计算出定值即可．
本题考查了反比例函数的生活应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键．
【详解】解：沪杭高铁的总里程是固定的．
由 得 ，
由 得， ，
根据表格中的数据可以计算出最符合 与t之间的关系式是 ，
故选：A．
7. 如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形
组成，恰好拼成一个大正方形 ．连结 并延长交 于点 ．若 ，
则 长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质，由大正方形 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形 组成，在 中使用勾股定理
可求出 ，过点 M 作 于点 N，由 为等腰直角三角形可证得
也 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 设 ， 则 ， 由
，可解得 ．进而可得 ．
【详解】解：由图可知 ， ，
∵大正方形 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形 组成，
∴ ，
设 ，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得： （舍去）．
过点M作 于点N，如图所示．
∵四边形 为正方形， 为对角线，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，∴ 为等腰直角三角形．
设 ，则 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故选：A．
8. 已知点 在一次函数 上，且 ，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将点 代入一次函数 ，根据 可求出 的取值范围，再根据不等式
的性质即可求解.
【详解】解：将点 代入一次函数 ，
，
，
，
，
.，
.
不等式两边同时除以 得 .
故选：A.
【点睛】本题考查了一次函数与不等式性质的综合，解题的关键在于熟练掌握不等式的性质.
9. 在凸五边形 中， ，点 在 上，且 ，下列条件中，不能推出
点 一定是 中点的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等三角
形的判定的方法是解题的关键．
利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论．
【详解】解：A选项，如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，根据三角形的三线合一定理得：点 一定是 中点，故本选项不符合题意；
B选项，如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
根据三角形的三线合一定理得：点 一定是 中点，故本选项不符合题意；
选项C：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
根据两组边和一组边的对角相等，无法证明 和 全等，
∴不能推出点 是 中点，故本选项符合题意；
D选项：如图，延长 交于点M，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 和 关于 对称，且C和D是对应点，
∴ 垂直平分 ，
∴ 重合，
即点 一定是 中点，故本选项不符合题意；
10. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若二次函数 （ 为常数）在 的图象上存在两个二倍点，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线 上，
由 可得二倍点所在线段 的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．
【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为 ，
把 代入 得∶ ，
把 代入 得∶ ，
可设点 ，如图，
联立得： ，即 ，
∵在 的图象上存在两个二倍点，
∴ ，
∴ ，此时直线 和直线 与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段 有两个交点，
把 代入 得∶ ，
把 代入 得∶ ，
∴ ，解得： ，
∴ ．
故选：D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： __________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查 的是分式的混合运算，先计算分式的减法运算，再计算除法运算即可．
【详解】解： ；
故答案为：
12. 《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白．与著名
的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜
幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从偶，开平方得积”，若把这段
文字表述为数学语言即为：在 中， 所对的边分别为a、b、c，则其面积为
，可利用其解决下列问题．如图，在 中，，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】把数据代入面积公式计算面积即可求解．
