文档内容
2025 年中考第三次模拟数学试卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无
效的．
3．考试结束后，请将"试题卷"和"答题卷”一并交回．
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选
项，其中只有一个是符合题目要求的)
1. 下列各数： ， ，0， ，其中比 小的数是（ ）
A. B. C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查有理数的大小比较，根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数比较大小
时，绝对值大的反而小”将所给数据按大小排序，即可求解．
【详解】解： ， ，
可知 ， ，0， ，其中比 小的数是 ，
故选A．
2. 一个长方体被挖去一个几何体后的三视图如图所示，则被挖去的几何体为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，熟练掌握三视图的意义是解题的关键，根据三视图可得
被挖去的几何体为正方体，即可求解．【详解】根据三视图可得被挖去的几何体的主视图，左视图和俯视图都是正方形，则被挖去的几何体为正
方体，
故选：A
3. 截至 2025 年 2 月，DeepSeek 的日活跃用户数增长至 万，突破 万大关．这一数字约为
ChatGPT日活跃用户数的 ，并成功超越了豆包的 万．“ 万”用科学记数法表示为（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，即 的形式， ， 为整数，熟练掌
握科学记数法的表示方法是解题关键．
先将 万变形为 ，再根据科学记数法表示为 的形式即可求解．
【详解】解： 万 ，
万用科学记数法表示为 ．
故选：A．
4. 计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查积的乘方、幂的乘方运算以及单项式乘法，较容易，熟练掌握积的乘方以及幂的乘方运
算法则是顺利解题的关键．
根据相关运算法则进行运算即可求解．
【详解】解： ，
故选：C．
5. 如图，已知 ，直角三角板的直角顶点在直线 上，若 ，则 等于（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形的直角与平角之间的关系可得到 与 互余，再根据平行线的性质可知 的
度数．
的
【详解】∵直角三角板 直角顶点在直线 上，
∴ ，
∵ ，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
6. 小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“惊蛰”“夏至”“秋分”“冬至”四张邮票中的两张送
给小乐．小明将这四张邮票背面朝上放在桌上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取两张，则小乐
恰好抽到“惊蛰”和“冬至”两张邮票的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率 的求解是解题的关键；因此此题可根据列举法求解概率．
【详解】解：由题意得：小乐随机抽取两张邮票的情况有：（惊蛰、夏至），（惊蛰、秋分），（惊蛰、冬至），（夏至、秋分），
（夏至、冬至），（秋分、冬至）共6种可能，其中抽到“惊蛰”和“冬至”两张邮票就1种可能，所以
小乐恰好抽到“惊蛰”和“冬至”两张邮票的概率是 ；
故选A．
7. 如图，已知双曲线 与直线 交于 、 两点（点 在点 的左侧），过点 作 轴垂线，过
点 作 轴垂线，两条垂线交于点 ，若 的面积为8，则 的值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想是解题的关键．
设点A的坐标为 ，根据题意可得点B的坐标为 ，从而得到 ，然
后根据 的面积为8，即可求解．
【详解】解：设点A的坐标为 ，
∵双曲线 与直线 交于 、 两点，
∴点A，B两点关于原点对称，
∴点B的坐标为 ，∵过点 作 轴垂线，过点 作 轴垂线，两条垂线交于点 ，
∴ ，
∵ 的面积为8，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B
8. 如图，在 中， ，利用尺规以点 为圆心，以任意长为半径画弧分别交 于
点 ，分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 内交于点 ，作射线
交 于点 ．若 ，则 的长是（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，作角平分线；由题意知， 平分 ，结合已知可
证明 ，由相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：由作图知， 平分 ，
；，
，
；
，
，
，
∵ ，
即 ，
解得 或 （舍去）．
故选：B．
9. 实数a，b，c满足 ，则下列结论不正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等式或不等式的运算．分别对各选项进行计算，即可判断．
【详解】若 ，则 ， ，即A正确；
由 得， ，若 ，则 ， ，即B正确；
若 ，则 ， ，即C正确；
若 ，则 ， ， ， ，即D错误．
故选：D．10. 如图，在矩形 中， ， ， 是矩形内部的一个动点，连接
，下列选项中的结论错误的是（ ）
A. B. 无论点E在何位置，总有
C. 若 ，则线段 的最小值为 D. 若 ， 的最大值为
【答案】D
【解析】
【分析】如图所示，连接 ，根据矩形的性质，勾股定理可得 ，结合点E在矩形ABCD内
部，可判定A选项；如图1，过点E分别向矩形各边作垂线段，垂足分别为 ，可证四边形
是矩形，四边形 ，四边形 ，四边形 均是矩形，根据勾股定理可判定B选项；
根据题意，可得E在以 为直径的 上，连接 交 于 ，当E与 重合时，线段 的长最
小，根据圆的基础知识，勾股定理即可判定C选项；根据题意作图，以 为边长向矩形内作等边 ，
以O为圆心， 为半径作 ，则点F在优弧 上运动，当 为直径时，即点E在点O处时，
最大，最大为直径 ，可判定D选项．
【详解】解：如图所示，连接 ，∵ ， ，
∴ ，
∵点E在矩形 内部，
∴点E不与点A、点C重合，即 ，故A正确；
如图，过点E分别向矩形各边作垂线段，垂足分别为 ，
设 ， ， ， ，
∴四边形 是矩形，四边形 ，四边形 ，四边形 均是矩形，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，故B正确；
如图，∵ ，
∴ ，
∴E在以 为直径的 上，连接 交 于 ，当E与 重合时，线段 的长最小，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴线段 的最小值为8．故C正确；
如图3，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
延长 至F，使 ，
∴ ，以 为边长向矩形内作等边 ，以O为圆心， 为半径作 ，则点F在优弧
上运动，
∴当 为直径时，即点E在点O处时， 最大，最大为直径 ．故选项D错误．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理的运用，线段最短的理解与计算，圆的基础知识的综合运用，
掌握矩形的性质，最短路径的计算方法，合理作出辅助线是解题的关键．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分 20分)
.