【详解】解：在 中， ，
∴
= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，考查了学生的计算能力，正确计算出结果是解题的关键．
13. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有 两个格点，在网格的其他格点上任取一点 ，恰能
使 为等腰直角三角形的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，一共有种等可能性，其中能使 为等腰直角三角形 的有4种，解答即可．本题考查了简单地概率公式应用，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：根据题意，一共有种等可能性，其中能使 为等腰直角三角形的有4种，如图所示：
故使 为等腰直角三角形的概率是 ．
故答案为： ．
14. 如图，矩形 中， 为 边上一动点（不与 重合），连接 ，过 点
作 ，垂足为点 ，点 为 的中点．
（1）当点 为 中点时， __________；
（2）线段 的最小值是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，三角形中位线定理，直角三角形的性质
等等，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）由矩形的性质和线段中点的定义得到 ，由勾股定理得到 ，解直角三角形得到
，由平行线的性质得到 ，则 ，即可得到，
（2）取 中点G，取 中点H，连接 ，则 ，由三角形中位线定理得
到 ，根据 ，得到当D、F、H三点共线时， 有最小值，最小值为
的值，据此求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵点 为 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；（2）如图所示，取 中点G，取 中点H，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵G是 的中点，
∴ ，
∵F、H分别是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴当D、F、H三点共线时， 有最小值，最小值为 的值，
在 中，由矩形的性质可得 ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，根据特殊角的三角函数值，零指数幂，化简绝对值进行计算即可求
解．
【详解】解：原式
．
16. 如图，在平面直角坐标系 中， 的三个顶点坐标分别为 ， ， ．
（1）若 经过平移后得到 ，已知 ．
①作出平移后的 ；
②平移的距离为________个单位长度；
（2）将 绕点B逆时针旋转 ，得到 ．
①作出旋转后的 ；
②求 在旋转过程中所扫过的面积为_______．
【答案】（1）①画图见解析；② ；
（2）①画图见解析；② ．
【解析】
【分析】（1）①由 ， 确定平移方式，再确定 ， 的对应点，再顺次连接即可，②利用勾股定理求解平移的距离即可；
（2）①分别确定 旋转后的对应点 ，再顺次连接即可；②求解 ，利用扇形面
积公式计算即可．
【小问1详解】
解：①如图， 即为所画的三角形，
②平移距离为： ；
【小问2详解】
①如图， 即为所画的三角形，
②∵ ， ，
∴ 在旋转过程中所扫过的面积为 ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某小区在小区内安装垃圾分类的A型固定垃圾箱和B型移动垃圾箱，已知购买3个A型固定垃圾箱和2
个B型移动垃圾箱共需560元，1个A型固定垃圾箱和1个B型移动垃圾箱共需200元．
（1）求A型固定垃圾箱和B型移动垃圾箱的单价各是多少元；
（2）如果需要购买A型固定垃圾箱和B型移动垃圾箱共90个，且费用不超过6000元，问：那该小区最多
可以购买A型固定垃圾箱多少个？
【答案】（1）A型固定垃圾箱的单价是160元，B型移动垃圾箱的单价是40元
（2）该小区最多可以购买A型固定垃圾箱20个
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先设A型固定垃圾箱的单价是 元，B型移动垃圾箱的单价是 元，再结合题意列出二元一次方程组，即可作答．
（2）设购买A型固定垃圾箱 个，则购买B型移动垃圾箱 个．再结合题意列出一元一次不等式，
即可作答．
【小问1详解】
解：设A型固定垃圾箱的单价是 元，B型移动垃圾箱的单价是 元，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：A型固定垃圾箱的单价是160元，B型移动垃圾箱的单价是40元．
【小问2详解】
解：设购买A型固定垃圾箱 个，则购买B型移动垃圾箱 个．
根据题意，得 ，
解得 ．
的最大值为20．
答：该小区最多可以购买A型固定垃圾箱20个．
18. 如图是由长度为 和 的两种线段拼成的正方形图案：请回答下列问题：
（1）第3个图案中需要 长的线段的条数为__________；需要 长的线段的条数为__________；
（2）第 个图案中需要长 长的线段的条数为__________；需要 长的线段的条数为__________；
（3）若要组成一个面积为 的正方形图案，则需要这两种线段各多少条？【答案】（1）18，24
（2）
（3）需要 长的线段242条，需要 长的线段264条
【解析】
【分析】本题考查算术平方根及图案的规律总结问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．
（1）根据题干中所给的图案总结出规律即可；
（2）根据题干中所给的图案总结出规律即可；
（3）由题意可得此为第 个图案，然后代入（2）中所得结论中计算即可．
【小问1详解】
解：第1个图案中 长的线段的条数为 ， 长的线段的条数为 ．
第2个图案中 长的线段的条数为 ， 长的线段的条数为 ，
第3个图案中 长的线段的条数为 ， 长的线段的条数为 ，
第 个图案中 长的线段的条数为 ， 长的线段的条数为 ，
故答案为：18，24；
【小问2详解】
解：根据（1）中规律可得第 个图案中 长的线段的条数为 ， 长的线段的条数为
，
故答案为： ；
【小问3详解】
解：由题意得，面积为 的正方形图案的边长为 ，则为第 个图案，
当 时， ， ，
即需要 长的线段 条，需要 长的线段 条．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，是一名摄影爱好者记录下的无人机表演的“凤凰涅槃”全过程．摄影爱好者在水平地面 上
的点 处测得无人机位置点 的仰角 为 ；当摄影爱好者沿着倾斜角 （即 ）
的斜坡从点 走到点 时，无人机的位置恰好从点 水平飞到点 ，此时，摄影爱好者在点 处测得点
的仰角 为 ．已知 米， 米，且 四点在同一竖直平面内．
（1）求点 到地面 的距离；
（2）求无人机在点 处时到地面 的距离．（结果精确到 米，测角仪的高度忽略不计，参考数据：
， ， ， ， ， ）
【答案】（1） 米
（2） 米
【解析】
【分析】（ ）过 作 于 ，解 即可；
（ ）过 作 地面于 ，交 于 ，过 作 地面，交 于 ，可得四边形 和
四边形 均为矩形，即得 ， 米， ， ，进而由
得 ，设 米，则 米，可得
米，由 得 米，即得 米，再根据列出方程解答即可求解；
本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【小问1详解】
解：过 作 于 ，如图所示：
米，
答：点 到地面 的距离为 米；
【小问2详解】
解：过 作 地面于 ，交 于 ，过 作 地面，交 于 ，则四边形 和四边
形 均为矩形，
∴ ，
，
，
∴ ，
设 米，则 米，
米，
，
米，
米，∵ ，
∴ ，
解得 ，
米，
答：无人机在点 处时到地面 的距离为 米．
20. 如图， 为 的直径， 为 延长线上一点， 为 上一点，连结 ，作 于点
，交 于点 ，若 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据圆周角定理可证得 ，根据平行线的性质和判定
，由等腰三角形的性质得到 ，即可得到 ，
根据切线的判定即可证得结论；
（2）根据垂径定理及三角形中位线定理得到 ，设 ， ，根据相似三
角形的判定和性质即可得到结论．
【小问1详解】证明：连接 ，
为 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
与 相切；
【小问2详解】
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，又∵ ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ， ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解直角
三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（AI）逐渐走进人们的日常生活．AI技术已广泛应用于手机、
家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调
查统计，为人工智能的开发者提供一些参考．
【数据收集与整理】
研究小组对市面上不同的AI软件进行整理，请使用者进行评价打分．从使用较好甲、乙两款AI软件的评
价得分中，分别随机抽取了20个使用者的打分（百分制）数据，进行整理．成绩均高于90分（成绩得分
用x表示，共分为五组：A： ；B： ；C： ；D： ；E：）
下面给出了部分信息：甲款AI软件20名使用者打分为：
92，94，94，94，95，95，97，97，97，98，99，99，99，100，100，100，100，100，100，100．
乙款AI软件20名使用者打分在B等级的数据是：97，97，98，98，98，98．
乙款AI软件抽取的使用者打扮统计图
甲、乙两款AI软件抽取的使用者打分统计表
类型 平均数 众数 中位数
甲款
AI软 a
件
乙款
AI软 99 b
件
（1）上述表中 __________； __________；
【数据分析与运用】
（2）求扇形统计图中A组所占圆心角的度数．
（3）下列结论一定正确的是__________．
①甲乙两款AI样本数据的中位数均在A组；
②得分96分以上的样本数据甲乙一样多；
③甲乙两款AI样本数据的满分一样多．
（4）根据甲、乙两款AI软件样本的特征数，试估计哪款AI软件更优，并说明理由．
【答案】（1） ， （2） （3）②（4）甲款AI软件更优，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据众数的定义，根据中位数的定义计算判断解答即可．
（2）根据圆心角等于所占百分比乘以周角，计算即可．
（3）根据样本，计算各自的中位数，满分人数，96分以上人数，后比较判定解答即可．（4）根据中位数，众数决策即可．
【详解】（1）解：∵100出现了7次，次数最多，
故 ；
根据题意，得中位数是第10个，第11个数据的平均数，
∵A等级的人数为 人，
B等级从小到大排序为：97，97，98，98，98，98．
第10个，第11个数为98，98，
故中位数为 ．
故答案为：100，98．
（2）解：A等级所占圆心角为： ．