11 计算： _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查零指数幂和立方根，原式先计算 ， ，再计算减法即可得到答
案．
【详解】解：
，
故答案为： ．
12. 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，准确列出不等式进行求解是解题的关键．
一元二次方程有两个不相等的实数根，则 ，把系数代入计算即可得到答案．
【详解】解：由题意可得： ，
解得 ，故答案为： ．
13. 如图，在半径为3的 中，点C是优弧 的中点， 是 的直径，若 ，则劣弧
的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】连接 ， ， ，利用圆周角定理求出 ， 的度数，进而求出 的度
数，证明 ，得出 ，从而可求 ， 的度数，最后利用弧长公
式求解即可．
【详解】解：连接 ， ， ，
，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点C是优弧 的中点，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴劣弧 的长为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式等知识，求出 的度数是解题的关键．
14. 如图，在矩形纸片 中， ， ，点E是边 上一点（不与点C、D重合），且
的长是整数，将纸片沿过点A的一条直线折叠，点B落在点 处，折痕交 于点P，沿直线 再
折叠纸片，点C落在 处，且 、 、P三点共线．
（1） 的度数__________；（2）线段 的长为__________；
【答案】 ①. ## 度 ②. 1或3##3或1
【解析】
【分析】设 ， ，则 ，根据翻折的性质证明 ，可得
，所以 ，整理得： ，由题意可知，该方程有实数根，所以，解得 ，因为 ，且k为整数， ，然后把 代入方程即可解决问题．
【详解】解：设 ，
则 ，
由折叠可知： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
整理得： ，
由题意可知，该方程有实数根，
∴ ，解得 ，
∵ ，且k为整数，
∴ ，
∴ ，
解得 ，则线段 的长是1或3．
故答案为： ；1或3．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程，综合性较强，
要求学生有较强的识图能力．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15. 解分式方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法和步骤即可解题．
【详解】解：
方程两边同乘 ，得 ．
去括号，得 ．
移项、合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．
检验：当 时， ，
原分式方程的根为 ．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的13×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）
为顶点的 ．（1）以点C为中心，将 在网格上放大到原来的2倍，得到 ．点A，B对应点分别是 ，
画出 ；
（2）以点 为中心，将线段 逆时针旋转 ，得到线段 ，画出线段 ；
（3）填空： °．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据位似比为2，画图即可．
（2）根据旋转的全等性，注意旋转方向，画图即可．
（3）连接 ，证明四边形 是正方形即可．
【小问1详解】
根据位似比为2，画图如下：
则 即为所求．
【小问2详解】
根据旋转的性质，画图如下：则 即为所求．
【小问3详解】
如图，连接 ，
根据题意，得 ，且 ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了位似比作图，旋转作图，勾股定理，正方形的判定和性质，熟练掌握位似作图，勾股
定理，正方形的判定和性质是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17. 某工程由甲、乙两个工程队施工，工程小组综合比较两工程队发现，甲工程队施工2天的费用比乙工
程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元．单独完成这项工程，甲
工程队刚好如期完成，乙工程队要比规定日期多用5天，初步计算，若单独请甲工程队需付30万元．（1）请计算甲、乙工程队每天所需的施工费用各是多少万元?
（2）为降低工程施工费用，甲、乙两工程队先合作施工若干天，再由乙工程队全部完成，求甲、乙两工
程队合作施工多少天时，在不耽误工期 的情况下，施工费用最低．
【答案】（1）甲工程队每天所需的施工费用为1.5万元，乙工程队每天所需的施工费用为 1.1万元
（2）甲、乙两工程队合作施工4天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式的实际应用，解答本题的关键是读懂题意，设
出未知数，找出合适的等量关系，列方程组及不等式求解．
（1）设甲工程队每天所需的施工费x万元，乙工程队每天所需的施工费y万元，依题甲工程队施工2天的
费用比乙工程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元列出方程组即
可求解；
（2）根据题得：单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，甲工程队单独施工需20天，乙单独完成这
项工程需 天，设乙工程队施工a天，设甲、乙两工程队先合作施工a天，则乙工程队需单独施
工 天，根据甲乙合作的工作量加上乙单独完成的工作量大于等于总工作量，列出不等式，求解即
可．
【小问1详解】
解：设甲工程队每天所需的施工费x万元，乙工程队每天所需的施工费y万元，
依题意列方程得： ，
解得： ，
答：甲工程队每天所需的施工费用为1.5万元，乙工程队每天所需的施工费用为1.1万元；
【小问2详解】
解：根据题得：单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，甲工程队单独施工需： （天），
则工期为20天，
单独完成这项工程需20天，乙单独完成这项工程需 天，
设甲、乙两工程队先合作施工a天，则乙工程队需单独施工 天，根据题意得： ，
解得： ，
则总费用为： ，
当 时，总费用最少，为 （万元），
答：甲、乙两工程队合作施工4天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低．
18. 如图：
（1）第 个图案中“★”的个数是 ；第 个图案与第 个图案中“★”的个数之差为 ．
（2）第 个图案中“◎”的个数是 ；第 个图案中“◎”的个数是 （用含 的式子表示）．
（3）已知第 个图案与第 个图案中“★”的个数之差比第 个图案中“◎”的个数少 ，求正整数 ．
【答案】（1）15，5
（2）15，
（3）
【解析】
【分析】本题考查了图形类规律，根据图形找出规律是解题的关键．
（1）根据前几个图案的规律，即可求解；
（2）根据题意，结合图形规律，即可求解；
（3）根据题意，列出方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
第 个图案中“★”的个数可表示为 ，第 个图案中“★”的个数可表示为 ，
第 个图案中“★”的个数可表示为 ，
第 个图案中“★”的个数可表示为 ，
第 个图案中“★”的个数可表示为 ，
∴第 个图案中“★”的个数是 ，
第 个图案与第 个图案中“★”的个数之差为： ，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
第 个图案中有 个◎，
第 个图案中有 个◎，
第 个图案中有 个◎，
第 个图案中有 个◎，
∴第 个图案中“◎”的个数是 ，
第 个图案中“◎”的个数是 ，
故答案为： ， ；
【小问3详解】
由题意可得， ，
整理得， ，解得： ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19. 如图，为测量公园内宝塔 的高度，在距离宝塔中心 处（ ）的一个斜坡 上进行
测量．已知斜坡 与地面 的夹角为 ，斜坡 长 ， 垂直于地面，在点 处竖直放置测
角仪 ，测得宝塔顶部 的仰角为 ，量得测角仪 的高为 ，点 ， ， ， ， ， 在
同一平面内．求宝塔 的高度．（结果精确到 ，参考数据； ， ，
， ）
【答案】宝塔 的高度约为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点 作 垂直 于点 ，则
，则四边形 是矩形，解 ， ，求得 ，进而
根据 ，即可求解．
【详解】解：如图所示，
过点 作 垂直 于点 ，则
∴四边形 是矩形，∴
在 中， ，
∴ ， ，
∴
在 中， ，
∴
∴
答：宝塔 的高度约为
20. 已知，四边形 内接于 为 直径 ， 与 的延长线相交于点E， 平分
， 与 相交于点 F．
（1）如图1，若 ，求证： ；
（2）如图2，若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、圆与三角形的综合、勾股定理：（1）利用 证得 ，进而可求证结论；
（2）利用 先证得 ，进而可得 ， ，设 ，
，利用勾股定理得 ， ，再结合 ，即可求
解；
熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键。
【小问1详解】
证明： 为 直径，
，
，
，
，
在 和 中，
，
【小问2详解】
平分 ，
，
由（1）得： ，
在 和 中，
，，
，
， ，
设 ， ，
由勾股定理得： ， ，
， ，
，即： ，
解得： ，
为 直径，
的半径为 。
六、（本题满分12分)