（3）解：根据题意，得甲的中位数是 ，在A组；乙的中位数是 ，在B组；故①错误；
样本数据甲得分96分以上的人数为14人；样本数据乙得分96分以上的人数为 人；
故②正确；
样本数据甲得满分的人数为7人；样本数据乙得满分人数无法确定；
故③错误．
故选：②．
（4）解：∵甲、乙两款AI软件的平均数相同，而甲款AI软件的众数和中位数都大于乙款AI软件的众数
和中位数，
∴甲款AI软件更优．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，众数、中位数的计算，圆心角计算，读懂统计图，熟练掌
握圆心角，中位数的计算是解题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 如图（1）， 是菱形 边 上一点，将线段 绕点 顺时针旋转 度到 位置，连接
，且 交 于点 ，（1）如图（2），当 时，求证： ；
（2）如图（1），探究 与 的数量关系．并说明理由；
（3）如图（3），当 时，若菱形 边长为 ，且 ，求 长．
【答案】（1）见解析 （2） ，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形和正方形的性质，正确作
出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）利用一线三等角，证明 即可解答；
（2）在 上截取 ，使 ，连接 ，证明 ，再通过角度的转换
即可解答；
（3）过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，利用（2）中性质可得 ，则
可得 即可解答．
【小问1详解】
证明：如图，作 的延长线，，
，
，
在 和 中
，
， ，
，
，
；
【
小问2详解】
解： ，理由如下：
如图，在 上截取 ，使 ，连接 ，
，，
．
，
．
．
，
，
．
；
【小问3详解】
解：如图，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，
设菱形的边长为 ，
，
，，由（2）知， ，
，
，
，
，
．
八、【综合与实践】（14分）
23. 问题情境：如图1，矩形 是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一
部分与线段 组成的封闭图形，点 在矩形的边 上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植
不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2， 米， 的垂直平分线与抛物线交于点 ，与 交于点 ，点 是抛物线的
顶点，且 米．玥玥同学设计的方案如下：
第一步：在线段 上确定点 ，使 ，用篱笆沿线段 分隔出 区域，种植串
串红；
第二步：在线段 上取点 （不与 重合），过点 作 的平行线，交抛物线于点 ， ．用篱笆沿 将线段 与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了玥玥的方案，在完成第一步 区域的分隔后，发现仅剩9米篱笆材料．若要在
第二步分隔中恰好用完9米材料，需确定 与 的长．为此，如图3建立平面直角坐标系．解决问题：
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当9米材料恰好用完时，分别求 与 的长；
（3）种植区域分隔完成后，玥玥又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助
图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段 上．求符合
设计要求的矩形周长的最大值．
【答案】（1）
（2） 的长为6米， 的长为3米
（3）矩形周长的最大值为 米
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到抛物线的顶点坐标为 ，不妨设抛物线的函数表达式为 ，
把点A或点B的坐标代入解析式，确定解析式即可；
（2）由点 在抛物线 上，不妨设点 的坐标为 ，继而得到， ．根据题意得 ，构造方程
，求解即可；
（3）种植区域分隔完成后，玥玥又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助
图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个
【小问1详解】
解： 所在直线是 的垂直平分线，且 ，
．
点 的坐标为 ，
，
点 的坐标为 ，
点 是抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为 ，
点 在抛物线 上，
，
解得： ．
抛物线的函数表达式为 ．
【小问2详解】
解：由点 在抛物线 上，
不妨设点 的坐标为 ，
，交 轴于点 ，
，
．在 中， ，
．
，
根据题息，得 ，
，
解得： （不符合题意，舍去），
．
，
答： 的长为6米， 的长为3米．
【小问3详解】
解：如图矩形灯带为 ，
根据题意，得 ， ， ，
设直线 和 的表达式分别为： ，
故 ，
解得 ，
故直线 和 的表达式分别为： ，设点 ，
则矩形周长 ，
根据抛物线的性质，得抛物线的最大值为 ，
故矩形周长的最大值为 米．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，构造二次函数求最值，
一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，二次函数的最值是解题的关键．