21. 某校课后延时服务开设多种特色课程，九年级开设的课程有：A、播音，B、无人机表演，C、象棋，
D、羽毛球，每名同学只能选择一种课程开学初，班主任对九年级（1）班学生选课情况做了全面调查，根
据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合图中信息解答下列问题：
（1）求该班学生共有多少名？
（2）求扇形统计图中表示“D课程”的扇形圆心角度数，并补全条形统计图；
（3）已知“A课程”中有2名男同学和3名女同学，学校打算从他们当中选择两名同学担任毕业典礼的主持人，请你用列表或画树状图的方法，求出正好选择一男一女的概率．
【答案】（1）50名 （2） ，见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息综合问题，求扇形统计图圆心角度数，画树状图求概率，
熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）用“A课程”的人数除以它所占的百分比即可得到全班人数；
（2）用D组的所占百分比乘以360．即可得到在扇形统计图中D对应扇形的圆心角的度数，然后补全条
形统计图；
（3） 先画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解： （名）：
【小问2详解】
解：
；补全条形统计图如图；
【小问3详解】
树状图如下：（a表示男生，b表示女生）
一共有20种等可能的情况，其中一男一女的有12种，选中的两名同学是一男一女的概率为
七、（本题满分12分)
22. 已知在平面直角坐标系中，直线 经过点 ，与y轴交于点B，抛物线
（a，b为常数， ）的对称轴与直线 交点的纵坐标为2．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线经过点 这四个点中的两个，求该二次函数的最大值或最小值；
（3）P为线段 上一动点，过点P作平行于x轴的直线，若该直线与抛物线交于点M，N，且点P始终
在线段 上，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）4 （3）
【解析】
【分析】（1）将点 代入 求出 ，求得 ，把 代入
，解方程即可得到结论；
（2）先求出 ，得到 ，推出抛物线不经过点 ，得到抛物线不可能同时经过点A，D，
抛物线经过点A，B或点B，D．然后排除经过点A，B的情况，于是得到该抛物线经过点B，D，将点
代入 ，即可得到结论；
（3）由（2）知 ，①当 时，二次函数 的最小值为4，于是得到过点P作平行于x轴的直线与抛物线没有交点，此时不成立；②当 时，若要满足点P始终在线段
上，得出 求解即可．
【小问1详解】
将点 代入 ，
得 ，
解得 ，
．
当 时， ，
解得 ，
抛物线的对称轴为直线 ．
【小问2详解】
当 时， ，
．
抛物线 的对称轴为直线 ，
，
，
，
抛物线不经过点 ．∵ ，
∴抛物线不可能同时经过点A，D，
抛物线经过点A，B或点B，D．
若抛物线经过点 ，则 ，
解得 ，
．
当 时， ，即抛物线不经过点B．
该抛物线经过点 ．
将点 代入 ，
解得 ，
，
∴该二次函数有最大值，最大值为4；
【小问3详解】
由（2）知 ，
①当 时，二次函数 的最小值为4，
故过点P作平行于x轴的直线与抛物线没有交点，此时不成立；
②当 时，若要满足点P始终在线段 上，
则有
解得 ，综上所述，a的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，解方程组，解不等式组，二次函数的性质，熟练掌握二
次函数的性质是解题的关键．
八、（本题满分14分)
23. 已知在矩形ABCD中AB=4,AD=6,点E是边AD上的一个点(与点A,D不重合)．连接CE，作
∠CEF=90°，交直线BC点F，点G为线段EF的中点．
（1）如图1，若点E是AD的中点，四边形FHAB是矩形，求证：△HEF∽ΔDCE；
（2）如图2，若将边AD向左平移1个单位得平行四边形A′BCD′，当点G落在边A′B上时，求A′E
的长；
（3）如图3，连接DF，点H是DF的中点，连接GH，EH，是否存在点E，使△EGH为等腰三角形？若
存在，直接写出DE的值.
【答案】（1）见解析 （2）
（3）存在， 或32或16.
【解析】
【分析】（1）作 于 ，利用一线三垂直模型可证得 ；
（2）作 于 ，作 于 ，由 ，从而设 ，
，表示出 ，然后由 ，列出比例式求得结果；
（3）设 ，表示出 、 和 ，分为 ， 和 ，各列出方程，
求得结果．
【小问1详解】
作 于 ，，由题意可得，
， ， ，
，
，
，
，
，
【小问2详解】
如图2，
作 于 ，作 于 ，
，
由（1）得： ，
设 ，
，
，
由（1）知： ，，
，
，
；
【小问3详解】
如图3，
作 于 ， 于 ，
设 ，则 ，
是 的中点， 是 的中点，
是 的中位线，
，
由（1）可得，
，
，
，，
，
，
，
，
当 时，
，
或 （舍去），
当 时，
，
，
当 时，
，
，
综上所述： 或32或16．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和分类，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位
线定理等知识，解决问题的关键是较强的计算能力以及作辅助线，构造相似三角形．
